精品解析：广东深圳市聚龙科学中学教育集团2026届高三全真模拟热身考试数学试题

2026届高三全真模拟热身考试 高三数学试卷 时间：120分钟 满分：150 命题人：杨雪梅 审核人：刘利静、徐志强、石金海 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. 5 D. 8 2. 记等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 60 B. 80 C. 140 D. 160 3. 已知点，，向量，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 设，集合，，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图是一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则的展开式中的常数项是（ ） A. 15 B. -15 C. D. 6. 已知函数，先将图象向左平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是双曲线的右焦点，为坐标原点，与双曲线交于(在第一象限)，两点，，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数恰有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 以下说法正确的是（ ） A. 89，90，91，92，93，94，95，96，97的第75百分位数为95 B. 具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点 C. 相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强 D. 已知随机事件A，B满足，，且，则事件A与B不互斥 10. 在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 第项为 D. 从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则 11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，过点A，B作C的准线l的垂线，垂足分别为，，则（ ） A. l的方程为 B. 为正三角形 C. D. 的面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数，则f（f（0））＝_____． 13. 若曲线在点处的切线与圆相切，则________. 14. “素数”是指大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其它正整数整除的数，例如2､3､都是素数；“孪生素数”是指相差为2的两个素数，例如都是“孪生素数”；关于“孪生素数”有一个著名的猜想：自然数中存在无穷多对“孪生素数”；2013年数学家张益唐证明了“存在无穷多对素数，它们的差不超过7000万”，2014年陶哲轩等数学家证明了“存在无数多对素数，它们的差不超过246”；现在某同学要从小于20的素数中取出4个，则取出的4个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率=__________. 四、解答题：本题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的单调增区间; （2）中，角所对的边分别为且A为锐角，若，，求的面积. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，且，求的取值范围. 17. 在如图所示的几何体中，四边形是边长为4的菱形，，平面，，且． （1）证明：平面平面． （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求． 18. 已知椭圆：的离心率为，长轴长为4．过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）若的面积为，求； （3）求的面积的最大值． 19. 在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. （1）记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； （2）设为第轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三全真模拟热身考试 高三数学试卷 时间：120分钟 满分：150 命题人：杨雪梅 审核人：刘利静、徐志强、石金海 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法法则得到，利用模长公式求出答案. 【详解】，所以. 故选：B． 2. 记等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 60 B. 80 C. 140 D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差及首项，再利用前n项和公式计算即得. 【详解】等差数列中，，而，则， 公差，， 所以. 故选：C 3. 已知点，，向量，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出的坐标，即可求出，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，，所以， 又，所以，， 所以向量在方向上的投影向量为. 故选：C. 4. 设，集合，，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合、，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】因为，，所以，， 因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 如图是一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则的展开式中的常数项是（ ） A. 15 B. -15 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆柱与球的体积公式、面积公式可得m,n，根据二项展开式的通项公式计算常数项即可. 【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R， 所以圆柱的体积，球的体积， 所以. 又圆柱的表面积为，球的表面积为， 所以， 所以， 则， 展开式的通项公式， 令，解得，其常数项为. 故选：A 6. 已知函数，先将图象向左平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】将图象向左平移个单位，得到函数， 再将图象上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到， 由，得， 所以. 7. 已知是双曲线的右焦点，为坐标原点，与双曲线交于(在第一象限)，两点，，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题需要根据已知条件，在焦点三角形中运用余弦定理，建立与的方程，进而算出离心率. 【详解】设双曲线的左焦点为，则为平行四边形，所以 因为，所以 又，所以， 因为，所以，在中运用余弦定理有 ，得，故离心率 故选：D. 【点睛】双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、得到a，c的关系． 8. 已知函数，若函数恰有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的定义及导数与函数单调性间的关系，可得为奇函数且为减函数，从而将问题转化成函数与函数的图象有个交点，再利用导数求出的单调性，进而得出的图象，数形结合，即可求解. 【详解】因为，易知的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 又恒成立，所以为减函数， 令，得到，所以，整理得到，令， 因为函数恰有个零点，则函数与函数的图象有个交点， 又，当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 又时，，时，，时，， 时，，且恒成立，其图象如图所示， 由图可知，要使函数与函数的图象有个交点，则， 解得，所以实数的取值范围是. 二、多选题：本题共2小题，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 以下说法正确的是（ ） A. 89，90，91，92，93，94，95，96，97的第75百分位数为95 B. 具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点 C. 相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强 D. 已知随机事件A，B满足，，且，则事件A与B不互斥 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项：结合百分位数的定义即可求解； 对于B选项：结合经验回归方程的性质即可求解； 对于C选项：根据相关系数的性质即可判断； 对于D选项：根据互斥事件的定义和事件的相互独立性即可求解. 【详解】对于A选项：从小到大排列共有9个数据，则不是整数，则第75百分位数为从小到大排列的第7个数据，即第75百分位数为95，所以A选项正确； 对于B选项：线性回归方程不一定经过点，，，中的任何一个点，但一定经过样本的中心点即，所以B选项错误； 对于C选项：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于，所以C选项正确； 对于D选项：因为，则， 则事件与相互独立，所以事件A与B不互斥，所以D选项正确； 故选：ACD. 10. 在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 第项为 D. 从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则 【答案】AC 【解析】 【分析】将数列数列、、、、、、、、、、变成数阵，确定数阵第行有个数，从左向右分别为.对于A，确定分别在该数阵第行的第2个和第4个即可判断；对于B，确定位于该数阵第行第个数即可求和；对于C，确定第项为第行第1个即可；对于D，根据杨辉三角得到，利用裂项相消求和法求和即可. 【详解】将数列、、、、、、、、、、变成以下数阵： 则该数阵第行有个数，从左向右分别为， 第行最后一项位于原数列第项， 对于A，因为，所以分别在该数阵第行的第2个和第4个，故，即，选项A正确； 对于B，因为，所以位于该数阵第行第个数， 由题意可知，该数阵第行所有数为“杨辉三角”数阵中第行去掉首、尾两个得到，而“杨辉三角”中第行所有数之和为， 所以，该数阵第行所有数之和为， 所以，选项B错误； 对于C，因为，所以第项为第行第1个，即，选项C正确； 对于D，根据杨辉三角知，，选项D错误. 故选：AC. 11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，过点A，B作C的准线l的垂线，垂足分别为，，则（ ） A. l的方程为 B. 为正三角形 C. D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【详解】抛物线的焦点在直线上，则，解得， 对于A，抛物线的准线l的方程为，A正确； 对于B，由，解得或，， ，为正三角形，B正确； 对于C，由选项B得，，，C错误； 对于D，点到直线的距离，，，D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数，则f（f（0））＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】 先求得,则,进而求解即可. 【详解】由题,,则, 故答案为: 【点睛】本题考查分段函数求函数值,属于基础题. 13. 若曲线在点处的切线与圆相切，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出曲线在点处的切线，再利用圆的性质求出值. 【详解】由，求导得，则， 因此曲线在点处的切线方程为，即， 由直线与圆相切，得， 所以. 故答案为： 14. “素数”是指大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其它正整数整除的数，例如2､3､都是素数；“孪生素数”是指相差为2的两个素数，例如都是“孪生素数”；关于“孪生素数”有一个著名的猜想：自然数中存在无穷多对“孪生素数”；2013年数学家张益唐证明了“存在无穷多对素数，它们的差不超过7000万”，2014年陶哲轩等数学家证明了“存在无数多对素数，它们的差不超过246”；现在某同学要从小于20的素数中取出4个，则取出的4个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率=__________. 【答案】 【解析】 【分析】分两个是“孪生素数”分别是或或或逐个确定，再结合古典概率模型概率计算公式即可求解. 【详解】小于20的素数共有，8个， 其中“孪生素数”有4对， 若取，则不能取7，从中取2个，同时和不能同时出现，故有种， 若取，则不能取3，从中取2个，同时和不能同时出现，故有种， 若取，再从中取2个，同时，，和不能同时出现，故有种， 若取，再从中取2个，同时，，和不能同时出现，故有种， 总共有， 而从个数中取出4个共有种， 所以取出的4个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率为， 故答案为： 四、解答题：本题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的单调增区间; （2）中，角所对的边分别为且A为锐角，若，，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）化简为只含一个三角函数形式，结合正弦函数的单调性，即可求得结果； （2）根据题意，结合（1）中所求求得，再由余弦定理求得，结合三角形面积公式即可求得结果. 【小问1详解】 ， 令，解得， 故的单调增区间为. 【小问2详解】 ，即，， 故， 解得，又为锐角，故当时，满足题意； 由余弦定理，可得， 又， 故，解得，则. 故的面积为. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，且，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导后进行分类讨论，求出单调区间即可； （2），得，然后进行参变分离，构造新函数，借助导数求最值即可. 【小问1详解】 由题意得的定义域为， 当时，，所以在区间内单调递减； 当时，令（2），得， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 综上，当时，在区间内单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，由，得， 整理得，即. 令 则， 由（1）知，当时，的最小值为， 即恒成立， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减. 故当时，取得最大值，即， 故的取值范围为. 17. 在如图所示的几何体中，四边形是边长为4的菱形，，平面，，且． （1）证明：平面平面． （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】（1）证明见详解 （2）9 【解析】 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 因为四边形是菱形，所以，， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 设与交于点，以为原点，分别为轴，过点平行为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，， 所以，取平面的法向量， 所以，解得，故. 18. 已知椭圆：的离心率为，长轴长为4．过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）若的面积为，求； （3）求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. (3)由（2）得，设，则，，利用基本不等式求解． 【小问1详解】 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 当直线AB的斜率不存在时，此时三点共线，不合要求，舍去， 当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为：， 联立消去得，， 由，解得， 设， ， ， 解得， 所以． 【小问3详解】 当直线AB的斜率不存在时，此时三点共线，不合要求，舍去， 当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为：， 联立消去得，， 由，解得， 设， ， 设，则， ， 当且仅当，即时等号成立，即， 解得时取等号，满足， 所以的面积最大为. 19. 在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. （1）记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； （2）设为第轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式. 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）可知随机变量的可能值为0，1，2，3，分别求其概率，进而可得期望； （2）①根据题意结合全概率公式可得，利用构造法结合等比数列求通项公式；②分析可得，利用分组求和法结合等比数列求和公式运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：随机变量的可能值为0，1，2，3， 若，则3轮都失败，则； 若，则3轮中只有1轮成功，； 若，则3轮中只有2轮成功，； 若，则3轮都成功，； 所以. 【小问2详解】 ①设第轮试验使用A型号机器人为事件， 则，，， 由全概率公式可得， 即，则， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以； ②设第轮得分期望为，则， 所以前轮期望总得分为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $