精品解析：2026年庆市第十八中学九年级中考二诊考试数学试卷

2026年重庆十八中第二次中考二模九年级数学试题 一、单选题（每小题各4分，总共40分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 3.14 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据无理数的定义判断，先化简各选项，再依据无理数是无限不循环小数的性质进行筛选即可得到答案． 【详解】解：A、，是整数，属于有理数； B、开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数； C、是有限小数，属于有理数； D、是分数，属于有理数． 2. 请选出下列不同学科的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 3. 为了解某校初中学生的周末学习情况，以下样本最具代表性的是（ ） A. 从某校区随机抽取50名学生 B. 从各个年级每班随机抽取5名学生 C. 从艺术特长生中随机抽取50名学生 D. 从毕业年级随机抽取一个班的学生 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抽样调查样本的代表性，判断标准是样本需覆盖总体各部分，能全面反映总体的特征，不存在偏向性的样本才具备代表性，本题总体为某校全体初中学生． 【详解】解：∵ 抽样调查的样本需要具有广泛性和代表性，能够反映总体的真实情况，本题总体是某校全体初中学生， ∴ A仅抽取某校区的学生，C仅抽取艺术特长生，D仅抽取毕业年级一个班的学生，样本都只覆盖总体的特定部分，存在偏向性，不具备代表性； B从各个年级每班随机抽取学生，样本覆盖全校各年级不同班级，能够反映全体初中学生的周末学习情况，因此样本最具代表性．故选B． 4. 已知反比例函数图像经过点，下列各点一定在该函数图像上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，先根据已知点求出比例系数，得到表达式后，将横坐标代入，求解出纵坐标后得到正确选项． 【详解】解：设反比例函数解析式为 ∵ 图像经过点 ∴ ， ， 将代入，得， 在函数图像上． 5. 如图，在中，是直径，点、在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧或等弧所对的圆周角相等求出，再结合直径所对的圆周角是直角求出． 【详解】解：和所对的弧都是弧， ， 所对的是直径， ， ． 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（ ） A. 15 B. 10 C. 40 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形的性质可知，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比，进而求出的长，最后根据计算即可． 【详解】解：与是位似图形，  ，  ，  相似比为，即，  ，  ，  ． 故选：B． 7. 用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了根木棍，第②个图案用了根木棍，第③个图案用了根木棍，第④个图案用了根木棍，⋯⋯，按此规律排列下去，则第⑧个图案用了木棍数量是（ ） A. 26根 B. 29根 C. 31根 D. 32根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律．通过观察图形及数据，发现每增加一个图案，木棍数量增加3根，从而归纳出第个图案的木棍数量公式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：由题意及图形可知：第①个图案用了根木棍，即； 第②个图案用了根木棍，即； 第③个图案用了根木棍，即； 第④个图案用了根木棍，即； 依次类推得第个图案用的木棍根数是； 当时，（根） 8. 2026年油价突涨，以“98号”汽油为例，某加油站3月份收入为8.25万元，加油站5月份收入为16.17万元，若每个月涨价的百分率相同，则每个月收入的平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设每个月收入的平均增长率为，根据3月和5月的收入关系列方程求解，舍去不符合题意的负根即可得到结果． 【详解】解：设每个月收入的平均增长率为， 由题意得，， 解得，（舍去）， 因此每个月收入的平均增长率为． 9. 如图，在边长为6的正方形中，为对角线上一点，延长线交边于点，已知，再过作于，连接．在上，且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明，则可得，证明，可得，设，则，利用解直角三角形和勾股定理即可得到和，即可解答，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键． 【详解】解：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， ， ， 则， ， ， ， 10. 已知整式，其中、为正整数，，…，，均为整数，若满足，，下列说法：①当整式是二次二项式时，关于的方程（为常数）有两个不同的实数根，则的取值范围为；②当时，满足条件的所有整式和为；③当时，满足条件的整式共有6个．其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】分别对三个说法逐一验证，①根据二次二项式定义确定M，用一元二次方程根的判别式判断k的范围；②n=3时列举所有符合条件的整式，求和后验证；③分n的不同取值，枚举满足 的整式，统计个数验证． 【详解】解： 验证①：∵整式是二次二项式， ∴，代入 得， 又∵ ，且均为整数，可得所有整数组合为 ， ∵是二次二项式，仅两项非零， ∴只有 符合，即，方程整理为 ，方程有两个不同实根，则 ，解得，与①中不符，故①错误． 验证②：当时，代入条件得， 又∵ ， 枚举得所有符合条件的整式为： ， ， ， ， ， 求和得： ，故②正确． 验证③：当 时，由条件得中间系数和 ，分情况讨论：： ，无符合条件的整式； ：得，符合条件的整式共2个； ：得，符合条件的整式共3个； ：得 ，符合条件的整式共1个； ：最小总系数和超过6，无符合条件的整式； 综上，满足条件的整式共个，故③正确． 综上，正确的说法共2个． 二、填空题（每小题各4分，总共24分） 11. 一只不透明的袋子中装有3个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单古典概型概率计算问题，核心是准确区分目标事件的结果数和总结果数，确保无重复、无遗漏计算． 袋子中总球数为个，红球有2个，根据概率的定义即可求解． 【详解】解：袋子中总球数为个，红球有2个， 因此摸到红球的概率为． 故答案为：． 12. 如图，，若，，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平角的定义求，再根据平行线的性质得，最后根据 三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 13. 若为正整数，且满足，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用二次根式的乘法法则化简原式，再估算化简后结果的范围，即可得到正整数的值． 【详解】解：. ， ， 不等式两边同时加得 ，即． 为正整数，且满足 ， ， 故答案为． 14. 若实数，满足，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查绝对值的性质与方程的求解，先根据已知方程用y表示x，代入含绝对值的方程，再根据绝对值的性质分类讨论去绝对值符号，求出，的值后，代入计算结果． 【详解】解：由移项得， 将代入，得： ， 整理得， 由绝对值的非负性得， 解得， 分两种情况讨论：当，即时， 原方程可化为 ， 移项合并同类项得，解得 ， 将代入，得， 则； 当，即时，原方程可化为， 整理得，等式不成立，此情况无解， 综上，，故答案为． 15. 如图，在中，为的直径，弦于点，连接，．直线与相切于点，于点，交于点，交于点．若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】设的半径为r，则，，根据垂径定理可得，在中，利用勾股定理可得r的值，可求出的值，从而得到，连接，过点D作于点K，设交于点L，再利用勾股定理可得，，再结合切线的性质可得，再由，可得，，根据，可得，则． 【详解】解：设的半径为r，则，， ∵为的直径，弦，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ∴， 如图，连接，过点D作于点K，设交于点L， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴，即， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 16. 一个四位自然数的各个数位的数字互不相等且均不为0，若千位数字与个位数字的差等于十位数字与百位数字的差，则称其为“凌跃数”．将的千位与个位数字调换位置，百位与十位数字调换位置，得到新的数，记，则_____，若“凌跃数”（，，，均为整数，且，，，），记的各个数位上的数字之和为，若为完全平方数，且为整数，则满足条件的所有的值之和为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据新定义直接得出的值，根据，分别求得的值，设千位，百位，十位，个位，得出，根据为完全平方数，得出，则，根据为整数，得出为整数，结合，且各个数位上的数字互不相等，得出，或，，进一步计算，即可求解． 【详解】解：，调换后，则： 已知（，，，均为整数，且，，，）， 若， ∴， 十位为，不符合各个数位的数字均不为0的要求，舍去； 若， ∴， 设千位，百位，十位，个位，满足，，均不为0． 凌跃数满足，即 对任意四位数，调换后， ∵ ∴ ∴ ∴ ，， 范围内的完全平方数只有， ∴ ∴ ∵为整数， ∴， ∴ ，即为整数， 又∵各个数位上的数字互不相等， 当，时，各个数位上的数字为 ，符合条件，； 当，时，各个数位上的数字为 ，符合条件，； 所有满足条件的的和为． 三、解答题（17、18题各8分，其余题目各10分，总共86分） 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 解：解不等式①，得：__________________； 解不等式②，得：__________________； 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： ∴该不等式组的解集为：__________________， ∴该不等式组的整数解为：__________________． 【答案】解：， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： ∴该不等式组的解集为：， ∴该不等式组的整数解为． 【解析】 【详解】略 18. 学习过程中，轩轩发现：四边形是平行四边形，平分交于点，若过点作的垂线，交于点，交于点，连接，则必有四边形为菱形．为验证此规律的正确性，轩轩的思路：在图中，过点作的垂线，再通过证明全等得出结论，请完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规在图的基础上过点作的垂线，交于点，交于点，再连接．（只保留作图痕迹） （2）求证：四边形为菱形（请补全下列过程）． 证明：四边形是平行四边形， ， ①， 平分， ， ②， ． ， 在和中 ，， ， ③． 又， ④． 又， 四边形是菱形 【答案】（1）作图如下： 的垂线即为所作 （2）①，②，③，④四边形是平行四边形 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，作垂线（尺规作图），全等三角形的判定与性质等知识． （1）以点D为圆心，以合适长度为半径画弧，并交于于点H、G，再分别以点H、G为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长，交于点M，交于点N，连接； （2）根据题干的思路作答即可． 【小问1详解】 作图见答案； 【小问2详解】 解析略 19. 某银行为了解客户等候时长，从甲、乙两个网点各随机抽取20名客户，调查了他们办理业务的排队时间（单位：分钟），随后进行整理、分析（时间用表示，并分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 甲网点20名客户排队时间为：6，10，15，18，25，26，28，30，31，31，31，32，35，36，38，40，46，51，54，55． 乙网点20名客户排队时间在B组中的数据是：32，35，36，31，32，40，42，38． 在扇形统计图中，A组数据所对圆心角度数为． 甲、乙两网点抽取客户排队时间统计表 甲网点 乙网点 平均数 31.9 31.9 众数 32 中位数 31 乙网点抽取客户排队时间扇形统计图 （1）填空_____，____，____； （2）根据以上数据，你认为甲、乙两个网点哪个网点办理业务更快捷？请说明理由（写出一条即可）； （3）若一周内，在甲网点办理业务的客户为700名，在乙网点办理业务的客户为960名，根据以上信息，估计这周内在两个网点办理业务排队时间不超过30分钟的客户共有多少名？ 【答案】（1），， （2）甲网点办理业务更快捷，理由：在平均等待时间相同的情况下，甲网点等待时间中的中位数比乙网点相应的数据小，说明一半的客户排队时间比乙网点短 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义作答即可；先根据乙网点B组的数据个数，求出其占比，再根据A组数据在扇形统计图中的圆心角度数求出其占比，即可求出m；先将乙网点B组的数据从小到大依次排列，将根据四个组的占比确定中位数的位置即可求解； （2）比较两个网点的众数、中位数即可判断； （3）先分别求出两个网点办理业务排队时间不超过30分钟的客户的人数，再二者相加即可作答． 【小问1详解】 解：甲网点20名客户排队时间中，数据出现次数最多的为：31，即， 乙网点B组的数据个数为8个，则其占比为：， ∵A组数据所对圆心角度数为， ∴A组数据占比为：， ∴，即， 乙网点D组的数据从小到大排列为：31，32，32，35，36，38，40，42． 根据占比可知：乙网点D组的数据个数为：（个），乙网点C组的数据个数为：（个），乙网点A组的数据个数为：（个）， 乙网点的20个数据依次排列：D组3个数、C组4个数、31，32，32，35，36，38，40，42、A组5个数， 根据中位数定义可得：； 【小问2详解】 解析略 【小问3详解】 甲网点办理业务排队时间不超过30分钟的客户的人数：（人）， 乙网点办理业务排队时间不超过30分钟的客户的人数：（人）， 则两个网点办理业务排队时间不超过30分钟的客户共有：（人）． 【点睛】题目的易错点在第三小问，错误做法：将甲乙两个网点的样本合并求出其排队等待不超过30分钟的客户的占比，再乘以到两个网点办理业务的总人数． 此类题目必须先分别求出两个样本各自的占比，再乘以各自对应的总体，再相加． 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】利用整式和分式的运算法则先进行化简，再求出的值，然后把的值代入到化简后的结果中计算即可求解． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式 ． 21. 近日一种名为“娜塔莎”的小玩偶爆火，某商家第一次用3300元购进一批玩偶，深受顾客喜爱，很快售完．紧接着又用4000元购进第二批，第一次购进每个玩偶的价格是第二次的倍，且第二次比第一次多购进200个． （1）求第二次购进玩偶的价格； （2）商家把第二次购进的玩偶以每个15元的价格进行销售，当售出时，决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于7008元，则剩余的玩偶每个售价至少要多少元？ 【答案】（1）第二次购进玩偶的价格为每个5元 （2）剩余的玩偶每个售价至少为8.8元 【解析】 【分析】（1）设第二次购进玩偶的价格为每个x元，则第一次购进每个玩偶的价格是每个元，根据第二次比第一次多购进200个列方程求解即可； （2）可求得第二次购进玩偶800个，设剩余的玩偶每个售价为y元，根据第二次的销售利润不低于7008元列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设第二次购进玩偶的价格为每个x元，则第一次购进每个玩偶的价格是每个元， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的根，且符合题意， 答：第二次购进玩偶的价格为每个5元． 【小问2详解】 解：第二次购进玩偶（个）， 设剩余的玩偶每个售价为y元， 根据题意，得， 解得， 答：剩余的玩偶每个售价至少要元． 22. 在矩形中，，，点为的中点，动点以每秒1个单位的速度从点沿折线运动，同时动点以每秒2个单位的速度沿折线运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接，，．设运动时间为秒，的面积为，的面积与点的运动路程之比为． （1）请直接写出、分别关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2） 函数的最大值为6 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、矩形的性质等知识． （1）先求出，先确定当点P移动至点B时，点Q的位置，分类讨论：当时，画出图形，即可求解；当时，根据，即可求解；根据运动特点，可知点的运动路程为，的面积与点的运动路程之比可求解； （2）根据（1）中的函数关系式画出函数图象，再根据函数图象总结性质即可； （3）数形结合即可作答． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，，，点为的中点， ∴，， 当点P移动至点B时，运动时间为：秒，此时点Q运动的距离为：， 即此时点Q刚好运动至点D， 当时，如图， 根据运动的特点可知：， ∴的面积为， 当时，如图， 根据运动的特点可知：，， ∴，， ∴， ∵， ∴的面积为， 即， 综上：， 根据运动特点，可知点的运动路程为， ∵， ∴的面积与点的运动路程之比； 【小问2详解】 解：画函数图略； 根据函数图象可知：当时，有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：如图， 结合图象可知：当时，． 精确计算如下： 结合图象有：在时，， 当时，令：， 即， 解得：， ∴当时，． 23. 文旅局举办“盛春赏景”打卡活动，以鼓励市民多进行室外运动，参加此次活动的斐斐同学将园博园路线绘制如下：打卡点在打卡点的正南方向米处；打卡点在打卡点的北偏西方向；打卡点在打卡点的正东方，同时在的东南方向；打卡点在的正北方米处，且恰好位于的北偏东方向．（参考数据：，，） （1）求打卡点、之间的距离；（结果保留整数） （2）打卡活动中，小郭从打卡点出发，沿线段向匀速奔跑；小周从打卡点出发，沿某方向匀速直线奔跑．两人同时出发，小郭与小周的速度之比为，并在线段上某处相遇．当两人相遇时，小郭跑了多少米？（结果精确到） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）过点B作，交于点N，交于点J，过点C作，交于点M，过点N作于点L，过点A作于点H，在上取一点G，连接，使得，设，先证明，同理根据等角对等边可证明：，再证明四边形、四边形、四边形也是矩形，利用矩形的性质获得相等的线段，再利用直角三角形的知识在直角三角形中表示出、，进而有，根据，列方程，解方程即可求解； （2）设二者在V点相遇，过点V作于点R，利用表示出、，根据相同时间内行走的距离之比等于速度之比，得，在中，，据此列方程即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点B作，交于点N，交于点J，过点C作，交于点M，过点N作于点L，过点A作于点H，在上取一点G，连接，使得， 设， 根据方向角的描述可知：，，，， ∵，点在打卡点的正东方，， ∴，， ∴根据方向角描述：， ∵， ∴， ∴，即， 同理根据等角对等边可证明：， ∵，，， ∴四边形是矩形， 同理可证明：四边形 、四边形也是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴，， ∵在矩形中，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ，， ∴， ∵ ，， ∴ ， 解得，即， ∵，， ∴在中， （米）； 【小问2详解】 根据（1）可得：， ∴在中，， 如图，设二者在V点相遇，过点V作于点R， ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵小郭与小周的速度之比为， ∴根据相同时间内行走的距离之比等于速度之比，得， 即 ， ∵在中，， ∴， 解得： （米）（ ，不符合题意，舍去）， 答：当两人相遇时，小郭跑了米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，理清题中各个角度的关系，注意解答时不能先入为主的直接在给出的图形上作辅助线解答． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是直线下方抛物线上的一动点，过点作于点．点，分别是抛物线对称轴、轴上的动点，连接、、．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点与点关于新抛物线的对称轴对称，过点作轴于点，作点为新抛物线上一点，连接，，，．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）和 【解析】 【分析】（1）代入可得一个关于a、b的关系式，再根据对称轴又可得另一个关于a、b的关系式，问题即可作答； （2）先求出B、C点坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式，根据，可得线段长度为点P到直线的距离，将直线沿y轴向下平移至与抛物线相切时，且切点为点P，此时点P到直线的距离最大，设直线沿y轴向下平移m个单位时与抛物线相切，此时平移后的直线的解析式为：，将其与抛物线解析式联立，根据相切，方程有两个相同的解，根据一元二次方程的判别式为0可求出m的值，再反代入m的值，解一元二次方程即可求出切点P的坐标，进而可得点关于y轴的对称点为的坐标，即，当点R、F、E、B四点共线时，此时最短，问题随之得解； （3）先求的解析式，延长至点V使得，过点V作轴于点X，证明，可求出、，即抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，可变为：抛物线沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移个单位得到新抛物线，即可求出的解析式，进而可确定坐标；再证明，过点A作于点Z，连接，求出，即有；分类讨论，当点Q在下方时，过点M作，交的延长线于点H，过点H作，交延长线于点G，先确定点G的坐标，进而确定的坐标，再利用待定系数法可得直线的解析式，与的解析式联立即可求出的坐标；当点Q在上方时，过点M作，交的延长线于点H，过点H作，交延长线于点G，同理可解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即：， 将代入，解得：， ∴， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 当时，，即， 当时，， 解得：或者， 即， ∵，， ∵设直线的解析式为：， ∴，解得， ∴设直线的解析式为：， ∵， ∴线段长度为点P到直线的距离， 将直线沿y轴向下平移至与抛物线相切时，且切点为点P，此时点P到直线的距离最大， 即此时长度取最大值， 设直线沿y轴向下平移m个单位时与抛物线相切，此时平移后的直线的解析式为：， 令：，整理：， ∵相切， ∴方程有两个相同的解， ∴，解得， 此时平移后的直线的解析式为：， 令， 解得，则， ∴， ∴点关于y轴的对称点为， 即， ∴， 当点R、F、E、B四点共线时，此时最短， ∵，， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 ∵，，， ∴，，，， 同理，， 延长至点V使得，过点V作轴于点X，如图， 即有：， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，可变为：抛物线沿x轴向右平移1个单位，再沿y轴向下平移3个单位得到新抛物线， ∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为：， ∵点与点关于新抛物线的对称轴对称， ∴，即：， ∴， ∵轴于点N， ∴，即点N与点B重合， ∴， 如图，过点A作于点Z，连接， ∵，， ∴， ∵，，，， ∴， ∴根据，可知四边形是正方形，即有， ∵， ∴， 同理可求得：， ∴，， ∴， 即； 当点Q在下方时，过点M作，交的延长线于点H，过点H作，交延长线于点G，如图， ∵，，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 结合，可知是等腰直角三角形， ∴，则， 再结合轴，， ∵轴，， ∴轴，则轴， ∵，， ∴， 利用待定系数法可得直线的解析式为：， 联立：，解得：，（，此解不满足点Q在下方，舍去）， ∴； 当点Q在上方时，过点M作，交的延长线于点H，过点H作，交延长线于点G，如图， 同理可证是等腰直角三角形， ∴，则， 再结合轴，， ∵轴，， ∴轴，则轴， ∵，， ∴， 利用待定系数法可得直线的解析式为：， 联立：，解得：，（，此解不满足点Q在上方，舍去）， ∴； 综上所述：满足条件的的横坐标为：和． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定义与性质，解直角三角形，一元二次方程以及抛物线的平移等知识，问题的难点在第三问，将，转化为是解答本题的关键．解答时需注意：不能因为有相等的边和相等的角就想当然的去构造全等三角形，再利用勾股定理表示出相应的边长，接着根据全等中对应的边的长度相等列方程． 25. 如图，在中，点是边上一点（不与端点重合），连接． （1）如图1，，，线段的垂直平分线交于点，连接，若，求的度数； （2）如图2，若点是的中点，将线段绕点逆时针旋转至，使得，连接．以为斜边在上方作，且满足，连接，交的延长线于点．用等式表示线段、、的数量关系并证明； （3）如图3，，，，点是的中点，点是直线上一动点，连接，，将绕点顺时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质结合等腰三角形底角相等，以及三角形内角和定理即可求出； （2）延长构造，结合直角三角形斜边中线等性质，导出，从而得到，最后即可得出； （3）先确定点M的轨迹为直线，又注意到线段到的几何变换为绕点D逆时针旋转并且放大倍，因此构造辅助线得出点H轨迹为直线，结合锐角三角函数与勾股定理计算得出取最小值时，再根据三角形三边关系确定的最大值，即可求解出答案为． 【小问1详解】 解：设， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 故． 【小问2详解】 解：如图，延长至点H，使得，连接、， 在与中， ， ， ，， D为的中点， 在中，，， ， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，过点D作，在上取点F，使得，连接、、、， ，， ， ，， ， 与均为等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， 点在直线上， 当时，取得最小值， 点为中点，， ， ，， ，， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ，， ， 在中，， 当且仅当点D、A、三点共线时取得最大值， 最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年重庆十八中第二次中考二模九年级数学试题 一、单选题（每小题各4分，总共40分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 3.14 D. 2. 请选出下列不同学科的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 为了解某校初中学生的周末学习情况，以下样本最具代表性的是（ ） A. 从某校区随机抽取50名学生 B. 从各个年级每班随机抽取5名学生 C. 从艺术特长生中随机抽取50名学生 D. 从毕业年级随机抽取一个班的学生 4. 已知反比例函数图像经过点，下列各点一定在该函数图像上的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是直径，点、在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（ ） A. 15 B. 10 C. 40 D. 45 7. 用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了根木棍，第②个图案用了根木棍，第③个图案用了根木棍，第④个图案用了根木棍，⋯⋯，按此规律排列下去，则第⑧个图案用了木棍数量是（ ） A. 26根 B. 29根 C. 31根 D. 32根 8. 2026年油价突涨，以“98号”汽油为例，某加油站3月份收入为8.25万元，加油站5月份收入为16.17万元，若每个月涨价的百分率相同，则每个月收入的平均增长率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为6的正方形中，为对角线上一点，延长线交边于点，已知，再过作于，连接．在上，且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 已知整式，其中、为正整数，，…，，均为整数，若满足，，下列说法：①当整式是二次二项式时，关于的方程（为常数）有两个不同的实数根，则的取值范围为；②当时，满足条件的所有整式和为；③当时，满足条件的整式共有6个．其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（每小题各4分，总共24分） 11. 一只不透明的袋子中装有3个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是_____． 12. 如图，，若，，则的度数为_____． 13. 若为正整数，且满足，则_____． 14. 若实数，满足，，则的值为_____． 15. 如图，在中，为的直径，弦于点，连接，．直线与相切于点，于点，交于点，交于点．若，，则_____． 16. 一个四位自然数的各个数位的数字互不相等且均不为0，若千位数字与个位数字的差等于十位数字与百位数字的差，则称其为“凌跃数”．将的千位与个位数字调换位置，百位与十位数字调换位置，得到新的数，记，则_____，若“凌跃数”（，，，均为整数，且，，，），记的各个数位上的数字之和为，若为完全平方数，且为整数，则满足条件的所有的值之和为________． 三、解答题（17、18题各8分，其余题目各10分，总共86分） 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 解：解不等式①，得：__________________； 解不等式②，得：__________________； 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： ∴该不等式组的解集为：__________________， ∴该不等式组的整数解为：__________________． 18. 学习过程中，轩轩发现：四边形是平行四边形，平分交于点，若过点作的垂线，交于点，交于点，连接，则必有四边形为菱形．为验证此规律的正确性，轩轩的思路：在图中，过点作的垂线，再通过证明全等得出结论，请完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规在图的基础上过点作的垂线，交于点，交于点，再连接．（只保留作图痕迹） （2）求证：四边形为菱形（请补全下列过程）． 证明：四边形是平行四边形， ， ①， 平分， ， ②， ． ， 在和中 ，， ， ③． 又， ④． 又， 四边形是菱形 19. 某银行为了解客户等候时长，从甲、乙两个网点各随机抽取20名客户，调查了他们办理业务的排队时间（单位：分钟），随后进行整理、分析（时间用表示，并分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 甲网点20名客户排队时间为：6，10，15，18，25，26，28，30，31，31，31，32，35，36，38，40，46，51，54，55． 乙网点20名客户排队时间在B组中的数据是：32，35，36，31，32，40，42，38． 在扇形统计图中，A组数据所对圆心角度数为． 甲、乙两网点抽取客户排队时间统计表 甲网点 乙网点 平均数 31.9 31.9 众数 32 中位数 31 乙网点抽取客户排队时间扇形统计图 （1）填空_____，____，____； （2）根据以上数据，你认为甲、乙两个网点哪个网点办理业务更快捷？请说明理由（写出一条即可）； （3）若一周内，在甲网点办理业务的客户为700名，在乙网点办理业务的客户为960名，根据以上信息，估计这周内在两个网点办理业务排队时间不超过30分钟的客户共有多少名？ 20. 先化简，再求值：，其中 21. 近日一种名为“娜塔莎”的小玩偶爆火，某商家第一次用3300元购进一批玩偶，深受顾客喜爱，很快售完．紧接着又用4000元购进第二批，第一次购进每个玩偶的价格是第二次的倍，且第二次比第一次多购进200个． （1）求第二次购进玩偶的价格； （2）商家把第二次购进的玩偶以每个15元的价格进行销售，当售出时，决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于7008元，则剩余的玩偶每个售价至少要多少元？ 22. 在矩形中，，，点为的中点，动点以每秒1个单位的速度从点沿折线运动，同时动点以每秒2个单位的速度沿折线运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接，，．设运动时间为秒，的面积为，的面积与点的运动路程之比为． （1）请直接写出、分别关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过）． 23. 文旅局举办“盛春赏景”打卡活动，以鼓励市民多进行室外运动，参加此次活动的斐斐同学将园博园路线绘制如下：打卡点在打卡点的正南方向米处；打卡点在打卡点的北偏西方向；打卡点在打卡点的正东方，同时在的东南方向；打卡点在的正北方米处，且恰好位于的北偏东方向．（参考数据：，，） （1）求打卡点、之间的距离；（结果保留整数） （2）打卡活动中，小郭从打卡点出发，沿线段向匀速奔跑；小周从打卡点出发，沿某方向匀速直线奔跑．两人同时出发，小郭与小周的速度之比为，并在线段上某处相遇．当两人相遇时，小郭跑了多少米？（结果精确到） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是直线下方抛物线上的一动点，过点作于点．点，分别是抛物线对称轴、轴上的动点，连接、、．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点与点关于新抛物线的对称轴对称，过点作轴于点，作点为新抛物线上一点，连接，，，．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求其中一种情况的过程． 25. 如图，在中，点是边上一点（不与端点重合），连接． （1）如图1，，，线段的垂直平分线交于点，连接，若，求的度数； （2）如图2，若点是的中点，将线段绕点逆时针旋转至，使得，连接．以为斜边在上方作，且满足，连接，交的延长线于点．用等式表示线段、、的数量关系并证明； （3）如图3，，，，点是的中点，点是直线上一动点，连接，，将绕点顺时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $