期末培优：比赛问题、方案选择问题 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦比赛问题与方案选择问题，通过多情境典例构建概率模型应用体系，强化数学思维与数据观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |比赛问题|3例3变式|多情境赛制（5局3胜、分组对抗等），涉及概率计算、分布列及期望|从独立事件概率到随机变量分布与期望的递进，培养推理能力| |方案选择问题|3例3变式|多方案决策（延保、抽奖等），需比较期望|概率模型构建到期望比较的决策应用，发展模型观念|

期末培优：比赛问题、方案选择问题专项训练 期末培优：比赛问题、方案选择问题专项训练 考点目录 比赛问题 方案选择问题 考点一 比赛问题 例1．（2026·河南开封·模拟预测）甲、乙两支排球队进行一场比赛，比赛采取5局3胜制，每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有平局，且每局比赛的结果相互独立． (1)求前2局比赛甲、乙两队各胜一局的概率； (2)在甲获得比赛胜利的条件下，求甲在第3局获胜的概率； (3)记比赛结束时所进行的局数为，求的分布列及数学期望． 例2．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）甲、乙、丙、丁四人进行台球游戏，约定游戏规则如下： ①每轮游戏均将四人分成两组，进行一对一对打； ②第一轮甲乙对打，丙丁对打； ③每轮游戏结束后，两名胜者组成一组在下一轮对打，两名负者组成一组在下一轮对打； ④每组比赛均无平局出现，且每组比赛结果相互独立.甲胜乙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率均为. (1)在前三轮游戏中，甲乙对打的次数为，求的数学期望； (2)求在第轮游戏中，甲乙对打的概率； (3)求在第轮游戏中，甲获胜的概率. 例3．（25-26高二下·山东济宁·期中）甲和乙进行定点投篮游戏，当投篮者命中时继续投篮，否则由对方投篮．已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为．规定：每局游戏进行3次投篮，均由甲先投，命中一次得2分． (1)求一局比赛中，甲6：0获胜的概率； (2)记一局比赛中乙投篮次数为，求的期望； (3)若甲、乙共进行了5局比赛，记得分高者为获胜方，得分相同为平局，求甲至少获胜3局的概率． 变式1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响. (1)求小王答3道题后积分小于6的概率； (2)设小王答4道题后积分为，求； (3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为时，最终积分为12的概率为，请直接写出和的值，并求出的值. 变式2．（2026·湖北黄石·模拟预测）人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学.很多学校已经推出基于AI的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新.某探究小组利用AI解答了一些模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图.已知准确率在内的试卷数为10.    (1)求图中的值，并求出试卷总数； (2)“如何利用AI”是AI能否更好的造福人类的关键，基于此该小组进行了AI运用比赛，即用AI进行问题解答，并通过正确率来评定结果.甲、乙两名小组成员进行AI运用比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为（，，，），且每局比赛结果相互独立. （ⅰ）若，，，求进行4局比赛后甲同学赢得比赛的概率； （ⅱ）当时， ①若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； ②若比赛不限制局数，求“甲同学赢得比赛”的概率（用，表示）. 变式3．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊赛，比赛规则如下：①每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分；②若其中一队的累计得分先达到5分及以上，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未决出最终的胜负，则进行双打比赛，每场双打比赛获胜的一方得2分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为；每场双打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为． (1)设5场单打比赛后，甲队的累计得分为随机变量，求的概率分布列和数学期望； (2)求决出最终胜负时，共进行了6场比赛的概率． (3)求甲队赢得最终胜利的概率． 考点二 方案选择问题 例1．（2026·山西忻州·模拟预测）某实验室研究某细胞繁殖过程中的变异规律、细胞的变异等级用正整数表示，初始等级记为．每繁殖一代，变异等级按以下规律变化：若当前等级为（，）.则下一代等级为的概率为，为的概率为，不变的概率为，其中，且．特别地，当变异等级为1时，下一代变异等级为2的概率为，保持不变的概率为．各代变异相互独立．已知初始等级，概率，． (1)求经过两代繁殖后，细胞的变异等级为4的概率． (2)记为细胞经过两代繁殖后的变异等级，求的分布列和数学期望． (3)实验室计划在细胞繁殖时进行干预，调整下一代的变异情况，每次干预需选择以下方案之一（每次干预只影响一代）． 方案：，； 方案：，． 现计划在第二代繁殖和第三代繁殖时各干预一次．若规定第三代变异等级为危险事件，请制定干预策略（每次干预独立选择方案或），使发生危险事件的概率最小，并求出该最小概率． 例2．（2026·河北保定·二模）某农家乐园为增加客流量，计划在五一期间举行农产品的团购活动，每位参与团购且购买金额不低于100元的顾客均可以参加抽奖活动.抽奖方案如下：开始时箱子中放有除颜色外完全相同的4个红球与12个白球，每位参与抽奖的顾客均可抽取2次，每次从箱子中随机取1个球，第1次顾客从箱子中随机取出1个球，确定颜色后放回箱子，同时往箱子中放入2个与第1次取出的球颜色相同的球，然后进行第2次抽取.已知顾客每次取出白球没有奖励，取出红球奖励20元. (1)求顾客第2次取出红球的概率. (2)记每位参与抽奖的顾客获得奖励的总金额为X元，求E(X). (3)该农家乐园计划增加一种抽奖方案，此方案要求参与抽奖的顾客通过扫描二维码进入小程序回答问题，每位顾客最少回答 2个问题，最多回答 3个问题，若前 2个问题至少回答正确 1个，则不再回答第 3个问题，若前2个问题都回答错误，则需回答第 3个问题，且第 1个问题回答正确奖励 6元，第 2个和第3个问题回答正确均奖励 12元.已知顾客甲正确回答这 3个问题的概率依次为 且这3个问题回答正确与否相互独立.为使顾客甲获得奖励的总金额的数学期望最大，顾客甲应该选择原抽奖方案还是新增抽奖方案?请说明理由. 例3．（25-26高二下·广东惠州·月考）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案： 方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元； 方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元． 某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表： 维修次数 0 1 2 3 台数 5 10 20 15 以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． (1)求的分布列； (2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？ 变式1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）体育课上，老师组织同学们进行投篮闯关游戏，每个同学至多投三个球，只要投进两个即为闯关成功并停止投篮．已知甲每个球投进的概率为，且每次投篮相互独立． (1)当时，求甲最终闯关成功的概率． (2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：只投两个球闯关成功，得10分，投三个球闯关成功，得6分，闯关失败，得2分；方案二：闯关成功，得7分，闯关失败，得3分．请讨论选择哪种方案，能使甲获得积分的数学期望更大． 变式2．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病是由致病菌和致病菌共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈． (1)若有某种治疗方案C，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案C痊愈的条件下，能杀灭致病菌的概率； (2)对疾病有效治疗的药物有A，B两款，且这两种药物的疗程均为3天（药物使用时，按疗程服用3天，超过3天无效需换药进行治疗，无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率）．若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈．已知药物A杀灭致病菌和致病菌的概率分别为，，药物B杀灭致病菌和致病菌的概率均为，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立． （i）分别求使用药物A和药物B一个疗程的治愈概率； （ii）请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短? 变式3．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）某游戏共设置了三关，选手按顺序通关挑战，若选手通过本关，则进入下一关挑战，否则游戏结束，且第三关无论通过与否，游戏结束.甲参加该游戏，他通过第一、二、三关的概率分别是，，，假设他每关通过与否相互独立. (1)求甲通过三关的概率； (2)设随机变量X为甲参与挑战的关数，求X的分布列； (3)现有两种奖励方案，方案A为三关全通过则获奖200元，否则得0元，方案B为每通过一关获奖60元，以游戏结束时甲获奖的期望为依据，分析甲应该选择哪种方案，说明你的理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：比赛问题、方案选择问题专项训练 期末培优：比赛问题、方案选择问题专项训练 考点目录 比赛问题 方案选择问题 考点一 比赛问题 例1．（2026·河南开封·模拟预测）甲、乙两支排球队进行一场比赛，比赛采取5局3胜制，每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有平局，且每局比赛的结果相互独立． (1)求前2局比赛甲、乙两队各胜一局的概率； (2)在甲获得比赛胜利的条件下，求甲在第3局获胜的概率； (3)记比赛结束时所进行的局数为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】(1)设事件表示甲队第局获胜，那么前局比赛甲、乙两队各胜一局的概率有两种情况： 和 ，使用独立与互斥事件概率计算公式计算即可； (2)利用全概率公式计算出甲获得比赛胜利，再使用条件概率计算公式计算甲获得比赛胜利的条件下，甲在第3局获胜的概率； （3）由于采取5局3胜制，的所有可能取值为，，，使用独立与互斥事件概率计算公式计算出所有可能取值的概率. 【详解】（1）设事件表示甲队第局获胜， 则前局比赛甲、乙两队各胜一局的概率为 ． （2）设事件为甲获得本场比赛的胜利， 则，     ，         故． （3）根据题意得的所有可能取值为，，， 其中，             ，         ，         则的分布列为 所以． 例2．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）甲、乙、丙、丁四人进行台球游戏，约定游戏规则如下： ①每轮游戏均将四人分成两组，进行一对一对打； ②第一轮甲乙对打，丙丁对打； ③每轮游戏结束后，两名胜者组成一组在下一轮对打，两名负者组成一组在下一轮对打； ④每组比赛均无平局出现，且每组比赛结果相互独立.甲胜乙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率均为. (1)在前三轮游戏中，甲乙对打的次数为，求的数学期望； (2)求在第轮游戏中，甲乙对打的概率； (3)求在第轮游戏中，甲获胜的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据游戏规则分析的所有可能取值，结合第2轮游戏两种分组概率，算出每个概率值，即可求出数学期望； （2）构造递推，得出为等比数列，利用等比数列通项公式即可求得概率； （3）先推导出，再结合甲对阵不同对手的获胜概率，代入化简即可. 【详解】（1）第1轮甲乙对打，故第2轮甲乙不可能对打，则第2轮甲只能和丙或丁对打. 若第3轮甲乙对打，则甲乙在第2轮都胜或都负；故的所有可能取值为1，2， 第2轮甲丙对打，则甲和丙在第1轮都胜或都负，其概率为， 第3轮甲乙对打，则第2轮甲和丙打，乙和丁打，此时甲和乙同胜或同负；甲和丁打，乙和丙打，此时甲和乙同胜或同负；此时， 则，所以. （2）设在第轮游戏中，甲乙对打的概率为，甲丙对打的概率为，甲丁对打的概率为， 在第轮游戏中，甲和乙对打，则第轮游戏中，甲丙对打，或者甲丁对打， 故，故， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. （3）同理可知，故， 又，则，故， 所以在第轮游戏中，甲获胜的概率为. 例3．（25-26高二下·山东济宁·期中）甲和乙进行定点投篮游戏，当投篮者命中时继续投篮，否则由对方投篮．已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为．规定：每局游戏进行3次投篮，均由甲先投，命中一次得2分． (1)求一局比赛中，甲6：0获胜的概率； (2)记一局比赛中乙投篮次数为，求的期望； (3)若甲、乙共进行了5局比赛，记得分高者为获胜方，得分相同为平局，求甲至少获胜3局的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式即可求解； （2）先确定的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式即可求解； （3）先求出一局比赛中甲获胜的概率，再利用二项分布即可求出. 【详解】（1）记为甲第投篮命中，记为乙第投篮命中，则甲6：0获胜的概率， . （2）一局比赛中乙投篮次数为可能取值有0，1，2， 则， ， ， 所以. （3）甲6：0获胜概率； 甲4：0获胜概率； 甲2：0获胜概率； 记事件C为一局比赛中甲获胜，则， 由题意知，进行5局比赛甲获胜的局数， 所以. 变式1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响. (1)求小王答3道题后积分小于6的概率； (2)设小王答4道题后积分为，求； (3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为时，最终积分为12的概率为，请直接写出和的值，并求出的值. 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）分小王3题都答错，或答对1题答错2题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得到答案； （2）设小王答对的题数为，得到关系式，再利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到答案； （3）首先需对边界条件进行直接判断，即和，再求出的递推公式，分析可知数列为等比数列，求得，再利用累加法和等比数列求和即可得到答案. 【详解】（1）小王答3道题后积分小于6，有两种情况：3题都答错；答对1题，答错2题. 3题都答错的概率为；答对1题，答错2题的概率为：. 所以小王答3道题后积分小于6的概率为： （2）法一：设小王答对的题数为，则他答错的题数为，所以. 由题意知，所以，所以. 法二：的可能取值为2，4，6，8，10. 则：；；； ； 所以，. （3）当积分已为0时，游戏已停止，无法再达到12分，故； 当积分已为12时，游戏已停止，已是目标状态，故. （i）当小王的积分为时， 若小王接下来一题答对，则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为. 由全概率公式有，即，整理可得. 又，所以为等比数列. （ii）由（i）可得， 所以， 又，所以. 所以 . 变式2．（2026·湖北黄石·模拟预测）人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学.很多学校已经推出基于AI的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新.某探究小组利用AI解答了一些模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图.已知准确率在内的试卷数为10.    (1)求图中的值，并求出试卷总数； (2)“如何利用AI”是AI能否更好的造福人类的关键，基于此该小组进行了AI运用比赛，即用AI进行问题解答，并通过正确率来评定结果.甲、乙两名小组成员进行AI运用比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为（，，，），且每局比赛结果相互独立. （ⅰ）若，，，求进行4局比赛后甲同学赢得比赛的概率； （ⅱ）当时， ①若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； ②若比赛不限制局数，求“甲同学赢得比赛”的概率（用，表示）. 【答案】(1)；100套 (2)（ⅰ）；（ⅱ）①的分布列为： 2 4 5 期望最大值为；② 【分析】（1）利用频率直方图的性质来计算即可； （2）（i）利用分类思想，研究包含五个互斥事件，每个事件利用相互独立事件概率乘法公式求解即可； （ⅱ）①利用分布列来求期望，结合不等式可求最值. ②利用打成平局后，甲同学再赢得比赛的概率与一开始甲同学赢得比赛的概率是相同的，这样可得到一个恒等式，然后通过方程思想来求甲同学再赢得比赛的概率. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得； 而准确率在内的试卷数占样本总数的，准确率在内的试卷数为10， 所以共有100套试卷； （2）（i）用事件A，B，C分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，“平局”， 则，，， 记“进行4局比赛后甲同学赢得比赛”为事件， 则事件包括事件：，，，，共5种， 所以 . （ⅱ）①因为，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”， 即，由题意得的所有可能取值为：2，4，5， ， ， 所以的分布列为： 2 4 5 所以的期望为： 因为，所以， 等号成立时，，所以 所以 故的最大值为：. ②记“甲同学赢得比赛”为事件， 则，前两局比赛结果可能有：，，，， 其中事件表示“甲同学赢得比赛”，事件表示“乙同学赢得比赛”， 事件，表示“甲、乙两名同学各得1分”， 当甲、乙两名同学得分总数相同时， 甲同学赢得比赛的概率与比赛一开始甲同学赢得比赛的概率相同， 所以 ， 所以，得，因为， 所以. 变式3．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊赛，比赛规则如下：①每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分；②若其中一队的累计得分先达到5分及以上，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未决出最终的胜负，则进行双打比赛，每场双打比赛获胜的一方得2分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为；每场双打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为． (1)设5场单打比赛后，甲队的累计得分为随机变量，求的概率分布列和数学期望； (2)求决出最终胜负时，共进行了6场比赛的概率． (3)求甲队赢得最终胜利的概率． 【答案】(1)的分布列为： 0 1 2 3 4 5 (2) (3) 【分析】（1）先确定甲队得分服从二项分布，再应用二项分布的概率公式求解每个概率值，最后计算期望即可； （2）分情况讨论5场单打后的比分，计算每种情况的概率，再求和即可； （3）甲队获胜分三类：单打获胜、单打未获胜后又赢一场双打或第一场双打未赢第二场双打赢或两场双打赢，将三种情况概率相加即可. 【详解】（1）由已知可得，则的可能取值为0，1，2，3，，4，5，对应的概率为： ，， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 数学期望. （2）决出最终胜负时，共进行了6场比赛，则进行5场比赛后，可能的比分为， 最后一场的获胜者一定是原来的领先方，可分为以下两种： ①前5场比赛中，乙队:甲队是或，第六场乙获胜，结束比赛， 则； ②前5场比赛中，甲队:乙队是或，第六场甲获胜，结束比赛， 则； 则决出最终胜负时，共进行了6场比赛的概率为. （3）甲队赢得最终胜利分为以下几种： ①甲前5场直接获胜，则； ②甲在前5场未决出胜负，进行一场双打即可获胜， 则； ③甲在前5场未决出胜负，进行两场双打中需连续打赢两场或第一场未赢第二场赢即可获胜， 则 ， 依题意可知，最多进行两场双打即可分出胜负， 则甲队赢得最终胜利的概率为. 考点二 方案选择问题 例1．（2026·山西忻州·模拟预测）某实验室研究某细胞繁殖过程中的变异规律、细胞的变异等级用正整数表示，初始等级记为．每繁殖一代，变异等级按以下规律变化：若当前等级为（，）.则下一代等级为的概率为，为的概率为，不变的概率为，其中，且．特别地，当变异等级为1时，下一代变异等级为2的概率为，保持不变的概率为．各代变异相互独立．已知初始等级，概率，． (1)求经过两代繁殖后，细胞的变异等级为4的概率． (2)记为细胞经过两代繁殖后的变异等级，求的分布列和数学期望． (3)实验室计划在细胞繁殖时进行干预，调整下一代的变异情况，每次干预需选择以下方案之一（每次干预只影响一代）． 方案：，； 方案：，． 现计划在第二代繁殖和第三代繁殖时各干预一次．若规定第三代变异等级为危险事件，请制定干预策略（每次干预独立选择方案或），使发生危险事件的概率最小，并求出该最小概率． 【答案】(1)经过两代繁殖后变异等级为4的概率为0.3； (2)的分布列为： 1 2 3 4 5 0.04 0.12 0.29 0.3 0.25 ； (3)最优干预策略为第二代繁殖和第三代繁殖均选择方案A，发生危险事件的最小概率为0.222. 【分析】(1)初始等级,经过两代繁殖后，细胞的变异等级为4有两种途径:和，分别计算对应概率即可； (2)类比（1），分析细胞变异的途径，分别计算对应概率，再利用期望公式求值; (3)分析可知第三代变异等级有3种途径，且干预策略有，，，四种，分别计算对应概率，再比较即可求解. 【详解】（1）初始等级,经过两代繁殖后，细胞的变异等级为4,有两种路径： 路径1:，； 路径2:，； 所以经过两代繁殖后，细胞的变异等级为4的概率. （2）可能的取值为：1,2,3,4,5, ， ， ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 4 5 0.04 0.12 0.29 0.3 0.25 . （3）由题可知， 若，则第三代变异等级路径有， 若，则第三代变异等级路径有，或6, 第二代繁殖和第三代繁殖时各干预一次，共4种策略组合：，，，. 策略：. 策略：. 策略：. 策略：. 由上可知：最优干预策略为第二代繁殖和第三代繁殖均选择方案A，发生危险事件的最小概率为0.222. 例2．（2026·河北保定·二模）某农家乐园为增加客流量，计划在五一期间举行农产品的团购活动，每位参与团购且购买金额不低于100元的顾客均可以参加抽奖活动.抽奖方案如下：开始时箱子中放有除颜色外完全相同的4个红球与12个白球，每位参与抽奖的顾客均可抽取2次，每次从箱子中随机取1个球，第1次顾客从箱子中随机取出1个球，确定颜色后放回箱子，同时往箱子中放入2个与第1次取出的球颜色相同的球，然后进行第2次抽取.已知顾客每次取出白球没有奖励，取出红球奖励20元. (1)求顾客第2次取出红球的概率. (2)记每位参与抽奖的顾客获得奖励的总金额为X元，求E(X). (3)该农家乐园计划增加一种抽奖方案，此方案要求参与抽奖的顾客通过扫描二维码进入小程序回答问题，每位顾客最少回答 2个问题，最多回答 3个问题，若前 2个问题至少回答正确 1个，则不再回答第 3个问题，若前2个问题都回答错误，则需回答第 3个问题，且第 1个问题回答正确奖励 6元，第 2个和第3个问题回答正确均奖励 12元.已知顾客甲正确回答这 3个问题的概率依次为 且这3个问题回答正确与否相互独立.为使顾客甲获得奖励的总金额的数学期望最大，顾客甲应该选择原抽奖方案还是新增抽奖方案?请说明理由. 【答案】(1) (2)10 (3)顾客甲应该选择新增抽奖方案，理由见解析. 【分析】（1）根据全概率公式即可求解； （2）根据题意，写出离散型随机变量求出 的分布列，从而利用期望公式即可求解. （3）设顾客甲获得奖励的总金额为 元，写出离散型随机变量求出的分布列，求得关于的期望，比较即可. 【详解】（1）设＂第1次取出红球＂为事件 ，则 ， 设＂第2次取出红球＂为事件 ， 若第1次取出红球，则箱子中有 6 红 12 白，共 18 个球，此时 ， 若第1次取出白球，则箱子中有4红14白，共18个球，此时 ， 由全概率公式得： 答：顾客第2次取出红球的概率为 . （2）由题意知， 的可能取值为0,20,40； ， ， 所以 的分布列为： 0 20 40 , （3）设顾客甲获得奖励的总金额为 元。 由题意， 的可能取值为。 ， ， ， ， 所以 的分布列为： 0 6 12 18 ， 因为 ， 所以顾客甲应该选择新增抽奖方案. 例3．（25-26高二下·广东惠州·月考）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案： 方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元； 方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元． 某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表： 维修次数 0 1 2 3 台数 5 10 20 15 以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． (1)求的分布列； (2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？ 【答案】(1) 0 1 2 3 4 5 6 (2)医院选择延保方案二较合算． 【详解】解：（Ⅰ）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6． ， ， ， ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 （Ⅱ）选择延保方案一，所需费用元的分布列为： 7000 9000 11000 13000 15000 （元． 选择延保方案二，所需费用元的分布列为： 10000 11000 12000 （元． ，该医院选择延保方案二较合算． 变式1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）体育课上，老师组织同学们进行投篮闯关游戏，每个同学至多投三个球，只要投进两个即为闯关成功并停止投篮．已知甲每个球投进的概率为，且每次投篮相互独立． (1)当时，求甲最终闯关成功的概率． (2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：只投两个球闯关成功，得10分，投三个球闯关成功，得6分，闯关失败，得2分；方案二：闯关成功，得7分，闯关失败，得3分．请讨论选择哪种方案，能使甲获得积分的数学期望更大． 【答案】(1) (2)若，有，则选方案一， 若，有，则选方案一和方案二都行， 若，有，则选方案二． 【分析】（1）利用事件的独立性即可求出概率； （2）分别求出两种方案的期望，再比大小即可. 【详解】（1）记“甲最终闯关成功”为事件，则． （2）若选用方案一，记甲最终获得的积分为分，则的所有可能取值为，，． ，，， 则． 若选用方案二，记甲最终获得的积分为分，则的所有可能取值为7，3． ，， 则． 所以， 若，有，则选方案一， 若，有，则选方案一和方案二都行， 若，有，则选方案二． 变式2．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病是由致病菌和致病菌共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈． (1)若有某种治疗方案C，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案C痊愈的条件下，能杀灭致病菌的概率； (2)对疾病有效治疗的药物有A，B两款，且这两种药物的疗程均为3天（药物使用时，按疗程服用3天，超过3天无效需换药进行治疗，无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率）．若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈．已知药物A杀灭致病菌和致病菌的概率分别为，，药物B杀灭致病菌和致病菌的概率均为，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立． （i）分别求使用药物A和药物B一个疗程的治愈概率； （ii）请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短? 【答案】(1) (2)（i），；（ii）需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短 【分析】（1）根据条件概率公式求解即可； （2）（i）计算药物对两种致病菌都没杀灭的概率，再用对立事件的概率公式计算治愈率； （ii）分别列出先使用A和先使用B两种情况下痊愈天数的所有可能取值，对应计算各取值的概率，再根据期望公式分别计算两种情况的痊愈天数期望，比较两个期望的大小. 【详解】（1）设使用治疗方案C治愈疾病为事件，使用治疗C方案能杀灭致病菌为事件， 则. 因为事件发生则事件必发生，故, . （2）（i）设表示药物能治愈疾病的概率，表示药物能治愈疾病的概率，则有，． （ii）设先用药物再用药物来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为，则， ， 所以      ． 设先用药物再用药物来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为 同理得， ， 则有 ， 从而有，故需先使用药物可使得痊愈的平均天数更短． 变式3．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）某游戏共设置了三关，选手按顺序通关挑战，若选手通过本关，则进入下一关挑战，否则游戏结束，且第三关无论通过与否，游戏结束.甲参加该游戏，他通过第一、二、三关的概率分别是，，，假设他每关通过与否相互独立. (1)求甲通过三关的概率； (2)设随机变量X为甲参与挑战的关数，求X的分布列； (3)现有两种奖励方案，方案A为三关全通过则获奖200元，否则得0元，方案B为每通过一关获奖60元，以游戏结束时甲获奖的期望为依据，分析甲应该选择哪种方案，说明你的理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)甲应该选择方案B，理由见解析 【分析】（1）利用独立事件的概率求解； （2）X的可能取值为1，2，3，分别求得其概率，列出分布列； （3）若甲选择方案A，得到获奖金的期望，若甲选择方案B，Y的可能取值为0，1，2，3，分别求得概率，由，比较选择. 【详解】（1）设事件“甲通过三关”，则， 则甲通过三关的概率为. （2）X的可能取值为1，2，3， ， ， ， 则X的分布列为 X 1 2 3 P （3）若甲选择方案A，则他所获奖金的期望为元. 若甲选择方案B，设随机变量Y为甲通过的关数，则Y的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 则， 所以甲选择方案B获得奖金的期望为120元. 因为，所以甲应该选择方案B. 2 学科网（北京）股份有限公司 $