期末复习：用基底表示向量、向量的数量积、向量的坐标运算 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦向量核心应用，以基底表示、数量积、坐标运算为模块，通过精选各地期中/模拟典例，构建从几何直观到代数运算的完整训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |用基底表示向量|4例+4变式（含平行四边形、三角形重心等情境）|选择/填空，强调几何图形中向量分解|基于平面向量基本定理，培养几何直观与抽象能力| |向量的数量积|8例+8变式（含投影、夹角、最值问题）|选择（多选）/填空/解答，涵盖代数与几何应用|从定义到性质应用，发展运算能力与推理意识| |向量的坐标运算|8例+8变式（含共线、垂直、投影向量）|选择（多选）/填空/解答，突出坐标化工具性|实现向量运算代数化，强化数学语言表达与模型意识|

期末复习：用基底表示向量、向量的数量积、向量的坐标运算专项训练 期末复习：用基底表示向量、向量的数量积、向量的坐标运算专项训练 考点目录 用基底表示向量 向量的数量积 向量的坐标运算 考点一 用基底表示向量 例1．（25-26高一下·四川南充·期中）如图，在平行四边形中，，若，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·湖北黄冈·三模）已知圆上有不同的三点，其中，，则实数的关系为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·上海·期中）在中，为内的一点．若为的重心，且，则__________． 例4．（25-26高一下·山东·期中）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，则______________． 变式1．（2026·重庆江北·模拟预测）在中，点D在边BC上，且，设，，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·北京西城·期末）在平行四边形中，为的中点，记，，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用，表示，则____________________. 变式4．（2026·陕西咸阳·三模）在中，D是边上的一点，且，E是上的一动点.若，则__________. 考点二 向量的数量积 例1．（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知等腰中，，，则（   ） A．2 B． C． D． 例2．（25-26高一下·湖北襄阳·阶段检测）已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·河南郑州·期中·多选）已知平面向量满足，则下列说法正确的有（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D． 例4．（2026·浙江宁波·三模·多选）已知平面内的三个非零向量满足，且，则下列说法正确的是（        ） A． B． C．的最小值为1 D．的最大值为3 例5．（2026·北京顺义·二模）已知正方形的边长为2，点为中点，则__________. 例6．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知向量，的夹角为，，，则___________． 例7．（25-26高一下·陕西西安·期中）已知向量与的夹角为，且，. (1)求的值； (2)求向量与的夹角. 例8．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）如图，的内角的对边分别为，是边的中点，点在边上，且满足，与交于点． (1)试用，表示； (2)若，，，求． 变式1．（25-26高一下·广东惠州·期中）已知两个单位向量与的夹角为，设，，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 变式2．（2026·河南·三模）已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中·多选）如图，在中，，若点为的中点，点在上，且，线段与相交于点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一下·山东青岛·期中·多选）软木锅垫一般用于餐厅、咖啡厅、酒店等公共饮食场所，可作广告饰品以提高形象．如图，这是一个边长为10厘米的正六边形的软木锅垫，则下列选项正确的是（    ） A．向量与向量是相等向量 B． C． D． 变式5．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知单位向量满足，则______. 变式6．（2026·四川成都·三模）已知向量满足与的夹角为，若，则__________. 变式7．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知． (1)若，求； (2)若的夹角为，求； (3)若，求与的夹角． 变式8．（25-26高一下·四川南充·期中）已知向量满足，且与的夹角为． (1)求； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 考点三 向量的坐标运算 例1．（2026·湖南邵阳·三模）已知向量，若，则的值为（   ） A．1 B． C．4 D． 例2．（25-26高一下·天津蓟州·期中）已知，，若与共线，则（　　） A． B． C．2 D．5 例3．（25-26高一下·贵州毕节·期中·多选）已知向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则与是共线向量 B．若，，则与互相垂直 C．若，则 D．若，，则与是相反向量 例4．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中·多选）已知平面向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 例5．（25-26高一下·浙江·阶段检测）若平面向量，，则在上的投影向量为________．（用表示） 例6．（25-26高一下·四川绵阳·阶段检测）已知向量，，且，则______. 例7．（25-26高一下·广西百色·期中）已知向量. (1)若，求； (2)若，求； (3)若，求. 例8．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知平面向量，且， (1)求在方向的投影向量的坐标； (2)若，且，求向量的坐标； (3)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 变式1．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 变式2．（25-26高一下·辽宁抚顺·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·江苏扬州·期中·多选）已知向量，则（     ） A． B．若，则 C．若，则 D．若与的夹角为钝角，则的取值范围是 变式4．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测·多选）已知向量，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量是 变式5．（2026·重庆·模拟预测）已知平面向量，，若，则______. 变式6．（2026·上海·三模）已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的投影数量为________． 变式7．（25-26高一下·重庆·期中）已知向量，，． (1)若，求． (2)若在方向上的投影向量为，求． 变式8．（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）已知向量，，． (1)求； (2)求； (3)若与夹角为钝角，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：用基底表示向量、向量的数量积、向量的坐标运算专项训练 期末复习：用基底表示向量、向量的数量积、向量的坐标运算专项训练 考点目录 用基底表示向量 向量的数量积 向量的坐标运算 考点一 用基底表示向量 例1．（25-26高一下·四川南充·期中）如图，在平行四边形中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 例2．（2026·湖北黄冈·三模）已知圆上有不同的三点，其中，，则实数的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件得，设，以O为原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系,则,由进行坐标运算，结合即可推得实数的数量关系. 【详解】因为均在圆上,且，则，且， 不妨设,以为原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系， 则,由可得, ,则，故得. 例3．（25-26高一下·上海·期中）在中，为内的一点．若为的重心，且，则__________． 【答案】1 【详解】设为边的中点，因为是三角形的重心，所以， ， ， ． 例4．（25-26高一下·山东·期中）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，则______________． 【答案】3 【详解】连接，如图所示， 因为， 所以， 又因为， 所以， 又因为三点共线， 所以，所以． 变式1．（2026·重庆江北·模拟预测）在中，点D在边BC上，且，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段的比例关系转化为向量等量关系，通过向量线性运算将用，表示后匹配选项. 【详解】，因此。 又因为，， 所以. 化简可得，即. 又，， 因此. 变式2．（25-26高三上·北京西城·期末）在平行四边形中，为的中点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，. 变式3．（25-26高一下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用，表示，则____________________. 【答案】 【详解】在中，由是的中点，， 得， 所以 变式4．（2026·陕西咸阳·三模）在中，D是边上的一点，且，E是上的一动点.若，则__________. 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算求解的表达式，通过对比系数求得正确答案. 【详解】由，得. ，故. 设()，则. . 代入的表达式，得. 与对比系数，得，. 因此，. 考点二 向量的数量积 例1．（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知等腰中，，，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】由等腰中，，则， 由. 例2．（25-26高一下·湖北襄阳·阶段检测）已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直的数量积表示以及投影向量的计算公式计算即可. 【详解】已知向量，满足，，则， 则向量在向量方向上的投影向量为. 例3．（25-26高一下·河南郑州·期中·多选）已知平面向量满足，则下列说法正确的有（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，结合数量积的运算律可得及的值，再逐项求解判断． 【详解】由，得是非零向量，且， 所以， 又所以． 对于 ， 又是非零向量，因此，故A正确； 对于B，由，得， 则，即， 当且仅当同向共线时取等号， 解，得，故B正确； 对于C，，当且仅当时取等号， 所以 的最小值为，故C错误； 对于D，由题意知，关于的方程有非负实数解，且至少有一个非负实数解， 由韦达定理知两根之积为4，而，所以两根同号，均为正， 所以两根之和，即，所以. 由得，即 解得， 而，因此，故D正确. 例4．（2026·浙江宁波·三模·多选）已知平面内的三个非零向量满足，且，则下列说法正确的是（        ） A． B． C．的最小值为1 D．的最大值为3 【答案】ABD 【详解】条件即 ，故A正确； 由，故， 正三角形中， 轨迹为圆． 对B：即 ，故B正确； 对，即，由极化恒等式， ， 为中点，，故，故D正确． 故选择：ABD.    例5．（2026·北京顺义·二模）已知正方形的边长为2，点为中点，则__________. 【答案】3 【详解】在边长为2的正方形，点为中点，， 所以. 例6．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知向量，的夹角为，，，则___________． 【答案】 【分析】利用垂直关系的向量表示求出，根据向量数量积的定义求得，结合数量积的运算律求解即可. 【详解】由，得，即，所以. 又，所以，即. 所以. 例7．（25-26高一下·陕西西安·期中）已知向量与的夹角为，且，. (1)求的值； (2)求向量与的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积公式先求，再通过模的平方公式计算； （2）先计算与的数量积及，再结合夹角公式求解夹角. 【详解】（1）. ， 故. （2）. ， 故. 设向量与的夹角为， 则， 又， 故. 例8．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）如图，的内角的对边分别为，是边的中点，点在边上，且满足，与交于点． (1)试用，表示； (2)若，，，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则得到，设，根据平面向量共线定理的推论求出，即可求出； （2）首先用、表示出、，再根据数量积的运算律及定义计算可得. 【详解】（1）因为，所以，即， 设，所以， 又、、三点共线，所以，解得，所以. （2）因为， 设， 又、、三点共线，所以，解得，所以， 所以， 又，即， 即，解得或（舍去）. 变式1．（25-26高一下·广东惠州·期中）已知两个单位向量与的夹角为，设，，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】根据题意可得， 则． 变式2．（2026·河南·三模）已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由投影向量公式求出，再结合向量的数量积公式与运算律即可求解. 【详解】设， 由题意得，解得， 则. 变式3．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中·多选）如图，在中，，若点为的中点，点在上，且，线段与相交于点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据余弦定理解出三角形，再根据向量共线，向量数量积及利用向量数量积求夹角余弦值的计算方法，可逐个判断选项正误． 【详解】对于A：因为， 由余弦定理， 所以，故A正确； 对于B：因为点在BC上，且， 所以，故B正确； 对于C：因为为AB的中点，， 所以， 则 ，故C不正确； 对于D：由已知，，又，所以， 又， 则， 所以，故D不正确. 变式4．（25-26高一下·山东青岛·期中·多选）软木锅垫一般用于餐厅、咖啡厅、酒店等公共饮食场所，可作广告饰品以提高形象．如图，这是一个边长为10厘米的正六边形的软木锅垫，则下列选项正确的是（    ） A．向量与向量是相等向量 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】根据相等向量的定义判断A，根据数量积的定义判断B，C，根据向量的线性运算定义求，再解三角形求其大小，判断D. 对于A，由图可得向量与向量方向相同，大小相等， 所以向量与向量相等向量，A正确． 对于B，由图易得，，则向量与向量的夹角为， 则，B错误． 如图，因为，， 则，C正确． 为正三角形，连接交于点，由对称性可知，， 且，，则，， 故，D正确．    变式5．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知单位向量满足，则______. 【答案】/ 【分析】由求解即可. 【详解】， 又，为单位向量， 故，解得， 又， 所以. 变式6．（2026·四川成都·三模）已知向量满足与的夹角为，若，则__________. 【答案】 【详解】因为与的夹角为，所以. 因为，所以， 解得. 变式7．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知． (1)若，求； (2)若的夹角为，求； (3)若，求与的夹角． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据向量平行得到两向量的夹角，结合数量积公式计算即可； （2）根据展开即可求解； （3）根据向量垂直，展开后结合数量积的计算公式即可求解. 【详解】（1）若，则与的夹角为或， 所以 或. （2）若的夹角为， 则 ， 所以． （3）若，则，即， 所以 ，即 ，解得， 又，所以． 变式8．（25-26高一下·四川南充·期中）已知向量满足，且与的夹角为． (1)求； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）由题意得，故； （2）因为与的夹角为锐角，所以， 即，解得， 若与共线，则，得，此时两向量夹角为0， 综上，的取值范围是． 考点三 向量的坐标运算 例1．（2026·湖南邵阳·三模）已知向量，若，则的值为（   ） A．1 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由题意得，， 因为，所以，得. 例2．（25-26高一下·天津蓟州·期中）已知，，若与共线，则（　　） A． B． C．2 D．5 【答案】C 【详解】与共线，，解得， ，， . 例3．（25-26高一下·贵州毕节·期中·多选）已知向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则与是共线向量 B．若，，则与互相垂直 C．若，则 D．若，，则与是相反向量 【答案】ABD 【详解】已知，，逐一分析选项： 选项A：若，则为零向量，零向量与任意向量共线，因此与是共线向量，A正确. 选项B：若，则， ，因此与互相垂直，B正确. 选项C：若，则，此时，仅表示向量模长相等，但不是相等向量，C错误. 选项D：若，则，满足相反向量定义，因此与是相反向量，D正确. 例4．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中·多选）已知平面向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【分析】利用向量垂直时的坐标公式判断选项A；根据已知条件，利用向量线性运算的坐标形式，建立等量关系判断选项；根据投影向量的公式，代入坐标求值即可判断选项；根据向量夹角为锐角可得数量积大于，验证共线时的的取值，即可判断选项. 【详解】解：选项A，， ， 又，，， 解得，A正确； 选项B，，， ，解得，B正确； 选项C，在上的投影向量为，则，所以， 代入坐标得，化简得，易知方程无解，C错误； 选项D，与夹角为锐角，，解得， 若与共线，则，解得， 而当时，取不到，因此与夹角为锐角时，，正确. 例5．（25-26高一下·浙江·阶段检测）若平面向量，，则在上的投影向量为________．（用表示） 【答案】 【分析】由投影向量计算公式结合题设可得答案. 【详解】根据投影向量定义知：在上的投影向量为. 例6．（25-26高一下·四川绵阳·阶段检测）已知向量，，且，则______. 【答案】 【详解】由. 所以. 例7．（25-26高一下·广西百色·期中）已知向量. (1)若，求； (2)若，求； (3)若，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量减法坐标运算以及向量模的坐标公式计算即可； （2）利用两向量垂直的充要条件建立等式求解即可； （3）利用向量加法坐标运算、数乘坐标运算以及两向量平行（共线）的充要条件建立等式求解即可； 【详解】（1）当时，，则，所以. （2）因为，所以，又，所以，解得：. （3）因为，所以， 又，所以，解得：. 例8．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知平面向量，且， (1)求在方向的投影向量的坐标； (2)若，且，求向量的坐标； (3)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用在上的投影向量为求解即可； （2）设，然后根据已知条件列方程组求解即可； （3）由题意可得且与不共线，从而可求出实数的取值范围. 【详解】（1），， 故，所以 所以在上的投影向量为 所以在上的投影向量为. （2）设，， ，又， 或， 或 （3）因为， 所以，， 因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线 即 解得且 即k的取值范围是 变式1．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】已知向量，若， 则，解得． 变式2．（25-26高一下·辽宁抚顺·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由投影向量公式求解即可. 【详解】由题意可得向量在向量上的投影向量是： . 变式3．（25-26高一下·江苏扬州·期中·多选）已知向量，则（     ） A． B．若，则 C．若，则 D．若与的夹角为钝角，则的取值范围是 【答案】ABC 【分析】利用向量数量积的坐标运算公式，可判定A正确；根据共线向量的坐标表示，列出方程，可判定B正确；利用向量垂直的坐标表示，列出方程，可判定C正确；根据且与不共线，求得的范围，可判定D错误. 【详解】由向量， 对于A，由向量数量积的坐标运算，可得，所以A正确； 对于B，由，可得，解得，所以B正确； 对于C，由，可得，解得，所以C正确； 对于D，因为与的夹角为钝角，则向量满足且与不共线， 由，可得， 当与共线时，即时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为，所以D错误. 变式4．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测·多选）已知向量，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量是 【答案】BD 【详解】A选项：，则，故A选项错误； B选项：，故B正确； C选项：，故C错误； D选项：在方向上的投影向量，故D正确． 变式5．（2026·重庆·模拟预测）已知平面向量，，若，则______. 【答案】 【详解】，因为，所以， 所以 ，解得. 变式6．（2026·上海·三模）已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的投影数量为________． 【答案】 【详解】由，，可得，， 则在方向上的投影数量为. 变式7．（25-26高一下·重庆·期中）已知向量，，． (1)若，求． (2)若在方向上的投影向量为，求． 【答案】(1)6 (2)1 【分析】本题考查向量垂直的充要条件、投影向量的计算公式，结合向量的坐标运算求解未知参数 【详解】（1）先计算的坐标： ， 则， 由向量垂直的性质，两向量垂直则数量积为0， 可得 化简得，解得； （2）根据投影向量公式，在方向上的投影向量为， 先计算，， 结合题意得，解得，即 变式8．（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）已知向量，，． (1)求； (2)求； (3)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量坐标运算公式和模的计算公式计算即可； （2）利用平面向量夹角的公式计算即可； （3）由与夹角为钝角，则且与不共线，列出不等式组求解即可． 【详解】（1）由已知得，， 则． （2），， 则． （3）由与夹角为钝角得，且与不共线， 即，解得且， 故． 2 学科网（北京）股份有限公司 $