精品解析：重庆市巴蜀教育集团2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

高二数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分共40分，在每小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 函数在处的切线与轴平行，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】函数的定义域为，. 由题意知，，即，解得. 2. 已知变量与变量正相关，样本数据中，，…，和，，…，的均值分别是，，将成对数据按照平移后绘制散点图，关于该散点图说法正确的是（ ） A. 大部分散点位于第一、四象限 B. 大部分散点位于第二、三象限 C. 大部分散点位于第一、三象限 D. 大部分散点位于第二、四象限 【答案】C 【解析】 【详解】因为变量与变量正相关， 所以， 设， 所以， 所以变量与变量正相关，因此大部分散点位于第一、三象限. 3. 等比数列的前项和为，若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】求出，根据与的关系求出数列通项，满足数列通项即可解得实数，验证满足等比数列即可. 【详解】当时，， 当时，. 依题意，时也应该满足，则，解得. 当时，，，满足为等比数列，所以. 4. 随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. 0.8 B. 0.7 C. 0.3 D. 0.2 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布概率密度曲线关于均值对称的性质计算求解. 【详解】已知随机变量服从正态分布，因此其概率密度曲线关于直线对称， 可得. 根据概率的基本性质，总概率为1，因此. 5. 双曲线（，）的左右焦点分别是，，是坐标原点，，两个点在双曲线上满足，，则该双曲线的离心率（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，可推出为直角三角形；再根据，结合双曲线定义，表示出三角形各边的长，利用勾股定理建立等量关系，即可求出离心率. 【详解】解：由题意知，，，， 由，为中点，易知为直角三角形，即， 因为，所以设，则，， 根据双曲线定义可知，，， 所以，，， 在中，由勾股定理可得， 即，化简整理得， 因为，所以. 在中，由勾股定理可得，即， 代入得，，所以，即， 又因为，所以. 6. 若在上单调递增，则实数最大值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，恒成立，可知对任意的，，参变量分离得，构造函数，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为，则， 由题意可知对任意的，恒成立， 因为，故只需对任意的，， 参变量分离可得，构造函数，其中， 则， 令，其中，则， 故函数在上为增函数，所以，即当时，， 由可得，由可得. 所以函数在上递减，在上递增， 所以，故的最大值为. 7. 学校一楼到二楼共有15级台阶，某同学每一步可以走一级或两级台阶，事件表示“用13步走完15级台阶”，事件表示“走楼梯的过程没有连续2步走两级台阶”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设13步中，有x步走两级台阶，有y步走一级台阶， 则，解得，即用13步走完15级台阶，需13步中选2步走两级台阶，11步走一级台阶， 走法数为，即得； 事件表示用13步走完15级台阶且没有连续2步走两级台阶， 即选出的走2级台阶的2步不能相邻，即11步走的一级台阶先排好，产生12个空隙， 选2个空隙插入走2级台阶的2步，走法数为，即， 故. 8. 向量，其中，且，，均为正整数，则满足条件的的个数是（ ） A. 84 B. 56 C. 36 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为计算正整数不定方程（取3到8的整数）的解数之和，利用隔板法求解. 【详解】已知均为正整数，故， 因此的最小取值为，符合约束， 所以的取值范围为， 对于正整数不定方程，根据隔板法，其正整数解的个数为： 当时，解的个数为； 当时，解的个数为； 当时，解的个数为； 当时，解的个数为； 当时，解的个数为； 当时，解的个数为； 将所有解数求和得总个数为，即满足条件的向量的个数为56. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错误选项得0分） 9. 变量与变量有较强的线性相关性，由下列表格得到经验回归方程是，则（ ） 1 2 3 4 5 2 4 5 6 8 A. B. 变量与变量负相关 C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差是 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题考查线性回归方程的性质、相关关系判断、残差计算，核心利用回归直线必过样本中心点求解回归系数，再逐一验证选项即可. 【详解】先计算样本中心点：，. 经验回归直线过样本中心点，代入得，解得. 选项A：由上述计算得，A正确； 选项B：，说明变量与正相关，B错误； 选项C：当时，代入回归方程得，即预测值为11，C正确； 选项D：残差定义为实际值减预测值，当时，，对应实际， 故残差，D正确. 10. 若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（ ） A. B. 二项展开式中存在常数项 C. 二项系数之和与各项系数之和不相等 D. 二项展开式的第9项的系数最大 【答案】B 【解析】 【详解】对A，因为的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大， 所以展开式共有项，所以，错误； 对B，展开式的通项公式为， 令得，即展开式中第5项为常数项，正确； 对C，令可得各项系数和为，二项式系数和为，错误； 对D，第11项的系数为，第9项的系数为， 所以第11项的系数大于第9项的系数，错误. 11. 随机变量，，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项分布的数学期望和方差运算公式，结合数学期望和方差的性质逐一判断即可. 【详解】因为随机变量，，且， 所以或， 当时，， 当时，，所以选项A不正确； 因为， 所以，所以选项B正确； 因为， 所以，所以选项C正确； 当时，， 因为， 所以； 当时，， 因为， 所以， 综上所述：，因此选项D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 等差数列的前项和是，若，则______． 【答案】 42 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求得，再根据等差数列的前项和的性质求解. 【详解】因为等差数列，，所以，故，解得， 所以. 13. 现有五名同学报名参加数学，物理，化学三个兴趣小组讲解员，每个小组至少需要一名同学，每名同学只能报名其中一个小组（每个同学都参加了小组），已知甲同学不参加化学小组，则不同的分配方法数量是________． 【答案】100 【解析】 【分析】先分组，然后将含甲同学的小组分配到数学或物理小组，再分配另外两个小组即可. 【详解】第一步，将五人分成三个小组，各小组人数有和两类情况， 当按照分组时，有种分组方法， 当按照分组时，有， 所以总的分组方法有种； 第二步，将含有甲的小组分到数学或物理兴趣小组，有2种方法； 第三步，将剩余两组分配到另外两个兴趣小组，有种方法. 又分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有种方法. 14. 抛物线：的焦点是，不过原点的直线与抛物线相交于，两点，且，直线与抛物线相交于点，直线与抛物线相交于点，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用得出，再利用三点共线得出，即可求出，代入计算即可. 【详解】由题意得，， 设，其中， 因为，所以， 因为，即， 所以，即， 因为，所以，同理可得，， 则， 故. 四、解答题（本大题共77分，解答题应写出文字说明，证明过程和验算步骤） 15. 为了比较甲，乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取了100名学生，通过测验得到了如下数据：甲校50名学生中有10名数学成绩优秀，乙校50名学生中有15名数学成绩优秀． （1）请将列联表补充完整； 学校 数学成绩 合计 优秀 不优秀 甲校 10 乙校 15 合计 100 （2）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异． （3）用甲校数学成绩样本的优秀率作为甲校数学成绩总体的优秀率，估计甲校的3名学生中恰好有两名学生数学成绩优秀的概率． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 学校 数学成绩 合计 优秀 不优秀 甲校 10 40 50 乙校 15 35 50 合计 25 75 100 （2）不能据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意完成列联表， （2）结合零假设、卡方公式进行运算求解判断即可； （3）利用二项分布求解即可. 【小问1详解】 由已知，列联表如下： 单位：人 学校 数学成绩 合计 优秀 不优秀 甲校 10 40 50 乙校 15 35 50 合计 25 75 100 【小问2详解】 零假设为：两校学生的数学成绩优秀率无差异. 根据列联表数据，计算得到 . 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此不拒绝原假设，即不能认为两校学生的数学成绩优秀率有差异. 【小问3详解】 甲校数学成绩样本的优秀率为，作为甲校数学成绩总体的优秀率， 设甲校的3名学生中成绩优秀的人数为，则， 所求概率为. 16. 数列满足，，且． （1）证明是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对给定递推式变形构造目标数列证明其为等比数列； （2）利用(1)中等比数列结论构造等差数列求出通项即可； （3）根据通项等差乘等比的结构用错位相减法求前n项和. 【小问1详解】 已知 ， 移项可得 ， 又 ，，则 ， 因此 为常数， 故 是首项为3，公比为3的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得 ， 两边同除以得， 因此是首项为，公差为的等差数列， 故，即知. 【小问3详解】 由（2）知， 所以 ，① 两边同乘3得 ，② ①-②得： ， ， 所以  ， 解得. 17. 椭圆：（）的焦点分别为，，上顶点是，是面积为的等边三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆相交于，两点，且，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）设，根据得出坐标关系，代入椭圆方程中求出，根据求解. 【小问1详解】 由题意得，，，， 得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设， 由且可知， 则，得，即， 由，得，得， 即， 即，即，得， 因为，所以， 故实数的取值范围为. 18. 函数，存在两个不同的零点，（）（其中是自然对数的底数）． （1）求实数的取值范围； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据题干两个零点条件，可知函数的极小值需小于0才能满足条件，利用导数求出极小值，列出不等关系，求解即可； （2）根据，为两个不同的零点，建立，等量关系；再根据两个不等式构造相应的两个函数，利用导数研究函数的单调性，即可得出证明. 【小问1详解】 解：由题意知，函数的定义域为，则， 当时，，在上单调递增， 因此最多存在一个零点，不合题意； 当时，令，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增，所以在处取极小值，即， 又因为存在两个不同的零点，所以当时，才能符合题意， 即，又，所以，解得， 因此，当存在两个不同的零点时，实数的取值范围为. 【小问2详解】 证明：由，为两个不同的零点，则， 即，，则，， 所以，化简得，令，则， 因为，所以，所以，即， 因此，两边取对数得，所以，则， 所以. 要证，需证，即， 令，则， ，所以单调递增，即， 因此单调递增，所以，即，所以； 要证，需证， 由（1）知在处取极小值，且，所以，则， 又在上单调递增，所以只需证明， 因为，只需证， 令， 则， 所以在上单调递增，则， 所以，即，又， 所以， 又因为，都在的单调递增区间上，所以， 即，因此原不等式得证. 19. 现有两个不透明的，箱子装有大小质地一样，只有颜色不同的若干小球，其中箱子中装有2个红球，1个白球，箱子中装有3个红球，3个白球．先从箱子采取不放回的方式依次取球，当箱子内的小球颜色只剩一种时，停止从箱子取球，并将箱子剩余的球混入箱子后再从箱中采取不放回的方式依次取球，当箱子内的小球颜色只剩一种时，停止从箱子取球，记为停止从箱子取球时，箱子内剩余的白球个数． （1）停止从箱子取球时箱子恰好剩一个球的概率； （2）停止从箱子取球时箱子不剩红球的概率； （3）求的分布列． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）按取球规则，需第一次取红球，则可以发生停止从箱子取球时箱子恰好剩一个球； （2）利用全概率公式求解； （3）先列出箱球的情况，再对应求箱子内剩余的白球个数对应的概率，最后列分布列. 【小问1详解】 A箱原有2红1白共3个球：若第一次取出白球，A箱剩余2个红球， 只剩同色，停止取球，剩余2个球； 若第一次取出红球（概率为），A箱剩余1红1白，两种颜色都存在，需继续取球， 取1次后剩余1个球，停止，因此恰好剩1个球的概率为； 【小问2详解】 先分析A箱停止后的所有可能结果，概率分别为： 剩2个红球时：此时概率 ​，混入B箱后，B箱有5红球3白球； 剩1个红球：此时概率 ​，混入B箱后，B箱有4红球3白球； 剩1个白球：此时概率，混入B箱后，B箱有3红球4白球； B箱不剩红球等价于红球先被全部取完，剩余全为白球， 由排列的等可能性，该事件概率等于最后一个球是白球的概率，即白球数除以总球数， 即对R个红球W个白球，红球先取完（停止后不剩红球）等价于所有排列最后一个是白球，每个球等可能在最后一位，概率为； 由全概率公式可得停止从箱子取球时箱子不剩红球的概率 ； 【小问3详解】 A 箱三种情况 剩2红：，并入B：5 红 3 白 剩1红：，并入B：4 红 3 白 剩1白：，并入B：3 红 4 白 B 箱条件概率 5红3白： ，，，， 4红3白： ， ，，， 3红4 白：，，，，， 综上所述，的可能取值是0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 所以的分布列是 0 1 2 3 4 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分共40分，在每小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 函数在处的切线与轴平行，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 已知变量与变量正相关，样本数据中，，…，和，，…，的均值分别是，，将成对数据按照平移后绘制散点图，关于该散点图说法正确的是（ ） A. 大部分散点位于第一、四象限 B. 大部分散点位于第二、三象限 C. 大部分散点位于第一、三象限 D. 大部分散点位于第二、四象限 3. 等比数列的前项和为，若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 4. 随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. 0.8 B. 0.7 C. 0.3 D. 0.2 5. 双曲线（，）的左右焦点分别是，，是坐标原点，，两个点在双曲线上满足，，则该双曲线的离心率（ ） A. B. 2 C. D. 6. 若在上单调递增，则实数最大值是（ ） A. B. C. 1 D. 7. 学校一楼到二楼共有15级台阶，某同学每一步可以走一级或两级台阶，事件表示“用13步走完15级台阶”，事件表示“走楼梯的过程没有连续2步走两级台阶”，则（ ） A. B. C. D. 8. 向量，其中，且，，均为正整数，则满足条件的的个数是（ ） A. 84 B. 56 C. 36 D. 21 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错误选项得0分） 9. 变量与变量有较强的线性相关性，由下列表格得到经验回归方程是，则（ ） 1 2 3 4 5 2 4 5 6 8 A. B. 变量与变量负相关 C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差是 10. 若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（ ） A. B. 二项展开式中存在常数项 C. 二项系数之和与各项系数之和不相等 D. 二项展开式的第9项的系数最大 11. 随机变量，，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 等差数列的前项和是，若，则______． 13. 现有五名同学报名参加数学，物理，化学三个兴趣小组讲解员，每个小组至少需要一名同学，每名同学只能报名其中一个小组（每个同学都参加了小组），已知甲同学不参加化学小组，则不同的分配方法数量是________． 14. 抛物线：的焦点是，不过原点的直线与抛物线相交于，两点，且，直线与抛物线相交于点，直线与抛物线相交于点，则________． 四、解答题（本大题共77分，解答题应写出文字说明，证明过程和验算步骤） 15. 为了比较甲，乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取了100名学生，通过测验得到了如下数据：甲校50名学生中有10名数学成绩优秀，乙校50名学生中有15名数学成绩优秀． （1）请将列联表补充完整； 学校 数学成绩 合计 优秀 不优秀 甲校 10 乙校 15 合计 100 （2）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异． （3）用甲校数学成绩样本的优秀率作为甲校数学成绩总体的优秀率，估计甲校的3名学生中恰好有两名学生数学成绩优秀的概率． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 数列满足，，且． （1）证明是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和． 17. 椭圆：（）的焦点分别为，，上顶点是，是面积为的等边三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆相交于，两点，且，求实数的取值范围． 18. 函数，存在两个不同的零点，（）（其中是自然对数的底数）． （1）求实数的取值范围； （2）证明：． 19. 现有两个不透明的，箱子装有大小质地一样，只有颜色不同的若干小球，其中箱子中装有2个红球，1个白球，箱子中装有3个红球，3个白球．先从箱子采取不放回的方式依次取球，当箱子内的小球颜色只剩一种时，停止从箱子取球，并将箱子剩余的球混入箱子后再从箱中采取不放回的方式依次取球，当箱子内的小球颜色只剩一种时，停止从箱子取球，记为停止从箱子取球时，箱子内剩余的白球个数． （1）停止从箱子取球时箱子恰好剩一个球的概率； （2）停止从箱子取球时箱子不剩红球的概率； （3）求的分布列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $