广东深圳市福田区西交利物浦大学基础教育集团外国语高级中学2025-2026学年第二学期高三考前自测数学试题

西浦较有集团外国语高中2025-2026学年度第二学期高三年级西浦五模考试 西浦教育集团外国语高中2025-2026学年度第二学期 C.g-36.6g-2g D.6-6g-36 高三年级西浦五模考试 【答案】C 数学学科试题 【解析】根据平面基底的定义知。向量，马为不共线非零向量，即不存在实数2，使得=码 答题注意事项： 对于A中，向量名和名-2品，不存在实数2，使得名=（日-2吗），可以作为一个基底： 命题人：罗江云 1.本试卷满分150分：考试用时120分钟： 2.本试卷分二卷，不按要求答卷不得分。 对于B中，向量名+2三.弓+2g,假设存在实数方，使得g+2见=入（已，+2g) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 得=2，此时方程组无解，所以后+2%和弓+2写可以作为基底 项是符合题目要求的。 可得2=， 1.已知集合A={xx2-3x-18<0,B={-2,0,2,6,则AnB=（) 对于C中，向量弓-3g和6阳-2名，假设存在实数入，使得弓-3鸡=无(6e-2 A.{-20% B.{029 c.{-2,02 D.{-20,26} 1 面夜，解聘4所以好-名和闷一名不可以作为通 【答案】C 对于D中，向量g-马和弓-3记，假设存在实数入·使得-马=元（低-3架） 【分析】根据题意，解得A={x3<x<6,再求交集即可 【详解】：x-3x-18=(x+3)(x-6)<0, 可得1气2此时方程组无解，所以名-马和弓一3妈可以作为基底一 解得A=3<x<6, 故选：C AnB={-2,0,2}. 4.在对称轴为坐标抽的双曲线中，“离心率为√5“是“渐近线方程为y=±2x“的() B.必要不充分条件 故选：C A充分不必要条件 2在复平面内，复数子对应的点与复数马“品对应的点关于实轴对称，则=（) C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】D A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i 【解析】 【答案】C 【分析】利用共渐近线的双曲线的方程可求对应的离心率，再结合反例可判断两者之间的条件关系。 飞详解1因为三名-。上1，故复数马在复平面内所对应的点的坐标为，- 【详解】若双曲线的渐近线方程为y=2x,故可设双曲线方程为- 4=20) 因为在复平面内，复数马对应的点与复数与对应的点关于实轴村称， 者0。则汉鱼线的标准方程为受后1，放口=元三。 放复数与在复平面内所对应的点的坐标为，1)：即：=1+i 故c2=元+42=5元，枚C=V5: 3.如果{何，}表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是() A.6.6-23 B.6+26日+2g 苦8<0，则双商线的娇准方程为式1，故行4以6公三-子 高三年级数学科试卷第1页（共8页） 西浦教有集团外国语高中2025-2026学年度第二学期高三年级西浦五模考试 枚c2=-1-42=-52,故-5 2 【详解1由思您知得)o0名所以得)m(答+片名所以m(学+号 设双曲线的方程为y_工=1，此时a=L,c=5,散离心率为5， 4 ，1 7.已知数列(a)满足241+1-3，且一品则使不等式号十…+片<100成立的n的最大值为) 此时渐近线的方程为y=土二x, 2 A.98B.99 C.100 D.101 故“离心率为√5”推不出渐近线方程为y=士2x”: 【答案】B “渐近线方程为y=士2x“推不出离心率为√5”， 【解析】解：由21+一，得女- 故“离心率为√5"是“渐近线方程为y=2x”的既不充分又不必要条件 即+片即-1-功 故选：D. 又=品则= 5、已知随机变量5-NBg),且P心G≤a)=PG≥5)，则上+90<x<0)的最小值为《) X Q-x 所以数列（一1}是为首项，为公比的等比数列， B.16 C.16 D.48 3 所以-1=1=声=+1. 【答案】C 【解析】 吉片+-2对…++n-2×m=n+1-宝 1号 【分析】先根据正态分布的性质确定a的值，再利用基本不等式求最小值 问题转化为求使不等式+1一立<100成立的m的最大值， 【详解】因为5~N3,σ），正态曲线关于直线x=3对称， 又函数y=x+1一在(0，+m)上单调递增， 又P(5≤a)=P(5≥5列，所以a+5 =3,解得a=1 2 所以使不等式品++…+<100成立的n的最大值为99. m时2=20-明10+片2器 故选：B, x 1-x 因为0<x<1.所以10+9x+1=之10+2 9x1==16 &已知函数/-，g=h-am,若%.我e0使得/代>g,)成立.则实 1-x x V1-x x 数a的取值范围是() 当且仅当，9x=1-x 即x三二时取等号 A.a>In2 B.a≥ln2 C.azI D.dz1-2 1-x x 4 e e 故选：C 【答案】A 6已知潘数阳)=血(Cx+p叭（子p<引若商数与g国的图象关于直线=对称，且 6 【分折】求得了)=，得到国得单调性和心。=0=0，转化为a+成立，令 2 g0)=名则p=（) h+,求得士2+D,令0击2+D,来得)<0，得到在 A. B君 c. D. (0,】上单调递减，进而得到h()在(0，】上单调递减，求得h()m=血2，即可求解 【答案】B 【详解】由函数了)=，可得f国)=-h 高三年级数学科试卷 第2页（共8页） 西浦教有集团外国语高中2025-2026学年度第二学期高三年级西浦五模考试 当x[1,时，f()20,此时f(x)在[1，©上单调递增 事件A,4,不可能同时发生且必有一个发生，所以为对立事件，A正确 所以f(x)在L]上的最小值为f(x)=f但=0， 对B,取出的两肆同色分为都是红色和都是白色，则P(到-是+S-。片子。 CgC1s55所以B正确， 则xc[1,],3xe(0,1]使得f(3)>g(s)恒成立 对C,己知事件C:取出的两球中至少有一个红球，则对立事件为两个球没有红色，则概率 即∈(0，，使得h(x+)-m2<0成立，即a>血（任+成立 71498 令)=血 PC9=1-C4 是-若积事件C为两个红色球，则P80O)-号可知PeP(C名器P8C, x 2xe(0.:即a>h(xm 因购--2 所以C错误 2x切 x4 对D、由感塞知P4)号积事件4C为第一次取白球，第三次取红球，则P4C)-音 3515,根据 4 令p9=x-2nx+D 条件概率公式可知PCLA)=P4C.5-号，所以D正确 x+1 PA)15 3 所以()在0，上单调递减，所以(x)<(0)=0, 故选：ABD 所以(x)<0,可得h(x)在(0，上单调递减，所以h(x)=h()=血2， 10.如图，己知圆柱OO,底面半径为1，OO,=2,P为⊙O2上一点，正方形ABCD内接于⊙O, 所以a>ln2,即实数a的取值范围为n2,+o)。 则() 故选：A A.BC∥平面PAD 0 B.四棱锥P-ABCD的体积不为定值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 C.四棱锥P-ABCD外接球的表面积为8π 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 D.直线PB与平面ABCD所成角的最小值为三 D 9.一口袋中有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记 【答案】ACD 事件A:第一次取出的是红球：事件4：第一次取出的是白球：事件B:取出的两球同色：事件C:取 【解析】 出的两球中至少有一个红球，则下列说法中正确的是() 【分析】对于A,根据线面平行的判定脚可判断：对于B,先求正方形ABCD的面积，即可得到 A.事件4,4为对立事件 B.P(8)= 7 3:对于C,四校维P-A8CD外接球即圆柱的外接球，再求表面积即可；对于D.过P作 C.事件B,C为独立事件 D.F(c) PH⊥底面ABCD,连接BH,故∠PBH载是直线PB与平面ABCD所成角，根据am☑PBM=。」 【答案】ABD 即可求最小值： 【分析】根据独立事件和互斥、对立事件的概念，判断事件之间的关系，通过古典概型概率公式和条件 【详解】对于A,:ABCD是正方形，：BCAD, 概宰公式求事件概率 BC文平面PAD,ADC平面PAD: 【详解】对A,事件A:第一次取出的是红球：事件4：第一次取出的是白球，因为一次只取一个球， .BC∥平面PAD,故A正确： 高三年级数学科试卷 第3页（共8页） 西浦教有集团外国语高中2025-2026学年度第二学期高三年级西浦五模考试 对于B,AB2=0A+OB2=2,SBD=AB2=2, sin(B+C)sinA 2sin A cos Bsin B cosBsin B sin B 1 VD00= ,故B错误： 因为BE0动，则血4>0，面B>0,可得cosB-宁所以B=子故A正确： 对于C,根据题意，四棱锥P-ABCD外接球即圆柱的外接球， B:由正孩定理品品”，得面A:物 sinc-sinB b b 外接球半径R2=r2+O0 =2,表面积S=4元R=8π，故C正确： 2 则m油C:匹瓷子，帮调x=6 对于D,过P作PH⊥底面ABCD,连接BH, 因为D是边4C的中点，则BD-ai+B0.且函C=ac6oB=c, 03 可利历画.4，号}当组仅a6=6取9 4 4 所以D心5，故B销误： 2 D C图为cosA+cosB+cosC=cosA+ 行c4+ca4-s4+5, 1 2 B 2 ∴.PH=2,∠PBH就是直线PB与平面ABCD所成角， 所以cosA+cosB+c0sC的最大值为号放C正确： tm∠PB朗=PH2 BHBH D:因为ac=6,c=2,则a=3,即BA=2,|BC=3,BABC=3· .BH为底面直径，即BH=2时，∠PBH最小， BO.BA=ABA+BC.BA 北时mP=P8-子 因为B石=BA+BC,则 BO.BC=ABA.BC+BC 所以直线PB与平面ABCD所成角的最小值为交，故D正确。 [2=41+34 4-1 即{9 解得 6 故选：ACD. 3*9u 故D正确 A-S 9 11.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且OsB+mB=6,i加1snC=2亦，则 下列选项正确的是() 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. AB-月 工(t-a) 12、已知(2-4y=4+4+ar+4+as+4,则20 的值为一 B.若D是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为4正 3 【答案】160 Cc0sA+cosB+cosC的最大值为 【分析】对(2x-4=6+4x+4r2+a3+a+a,x两边求导，再令x=1可求得结果 D.若点0是△AC的外心，且80=+C,c=2,则= 【详解】因为(2x-4=4+4t+ax2+x+ar'+4x, 【答案】ACD 【样1A因为台温6是则CS可 所以[(2x-4]=(a+4x+…+a,r) cos B sin B sin B 即10(2x-4)4=a+2ax+3ax2+4a4x3+5ax4, 高三年级数学科试卷第4页（共8页） 西浦教有集团外国语高中2025-2026学年度第二学期高三年级西浦五模考试 令x=1,则∑a)=a+24+34+4a+5a,=10×(2-4④=160 15、(本小题满分13分) 每年的4月23日为“世界读书日”，某满查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查该调查机 13、已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上一点，以P为圆心，PF为半径的圆交V轴于M,N 构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时何，其阅 两点若NM=6,则圆P的半径为 读时间（小时）的频率分布直方图如图所示： 【答案】5 (1)求样本学生一个月阅读时间t的中位数m 【详解】由y2=4x可知2p=4,p=2 (2)利用分层抽样从阅读时间在[152习的学生选5人参加一个座谈会.现从参加座谈会的5人中随机抽取两 人发言，求[20,25]小组中至少有1人发言的概率。 设P(5,5,则由抛物线定义可得PF马+号5+1，即圆P半径为飞+1， 额率组距 0.06 而点P到y轴距离为，N=6,则由勾股定理可得(，+)=2+3， 0.0 解得元=4，所以圆P半径为+1=5 0.03 0.02 0.01f 14.切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫(1821.5-1894.12)在研究统计规律时发现的，其内 051015202530时间H小时 容是：对于任一随机变量X,若其数学期望E(X)和方差D(X)均存在，则对任意正实数：，有 【答案】解：(1)由题意可得，频率分布直方图中第一组和第二组的频率之和为0.04×5+0.06×5=0.5，所 P0X-BX<E)21-D”,根据该不等式可以对事件x-BKe的微率作出估计.在数字通信中，信 E 以样本学生一个月阅读时间t的中位数m=10: 号是由数字“0和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0和1”是等可能的记发射信号 (2)阅读时间在1520的频率为0.03×5=0.15，[20.25的频率为0.02×5=0.1 “1"的次数为随机变量X,为了至少有9S%的把握使发射信号1的频率在区间(0.4,0.内，估计信号发射 故两组的频率之比为3：2，所以阅读时间在[15,20抽取3人，[2025]抽取2人，则[20,25]小组中没有抽到 次数n的值至少为 学生发言的局率为号-品数20251小组中至少有1人发言的概率为1-音- 7 C10 【容案】1250 16.(本小题满分15分) 【详解】由题意知X一B(n),所以(X)=0.5H,D(X)=0.25n, 如图，在斜三棱往ABC-4BC中，AB⊥AC,O为BC的中点，且4O1平面ABC,A4=2,AB=AC=万 若04<X<06,则0,4n<X<0.6n. (1)证明：四边形BCCA为矩形： 即-01m<X-0.5<0.1n,即X-0.5m<0.1n, (2)若点P在线段AB上（异于A点），直线AP与平面APC 由切比写夫不等式P(X-0,5知<01m≥1- 0.25n (01知。 所成角的正弦值为25. 要使得至少有98%的把摆使发射信号“1”的顿率在区间(04,0.6可内， 测80g.期m120 【答案】(1)证明见解析： 所以估计信号发射次数n的最小值为1250 a片号 故答案为：1250 【详解】(1)在斜三棱柱ABC-ABC中，连接QA,由AB=AC=√2，O为BC的中点，得OA⊥BC 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 又AB⊥AC,则BC=2,OA=1,而AO⊥平面ABC,则直线OA,OB,OA两两垂直， 高三年级数学科试卷 第5页（共8页） 西浦教有集团外国语高中2025-2026学年度第二学期高三年级西浦五模考试 如图，以O为原点，直线OA,OB,OA分别为x,V,z轴建立空间直角坐标系， 17、(本小题满分15分)已知圆Cm:(x-2)2+(y-)2=1,eN外有一点A(-3,3) 则A1.0.0).B(0.1,0.C0-10).40,0N3)B6=4=←105.BC=(0,-2,0), (1)当n=2时，过点A作直线1，当直线1与圆C相切时，求直线1的方程： 由BB·BC=(-10,V3)-(0,-2.0)=0,得BB⊥BC, (2)自点A发出的光线经过x轴反射后与C,相切，记与C.相切的两条反射光线所在直线的斜率之积为 1 又四边形BBCC为平行四边形，所以四边形BBCC为矩形 a,数列 }的前n项和为S,求证：S<7 a 【解】(1)圆C,:(x-2)+(y-2)=1,圆心C(2,2),半径r=1 由题意可知直线1的斜率k存在，设直线1的方程为y-3=(x+3),即x-y+3+3=0 由于直线与题c相切，所以d=1,解得k=0政名， Vk2+1 B 所以直线1的方程为y=3或5x+12y-21=0: (2)由(1)得C=0,1.0,AB=(←11,0)，4=（-1,03)，44=1.0-5) (2)记点A关于x轴的对称点为A,则A(-3,-3) 则A=AA+AB=(←2,1 由于反射光线所在直线经过点A,且斜率存在， 设AP=元4B,2∈(0,1]， 设反射光线所在直线：y+3=(x+3),即x-y+3k-3=0 A亚=←21250.4P=4+AP=(←2+1元6-5， 又圆C,的圆心为C,(2川小，半径r=1,直线7与圆C,相切，则d=k=n-3L, +1 设平面APC的法向量为n=(x,y,z): 则区i=+0 整理得24k-10(n+3)k+n+6n+8=0,则两条切线的斜率之积k-口+6m+8 ,取x=1,得i=0.-1,√3) 24 AB-n=-2x+y+√3：=0 所以 124 1211） 设直线AP与平面APC所成的角为8 +61+8 (n+2n+4 则n8cos4PmF14亚列 8=上+++1=121++11 |AP别 aa 气3546n+2n+4 2 25 V8x-102+455 即8-10以+3-0，解得-该=号 18、(体小题17分)已知函数)=e2-是6x+1)3,×e[0,+m). 所以饭的丝为}政导 (1)求曲线fx)在(1，f1)》处的切线方程： (2)求fx)在[0，+cm)上的单调区间： 高三年级数学科试卷第6页（共8页） 西浦教有集团外国语高中2025-2026学年度第二学期高三年级西浦五模考试 (6)若%，为∈0，+0)，且1丰，满足f0x)+fx)=兰求证：为+<2. Xe0,,F)=f0x)+f2-x)-等>F0)=0, (参考数据：c=271828.) 因此，0x)+2-x)>=fx)+fx, 【答案】y=:fx)的增区间为0，+m,无减区间 因此，f2-名)>，即2-名>x,原不等式成立。 18、【解析】解：Q)已知函数)=e-c+1)3, 1以、（木小愿17分）已知4,6为稀两G号+若-10<b的左，右顶点，M为C上的一点N 由腰设6网=e-c+1以，且f0)=e-是e=号 级曲线C:了芳1止的-一点(M,N两点不同于4,4两点)，设直线4M,4M,4N,4 因此)=0，因此切线方程为y= 的斜率分别为所，k,k,4,且k+k+高+k=0 (2)设gx)=f69=-x+1) (1)设O为坐标原点，证明：O,M,N三点共线： 令h69=g树=c-6+1),因此h'网=e2- (2)设C、C的右焦点分别为耳、，M、N均在第一象限，直线N5与直线R相交于点P, 在x∈(0，lh)上，<0，h()单调递减， 后+店+店+居=8 在x∈血+m)上，hx)>0.h(x)单调递增， (i)证明：四/NE: h(9mm=hm)=-h<0,h(0)=1-<0,h()=0, (ii)证明：∠APR=∠APR 在xe[0,1)上，h(x)<0,gx)单调递减， 【详解】(1)设M(5i),N(s,),则k=.片万 5 在xe(1,+m)上，h()>0,gx)单调递增， 因为手+答1，可知：-3京好 3. 因此g6mm=g1)=0,即gx)=f(x)20: 2分 故fx)的增区间为0，+o0).无减区间： 因为号器-1，可知：写-3产好 3 (3)证明：由(1)，(2)知，fx)0,+c∞)上单调递增 若x1,为∈(1，+o),必有0s)+fx)>20)=号 与6努部务 若x1,x∈0.1)，必有f)+x,)<2)=等 由店+名+k+k=0可知：为-=0， 若x1=1,必有x)=子x=为=1，矛盾， 可知：OMION,因此。O,M,N三点共线 5分 令0sx1<1<x,F6w)=f9)+f2-x)-xe[0,, (2)(i)由k2+++好=8可得：(k+k+(k+k了-2（无k+kk)=8, m6x)=F'(w)=f6w)-f2-x)=e-e2--2e(r-1) 、冬在二好金三一=-3二3安3可知：kk+kk=0. -3 因此mw)=g2+e2-g-2e22Wc·e元-2e=0 由所+k+片+k=0,可知： 因此m)单调递增，m(1)=0, 在x∈[0,1]上，m8<0,F(x)单调递减，F(x)mm=F(1)=0, (民+k)广=4，且M,N都在第一象限，则片+k=-2，k+k=2,…7分 高三年级数学科试卷第7页（共8页） 西浦较有集团外国语高中2025-2026学年度第二学期高三年级西浦五模考试 击套京房0，双-66列-k-小 b2 3b3 .3b2 为3+方·为3-b则M 3+万5+B V3-3-E 4410分 因此可得： (名-3-6)为-(3-3+b)4=为-x+3+B4-3-B为=-√3-B为+3+by=0, 由此可知：FM/FN ,12分 (i)由(i)可知 b2 kx=3 3-6F 而6-可1F 3- 3+园 V3+6 则NR⊥MR： 直线RN:y=x-3-B,直线RM:y=-x+3+B, 设点P(化6)小，于是名-为=3-B,+为=3+B 则(-%了+(6+%了=6，即2+名2=3， 侧点P的轨迹是以O为圆心，√5为半轻的圆， .15分 则44=受2周明= 于是∠APR+∠FPA=∠EPA+∠APE,则∠APR=∠APE .17分 高三年级数学科试卷 第8页（共8页）西浦教有集团外国语高中2025-2026学年) 西浦教育集团外国语高中2025-2026学年度第二学期 高三年级 西浦五模考试 数学学科试题 答题注意事项： 命题人：罗江云 1.本试卷满分150分：考试用时120分钟： 2.本试卷分二卷，不按要求答卷不得分。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.已知集合A={xx2-3x-18<0},B={-2,0,2,6},则AnB=（) A.{-2,0} B.{0,2} C.{-2,0,2 D.{-2,0,2,6} 2在复平面内。复数5对应的点与复数二=行对应的点关于实抽对称，则《） A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i 3.如果{名，}表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是() A.e,-2e B.e+2e2,e,+2e C.e-3e,6e,-2e D.e-e,e-3e 4. 在对称轴为坐标轴的双曲线中，“离心率为√5”是“渐近线方程为y=±2x的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5已知随机变量5~N(3,σ)，且P(5≤a)=P(5≥5)，则1+9 (0<x<)的最小值为() x a-x 8 B. 6 A. C.16 D.48 6.已知函数f(y)=sim(2x+)-'- π(3下p< 2 若函数f(x)与g(心)的图象关于直线x=亚对称，且 6 g0)名则p=(） B. 6 C.π 4 D. 3 7己知数列(a.}满足2aa+1+a1=3a,且a=品则使不等式时+号+…+<100成立的n的最大值为() al a2 an A.98 B.99 C.100 D.101 高三年级数学科试卷 度第二学期高三年级西浦五模考试 8. 已知函数f(x)nx,g(d)=n(x+1)-a2,若x∈Lc],3e(0,使得fG)>8)成立，则实 数a的取值范围是() A.a>In2 B.a≥ln2 C.as D.a≥}n2 e e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.一口袋中有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记 事件A:第一次取出的是红球；事件A:第一次取出的是白球；事件B:取出的两球同色；事件C:取 出的两球中至少有一个红球，则下列说法中正确的是( B.P(B)=15 A.事件A,A为对立事件 C.事件B,C为独立事件 D.(c) 10.如图，已知圆柱OO2,底面半径为1，OO2=2,P为⊙O2上一点，正方形ABCD内接于⊙O, D 则() A.BCI∥平面PAD B.四棱锥P-ABCD的体积不为定值 D C.四棱锥P-ABCD外接球的表面积为8元 .0 D直线PB与平面ABCD所成角的最小值为 在△4Bc中，角4，R,Ci对的边分别为a,6,c,且C日"6=名，咖4smCs9 2b2，则 下列选项正确的是() A.B=骨 B.若D是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为4 C.cosA+cosB+cosC的最大值为 2 D.若点O是△ABC的外心，且BG=BA+BC,c=2,则元= 6 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12、已知(2x4-+4x+ar+ar+at+a,则 (i.4) 的值为一 第1页（共2页） 西浦教有集团外国语高中2025-2026学年 13、已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上一点，以P为圆心，PF为半径的圆交y轴于M,N 两点若W=6,则圆P的半径为 14.切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12)在研究统计规律时发现的，其内 容是：对于任一随机变量X,若其数学期望(X)和方差D(X)均存在，则对任意正实数ε，有 Px-(x<e)≥1-DC”.根据该不等式可以对事件x-B(X)Kε的概率作出估计.在数字通信中，信 号是由数字0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0和1”是等可能的.记发射信号 “1”的次数为随机变量X,为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间(04,0.6)内，估计信号发射 次数n的值至少为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15、(本小题满分13分) 每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机 构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅 读时间t(小时)的频率分布直方图如图所示： (1)求样本学生一个月阅读时间t的中位数m. (2)利用分层抽样从阅读时间在[15,25]的学生选5人参加一个座谈会.现从参加座谈会的5人中随机抽取两 人发言，求[20,25]小组中至少有1人发言的概率. 频率/组距 0.06 0.04 0.031 0.02 0.01f 051015202530时间i小时 16.(本小题满分15分) 如图，在斜三棱柱ABC-AB,C中，AB⊥AC,O为BC的中点，且AO⊥平面ABC,A4=2,AB=AC=√2 A (1)证明：四边形BCCB1为矩形； (2)若点P在线段A8上（异于A点），直线4P与平面APC所成角的正弦值为25 B 术侣的位 夕 高三年级数学科试卷 度第二学期高三年级西浦五模考试 17.(本小题满分15分) 已知圆Cn:(x-2)2+(y-m)=1,n∈N外有一点A(-3,3) (1)当n=2时，过点A作直线1，当直线1与圆C2相切时，求直线1的方程： (2)自点A发出的光线经过x轴反射后与Cn相切，记与Cn相切的两条反射光线所在直线的斜率之积为 ,数列 的前n项和为S,n,求证：Sn<7. 18.（本小题满分17分)已知函数f☒=e3-号区+1)3，x∈[0，+o). (1)求曲线fx)在(1，f(1)处的切线方程： (2)求fx)在[0，+∞)上的单调区间： (3)若x1,8∈[0，+∞)，且x1≠x2,满足f)+f)=号，求证：81+为<2. (参考数据：e=2.71828.) 19（本小愿满分17分》已知4,4为能盟G号若=10<c5)的左，右预点。M为C上的 点，N为双曲线C号芳1上的一-点(M,N两点不同于4，两点)，设直袋AM,4M。 AN,AN的斜率分别为k,k2,k,k4,且k+k3+飞+k=0 (I)设O为坐标原点，证明：O,M,N三点共线： (2)设C、C的右焦点分别为耳、，M、N均在第一象限，直线N?与直线M瓜相交于点P, k+3+3+匠=8 (i)证明：M/W℉； (ii)证明：∠AP耳=∠APF 第2页（共2页)