精品解析：重庆市部分中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

高二数学 命题人：万州第二高级中学校 杨蕊溢 重庆市云阳中学校 贾少军 重庆市忠县中学校 周泽华 重庆市巫山中学校 曹成金 重庆市涪陵实验中学校 黄塑雯 审题人：三方机构 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置． 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3.回答第Ⅱ卷时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. e D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】因为，所以， 根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线的斜率为1. 故选：B 2. 重庆铁路沿线预备设巫山、云阳、万州、忠县、涪陵5个客运站，则铁路部门需要准备的不同的车票种数为（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 120 【答案】B 【解析】 【详解】从5个不同客运站中任选2个分别作为出发站和到达站，对应排列数有种 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用组合数公式计算判断A，应用组合数公式及组合数性质计算判断C，应用排列数个数计算判断B，D. 【详解】，A选项正确； ，所以不成立，B选项错误； ，所以不成立，C选项错误； ，所以不成立，D选项错误. 4. 函数在处取得极小值，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，根据极值点及极值列式计算方程组得出参数即可求解. 【详解】函数的导数为， 由题意得，解得， 当时，， 单调递减，单调递增， 所以是的极小值点，且，符合题意， 所以. 5. 某校高一年级学生的身高（单位：厘米）近似服从正态分布．若规定高一年级学生的身高至少要有160厘米才算达标，现从该校高一年级学生中随机抽取一名学生，则该学生身高达标的概率约为（ ） 附：若随机变量服从正态分布，则． A. 0.6827 B. 0.9545 C. 0.85135 D. 0.84135 【答案】D 【解析】 【分析】应用正态分布概率计算求解. 【详解】由题意可知，身高Y近似服从正态分布 ，所以， 身高至少要有160厘米才算达标，即求， 因为，所以， 根据正态分布的对称性 . 6. 某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间的关系式为，则该弹簧振子在时的瞬时速度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题及导数计算公式可得答案. 【详解】由题可得位移是关于时间的函数，且满足， 则， 则该弹簧振子在时的瞬时速度是 . 7. 某校进行篮球队员选拔，选拔的轮次为两轮，待选人员共10人，每一轮都从待选人员中随机选6人，每一轮选拔都是独立的、互不影响的.记两轮选拔结束后，被选中的总人数为（若两轮中选了相同之人，则只算一个，例如小明两次都被选中，在总人数中只会记录成一人），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由推得两轮恰有4人相同，概率应为. 8. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．多项式函数，其中为杨辉三角第行从左到右的个数（杨辉三角如下图所示），例如当时，，则当时，在处的导数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用组合数公式及二项式展开式化简得出，再求出导函数代入计算求解. 【详解】多项式函数，其中为杨辉三角第行从左到右的个数， 则当时，， 所以， 在处的导数. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 随机变量满足，随机变量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先应用数学期望公式及方差公式计算判断A，C，再应用数学期望及方差性质计算判断B，D. 【详解】随机变量满足， 所以，A选项错误； ，B选项正确； ， ，C选项正确； 所以，D选项错误. 10. 袋子中装有除颜色外其他均相同的2个白球和3个黑球，现从中不放回地抽取两次，每次取1个球，记事件为第次抽到的是白球，为第次抽到的是黑球，为第次抽到的不是白球，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据概率乘法公式、条件概率及贝叶斯公式求解即可. 【详解】对于A，，，所以，A正确. 对于B，，， 故B错误. 对于C，根据贝叶斯公式，故C正确. 对于D，，， ， 所以，故D正确. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若的图象在点处的切线方程为，则 B. 当时，在上单调递增 C. 当时，若有两个零点，且，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】函数的定义域为，且， 设， 对于A，若的图象在点处的切线方程为， 则该切线经过点，且斜率为0，所以 由，得 解得． 再由，得 将代入，得，所以，故A正确． 对于B，当时，. 设，， 又， 所以在上单调递增， 从而在上也单调递增． 当时，， 因此当时，恒有，故在上单调递增，B正确． 对于C，当时，， 定义域为，且. 设，，则， 则在上单调递增． 又，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 下面说明C中的结论不恒成立． 取，则 且 当从右侧趋近于时，，所以， 当，，所以． 结合在上单调递减，在上单调递增，可知此时有两个零点，且 于是 这与 矛盾，所以C错误． 对于D，因为，所以在定义域上单调递增． 若，设在处取得最小值，则 由，得 即， 所以 由，得， 因为，所以， 从而. 因此， 令，构造函数， 则， 设， 所以在上单调递增． 又， 所以在 时取得最小值． 于是， 即 故， D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出导函数，再赋值计算得出，最后得出函数值. 【详解】函数， 所以，令，则， 所以， 则． 13. 据统计，某校有高一、高二、高三共三个年级，喜欢打羽毛球的学生分别占各年级学生的，且这三个年级的学生数之比为，若从该校抽取一名喜欢打羽毛球的学生，则该学生是高二年级学生的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】应用贝叶斯公式及全概率公式计算求解. 【详解】设高一、高二、高三的学生数分别为， 则所求概率为 14. 若对任意， 恒成立，则实数的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】将给定不等式恒等变形，使不等号左右两边结构相同，构造函数，利用函数的单调性化简不等式，再变形并构造函数，借助导数求出最大值即可作答. 【详解】不等式， 令，则， 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，因此，在上单调递增， 则， 令，则， 当时，；当时，， 于是得函数在上单调递增，在上单调递减， 则当时，，即得， 所以实数的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2026年2月28日起国际油价剧烈波动，下表统计了随后7天原油的大致价格. 随后天数 1 2 3 4 5 6 7 油价（美元／桶） 72.5 75.1 78.1 79.0 82.6 84.3 86.8 （1）由上表数据，从①，②两个函数中选一个作为油价关于随后天数的回归模型，判断哪个更适合，不必说明理由，并求出这个更适合的回归模型的回归方程；（最后系数精确到0.1） （2）由（1）得到的回归方程，预测2026年3月8日的原油价格. 参考数据：． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，． 【答案】（1）选择模型①更适合，回归方程为 （2）预测2026年3月8日原油价格约为89.6美元/桶 【解析】 【分析】（1）先应用已知数据判断，再结合已知数据及公式计算及即可求解； （2）代入回归直线计算预测. 【小问1详解】 根据题意，油价的变化比较平缓， 经比较可知，选择①作为油价关于随后天数的回归模型类型最合适； 对， 结合已知数据得， ，所以， 【小问2详解】 令，代入，可得， 所以预测2026年3月8日原油价格约为美元/桶。 16. 已知函数． （1）当时，求在区间上的最小值和最大值； （2）求的单调区间． 【答案】（1）最大值为，最小值为 ； （2）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为。 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据给定得出导函数为负即可得出函数单调性即可求解； （2）先求导，再对进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系即可确定的单调性； 【小问1详解】 ∵，∴， ，∴在上递减， 所以当时取函数的最大值为，当时取函数的最小值为 ； 【小问2详解】 ∵，∴， 当时，恒成立，在上递增， 当时，令得，，∴在上递增， 令得，，∴在上递减． 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为。 17. 已知，二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. （1）展开式中是否存在含的项？若存在，求出的系数；若不存在，说明理由； （2）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1）存在，的系数为 （2）系数最大的项为 【解析】 【分析】（1）根据第4项与第8项的二项式系数相等，列出等式，求出n，再通过二项式展开通项，取的指数为2，求出项数，代入通项中，求出系数即可； （2）设第项的系数最大得，求解即可. 【小问1详解】 存在，因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等， 所以，解得， 则展开式的通项公式为 ， 令，解得，代入通项公式有：， 所以的系数为； 【小问2详解】 设第项的系数最大，故， 即，即， 解得， 因为，所以， 故系数最大的项为. 18. 某科技公司生产的智能设备控制系统由个相同的独立元件组成，每个元件正常工作的概率均为，当控制系统中有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停机.记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. （1）若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，当时，求. （2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为2元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的3倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润为4元，其他产品的利润还是每件2元．记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）． （ⅰ）请用表示； （ⅱ）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，问增加2个元件，单位时间内的利润是否提高？（取计算） 【答案】（1）控制系统中正常工作的元件个数的分布列为： 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， . （2）（ⅰ）（ⅱ）提高了 【解析】 【分析】（1）利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解； （2）（i）先写出在正常运行状态下，单位时间内的利润即可求出期望； （ii）先求出增加元件前的利润期望和增加元件后的利润期望，相除与1作比较判断即可. 【小问1详解】 因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为， 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以， ， ， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为： 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， . 【小问2详解】 （ⅰ）在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的3倍，即件，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润为4元，其他产品的利润还是每件2元， 在正常运行状态下，单位时间内的利润为：（元）， 因为设备正常运行的概率为，所以利润的期望为. （ⅱ）现有控制系统中有5个元件，即，解得， 由（1）可知，根据，可得增加元件前的利润期望为（元）， 增加2个元件后，控制系统由个元件组成，即，解得， 设备正常运行即有不少于4个元件正常工作，可得 ， 根据，可得增加元件后的利润期望为（元）， ，又，， 故单位时间内的利润提高了. 19. 已知函数，其中是自然对数的底数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意 恒成立，求的取值范围； （3）求证：对任意，都有． 【答案】（1） （2） （3）证明：令则 设，则，且． 于是 所以，即 因此，在时单调递减． 又当无限增大时，趋于，所以． 故 令，其中为正整数，得 从到相加，得 又 所以 原不等式得证． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出； （2） 先对求导，再令，求导分情况讨论单调性，进而确定原函数的单调性，结合条件即可求出； （3）构造函数证明单项不等式，再累加并利用对数求和化简． 【小问1详解】 当时，函数，则，， ，故曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由题意得， 令，则，令，解得， 当时，即，在上，单调递增， ，，故在上单调递增， ， 要使恒成立，则，解得， 当时，即，在上，单调递减；在上，单调递增， ， 又，所以时， ， 单调递减， ，不满足恒成立， 综上的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 命题人：万州第二高级中学校 杨蕊溢 重庆市云阳中学校 贾少军 重庆市忠县中学校 周泽华 重庆市巫山中学校 曹成金 重庆市涪陵实验中学校 黄塑雯 审题人：三方机构 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置． 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3.回答第Ⅱ卷时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. e D. 2. 重庆铁路沿线预备设巫山、云阳、万州、忠县、涪陵5个客运站，则铁路部门需要准备的不同的车票种数为（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 120 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数在处取得极小值，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 5. 某校高一年级学生的身高（单位：厘米）近似服从正态分布．若规定高一年级学生的身高至少要有160厘米才算达标，现从该校高一年级学生中随机抽取一名学生，则该学生身高达标的概率约为（ ） 附：若随机变量服从正态分布，则． A. 0.6827 B. 0.9545 C. 0.85135 D. 0.84135 6. 某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间的关系式为，则该弹簧振子在时的瞬时速度是（ ） A. B. C. D. 7. 某校进行篮球队员选拔，选拔的轮次为两轮，待选人员共10人，每一轮都从待选人员中随机选6人，每一轮选拔都是独立的、互不影响的.记两轮选拔结束后，被选中的总人数为（若两轮中选了相同之人，则只算一个，例如小明两次都被选中，在总人数中只会记录成一人），则（ ） A. B. C. D. 8. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．多项式函数，其中为杨辉三角第行从左到右的个数（杨辉三角如下图所示），例如当时，，则当时，在处的导数（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 随机变量满足，随机变量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 袋子中装有除颜色外其他均相同的2个白球和3个黑球，现从中不放回地抽取两次，每次取1个球，记事件为第次抽到的是白球，为第次抽到的是黑球，为第次抽到的不是白球，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若的图象在点处的切线方程为，则 B. 当时，在上单调递增 C. 当时，若有两个零点，且，则 D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数，则______． 13. 据统计，某校有高一、高二、高三共三个年级，喜欢打羽毛球的学生分别占各年级学生的，且这三个年级的学生数之比为，若从该校抽取一名喜欢打羽毛球的学生，则该学生是高二年级学生的概率为______. 14. 若对任意， 恒成立，则实数的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2026年2月28日起国际油价剧烈波动，下表统计了随后7天原油的大致价格. 随后天数 1 2 3 4 5 6 7 油价（美元／桶） 72.5 75.1 78.1 79.0 82.6 84.3 86.8 （1）由上表数据，从①，②两个函数中选一个作为油价关于随后天数的回归模型，判断哪个更适合，不必说明理由，并求出这个更适合的回归模型的回归方程；（最后系数精确到0.1） （2）由（1）得到的回归方程，预测2026年3月8日的原油价格. 参考数据：． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，． 16. 已知函数． （1）当时，求在区间上的最小值和最大值； （2）求的单调区间． 17. 已知，二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. （1）展开式中是否存在含的项？若存在，求出的系数；若不存在，说明理由； （2）求展开式中系数最大的项. 18. 某科技公司生产的智能设备控制系统由个相同的独立元件组成，每个元件正常工作的概率均为，当控制系统中有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停机.记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. （1）若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，当时，求. （2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为2元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的3倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润为4元，其他产品的利润还是每件2元．记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）． （ⅰ）请用表示； （ⅱ）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，问增加2个元件，单位时间内的利润是否提高？（取计算） 19. 已知函数，其中是自然对数的底数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意 恒成立，求的取值范围； （3）求证：对任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $