广东深圳市聚龙科学中学教育集团2026届高三全真模拟热身考试数学试题

**基本信息** 2026届高三数学全真模拟热身卷，120分钟150分，覆盖复数、数列等主干知识，结合机器人试验、杨辉三角等情境，凸显数学眼光与文化传承。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/63|三角函数性质与解三角形、导数应用、立体几何面面垂直与二面角、椭圆方程与面积最值、概率期望与数列通项|19题以机器人试验为背景，融合概率与数列建模；10题杨辉三角问题考查数学抽象与逻辑推理|

2026届高三全真模拟热身考试 高三数学试卷 时间：120分钟 满分：150 命题人：杨雪梅 审核人：刘利静、徐志强、石金海 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数满足，则(    ) A. B. C. D. 2. 记等差数列的前项和为，若，，则(    ) A. B. C. D. 3.已知点、，向量，则向量在方向上的投影向量为(    ) A. B. C. D. 4.设，集合，，那么“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.一个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等设圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为，则的展开式中的常数项是(    ) A. . B. C. D 6．已知函数，先将图象向左平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若，则（   ） A． B． C． D． 7.已知是双曲线的右焦点，为坐标原点，与双曲线交于在第一象限，两点，，且，则该双曲线的离心率为(    ) A. B. C. D. 8.已知函数，若函数恰有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.以下说法正确的是 A. ，，，，，，，，的第百分位数为 B. 具有相关关系的两个变量，的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为 ，回归直线至少经过点，，，中的一个点 C. 相关系数的绝对值越接近于，两个随机变量的线性相关性越强 D. 已知随机事件，满足，，且，则事件与不互斥 10.在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（  ） A． B． C．第项为 D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则 11.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，过点A，B作C的准线l的垂线，垂足分别为，，则（   ） A．l的方程为 B．为正三角形 C． D．的面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数则           13.若曲线在点处的切线与圆相切，则          ． 14.“素数”是指大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其它正整数整除的数，例如2､3､都是素数；“孪生素数”是指相差为2的两个素数，例如都是“孪生素数”；关于“孪生素数”有一个著名的猜想：自然数中存在无穷多对“孪生素数”；2013年数学家张益唐证明了“存在无穷多对素数，它们的差不超过7000万”，2014年陶哲轩等数学家证明了“存在无数多对素数，它们的差不超过246”；现在某同学要从小于20的素数中取出4个，则取出的4个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率=__________. 四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．已知函数. (1)求的单调增区间; (2)中，角所对的边分别为且A为锐角，若，，求的面积. 16.已知函数． 讨论的单调性； 若，且，求的取值范围． 17.在如图所示的几何体中，四边形是边长为4的菱形，，平面，，且． (1)证明：平面平面． (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 18.已知椭圆：的离心率为，长轴长为4．过点的直线与椭圆交于、B两点，O为坐标原点． (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为，求； (3)求的面积的最大值． 19.在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式. 高三数学试卷 第 1 页 共4 页 学科网（北京）股份有限公司 2026届高三全真模拟热身考试数学答案 1.【答案】  解：因为，所以，所以． 2.【答案】 解：等差数列中，，而，则，公差，，所以．故选： 3.【答案】  解：由题意可得，向量在方向上的投影向量为． 4.【答案】B 解：；， ，“”是“”的必要不充分条件，故本题选B． 5【答案】D解：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，所以圆柱的体积  ，球的体积  ，所以  ．又圆柱的表面积为  ，球的表面积为  ，所以  ，所以  ，则  ， 展开式的通项公式  ，令  ，解得 ，其常数项为  ．故选： 6.【答案】A【详解】将图象向左平移个单位，得到函数， 再将图象上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到，由，得， 所以. 7.【答案】D 解：设双曲线的左焦点为，则为平行四边形，，因为，所以，又，所以，，因为，所以，由余弦定理可得，得，故离心率．故选：． 8.【答案】A【详解】因为，易知的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，又恒成立，所以为减函数，令，得到，所以，整理得到，令， 因为函数恰有个零点，则函数与函数的图象有个交点， 又，当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，又时，，时，，时，，时，，且恒成立，其图象如图所示， 由图可知，要使函数与函数的图象有个交点，则，解得，所以实数的取值范围是. 9.【答案】  【解答】解：选项，因为，所以数据的第百分位数为，故A正确； 选项，线性回归方程为不一定经过，，，中的任何一个点，故B错误； 选项，根据线性相关系数的性质可知，相关系数的绝对值越大，越接近于，两个随机变量的线性相关性越强，故C正确；选项，，，且，则，所以， 则事件与不互斥，故D正确． 10.【答案】AC【详解】将数列、、、、、、、、、、变成以下数阵： 则该数阵第行有个数，从左向右分别为，第行最后一项位于原数列第项，对于A，因为，所以分别在该数阵第行的第2个和第4个，故，即，选项A正确；对于B，因为，所以位于该数阵第行第个数，由题意可知，该数阵第行所有数为“杨辉三角”数阵中第行去掉首、尾两个得到，而“杨辉三角”中第行所有数之和为，所以，该数阵第行所有数之和为， 所以，选项B错误； 对于C，因为，所以第项为第行第1个，即，选项C正确； 对于D，根据杨辉三角知，，选项D错误.故选：AC. 11.【答案】ABD【详解】抛物线的焦点在直线上，则，解得， 对于A，抛物线的准线l的方程为，A正确； 对于B，由，解得或，，，为正三角形，B正确；对于C，由选项B得，，，C错误； 对于D，点到直线的距离，，，D正确. 12.【答案】 【解答】解：由题意可得，则．故答案为． 13.【答案】 解：由，求导得，当时， 因此曲线在点处的切线方程为，即， 由直线与圆相切，得，所以．故答案为：． 14．【答案】【详解】小于20的素数共有，8个， 其中“孪生素数”有4对，若取，则不能取7，从中取2个，同时和不能同时出现，故有种，若取，则不能取3，从中取2个，同时和不能同时出现，故有种，若取，再从中取2个，同时，，和不能同时出现，故有种，若取，再从中取2个，同时，，和不能同时出现，故有种，总共有，而从个数中取出4个共有种， 所以取出的4个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率为 15.解：（1）， ........................................................................2分 令，解得，................................4分 故的单调增区间为..........................................5分 （2），即，，........................6分 故，解得，.....................................7分 又为锐角，故当时，满足题意；.....................................9分 由余弦定理，可得，.......................10分 又， 故，解得，....................................11分 则. 故的面积为.........................................13分 16.【答案】解：由题意得的定义域为， 当时，，所以在区间内单调递减； 当时，令，得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 综上，当时，在区间内单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 当时，由，得， 整理得，即， 令则 ， 由知，当时，的最小值为，即恒成立，所以当时，单调递增；当时，单调递减．故当时，取得最大值，即，故的取值范围为． 17.【答案】(1)证明见详解(2)9 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为四边形是菱形，所以，， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）设与交于点，以为原点，分别为轴，过点平行为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，， 所以，取平面的法向量， 所以，解得，故. 18.【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2）  当直线AB的斜率不存在时，此时三点共线，不合要求，舍去，当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为：，联立消去得，， 由，解得， 设， ， ， 解得，所以． （3）当直线AB的斜率不存在时，此时三点共线，不合要求，舍去， 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：，联立消去得，， 由，解得，设， ， 设，则，， 当且仅当，即时等号成立，即，解得时取等号，满足，所以的面积最大为. 19.【详解】（1）由题意可知：随机变量的可能值为0，1，2，3， 若，则3轮都失败，则； 若，则3轮中只有1轮成功，； 若，则3轮中只有2轮成功，； 若，则3轮都成功，；所以. （2）①设第轮试验使用A型号机器人为事件， 则，，，由全概率公式可得， 即，则， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以； ②设第轮得分期望为，则， 所以前轮期望总得分为. 高三数学答案 第 1 页 共4 页 学科网（北京）股份有限公司 $