期末复习：建立二项分布模型解决实际问题、二项分布中的概率最值问题 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦二项分布模型构建与概率最值求解，通过实际情境问题链实现从基础应用到进阶优化的逻辑递进，培养模型意识与数据观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |建立二项分布模型解决实际问题|3例+3变式|生产质检、比赛晋级等多情境概率计算，涉及分布列、期望求解|从频率估计概率切入，构建n次独立重复试验模型，强化事件独立性判断与数学期望推导| |二项分布中的概率最值问题|3例+3变式|含参数概率最大值、实际优化问题，需结合不等式或导数求解|在模型应用基础上，通过概率比大小探究最值条件，深化逻辑推理与数学应用能力|

期末复习：建立二项分布模型解决实际问题、二项分布中的概率最值问题专项训练 期末复习：建立二项分布模型解决实际问题、二项分布中的概率最值问题专项训练 考点目录 建立二项分布模型解决实际问题 二项分布中的概率最值问题 考点一 建立二项分布模型解决实际问题 例1．（2026·河南·模拟预测）某电子器件生产厂要生产一种标准规格为的电子器件，定义误差为产品实际规格减去标准规格.已知质检部抽检了某批次的件该产品，经统计得下表： 产品实际规格 频数 (1)若以频率估计概率，从该电子器件生产厂生产的该批次产品中随机抽取件，其中至少有件是标准规格产品的概率是多少？ (2)以频率估计概率，求该批次产品规格的误差绝对值的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列 【详解】（1）由表可知，产品是标准规格产品的概率为． 设随机抽取的件产品中至少有件是标准规格产品为事件， 则． （2）的可能取值为，，， 用频率估计概率，，，， 所以的分布列为 所以的数学期望． 例2．（25-26高二下·云南昭通·期中）年全国青少年科技创新大赛采用两轮晋级制，参赛选手需顺利通过第一轮考核，方可获得第二轮参赛资格，两轮考核全部通过者，将正式取得代表学校参与更高层次竞赛的宝贵资格.已知小明、小华，小方位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为、、，假设他们之间通过与否相互独立. (1)求这人中至多有人通过第一轮的概率； (2)从人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记人中通过第一轮的人数为，从而有，再利用对立事件及二项分布的概率公式，即可求解； （2）根据条件，利用全概率公式，即可求解. 【详解】（1）记人中通过第一轮的人数为，由题意可知，             记“人中至多有人通过第一轮”为事件， 则. （2）记随机选择小明、小华、小方的事件分别为、、，通过第二轮的事件记为， 则由题意可知, ,,, 则 所以从人中随机选出一人，通过第二轮的概率为. 例3．（25-26高二下·河南商丘·期中）围棋起源于中国，古时称“弈”，属“琴棋书画”四艺之一，是古老的智力游戏和高雅的竞技运动，“对弈”特指下围棋.现甲与乙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，甲也与丙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是.在甲与乙对弈的三盘中，甲恰好赢一盘的概率高于甲恰好赢两盘的概率.已知各盘棋的输赢相互独立. (1)求的取值范围. (2)已知，在甲与丙对弈的三盘中，甲赢的盘数是，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）分别求出甲恰好赢一盘的概率，甲恰好赢两盘的概率，再列不等式求解即可. （2）分析出的取值，再根据二项分布求出分布列，最后求出数学期望. 【详解】（1）在甲与乙对弈的三盘中，甲恰好赢一盘的概率为， 甲恰好赢两盘的概率为， 因为甲恰好赢一盘的概率高于甲恰好赢两盘的概率，所以， 又，所以，解得， 即的取值范围是 . （2）已知在甲与丙对弈的三盘中，每盘甲赢棋的概率是，若甲赢的盘数是，则，   所以，， ，. 的分布列为： 0 1 2 3 所以（或）. 变式1．（25-26高三下·河北邯郸·阶段检测）已知A、B、C三名同学在体育课上进行投篮比赛，每人进行两次投篮，三名同学第一次投篮命中的概率均为，在第一次投篮命中的条件下第二次投篮命中的概率依次为，，，三名同学投篮互不影响． (1)求三名同学至少有两名同学在第一轮投中的概率； (2)设三名同学中两次都投进的人数为随机变量X，求X的分布列； (3)若三名同学完成投篮后，恰有一名同学投进两次，求该同学是A的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）第一轮命中概率相同且独立，用二项分布（两人命中加三人命中）即可； （2）先由条件概率算出每人两次全中的概率，三名同学投篮互不影响，按独立事件乘法求各概率即可； （3）条件概率，分子为“只有两次全中”的概率，分母为“恰有一人两次全中”的总概率，两者相除即可. 【详解】（1）设三名同学第一次投篮命中分别为事件,,,设至少两人命中为事件. 则,未命中的概率为，利用二项分布计算， （2）两次都投进的概率为，两次都投进的概率为，两次都投进的概率为. 可取0，1，2，3，因为三名同学投篮互不影响，所以， ， ， ， . 所以X的分布列为 （3）由第2问可知恰有一人两次都命中的概率为，其中恰有两次都命中的概率为，所以三名同学完成投篮后，恰有一名同学投进两次，该同学是的概率为. 变式2．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售.已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测不合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互独立. (1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率为； (2)若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利元，若不能在该超市销售，则每箱亏损元，现有箱这种蔬菜，求这箱蔬菜总收益的均值. 【答案】(1) (2)元． 【分析】（1）记分别为事件“第一，二，三轮检测合格”，为事件“每箱这种蓅菜不能在该超市销售”．则，根据条件可求结论； （2）方法一：由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求. 方法二：设这4箱蔬菜的检验合格数量为随机变量，则，由二项分布期望公式求，结合关系和期望的性质求. 【详解】（1）记分别为事件“第一，二，三轮检测合格”，为事件“每箱这种蓅菜不能在该超市销售”． 由题意可知：， 所以． （2）方法一：设这箱蔬菜的总收益为随机变量，则的所有可能取值为，，，，， ，， ，， ， 故的分布列为： 所以的均值（元）． 方法二：设这箱蔬菜的检验合格数量为随机变量，则， 总收益为随机变量， 所以（元）． 变式3．（24-25高二上·辽宁·期末）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 【答案】(1)分布列见解析，， (2)（i）；（ii）若，增加2个元件后利润提高； 若时，增加2个元件后利润没有提高. 【分析】（1）由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解； （2）（i）先写出升级改造后单位时间内产量的分布列，求出设备升级后单位时间内的利润，即为； （ii）分以下三种情况讨论：①原系统中至少有4个元件正常工作；②原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作；③原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，再对三种情况进行求和，得到，计算，与作比较，再根据判断即可. 【详解】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为， 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以， 所以， ， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， （2）（i）升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 0 设备运行概率 所以升级改造后单位时间内产量的期望为， 所以 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） 利润（单位：元） 2 1 设备升级后单位时间内的利润为，即. （ii）若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有4个元件正常工作，其概率为； 第二类：原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为. 所以 ， 则， 所以当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率变大； 当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率没有变大. 又因为， 所以当时，增加2个元件后利润提高；当时，增加2个元件后利润没有提高. 考点二 二项分布中的概率最值问题 例1．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有：，． (1)若从样本中喜欢春节联欢晚会的人里随机挑选2人，求这两人恰好都是男生的概率． (2)现从这100名女生中，按喜欢联欢晚会与不喜欢联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为X．求X的概率分布列和方差； (3)将样本的频率视为概率．现从全校的学生中随机抽取n名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为Y，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数n． 【答案】(1) (2)X的概率分布列为： 0 1 2 方差为 (3)39或40或41 【分析】（1）根据题意求出男生中喜欢春节联欢晚会的人数，结合古典概型的概率公式求解即可. （2）根据，求出10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数，得到的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，根据分布列求出期望和方差. （3）求出从全校的学生中随机抽取1名学生喜欢春节联欢晚会的概率，从而得到随机变量，求出，由当时，取得最大值，得到，列出关于的不等式组，计算求解即可. 【详解】（1）由，得女生中喜欢春节联欢晚会的人数为60人， 由，得喜欢春节联欢晚会的人数为人，则男生中喜欢春节联欢晚会的人数为30人， 故男生中不喜欢春节联欢晚会的人数为70人，女生中不喜欢春节联欢晚会的人数为40人. 所以从样本中喜欢春节联欢晚会的人里随机挑选2人，则这两人恰好都是男生的概率为： . （2）由，得10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为6人和4人， 故的取值为0，1，2， 则，，， 所以X的概率分布列为： 0 1 2 故的期望为， 所以的方差为. （3）由（1）得，喜欢春节联欢晚会的人数为90人，由频率估计概率，从全校的学生中随机抽取1名学生，他喜欢春节联欢晚会的概率为， 则随机变量，. 因为当时，取得最大值， 所以，即， 整理得，即，解得， 因为，所以或40或41. 故全校学生中抽取的学生可能的人数为39或40或41. 例2．（25-26高二下·北京顺义·期中）入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能.为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛.老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果.活动中，高三年级 500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表. 壶1 壶2 壶3 投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中 高三年级 40 160 90 60 60 90 假设用频率估计概率 (1)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率. (2)投壶活动结束后，高三学生自发编织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶 3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽.当学生投完三支箭，挑战结束.某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，设这位学生在“过关比赛”中投中的次数为，求分布列和的数学的期望. (3)为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投 20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶 2的概率，那么在投完 20次之后，这位同学投中壶 2多少次的概率最大?(只需写出结论) 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 (3)12 【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算即可. （2）判断的可能取值，结合题干规则利用乘法公式和加法公式计算即可. （3）利用二项分布结合二项式定理求最值即可. 【详解】（1）由频率估计概率可知，从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，这位学生在活动中投中壶2的概率为. （2）由题意知，壶1投中的概率为，壶1未投中的概率为， 壶2投中的概率为，壶2未投中的概率为， 壶3投中的概率为，壶3未投中的概率为， 这位学生在“过关比赛”中投中次数的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 所以这位学生在“过关比赛”中投中次数的分布列为 0 1 2 3 则. （3）壶2投中的概率为. 记这位同学投中壶 2的次数为，则. 则，. 假设投中壶2的次数为时概率最大，则 ，即， 解得，又，所以. 投完 20次之后，这位同学投中壶 2的次数为12时，概率最大. 例3．（25-26高二下·山东青岛·期中）某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛结果相互独立. (1)若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束.已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为.求甲乙决出冠军时比赛局数X的分布列与数学期望； (2)若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.已知甲乙进行了n局比赛且甲胜了11局，试给出n的估计值（X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得最大的n的值作为n的估计值） 【答案】(1)分布列见解析， (2)14 【分析】（1）讨论极端情况，若刚开始连胜，则2局结束，若一直没有连胜，则最多比赛5局，再具体讨论每种情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可解决. （2）每场比赛是相互独立的，则服从二项分布 ，求出，再求最值即可. 【详解】（1）由比赛规则知，1局比赛后，甲乙双方共获得4分，若比赛进行了4局还未结束， 则双方共计16分，此时双方均为8分，则第5局比赛后必定有一人积分可达到11分，因此比赛次数不会超过5，比赛共进行了X局，则， 记随机事件“第i局比赛中甲获胜”，， ， ， ， . 所以X的分布列为： X 2 3 4 5 P 数学期望. （2）依题意，，，， 记，已知， 则， 由，得， 即时，，时，， 则当时，最大，所以n的估计值为14. 变式1．（25-26高二下·湖北武汉·阶段检测）在近期的中东冲突中，某武装力量的一种精准制导导弹的命中率为，各枚导弹是否命中相互独立． (1)若对某一处军事设施同时发射3枚导弹，记事件A为“恰有两枚导弹命中目标”，事件B为“第二枚导弹命中目标”，判断A与B是否相互独立； (2)若对某一处军事设施同时发射10枚导弹，记随机变量X为导弹命中的数量，求使取最大值时k的值； 【答案】(1)与不相互独立 (2) 【分析】（1）先分别计算，，，再验证是否满足; （2）利用二项分布的概率公式列出和的表达式，列出不等式后可解出的范围，即可求出最大值时的值. 【详解】（1）由题意得， 因为， ，所以，所以与不相互独立． （2）由题意可得，，所以， 令， 即，解得， 且，解得， 又因为，所以； 时，有最大值． 变式2．（24-25高二下·云南楚雄·阶段检测）某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立. (1)从一批产品中随机抽取件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率； (2)若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用二项分布的概率公式可求解； （2）由题意可得的取值依次为，，利用二项分布的概率公式可求分布列，进而可求数学期望； 【详解】（1）从一批产品中随机抽取件，抽到的零部件中正品数多于次品数， 则次品数为件或件， 所以所求概率为. （2）设抽取的零部件次品数为， 则， 所以可能的取值依次为，，， ， ， 所以的分布列为： 1 3 0.27 0.73 故. 变式3．（24-25高二下·山东烟台·阶段检测）为了更好了解两会知识，某高中拟组织一次两会知识测试，从全校学生中随机抽取30人进行模拟测试，其中高一年级组12人，高二年级组10人，高三年级组8人，测试共分为两轮. (1)第一轮测试按高一､高二､高三3个小组顺次进行，若一切正常，参测小组完成测试的时间为20分钟；若出现异常情况，则参测小组需要延长5分钟才能完成测试.已知每一小组正常完成测试的概率均为，且各小组是否正常完成测试互不影响.记3个小组全部完成测试所需总时间为，求的分布列； (2)第二轮测试将3组同学混合进行排序，每位同学按排序顺次进行面试，且每人测试时间相等. ①求最后一名同学来自高一年级组的条件下，高二年级组同学比高三年级组同学提前完成面试的概率； ②若所有参加面试的同学都可以得到一本“两会纪念册”，成绩优秀的同学还可以多得一本“两会纪念册”，已知每一名同学面试成绩优秀的概率均为，设这30名同学所得“两会纪念册”总数恰好为个的概率为，当取最大值时，求的值. 【答案】(1)分布列见解析 (2)①；② 【分析】（1）写出随机变量的可能取值，根据对应情况求出概率，从而得到分布列； （2）①设事件：最后一名同学来自高一年级组；事件：高二年级组同学比高三年级组同学提前完成面试，根据条件概率公式计算结果. ②根据题意表示，通过分析与的大小关系可得结果. 【详解】（1）由题意得，的取值可以为， ， . 的分布列： 60 65 70 75 （2）①设事件：最后一名同学来自高一年级组；事件：高二年级组同学比高三年级组同学提前完成面试， 则， ， 所以， 所以最后一名同学来自高一年级组的条件下，高二年级组同学比高三年级组同学提前完成面试的概率为. ②由题意得，， ， 所以， 由得，，由得，， 所以当时，， 当时，， 故当取最大值时，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：建立二项分布模型解决实际问题、二项分布中的概率最值问题专项训练 期末复习：建立二项分布模型解决实际问题、二项分布中的概率最值问题专项训练 考点目录 建立二项分布模型解决实际问题 二项分布中的概率最值问题 考点一 建立二项分布模型解决实际问题 例1．（2026·河南·模拟预测）某电子器件生产厂要生产一种标准规格为的电子器件，定义误差为产品实际规格减去标准规格.已知质检部抽检了某批次的件该产品，经统计得下表： 产品实际规格 频数 (1)若以频率估计概率，从该电子器件生产厂生产的该批次产品中随机抽取件，其中至少有件是标准规格产品的概率是多少？ (2)以频率估计概率，求该批次产品规格的误差绝对值的分布列和数学期望. 例2．（25-26高二下·云南昭通·期中）年全国青少年科技创新大赛采用两轮晋级制，参赛选手需顺利通过第一轮考核，方可获得第二轮参赛资格，两轮考核全部通过者，将正式取得代表学校参与更高层次竞赛的宝贵资格.已知小明、小华，小方位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为、、，假设他们之间通过与否相互独立. (1)求这人中至多有人通过第一轮的概率； (2)从人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率. 例3．（25-26高二下·河南商丘·期中）围棋起源于中国，古时称“弈”，属“琴棋书画”四艺之一，是古老的智力游戏和高雅的竞技运动，“对弈”特指下围棋.现甲与乙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，甲也与丙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是.在甲与乙对弈的三盘中，甲恰好赢一盘的概率高于甲恰好赢两盘的概率.已知各盘棋的输赢相互独立. (1)求的取值范围. (2)已知，在甲与丙对弈的三盘中，甲赢的盘数是，求的分布列与数学期望. 变式1．（25-26高三下·河北邯郸·阶段检测）已知A、B、C三名同学在体育课上进行投篮比赛，每人进行两次投篮，三名同学第一次投篮命中的概率均为，在第一次投篮命中的条件下第二次投篮命中的概率依次为，，，三名同学投篮互不影响． (1)求三名同学至少有两名同学在第一轮投中的概率； (2)设三名同学中两次都投进的人数为随机变量X，求X的分布列； (3)若三名同学完成投篮后，恰有一名同学投进两次，求该同学是A的概率． 变式2．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售.已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测不合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互独立. (1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率为； (2)若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利元，若不能在该超市销售，则每箱亏损元，现有箱这种蔬菜，求这箱蔬菜总收益的均值. 变式3．（24-25高二上·辽宁·期末）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 考点二 二项分布中的概率最值问题 例1．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有：，． (1)若从样本中喜欢春节联欢晚会的人里随机挑选2人，求这两人恰好都是男生的概率． (2)现从这100名女生中，按喜欢联欢晚会与不喜欢联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为X．求X的概率分布列和方差； (3)将样本的频率视为概率．现从全校的学生中随机抽取n名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为Y，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数n． 例2．（25-26高二下·北京顺义·期中）入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能.为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛.老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果.活动中，高三年级 500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表. 壶1 壶2 壶3 投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中 高三年级 40 160 90 60 60 90 假设用频率估计概率 (1)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率. (2)投壶活动结束后，高三学生自发编织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶 3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽.当学生投完三支箭，挑战结束.某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，设这位学生在“过关比赛”中投中的次数为，求分布列和的数学的期望. (3)为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投 20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶 2的概率，那么在投完 20次之后，这位同学投中壶 2多少次的概率最大?(只需写出结论) 例3．（25-26高二下·山东青岛·期中）某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛结果相互独立. (1)若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束.已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为.求甲乙决出冠军时比赛局数X的分布列与数学期望； (2)若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.已知甲乙进行了n局比赛且甲胜了11局，试给出n的估计值（X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得最大的n的值作为n的估计值） 变式1．（25-26高二下·湖北武汉·阶段检测）在近期的中东冲突中，某武装力量的一种精准制导导弹的命中率为，各枚导弹是否命中相互独立． (1)若对某一处军事设施同时发射3枚导弹，记事件A为“恰有两枚导弹命中目标”，事件B为“第二枚导弹命中目标”，判断A与B是否相互独立； (2)若对某一处军事设施同时发射10枚导弹，记随机变量X为导弹命中的数量，求使取最大值时k的值； 变式2．（24-25高二下·云南楚雄·阶段检测）某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立. (1)从一批产品中随机抽取件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率； (2)若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列与期望. 变式3．（24-25高二下·山东烟台·阶段检测）为了更好了解两会知识，某高中拟组织一次两会知识测试，从全校学生中随机抽取30人进行模拟测试，其中高一年级组12人，高二年级组10人，高三年级组8人，测试共分为两轮. (1)第一轮测试按高一､高二､高三3个小组顺次进行，若一切正常，参测小组完成测试的时间为20分钟；若出现异常情况，则参测小组需要延长5分钟才能完成测试.已知每一小组正常完成测试的概率均为，且各小组是否正常完成测试互不影响.记3个小组全部完成测试所需总时间为，求的分布列； (2)第二轮测试将3组同学混合进行排序，每位同学按排序顺次进行面试，且每人测试时间相等. ①求最后一名同学来自高一年级组的条件下，高二年级组同学比高三年级组同学提前完成面试的概率； ②若所有参加面试的同学都可以得到一本“两会纪念册”，成绩优秀的同学还可以多得一本“两会纪念册”，已知每一名同学面试成绩优秀的概率均为，设这30名同学所得“两会纪念册”总数恰好为个的概率为，当取最大值时，求的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $