期末培优：利用导数研究双变量问题、利用导数研究极值点偏移问题 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦导数应用两大难点，通过精选例题与变式构建双变量问题及极值点偏移问题的系统性训练，强化数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用导数研究双变量问题|3例+3变式|极值点范围求解、双变量不等式证明|以导数研究函数单调性、极值为基础，构建双变量关系转化与不等式证明的逻辑链条| |利用导数研究极值点偏移问题|3例+3变式|零点存在性讨论、极值点偏移证明|在双变量问题基础上，聚焦零点分布特征，深化函数对称性与单调性的综合应用|

期末培优：利用导数研究双变量问题、利用导数研究极值点偏移问题专项训练 期末培优：利用导数研究双变量问题、利用导数研究极值点偏移问题专项训练 考点目录 利用导数研究双变量问题 利用导数研究极值点偏移问题 考点一 利用导数研究双变量问题 例1．（25-26高二下·重庆江津·期中）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)设，若，为的两个极值点，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. (2). 【分析】（1）求函数的导数，根据的正负判断函数的单调性，因式分解将问题转化为关于的含参一元二次不等式，对参数分类讨论即可. （2）函数在上有两个极值点，即方程有两个不相等的正实根，利用判别式求参数的范围，利用韦达定理求出和的值，整体代入已化简的式子，再将所求问题转化为求关于的函数的值域，根据导数的正负判断函数的单调性，求出的值域，即可得出的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域，， 令得，. 当时， 令得，或；令得，. 所以，在和上单调递增，在上单调递减. 当时，，当且仅当时取等号， 此时在上单调递增. 当时， 令得，或；令得，. 所以，在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2），定义域为， ， 因为和是的两个极值点，所以方程有两个不同的正实根和， 即方程有两个不同的正实根和， 则，解得. ， ， ， 将和代入上式得， ， 令，则， 由得，，即，所以在上单调递减， 当时，，得， 当时，， 得的范围为， 即的取值范围为. 例2．（25-26高二下·广东江门·期中）已知函数，为的导函数.若的两个极值点分别为和，且. (1)求实数的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1). (2)证明见解析. 【分析】（1）由题意得是方程的两个正根，进一步转化为与有两个不同的交点，然后利用导数求出的单调区间和极值分析求解即可； （2）由（1）可知，由得，则可得，令，利用导数求出其单调区间和最值，从而可证得结论. 【详解】（1），且定义域． 因为有两个极值点，所以是方程的两个正根， 即有两个正根. 令，则， 令，解得. 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值，为， 当时，， 又当时，，当时，， 所以当时，，当时，， 所以时，的图象与直线有两个不同的交点，所以. （2）由（1）可知，且时，，又，所以. 令，则，在上单调递增，又， 所以时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，则， 又因为，所以， 所以，即. 例3．（25-26高二下·黑龙江·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，求的单调区间； (3)若存在，使得，求证：. 【答案】(1)； (2)单调递减区间为，单调递增区间为； (3)证明见解析. 【分析】（1）求导得函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数，利用导数求出单调区间. （3）利用导数求得，确定函数单调性，由此可得，再按分类并构造函数，利用单调性证明不等式. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）依题意，的定义域为，求导得， 令函数，求导得， 函数，即在上单调递增，而，则当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）函数，求导得， 则函数在上单调递减，又，则当时，；当时，， 由，得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且，则， 若存在，使得，则， 当时，，满足； 当时，，此时或， 当时，，不等式显然成立； 当时，要证，即证明，而，在上单调递增， 因此要证明，即证明，又，即证明. 令函数， 求导得，令， 求导得， 函数在上单调递减，，即，函数在上单调递增， 因此，即在区间上恒成立，则， 由，得， 由函数在上单调递增，得，即， 所以. 变式1．（25-26高二下·广东东莞·期中）已知函数有两个零点． (1)求的取值范围； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分，，，三种情况结合单调性与最值及函数零点存在性定理分类讨论求解即可； （2）构造函数，利用导数证明即可. 【详解】（1）． ①当时，只有一个零点，不合题意． ②当时，可得下表． 1 － 0 ＋ 减 最小值 增 由，，可得在上有一个零点． ， 令且， 可得， 所以在上也有一个零点，满足题意． ③当时，再分三种情况讨论． （i）当时，，单调递增，至多有一个零点，不满足题意， （ii）当时，，列表如下． 1 ＋ 0 － 0 ＋ 增 极大值 减 极小值 增 因为，所以至多有一个零点，不满足题意， （iii）当时，，列表如下． 1 ＋ 0 － 0 ＋ 增 极大值 减 极小值 增 因为当时，，，所以，至多有一个零点，不满足题意， 综上，的取值范围为； （2）欲证，即证． 由（1），设，得． 又由（1）知在上单调递减，所以欲证，即证． 又，即证． 设， 则 ． 由，得，从而，，在上单调递增， 所以，得，原命题得证． 变式2．（24-25高二下·福建龙岩·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若，证明：； (3)已知对于任意，直线与曲线有唯一公共点的实数的值组成的集合为，求证：. 【答案】(1)减区间为，增区间为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出导函数，解不等式即可求解单调区间. （2）设，利用导数研究函数单调性，由即可证明. （3）法一：设，令，，利用零点存在性定理得存在使，令，求导函数后按照和分类讨论研究函数的单调性，进一步判断在区间内至多有一个零点即可； 法二：由已知得，设，多次求导研究函数的单调性，进一步判断在区间内至多有一个零点即可. 【详解】（1）. 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为. （2）设，则 令，， 由于，所以， 从而， 即，则在上单调递增. 所以，即. ∵，且在上单调递增，∴，即. （3）法一：设， 令，，设， 则， ， 所以，即存在使， 所以，对于任意的及，直线与曲线有公共点. 令， 以下证明，当，对任意，函数在区间上至多有一个零点. 易知. ①当时，，此时函数在区间内单调递减， 所以，函数在区间内至多有一个零点； ②当时，关于的方程，即有两个不同的实数根， 分别记为，，不妨设，可得. 易知，函数在区间和内单调递减，在区间内单调递增. 所以函数的极小值. . 而，又，所以. 所以在区间内至多有一个零点，得证. 法二：由已知得，设，， ，则， 所以在上单调递增，在上单调递减. ， 当时，，即，即在上单调递减， 当无限趋向于0且时，无限趋向于正无穷大； 当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于0. 当时，直线与曲线有唯一公共点. 变式3．（24-25高二下·山东日照·期末）已知函数 (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若有3个零点，，，且. （i）求实数的取值范围； （ii）比较与的大小，并证明你的结论. 【答案】(1) (2)（i） （ii），证明见详解. 【分析】（1）通过求导得出切线斜率，找到切点坐标，再利用点斜式得到切线方程. （2）（i）明确函数定义域，分析导数构成，其分子为二次函数，函数有三个零点时，该二次函数有两个不同的正根，进而确定参数的范围. （ii）已知三个零点的大小关系，其中一个零点可直接确定，结合二次函数根的性质及函数单调性，分析零点之和的范围，进而比较所求表达式与二倍参数的大小. 【详解】（1）当时，， 则，即，切线的斜率为， 又，切点为， 故在点处的切线方程为，即. （2）（i）函数，则， ①当时，， 在单调递增，此时有1个零点，不满足题意，舍掉. ②当时，， 在单调递增，此时有1个零点，不满足题意，舍掉. ③当时，令，即，解得或， 令，得；令，得或， 在单调递减，在和单调递增， ，，，又， ，当时，,，在上恰有一个零点， ，当时，,因为一次函数的增长速度大于对数函数的增长速度,所以，在上恰有一个零点， 又在上只有一个零点，故函数有三个零点， 综上所述，实数的取值范围为. （ii），且， 由以上可知，则， 且，， ，则，， 又，即， 而=， 令，，则， 故在上为增函数，， ，，， 故. 考点二 利用导数研究极值点偏移问题 例1．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围； (3)若有两个零点，，证明. 【答案】(1)当时，在单调递减；当时，在单调递减，在单调递增． (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，分，讨论导函数的符号，可得函数的单调性. （2）根据函数的单调性，求函数的极值，根据极值的符号和函数零点的存在性判定定理求实数的取值范围. （3）问题转化为极值点偏移问题进行证明.设，分析函数的单调性，即可证明问题. 【详解】（1）因为， 所以. （ⅰ）若，则，所以在上单调递减； （ⅱ）若，则由得． 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点，不合题意； （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值为． ①当时，由于，故只有一个零点，不合题意； ②当时，因，即，故无零点，不合题意； ③当时，，即． 又，故在有一个零点． 设正整数满足， 则． 由于，因此在有一个零点． 综上，的取值范围为． （3）由（2）可设极值点，即，且，． 由（2）不妨设. 要证．只需证，其中. 而在单调递增，故只需证． 又，即证：． 令， 则， , 设，根据基本不等式，（因为，等号不可取）. 设，则为开口向上的抛物线，对称轴为. 因为当时，，所以在上单调递增. 因为. 所以当时，，即. 所以在上恒成立． 因此在单调递增，故． 即，结合，得， 因、，且函数在该区间单调递增，故． 整理得：，得证． 例2．（25-26高二下·湖北武汉·阶段检测）已知函数有两个零点，且． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)的取值范围是； (2)由是的零点，得，，所以， 令，则，代入上式得，所以，： 要证，即证， 因为，等价于证明： 令，， 令，， 时，，故在单调递增，所以， 所以在单调递增，故，即， 所以． 【分析】（1）先对函数求导，分析单调性，找到极小值点；函数有两个零点等价于极小值小于，结合极限趋势，解得； （2）利用为零点的条件，通过两式相除引入参数，将转化为关于的表达式；构造函数并求导，证明该表达式恒大于，完成极值点偏移类问题的证明． 【详解】（1）函数有两个零点，即方程有两个不同的实根， 当时，， 所以在上为增函数，最多只有一个零点，不符合题意， 当时，， 令，解得， 时，，单调递减；时，，单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，且， 因为有两个零点，所以，即，解得， 又当时，，，故； 当时，增长速度远大于，故， 所以，当时，有两个零点， 综上，的取值范围是； （2）略 例3．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）已知函数． (1)若函数在上是减函数，求实数m的取值范围； (2)若函数在上存在两个极值点，，且，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）把问题转化为在定义域上恒成立，即，然后利用导数求出的最大值即可； （2）由，令，问题转化为在上恒成立，构造函数，只需利用导数证明在上单调递增即可. 【详解】（1）∵在上是减函数， ∴在定义域上恒成立， ∴，设，则， 由，得，由，得， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴．∴． 故实数m的取值范围是． （2）由（1）知， ∵函数在上存在两个极值点，，且， 则由，两式相加、相减分别可得与， ∴，∴， 设，则，要证， 只需证，只需证，只需证， 构造函数，则， ∴在上单调递增， ∴，即，∴． 变式1．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知函数存在两个不同的极值点． (1)求实数的取值范围； (2)设，求的最大值； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意知有两个不同的实根，即方程有两个不同实根，令，通过求导求出的单调性，结合图象即可求出答案； （2），通过求导求出的单调性，即可求出答案； （3）函数，证明出，再证明在上单调递减，从而得到，结合第（2）问即可求出答案. 【详解】（1）由题意知． 因存在两个不同的极值点，故有两个不同的实根， 即方程有两个不同实根． 令，则． 令，因恒成立，故在上单调递减． 又，故： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 所以在处取得极大值即最大值，且． 又，，当，， 要使直线与图象有两个不同交点，必须满足． 当时，易知函数存在两个不同的极值点，符合题意， 故实数的取值范围是． （2）， ， 令， 所以单调递增，又， 所以当时，，则在上单调递减； 当时，，则，在上单调递增． 因此在处取得最大值，． 即的最大值为． （3）由（1）知．不妨设． 因在上递增，上递减，且，故必有． 构造函数， 当时，，即恒成立． 因为，所以．又，故． 因为，且在上单调递减， 所以，即． 当时，，此时，故在上单调递减． 由于，故． 于是． 由（2）知，当时，． 因为，所以． 综上可得，，原命题得证． 变式2．（2026·山西晋中·二模）已知函数，其中． (1)讨论的单调性． (2)若函数有两个不同的零点． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. (2)①；②证明见解析 【分析】（1）先确定函数定义域为，对函数求导并通分因式分解，把导函数化成整式乘积形式.以参数为分类依据，先讨论时导函数符号，再讨论时比较导函数两个零点与1的大小，分三种情况判断导函数正负，进而得到每一段的单调区间，分类标准清晰、不重不漏. （2）①先化简解析式，将函数有两个零点转化为对应方程有两个正根，分离参数变形为构造新函数.求导研究的单调性、最值与极限趋势，判断函数变化特征，利用直线与曲线有两个交点的条件，列出不等式求解出的取值范围. ②利用零点满足的方程，作和作差得到对数关系式，两式相除构造齐次式.采用极值点偏移常规证法，换元设，把待证不等式转化为关于的函数不等式.构造辅助函数，求导判断单调性，由端点值推出，逆向还原即可证得结论. 【详解】（1）由题意可知:的定义域为，且， 若，则， 当，则;当，则; 可知在内单调递减，在内单调递增; 若，令，解得或， 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 当，即时，则 ， 可知在内单调递增; 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 综上所述:若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. （2）①有两个不同的零点， 即有两个不同实根， 若，则，只有一个实数根，不符合题意， 故，得， 令， 令，得， 当时，，可知在上单调递增， 当时，，可知在上单调递减， 当时，取得最大值，且时，， 当时，可得 可得不等式：. 先解，即，解得或. 再解，移项通分得， 等价于，即 . 因为，故不等式等价于 ， 解得， 结合或，取交集得. 所以实数的取值范围为. ②当时，有两个不同的零点. 两根满足， 两式相加得:，两式相减得:， 上述两式相除得， 不妨设，要证:，只需证: ， 即证， 设，令 ， 则 ， 可知函数在上单调递增，且. 可得，即，所以. 变式3．（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）已知函数 (1)若有两个零点，求实数的取值范围； (2)若且，证明：； (3)若且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由可得，令，令，其中，分析可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数的取值范围； （2）令，，先证明出，由已知条件得出，可得，即可证得所证不等式成立； （3）先证明，结合以及所证不等式可证得结论成立. 【详解】（1）由， 可得， 令，其中，则函数，故函数在上为增函数， 所以，故函数的值域为， 令，其中，则， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以， 因为内层函数在上为增函数， 故直线与函数的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，实数的取值范围是. （2）令，，因为函数在上为增函数，且，则， 先证明：， 不妨令，则，即证，即证. 令，即证， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数，所以， 即当时，，故. 本题中，因为，，且， 即，即， 故，所以，故， 即. （3）先证明：， 不妨令，则，即证， 即证， 令，即证， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数，故， 即，故，即. 本题中，，所以，即，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：利用导数研究双变量问题、利用导数研究极值点偏移问题专项训练 期末培优：利用导数研究双变量问题、利用导数研究极值点偏移问题专项训练 考点目录 利用导数研究双变量问题 利用导数研究极值点偏移问题 考点一 利用导数研究双变量问题 例1.(2526高=下-重肤江津期中)已知函数八=弓式+anx-(口+x. (1)当a>0时，讨论f(x的单调性： (②)设gx)=fx)+ax,若x,x为gx的两个极值点，求gx)+gx,)的取值范围. 例2.(25-26高二下广东江门期中)己知函数f（x)=(nx-2)x2-x(x>0),gx)为f(x)的导函数若f(x)的两 个极值点分别为x和x2,且x1<x2 (I)求实数m的取值范围： (2)证明：x2-x<m+2e 期末培优：利用导数研究双变量问题、利用导数研究极值点偏移问题专项训练 例3.(25-26高二下黑龙江期中)己知函数fy=hr+1-x,g)=21nr+1-x (I)求曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程； (2)设h(x)=f(x)+g(x),求h(x)的单调区间； (3)若存在x,x2∈(0，+0)，使得g(x)=f(x2),求证：xx2≤1. 变式1.(25-26高二下广东东莞·期中)己知函数fx)=(x-2)e*+a(x-1)有两个零点. (1)求a的取值范围； (2)若fx)=fx2,求证：x+x2<2. 2 期末培优：利用导数研究双变量问题、利用导数研究极值点偏移问题专项训练 变式2.(24-25高二下·福建龙岩·期末)已知函数f(x)=√x-lnx (I)求函数∫(x)的单调区间： (2)若fx)=fx2)(x1≠x2),证明：x1+x2>8; (3)已知对于任意k>0,直线y=+a与曲线y=f(x有唯一公共点的实数a的值组成的集合为A,求证： -0,0)sA. 变式3.(24-25高二下山东日照期末)已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R (1)当a=1时，求f(x)在点1，f(1)处的切线方程； (2)若f(x有3个零点X,x2,x3,且x<x2<x (i)求实数a的取值范围： (ii)比较x+2x2+x3与2a的大小，并证明你的结论 期末培优：利用导数研究双变量问题、利用导数研究极值点偏移问题专项训练 考点二 利用导数研究极值点偏移问题 例1.(25-26高二下广东广州·期中)已知函数f(x=ae2x+a-2)e-x (1)讨论f(x的单调性： (2)若∫(x)有两个零点，求a的取值范围； (3)若∫(x)有两个零点x1,x2,证明x+x2<-2lna. 例2.(25-26高二下·湖北武汉·阶段检测)已知函数f(x)=e-ax有两个零点x,2,且x<x2· (1)求a的取值范围； (2)证明：x1+x2>2. 期末培优：利用导数研究双变量问题、利用导数研究极值点偏移问题专项训练 26高三下·陕西西安阶段检测)已知函数fd=xhx-2m (1)若函数f(x)在(0，+0）上是减函数，求实数m的取值范围； (2)若函数f(x)在(0，+o上存在两个极值点x1,x2,且x<x2,证明：lnx1+lnx2>2. 变式1.(2026江苏淮安模拟预测)已知函数f(x)=x-x x2+ax-cosx存在两个不同的极值点x,x2. (1)求实数a的取值范围； (2)设g(x)=f(x)+f(-x),求g(x)的最大值； (3)求证：fx+fx2)<-2. 期末培优：利用导数研究双变量问题、利用导数研究极值点偏移问题专项训练 变式2.(2026山西晋中.二模)已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx,其中a∈R. (1)讨论(x的单调性 (②)若函数gx=f(x-x2有两个不同的零点xx2· ①求实数a的取值范围； ②证明：xx2>e2. 变式3.(25-26高二下·安徽合肥阶段检测)己知函数f(x)=x1-e)+lnx+a (I)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围； 2 (2)若fx)=f(x且x≠x2,证明：xe+x,e>二： e 3)若f)=f(x且x≠2，证明：e:<1 X X2 6