精品解析：重庆市四川外国语大学附属外国语学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

2025-2026学年度（下）高2027届期中考试 数学试题 （满分150分，120分钟完成） 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分，每题有且仅有一个正确答案） 1. 小李在花盆中种下2粒花卉种子，若每粒种子发芽的概率均为0.8，则这两粒种子至少有1粒发芽的概率为（ ） A. 0.16 B. 0.32 C. 0.64 D. 0.96 2. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 3. 某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在之间的考生约有（ ）（参考数据：若，则有， A. 1359人 B. 1569人 C. 2719人 D. 3409人 4. 在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为X，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 某校组织包含甲在内的8名大学生前往观看足球、篮球、排球三场比赛，每场比赛至少有2名学生观看且每个人只观看一场比赛，甲不看排球，则观看比赛的不同方案种数为（ ） A. 630 B. 1260 C. 1960 D. 3920 6. 某研究小组收集了10组数据，计算得到相关系数，则以下结论最合理的是（ ） A. 与正相关且线性关系很强 B. 与负相关且线性关系很强 C. 与正相关但线性关系很弱 D. 与负相关但线性关系很弱 7. 已知函数则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 甲罐中有2个黑球，5个白球，乙罐中有4个黑球，3个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，事件表示“由甲罐取出的球是黑球”；再从乙罐中随机取出一球，事件表示“由乙罐取出的球是黑球”，则（ ） A. B. C. 事件 与事件相互独立 D. 10. 已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 除以8所得的余数为1 D. 11. （多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 的解集为 C. 对任意，，，都有 D. 若，则 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 某知识过关题库中有，，三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对，，型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为__________ 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____________. 14. 设集合，那么集合A中满足条件“”的元素个数为________ 四、解答题（共5题，共77分，其中15题13分，16、17每题15分，18、19每题17分，请写出必要的解答过程） 15. 随着季节的变化，某种生物的繁殖量也发生变化，某研究员对所在地区该生物2025年1月至5月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值），结果如下表： 月份 1 2 3 4 5 繁殖量/千个 1.5 2 3.5 8 15 （1）据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强，否则认为与线性相关性较弱） （2）利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并计算5月份该生物繁殖量的残差. 参考数据：，，. 参考公式：对于一组数据，其相关系数，其经验回归直线中，，. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 17. 羽毛球运动在我国是非常受大众喜爱的一项运动，但自2023年以来，由于多种原因，羽毛球价格经历多轮上涨，部分高端型号涨幅甚至超过同期黄金涨幅，越来越多的球友直呼快打不起球了．我国某著名体育厂商抓住这个历史机遇推出了人造羽毛球，名为碳音球，这款羽毛球采用碳纤维复合材料替代天然羽毛，其飞行轨迹与击球手感接近天然羽毛球，但价格却只有天然羽毛球的60%到70%，该羽毛球一经上市便引起热烈反响，但舆论对其评价褒贬不一．某市场调查机构调查了男性和女性各100名羽毛球爱好者对碳音球和天然羽毛球的偏好程度，现统计得出样本中偏好碳音球的人数占样本总数的45%，其中偏好碳音球的女性羽毛球爱好者有50人． 偏好碳音球 偏好天然羽毛球 合计 男性 女性 50 合计 200 （1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，并分析是否有90%的把握认为两种羽毛球的偏好与性别有关? （2）现从男性羽毛球爱好者中按对碳音球和天然羽毛球的偏好采用分层抽样的方法抽取10人，然后从这10人中随机抽取3人参加有奖问答，记3人中偏好碳音球的人数为，求的分布列和数学期望． （3）若某羽毛球俱乐部的男女比例为3：2．将样本的频率视为概率，现从该俱乐部中随机抽取一人，已知此人偏好碳音球，求其为男性的概率． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 18. 已知函数，函数，． （1）讨论函数的单调性并求最值； （2）若对，恒成立，求实数a的取值范围； （3）已知，证明： 19. 乒乓球，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目.乒乓球比赛规则为：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.若单局比赛中，甲发球时甲获胜的概率为，乙发球时甲获胜的概率为，已知甲先发球，且各球胜负相互独立. （1）求前4球中甲得3分的概率； （2）求单局比赛中甲以获胜的概率： （3）不考虑比赛是否已提前结束，设打完n个球后甲比乙至少多2分的概率记作，乙比甲至少多2分的概率记作，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（下）高2027届期中考试 数学试题 （满分150分，120分钟完成） 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分，每题有且仅有一个正确答案） 1. 小李在花盆中种下2粒花卉种子，若每粒种子发芽的概率均为0.8，则这两粒种子至少有1粒发芽的概率为（ ） A. 0.16 B. 0.32 C. 0.64 D. 0.96 【答案】D 【解析】 【分析】结合对立事件及独立事件的乘法公式计算即可. 【详解】这两粒种子至少有1粒发芽的概率为． 2. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】函数的定义域为， ， 令，得，所以. 3. 某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在之间的考生约有（ ）（参考数据：若，则有， A. 1359人 B. 1569人 C. 2719人 D. 3409人 【答案】A 【解析】 【详解】由成绩近似服从正态分布，得， 则， 则，所以分数在之间的考生约有1359人. 4. 在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为X，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得服从超几何分布，按照超几何分布的期望公式求得，由期望的线性性质，求得的值. 【详解】易知的可能取值为，且服从超几何分布， 所以， 所以. 5. 某校组织包含甲在内的8名大学生前往观看足球、篮球、排球三场比赛，每场比赛至少有2名学生观看且每个人只观看一场比赛，甲不看排球，则观看比赛的不同方案种数为（ ） A. 630 B. 1260 C. 1960 D. 3920 【答案】C 【解析】 【分析】将8名同学分成三组，然后先给甲所在组安排球赛，再将其余两组全排列，即可得观看比赛的不同方案种数. 【详解】由题意知，8名同学需分成三组，且每组至少两人， 不同的分组方式有种； 先给甲所在组安排球赛，不看排球，有种选法，其余两组全排列，有种方法； 所以观看比赛的不同方案共有种. 6. 某研究小组收集了10组数据，计算得到相关系数，则以下结论最合理的是（ ） A. 与正相关且线性关系很强 B. 与负相关且线性关系很强 C. 与正相关但线性关系很弱 D. 与负相关但线性关系很弱 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以变量与负相关； 因为，非常接近于1，所以相关性很强. 7. 已知函数则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数的定义域为，求导得： 令，解得。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 注意到，且， 又函数在上单调递减，所以，即. 8. 已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先换元将原方程转化为关于的二次方程，求出的解，再结合的单调性、极值分析的根的个数，最终根据总实根为 4 个确定的取值范围. 【详解】因为，所以， 当时，，则函数在上单调递增，且， 当时，，则函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减， ，所以在处取到极大值， 且当时，，则的大致图象为： 由此可得大致图象为： 令，由题意可得则方程可化为， 即，解得或， 原方程有且仅有4个不同的实根， 等价于和对应方程的根的总数为4个， 因为，所以，结合图象， 要使和有且仅有4个根， 则需要满足：且，解得，此时有1个实根，有3个实根，满足题意. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 甲罐中有2个黑球，5个白球，乙罐中有4个黑球，3个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，事件表示“由甲罐取出的球是黑球”；再从乙罐中随机取出一球，事件表示“由乙罐取出的球是黑球”，则（ ） A. B. C. 事件 与事件相互独立 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件概率公式可判断A；由全概率公式可判断B；由独立事件的乘法方式和条件概率公式可判断C；由贝叶斯公式可判断D. 【详解】由题意知，，，故A正确. ，， 所以，故B正确. 若事件 与事件独立，则，又，所以， 而，所以事件 与事件不独立，故C错误. ，故D正确. 10. 已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 除以8所得的余数为1 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据二项式系数公式可得，利用赋值法即可求解AB，根据即可求解C，求导，即可求解D. 【详解】根据题意可知，解得， 故， 对于A，令，则，令，则， 故，故A错误； 对于B，， 所以， 故为负值，为正，且令时，， 因此，B正确； 对于C，，故除以8所得的余数为1，C正确； 对于D，对求导得： ， 令可得，因，故D错误. 11. （多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 的解集为 C. 对任意，，，都有 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导数与极值的关系判断A；对不等式进行化简，结合各因式的正负判断B；根据单调性判断C；代入函数解析式整理可判断D. 【详解】对于A：，令， 则，所以. 当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以在在处取极值，即有两个极值点，A正确. 对于B：. 当时，，，，所以. 当时，，，，所以. 当时，，，，所以. 当时，，，，所以. 所以的解集为，B正确. 对于C：由A知，当时，在上单调递减，在单调递增， 所以当时，若，则，此时，C错误. 对于D：因为，则. ， 满足，D正确. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 某知识过关题库中有，，三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对，，型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即可. 【详解】设小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 小明选1道类试题为事件， 设小明答对试题为事件， 则， 而，，， 由全概率公式得： . 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数在上单调递增，可得在上恒成立，分离参数，得，构造函数和，研究其性质可解. 【详解】根据题意，， 因为函数在上单调递增， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增，即， 所以，即， 设，可知函数在上单调递增，且， 所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 14. 设集合，那么集合A中满足条件“”的元素个数为________ 【答案】16 【解析】 【分析】设四个变量中1的个数为，-1的个数为，由总和为1，得，对可行的值分类讨论，用组合数计算每类元素个数后求和即可. 【详解】设中有个取值为1，个取值为-1， 则剩余个取值为0，其中均为非负整数且满足. 由，得  ，即. 当时，，只需从4个位置中选1个放置1，其余均为0，共有种情况； 当时，，先从4个位置中选2个放置1，再从剩余2个位置中选1个放置-1，最后1个位置为0，共有种情况； 当时，，此时，无符合条件的组合. 综上所述，满足条件的元素总个数为. 四、解答题（共5题，共77分，其中15题13分，16、17每题15分，18、19每题17分，请写出必要的解答过程） 15. 随着季节的变化，某种生物的繁殖量也发生变化，某研究员对所在地区该生物2025年1月至5月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值），结果如下表： 月份 1 2 3 4 5 繁殖量/千个 1.5 2 3.5 8 15 （1）据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强，否则认为与线性相关性较弱） （2）利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并计算5月份该生物繁殖量的残差. 参考数据：，，. 参考公式：对于一组数据，其相关系数，其经验回归直线中，，. 【答案】（1），线性相关性很强 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据相关系数的公式，和题干所给参数，代入公式，求出相关系数，判断相关性强弱. （2）根据回归直线方程参数公式，代入数值，求出回归方程，计算五月的估计值，与实际值作差计算残差即可. 【小问1详解】 由已知得，，， ，， ， 故， 所以与的线性相关性很强. 【小问2详解】 因为，，，， ， 所以， 所以关于的线性回归方程为， 当时，， 所以5月份该生物繁殖量的残差为. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【小问1详解】 当时，，所以 所以切线方程为即， 【小问2详解】 ， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 17. 羽毛球运动在我国是非常受大众喜爱的一项运动，但自2023年以来，由于多种原因，羽毛球价格经历多轮上涨，部分高端型号涨幅甚至超过同期黄金涨幅，越来越多的球友直呼快打不起球了．我国某著名体育厂商抓住这个历史机遇推出了人造羽毛球，名为碳音球，这款羽毛球采用碳纤维复合材料替代天然羽毛，其飞行轨迹与击球手感接近天然羽毛球，但价格却只有天然羽毛球的60%到70%，该羽毛球一经上市便引起热烈反响，但舆论对其评价褒贬不一．某市场调查机构调查了男性和女性各100名羽毛球爱好者对碳音球和天然羽毛球的偏好程度，现统计得出样本中偏好碳音球的人数占样本总数的45%，其中偏好碳音球的女性羽毛球爱好者有50人． 偏好碳音球 偏好天然羽毛球 合计 男性 女性 50 合计 200 （1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，并分析是否有90%的把握认为两种羽毛球的偏好与性别有关? （2）现从男性羽毛球爱好者中按对碳音球和天然羽毛球的偏好采用分层抽样的方法抽取10人，然后从这10人中随机抽取3人参加有奖问答，记3人中偏好碳音球的人数为，求的分布列和数学期望． （3）若某羽毛球俱乐部的男女比例为3：2．将样本的频率视为概率，现从该俱乐部中随机抽取一人，已知此人偏好碳音球，求其为男性的概率． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）表格见解析，没有的把握认为两种羽毛球的偏好与性别有关 （2） 0 1 2 3 （3） 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，即可判断； （2）利用超几何分布的概率公式求出分布列，从而求出数学期望； （3）根据全概率公式及条件概率公式计算可得. 【小问1详解】 依题意可得列联表如下： 偏好碳音球 偏好天然羽毛球 合计 男性 40 60 100 女性 50 50 100 合计 90 110 200 ， 没有的把握认为两种羽毛球的偏好与性别有关． 【小问2详解】 依题意男性羽毛球爱好者偏好碳音球的抽取人， 偏好天然羽毛球的抽取人， 则的可能取值为，，，， 则，， ，， 则的分布列为, 0 1 2 3 所以的数学期望为： ； 【小问3详解】 记事件A为：抽取的人偏好碳音球：事件B为：抽取的人性别为男性， 则， 由全概率公式得， 则，即此人为男性的概率为. 18. 已知函数，函数，． （1）讨论函数的单调性并求最值； （2）若对，恒成立，求实数a的取值范围； （3）已知，证明： 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，最大值为，无最小值. （2） （3）由（2）的结论，对 ，令​​，则.​ 求和得​. 由（1）的结论，对任意，，令，则 . 求和得. 因此. 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导数，根据导函数的符号判断函数的单调性以及最值即可. （2）求出函数导数，分类讨论的取值范围，判断函数单调性，结合题意，即可求得答案； （3）根据前两问得到，，再累加求解即可. 【小问1详解】 函数 的定义域为，. 当时，，则单调递增. 当时，，则单调递减. 当时，. 因此在处取得最大值，最大值，无最小值. 【小问2详解】 函数 ，，. 令，则. 当时，对任意， ，故在单调递增， ，因此在单调递增，，满足条件. 当时，，因为在上单调递增，所以. 因此在单调递减，则，则在上单调递减，，舍去. 当时，， 根据余弦函数的性质，故存在唯一使得 . 则在上单调递减，，则在上单调递减，，舍去. 综上，的取值范围是 . 【小问3详解】 略 19. 乒乓球，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目.乒乓球比赛规则为：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.若单局比赛中，甲发球时甲获胜的概率为，乙发球时甲获胜的概率为，已知甲先发球，且各球胜负相互独立. （1）求前4球中甲得3分的概率； （2）求单局比赛中甲以获胜的概率： （3）不考虑比赛是否已提前结束，设打完n个球后甲比乙至少多2分的概率记作，乙比甲至少多2分的概率记作，证明： 【答案】（1） （2） （3）证明：设表示打完个球后甲的得分减去乙的得分． 一组完整的4球中，甲发2球，乙发2球． 设这一组4球使增加的量为，则的可能取值及对应概率如下： 概率 由表可知，当时，均有． 把前球分成组，每组4球． 若某一种分组结果对应的得分差增加量依次为，则把每一组的增加量都改为相反数，得到另一种分组结果． 当时，由每组概率之间的关系可知，前一种分组结果的概率是后一种分组结果概率的2倍． 所以． 记，，则． 又第球由甲发球，甲赢该球的概率为，甲输该球的概率为． 因为只能取偶数，所以 于是 因为，所以，故． 【解析】 【分析】（1）前4球的发球顺序为甲、甲、乙、乙，按甲输的1球属于甲发球还是乙发球分类计算． （2）甲以获胜，说明前12球甲赢10球，第13球甲获胜；前12球中甲、乙各发6球，按乙赢的2球所在发球方分类计算． （3）把每球结果转化为得分差的变化，先列出一组完整4球后得分差增加量的分布，再比较得分差为2和的概率关系，最后利用第球由甲发球建立等式． 【小问1详解】 前4球中，甲发第1球和第2球，乙发第3球和第4球． 设表示甲在第球获胜的事件，则，． 前4球中甲得3分，等价于甲在4球中恰好赢3球、输1球． 若甲输的1球是甲发球，则概率为 若甲输的1球是乙发球，则概率为 所以前4球中甲得3分的概率为． 【小问2详解】 甲以获胜，说明比赛共打13球，且前12球甲赢10球、乙赢2球，第13球甲获胜．前12球中甲、乙各发6球，第13球由甲发球． 若乙赢的2球均为甲发球，则前12球甲得10分的概率为 若乙赢的2球均为乙发球，则前12球甲得10分的概率为 若乙赢的2球中，一球为甲发球，另一球为乙发球，则前12球甲得10分的概率为 所以前12球甲得10分的概率为 又第13球由甲发球，甲获胜的概率为，所以甲以获胜的概率为 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $