期末复习：古典概型、概率的性质、独立事件的乘法公式 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦古典概型、概率性质及独立事件三大模块，通过分层递进的例题与变式，构建从基础概念到综合应用的概率知识体系，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |古典概型|6题（3例+3变式）|解答题为主，含样本空间列举、频率分布直方图应用|以样本空间为基础，区分有放回与不放回抽样，衔接统计图表分析| |概率的性质|12题（6例+6变式）|选择（含多选）、填空题，考互斥对立概念辨析|从互斥事件概率加法切入，深化对立事件关系，强化概念理解| |独立事件的乘法公式|6题（3例+3变式）|解答题，结合实际情境（招聘、比赛等）|基于事件独立性判定，应用乘法公式解决多事件概率计算，体现数学应用意识|

期末复习：古典概型、概率的性质、独立事件的乘法公式专项训练 期末复习：古典概型、概率的性质、独立事件的乘法公式专项训练 考点目录 古典概型 概率的性质 独立事件的乘法公式 考点一 古典概型 例1．（25-26高一下·天津·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字和为5的概率．（要求先列出样本空间和随机事件再求） (1)标签的选取是不放回的； (2)标签的选取是有放回的． 例2．（25-26高一下·广东东莞·月考）从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 例3．（25-26高二上·湖北宜昌·期末）某校为了调查学生的课外阅读情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他们的周平均课外阅读时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图估计全校学生周平均课外阅读时间的平均数（每组数据取区间的中点值作代表）、众数与中位数， (2)用分层抽样的方法从，，三组中抽取6人，求从这6人中随机选出2人，这2人恰好在同一组的概率． 变式1．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）中国新能源技术领跑世界，新能源汽车备受人们欢迎.某科研所新研发了一种新能源汽车，为检测这类汽车的续航能力，在不同路段进行了500次实验，根据续航能力（单位：百公里）分成，共六组，并制作如下频率分布直方图. (1)求续航能力在区间内的实验次数； (2)估计这类汽车的续航能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)若按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取7次实验，再从这7次实验中随机抽取2次实验，求这2次实验中有续航能力在中的实验的概率. 变式2．（25-26高一下·湖南株洲·月考）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，设复数． (1)求事件“为实数”的概率； (2)求事件“”的概率． 变式3．（25-26高一下·福建泉州·月考）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18．现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛． (1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数； (2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为，，，，，．现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛． ①用所给编号列出所有可能的结果； ②设为事件“编号为和的两名运动员中至少有1人被抽到”，写出该事件的集合表示． 考点二 概率的性质 例1．（25-26高二下·上海·期中）设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 例2．（2026·浙江台州·二模）设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 例3．（25-26高一下·广东惠州·月考·多选）下列命题正确的是（    ） A．对立事件一定是互斥事件 B．若A，B为两个随机事件，则 C．若事件A，B，C彼此互斥，则 D．若事件A，B满足，则A与B是对立事件 例4．（25-26高一下·河北保定·月考·多选）已知事件两两互斥，若，，，则（   ） A． B． C． D． 例5．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知事件与事件为互斥事件，且，，则______． 例6．（24-25高一下·福建福州·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则_______. 变式1．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·湖北·期中）在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项一定正确的是（    ） A．与是互斥事件 B． C． D．是必然事件 变式3．（25-26高二上·湖南·阶段检测·多选）已知A，B是一个古典概型的样本空间中的两个随机事件，其中，则（    ） A． B． C．事件与相互独立 D．事件与互斥 变式4．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测·多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件“点数为奇数”，事件“点数为偶数”，事件“点数不大于2”，事件“点数为3的倍数”，则（    ） A．和互为对立事件 B．和不互斥 C．和互斥 D．和互斥且不对立 变式5．（24-25高一下·河北邢台·期末）已知为互斥事件，且，则__________. 变式6．（24-25高一下·福建福州·期末）已知事件A的对立事件为，，．若，则______，______ 考点三 独立事件的乘法公式 例1．（25-26高一下·北京·月考）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 例2．（25-26高一下·湖北武汉·月考）西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． (1)乙、丙两人各自能被录用的概率； (2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 例3．（25-26高一下·河北唐山·月考）某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，．若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则： (1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现几人合格的概率最大？ 变式1．（25-26高一上·山西忻州·期末）甲、乙两人进行4场投篮比赛，规定若有一人连续获胜2场，则比赛提前结束．根据以往的经验，在每场比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假设每场比赛没有平局，且各场比赛结果相互独立． (1)求打完两场比赛结束的概率； (2)求比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率． 变式2．（25-26高一上·江西景德镇·期末）今年元旦晚会，我校安排了舞蹈和歌唱等节目，参加节目海选的有20个男生，30个女生. (1)根据海选规则，甲乙两人各自能通过海选的概率分别是和，且他们各自能通过海选是相互独立的. 求：（i）甲乙都通过海选的概率； （ii）甲乙至多有一个人通过海选的概率. (2)若按性别分层抽样，从参加海选的人中选出5个人，并把他们编号为1，2，3，4，5写在不同的卡片上，再连续有放回地随机抽两次，先后抽中的两人（可以是同一个人）分别参加独唱和独舞. 求：（i）被抽中的是同一个人的概率； （ii）被抽中的不全是男生的概率. 变式3．（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）第八届长三角国际创新挑战赛安徽赛区比赛日前在马鞍山市举办，大赛聚焦新能源汽车、生物医药等前沿领域，共征集到107项技术需求，吸引了省内外众多高校与科研团队参与揭榜攻关．其中，安徽本省的一支优秀科研团队——“徽创未来”团队，已成功进入现场赛的最终答辩环节．该团队共有6名核心成员，按研究方向分为三个小组：硬件组2人、算法组2人、数据组2人．现从6人中随机抽取3人组成现场答辩代表小组，每名成员被抽中的概率相等． (1)求事件“硬件组的和算法组的同时被抽中”的概率； (2)求事件“硬件组恰有1人被抽中”的概率； (3)已知答辩代表小组的3人中至少有2人答辩通过，该团队答辩通过．现被选中组成答辩代表小组，三人各自答辩通过的概率分别为，三人答辩通过相互独立，求该团队答辩通过的概率． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：古典概型、概率的性质、独立事件的乘法公式专项训练 期末复习：古典概型、概率的性质、独立事件的乘法公式专项训练 考点目录 古典概型 概率的性质 独立事件的乘法公式 考点一 古典概型 例1．（25-26高一下·天津·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字和为5的概率．（要求先列出样本空间和随机事件再求） (1)标签的选取是不放回的； (2)标签的选取是有放回的． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设不放回抽取两张标签数字和为5的事件为， 基本事件总数为， 样本空间为，，，，， 事件包含的基本事件数4，，，，， ． （2）设有放回抽取两张标签数字和为5的事件为， 基本事件总数为， 样本空间为，，，，. 事件包含的基本事件数4，即，，，， ． 例2．（25-26高一下·广东东莞·月考）从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不放回抽样：先列出所有可能的样本点，确定恰有一件次品的样本点，根据古典概型概率公式计算即可； （2）放回抽样：先列出所有可能的样本点，确定恰有一件次品的样本点，根据古典概型概率公式计算即可. 【详解】（1）每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个， 即． 其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．基本事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的． 设事件＝“取出的两件中恰有一件次品”， 所以，所以， 所以 （2）有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为共9个样本点组成． 由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的． 设事件B＝“恰有一件次品”，则，所以， 所以. 例3．（25-26高二上·湖北宜昌·期末）某校为了调查学生的课外阅读情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他们的周平均课外阅读时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图估计全校学生周平均课外阅读时间的平均数（每组数据取区间的中点值作代表）、众数与中位数， (2)用分层抽样的方法从，，三组中抽取6人，求从这6人中随机选出2人，这2人恰好在同一组的概率． 【答案】(1)平均数为，众数为，中位数为 (2) 【分析】（1）首先根据频率分布直方图的所有矩形面积和为1，求出的值，利用频率分布直方图估计平均数，众数与中位数的算法可得答案； （2）计算、、三组的人数，根据分层抽样的比例求出每组抽取的人数；最后利用古典概型可得概率值. 【详解】（1）因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为， 所以，解得． 估计全校学生周平均课外阅读时间的平均数为： 小时． 估计全校学生周平均课外阅读时间的众数为小时． 设全校学生周平均课外阅读时间的中位数为小时，则， 解得． （2）由频率分布直方图可知，，三组数的频率的比为， 所以利用分层抽样的方法抽取人，这三组被抽取的人数分别为，，， 从这人中随机选出人，则样本空间共有个样本点， 设事件“选出的人在同一组”，则共有个样本点，所以， 即从这人中随机选出人，这人恰好在同一组的概率为． 变式1．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）中国新能源技术领跑世界，新能源汽车备受人们欢迎.某科研所新研发了一种新能源汽车，为检测这类汽车的续航能力，在不同路段进行了500次实验，根据续航能力（单位：百公里）分成，共六组，并制作如下频率分布直方图. (1)求续航能力在区间内的实验次数； (2)估计这类汽车的续航能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)若按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取7次实验，再从这7次实验中随机抽取2次实验，求这2次实验中有续航能力在中的实验的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，求得，得到续航能力在区间内的频率，进而得到答案； （2）根据题意，利用频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解； （3）由频率分布直方图，可得续航能力在和的频率，得到在中的有1次，在中的有6次，结合古典概型的概率计算公式和组合数的计算公式，即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图的性质，可得， 解得，即续航能力在区间内的频率为， 所以续航能力在区间内的实验次数为次. （2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得： ， 所以估计这类汽车的续航能力的平均数为百公里. （3）由频率分布直方图，可得续航能力在和的频率分别为， 所以按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取7次实验， 则在中的有1次实验，在中的有6次实验， 设在中的有1次实验为，在中的有6次实验分别为， 可得 所以从这7次实验中随机抽取2次实验，共有种不同的取法， 设事件“这2次实验中有续航能力在中的实验”， 可得，共有6个基本事件， 所以事件的概率为 可得这2次实验中有续航能力在中的实验的概率为. 变式2．（25-26高一下·湖南株洲·月考）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，设复数． (1)求事件“为实数”的概率； (2)求事件“”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若为实数，则该复数的虚部为0，可解得，所以第二次抛掷出现的点数，即事件“为实数”的概率为； （2）由题意，结合复数模的计算，有，逐个分析所有的可能，先确定的取值，再分析可能的取值，经计算，共有9种情况下可使事件“”成立，又，的取值情况共有种，进而可求得该事件的概率. 【详解】（1）若为实数，即为实数，所以， 故该事件只与第二次抛掷骰子有关，与第一次抛掷骰子无关， 又依题意，第二次抛掷出现的点数可取1，2，3，4，5，6， 故出现的概率为， 即事件“为实数”的概率为. （2）由已知， 可知，的值只能取1，2，3， 当时，，即可取1，2，3，4， 当时，，即可取1，2，3，4， 当时，，即可取2， 由上可知，共有9种情况下可使事件“”成立， 又，的取值情况共有种， 故事件“”的概率为. 变式3．（25-26高一下·福建泉州·月考）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18．现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛． (1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数； (2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为，，，，，．现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛． ①用所给编号列出所有可能的结果； ②设为事件“编号为和的两名运动员中至少有1人被抽到”，写出该事件的集合表示． 【答案】(1)从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2 (2)①，，，，，，，，，，，，，， ；② 【分析】（1）根据分层抽样的抽样比公式进行求解即可； （2）①运用列举法进行求解即可； ②根据题意用列举法进行求解即可. 【详解】（1）甲、乙、丙三个协会共有的运动员人数为， 则应从甲协会抽取（人）， 从乙协会抽取（人）， 从丙协会抽取（人）． 故从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2； （2）①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为，，，，，，，，，，，，，，，共15种． ②事件可用集合表示为． 考点二 概率的性质 例1．（25-26高二下·上海·期中）设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】事件互斥，则不能同时发生． A选项：，所以A正确； B选项：，所以B正确； C选项：互斥事件，所以，所以C错误； D选项：互斥，，所以D正确. 例2．（2026·浙江台州·二模）设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，任意事件的概率都满足，故成立； 对于B，因是事件的对立事件，则，所以，故成立； 对于C，因为，则事件包含事件所有的样本点，所以，故成立； 对于D，由，仅能说明事件和事件的并集为样本空间，但并未说明事件和事件是否互斥， 由概率的加法公式，因此，只有当，即时，才成立，故不一定成立. 例3．（25-26高一下·广东惠州·月考·多选）下列命题正确的是（    ） A．对立事件一定是互斥事件 B．若A，B为两个随机事件，则 C．若事件A，B，C彼此互斥，则 D．若事件A，B满足，则A与B是对立事件 【答案】AB 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案． 【详解】对于A，根据对立事件与互斥事件的关系，可知A显然是正确的； 对于B，当与是互斥事件时，才有，对于任意两个事件A，B，满足，所以B正确； 对于C，事件A，B，C彼此互斥，但不一定是全体样本空间，故不一定等于1，还可能小于1； 对于D，只要等于全体样本空间，必定有，但事件与不一定互斥,故D错误． 故选：AB 例4．（25-26高一下·河北保定·月考·多选）已知事件两两互斥，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据互斥事件的概念、互斥事件概率加法公式得解. 【详解】对于A，因为事件两两互斥， 所以，故A错误； 对于B，由，得，故B正确； 对于D，由，得，故D正确； 对于C，因为，故C正确. 故选：BCD. 例5．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知事件与事件为互斥事件，且，，则______． 【答案】 【分析】由互斥事件概率加法公式可得答案. 【详解】由题意可得． 故答案为： 例6．（24-25高一下·福建福州·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则_______. 【答案】 【分析】利用对立事件的概率公式求出，再利用互斥事件的加法公式求出，最后结合并事件的概率公式求解即可. 【详解】由对立事件的概率公式得， 由互斥事件的加法公式得， 而，得到，解得， 由并事件的性质得. 故答案为： 变式1．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ． 变式2．（25-26高二上·湖北·期中）在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项一定正确的是（    ） A．与是互斥事件 B． C． D．是必然事件 【答案】C 【分析】通过举反例说明A和D不正确；通过交事件的性质、并事件的概率的求法判断B和C. 【详解】对于A，若，则.故A不正确； 对于B，， 解得，故不一定等于，故B不正确； 对于C，由得，故C正确； 对于D，若，则.故D不正确. 故选：C. 变式3．（25-26高二上·湖南·阶段检测·多选）已知A，B是一个古典概型的样本空间中的两个随机事件，其中，则（    ） A． B． C．事件与相互独立 D．事件与互斥 【答案】BC 【分析】利用容斥原理，结合古典概率公式求解判断ABD；利用相互独立事件的定义判断C. 【详解】由韦恩图可知，所以，故A，D不正确； 因为，所以，故B正确； 又，所以，故事件与相互独立，C正确. 故选：BC. 变式4．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测·多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件“点数为奇数”，事件“点数为偶数”，事件“点数不大于2”，事件“点数为3的倍数”，则（    ） A．和互为对立事件 B．和不互斥 C．和互斥 D．和互斥且不对立 【答案】ABD 【分析】利用对立事件、互斥事件的定义依次判断选项即可. 【详解】这个试验的样本空间， 事件，， 所以和互为对立事件，和不互斥，和不互斥，和互斥且不对立. 故选：ABD 变式5．（24-25高一下·河北邢台·期末）已知为互斥事件，且，则__________. 【答案】 【分析】利用互斥事件和的概率公式求得再利用对立事件的概率求解即得. 【详解】因为为互斥事件，则， 所以. 故答案为：. 变式6．（24-25高一下·福建福州·期末）已知事件A的对立事件为，，．若，则______，______ 【答案】 0.6 0.3 【分析】根据事件A的对立事件为求出，因为，则，，从而求出相应概率值. 【详解】已知事件A的对立事件为，则, 因为，根据并事件的性质： 所以; 因为，根据交事件的性质：. 所以. 故答案为：；. 考点三 独立事件的乘法公式 例1．（25-26高一下·北京·月考）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件的加法公式直接计算即可； （2）分情况结合乘法公式即互斥事件加法公式即可得解． 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，， 则，，， 应聘者用方案一考试通过的概率： ； （2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为， 考试通过的概率： . 例2．（25-26高一下·湖北武汉·月考）西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． (1)乙、丙两人各自能被录用的概率； (2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）分别设乙、丙被录用的概率为，根据题目描述条件列出方程组求解即可； （2）该事件包含四种情况，即三人都被录取（1种情况）、三人中两人被录用（3种情况），分别求概率后相加即可. 【详解】（1）设乙、丙能被录用的概率分别为， 则有，解得， 所以乙、丙能被录用的概率分别为，． （2）设甲、乙、丙能被录用的事件分别为，则，，，且相互独立， 则三人至少有两人能被录用包括， 四种彼此互斥的情况，则其概率为： . 例3．（25-26高一下·河北唐山·月考）某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，．若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则： (1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现几人合格的概率最大？ 【答案】(1)， (2)出现恰有一人合格的概率最大． 【分析】（1）先设事件并明确已知概率，由事件独立性计算三人都合格和三人都不合格的概率； （2）分别计算恰有一人和恰有两人合格的概率，比较概率大小确定最大概率的情况. 【详解】（1）设甲、乙、丙三人100m跑合格分别为事件，显然相互独立， 表示三人都合格，表示三人都不合格， 则，，， ，，， 设恰有人合格的概率为． 三人都合格的概率为， 三人都不合格的概率为， 所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率均为． （2），，两两互斥， ∴恰有两人合格的概率为 ， 恰有一人合格的概率为：， 结合（1）可知中最大，所以出现恰有一人合格的概率最大. 变式1．（25-26高一上·山西忻州·期末）甲、乙两人进行4场投篮比赛，规定若有一人连续获胜2场，则比赛提前结束．根据以往的经验，在每场比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假设每场比赛没有平局，且各场比赛结果相互独立． (1)求打完两场比赛结束的概率； (2)求比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用表示“第场比赛甲获胜”，用表示“打完两场比赛结束”，则，应用独立事件和互斥事件的概率运算公式求解； （2）用表示“比赛结束时，甲获胜的次数大于乙”，则，应用独立事件和互斥事件的概率运算公式求解. 【详解】（1）用表示“第场比赛甲获胜”， 则用表示“打完两场比赛结束”， 则. （2）若“比赛结束时，甲获胜的次数大于乙”为事件，则， 所以 . 变式2．（25-26高一上·江西景德镇·期末）今年元旦晚会，我校安排了舞蹈和歌唱等节目，参加节目海选的有20个男生，30个女生. (1)根据海选规则，甲乙两人各自能通过海选的概率分别是和，且他们各自能通过海选是相互独立的. 求：（i）甲乙都通过海选的概率； （ii）甲乙至多有一个人通过海选的概率. (2)若按性别分层抽样，从参加海选的人中选出5个人，并把他们编号为1，2，3，4，5写在不同的卡片上，再连续有放回地随机抽两次，先后抽中的两人（可以是同一个人）分别参加独唱和独舞. 求：（i）被抽中的是同一个人的概率； （ii）被抽中的不全是男生的概率. 【答案】(1)（i）（ii） (2)（i）；（ii） 【分析】（1）（i）设相应事件，结合独立事件概率乘法公式运算求解；（ii）根据题意结合对立事件概率公式运算求解； （2）（i）可知每个人被抽中的概率均为，结合独立事件概率乘法公式运算求解；（ii）可知每次抽中男生的概率为，先求两次都是男生的概率，结合对立事件概率公式运算求解. 【详解】（1）记甲、乙两人各自能通过海选分别为事件A，B，则，， （i）因为事件“甲乙都通过海选”为事件，所以； （ii）因为事件“甲乙至多有一个人通过海选”的对立事件是甲乙都通过海选，所以概率为. （2）由题意可知：抽中的男生人数为，抽中的女生人数为， （i）每个人被抽中的概率均为，所以被抽中的是同一个人的概率为； （ii）每次抽中男生的概率为，两次都是男生的概率为， 所以被抽中的不全是男生的概率. 变式3．（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）第八届长三角国际创新挑战赛安徽赛区比赛日前在马鞍山市举办，大赛聚焦新能源汽车、生物医药等前沿领域，共征集到107项技术需求，吸引了省内外众多高校与科研团队参与揭榜攻关．其中，安徽本省的一支优秀科研团队——“徽创未来”团队，已成功进入现场赛的最终答辩环节．该团队共有6名核心成员，按研究方向分为三个小组：硬件组2人、算法组2人、数据组2人．现从6人中随机抽取3人组成现场答辩代表小组，每名成员被抽中的概率相等． (1)求事件“硬件组的和算法组的同时被抽中”的概率； (2)求事件“硬件组恰有1人被抽中”的概率； (3)已知答辩代表小组的3人中至少有2人答辩通过，该团队答辩通过．现被选中组成答辩代表小组，三人各自答辩通过的概率分别为，三人答辩通过相互独立，求该团队答辩通过的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据古典概型运算公式，结合列举法进行求解即可； （2）根据古典概型运算公式，结合列举法进行求解即可； （3）根据独立事件概率公式进行求解即可. 【详解】（1）从6人中随机抽取3人的所有可能组合为：， ， ， ，共20种．         记“硬件组的和算法组的同时被抽中”为事件，则事件包含：， ，共4种，所以． （2）记“硬件组恰有1人被抽中”为事件，则事件包含：， ， ，共12种，所以． （3）记答辩通过分别为事件H，A，D，则， 记“该团队答辩通过”为事件，则，     2 学科网（北京）股份有限公司 $