期末复习：独立事件的乘法公式、二项分布及其应用 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦独立事件乘法公式与二项分布，通过实际情境问题构建"概念应用-模型迁移-综合拓展"的递进训练体系，强化数学建模与数据分析能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |独立事件的乘法公式|3例+3变式|含概率计算、费用分布、系统决策等场景，强调分步乘法与对立事件转化|从独立事件判定到复杂情境概率分解，构建"事件独立性验证-概率公式应用-实际问题建模"逻辑链| |二项分布及其应用|3例+3变式|涉及游戏获奖、零件质量、摸球试验等，突出分布列构建与数字特征计算|以n次独立重复试验为基础，建立"二项分布识别-参数确定-期望方差计算-实际决策"的完整应用路径|

期末复习：独立事件的乘法公式、二项分布及其应用专项训练 期末复习：独立事件的乘法公式、二项分布及其应用专项训练 考点目录 独立事件的乘法公式 二项分布及其应用 考点一 独立事件的乘法公式 例1．（25-26高二下·江苏宿迁·阶段检测）甲、乙两人在罚球线投篮命中的概率分别为 与 . (1)甲、乙两人在罚球线各投篮一次，求恰好命中一次的概率； (2)甲、乙两人在罚球线各投篮两次，求这四次投篮中至少有一次命中的概率. 例2．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）某健身俱乐部周末开展促销活动，促销期间俱乐部的收费标准如下表： 健身时间（小时） 收费标准 免费 50元／人 100元／人 现有甲、乙两人相互独立地来该俱乐部健身，已知甲、乙不超过1小时离开的概率分别为小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人健身的时间都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人所付的健身费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量，求的分布列. 例3．（25-26高二下·重庆·期中）某智能系统用于处理判断题（答案只有“对”和“错”），系统内设有两个独立的预测模型，分别记为模型甲和模型乙.系统的答案输出规则如下：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，若两者答案一致，则直接输出该答案；若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此次给出的答案作为最终输出答案.已知模型甲回答正确的概率为，模型乙回答正确的概率为，假设各模型每次回答相互独立. (1)当，时，求系统第一次同时向两个模型提问时，两个模型答案不同的概率； (2)若对任意，系统最终输出正确答案的概率都不低于，求的最小值. 变式1．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）某学生在一次模拟考试中，遇到两道独立的选择题．每道题有4个选项，其中只有1个正确，该学生可以选择两种答题策略： 策略1：两道题都随机猜一个选项． 策略2：第一道题认真思考（正确概率为0.8），若第一题做对，则第二题也认真思考（正确概率仍为0.8）；若第一题做错，则第二题随机猜一个选项． (1)求在策略1下，该学生恰好答对1题的概率； (2)求在策略2下，该学生答对题数X的分布列； (3)比较两种策略下该学生答对题数的期望，并判断哪种策略更优． 变式2．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，信号的传输包含发送与接收两个环节.每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素的干扰，接收到的信号数字有可能出现错误.已知发送信号0时，接收信号为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收信号为1和0的概率分别为，，其中：，．假设每次信号的传输相互独立． (1)当连续3次发送的信号均为0时，设其相应3次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值； (2)设，当连续4次发送的信号均为1时，设其相应4次接收到的信号数字依次为，，，，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量X（注：当，，，中任意相邻的数字均不相同时，则取）．举例：若相应4次接收到的信号数字依次为1，1，0，1，则此时.求随机变量X的概率分布列和X的均值． 变式3．（25-26高二下·河北邢台·期中）某公司的技术员进行技能操作竞赛，规则如下：技能竞赛按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都操作失败，则竞赛结束；每一个阶段随机分配一个甲任务或乙任务，分配到甲任务的概率为，分配到乙任务的概率为.已知一个技术员能成功完成甲任务与乙任务的概率分别为和，且各阶段任务完成情况相互独立，完成阶段越多的获得胜利. (1)求该技术员在一个阶段中成功完成任务的概率； (2)记为该技术员在执行完第个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率，求，. 考点二 二项分布及其应用 例1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）某翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望、方差. 例2．（2026·重庆·三模）某工厂生产一种零件，其标准尺寸参数，计划生产每种尺寸零件的概率相等，实际生产过程中有10%的概率发生工艺缺陷，无缺陷时，生产出来的零件为标准尺寸，若发生工艺缺陷，则生产出来的零件尺寸会缩减为标准尺寸的一半，且每次生产过程独立进行． (1)连续生产10个该种零件，记有X个零件有工艺缺陷，求X最有可能的取值； (2)求实际生产一个零件的尺寸的分布列和期望． 例3．（25-26高二下·山东滨州·期中）某科技公司生产精密零件，零件质量指标.规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立. 附：若，则. (1)现从该公司生产的零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该公司生产的零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与数学期望. 变式1．（25-26高二下·江苏·期中）甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有3个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取3次，每次取1个球，抽取后放回，设取到红球的次数为，求的分布列及均值； (2)若从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，设从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列． 变式2．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知个盒子排成一排，每个盒子中均装有除颜色以外完全相同的1个黑球和1个白球，备用盒子中装有除颜色以外完全相同的个黑球和个白球．试验规则如下：先从备用盒子中，随机摸出一球，放入第1个盒子，再从第1个盒子中随机摸出一球放入第2个盒子，接着从第2个盒子中随机摸出一球放入第3个盒子，…，以此类推，直至从第个盒子中随机摸出一球，第一轮试验结束．    (1)若，，，记第一轮试验结束时装有1个黑球和1个白球的盒子的数量为，求； (2)若，记从第个盒子中摸出黑球的概率为，其中，，，． ①求； ②当第一轮试验结束后，将含有同色球的盒子取走，剩下的盒子按原来的顺序重新排成一排，若盒子全部取走，则试验结束，否则将备用盒的黑、白球数量复原，重复第一轮操作，以此类推，求第三轮试验结束且只剩一个盒子的概率． 变式3．（25-26高二下·福建泉州·期中）一个袋子中有20个大小相同的小球，其中黑球10个，白球10个， (1)从中有放回地抽取4个小球作为样本，用表示样本中白球的个数，求的分布列和数学期望； (2)从中不放回地抽取10个小球作为样本，用表示样本中白球的个数，则样本中出现几个白球的可能性最大？ （要求写出推导过程）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：独立事件的乘法公式、二项分布及其应用专项训练 期末复习：独立事件的乘法公式、二项分布及其应用专项训练 考点目录 独立事件的乘法公式 二项分布及其应用 考点一 独立事件的乘法公式 例1．（25-26高二下·江苏宿迁·阶段检测）甲、乙两人在罚球线投篮命中的概率分别为 与 . (1)甲、乙两人在罚球线各投篮一次，求恰好命中一次的概率； (2)甲、乙两人在罚球线各投篮两次，求这四次投篮中至少有一次命中的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件概率公式进行求解即可. (2)由题意结合对立事件概率公式求解这四次投球中至少一次命中的概率值即可. 【详解】（1）恰好命中1次，有“甲命中乙未命中”和“甲未命中乙命中”两种情况， 所以恰好命中1次的概率. （2）“甲、乙两人在罚球线各投篮二次，这四次投篮中至少一次命中”的事件是“甲、乙两人在罚球线各投篮二次，这四次投篮均未命中”的事件C的对立事件， 而 ∴甲、乙两人在罚球线各投篮二次，这四次投篮中至少一次命中的概率为 答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投篮中至少一次命中的概率为 例2．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）某健身俱乐部周末开展促销活动，促销期间俱乐部的收费标准如下表： 健身时间（小时） 收费标准 免费 50元／人 100元／人 现有甲、乙两人相互独立地来该俱乐部健身，已知甲、乙不超过1小时离开的概率分别为小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人健身的时间都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人所付的健身费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量，求的分布列. 【答案】(1) (2) 0 50 100 150 200 【分析】（1）按“两人费用均为0元、均为50元、均为100元”三类情况分类，利用独立事件概率乘法公式计算每类概率，再求和得到费用相同的概率. （2）先确定随机变量（两人健身费用之和）的所有可能取值，再结合两人不同费用的组合情况，用独立事件概率公式计算各取值的概率，列出分布列. 【详解】（1）依题意，两人都付0元的概率； 两人都付50元的概率； 两人都付100元的概率， 则甲、乙两人所付的健身费用相同的概率为. （2）由题意知，的所有可能取值为0，50，100，150，200， ， 所以的分布列为 0 50 100 150 200 例3．（25-26高二下·重庆·期中）某智能系统用于处理判断题（答案只有“对”和“错”），系统内设有两个独立的预测模型，分别记为模型甲和模型乙.系统的答案输出规则如下：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，若两者答案一致，则直接输出该答案；若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此次给出的答案作为最终输出答案.已知模型甲回答正确的概率为，模型乙回答正确的概率为，假设各模型每次回答相互独立. (1)当，时，求系统第一次同时向两个模型提问时，两个模型答案不同的概率； (2)若对任意，系统最终输出正确答案的概率都不低于，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知模型甲回答正确，模型乙回答错误或模型甲回答错误，模型乙回答正确，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）对系统最终输出正确答案进行分类讨论，利用独立事件和互斥事件的概率公式可得出关于、的不等式，结合题意可得出关于的不等式，即可解出的最小值. 【详解】（1）记事件系统第一次同时向两个模型提问时，两个模型答案不同， 则模型甲回答正确，模型乙回答错误或模型甲回答错误，模型乙回答正确， 故. （2）记事件系统最终输出正确答案，包含以下两种情况： ①系统首先同时向模型甲与模型乙提问，两者答案均为正确答案； ②系统首先同时向模型甲与模型乙提问，两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，此时模型甲回答正确. 所以对任意的恒成立， 令函数， 因为，则，所以， 所以函数在时为增函数， 故只需，整理可得， 解得， 又因为，所以，故的最小值为. 变式1．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）某学生在一次模拟考试中，遇到两道独立的选择题．每道题有4个选项，其中只有1个正确，该学生可以选择两种答题策略： 策略1：两道题都随机猜一个选项． 策略2：第一道题认真思考（正确概率为0.8），若第一题做对，则第二题也认真思考（正确概率仍为0.8）；若第一题做错，则第二题随机猜一个选项． (1)求在策略1下，该学生恰好答对1题的概率； (2)求在策略2下，该学生答对题数X的分布列； (3)比较两种策略下该学生答对题数的期望，并判断哪种策略更优． 【答案】(1) (2) X 0 1 2 P 0.15 0.21 0.64 (3)，，策略2更优 【详解】（1）每题随机猜对概率为，答错概率为． 设学生恰好答对1题为事件A，则． （2）X的可能取值为0，1，2． ， ， ． 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.15 0.21 0.64 （3）策略1服从二项分布： ． 策略2的期望： ． 因为，所以策略2更优． 变式2．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，信号的传输包含发送与接收两个环节.每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素的干扰，接收到的信号数字有可能出现错误.已知发送信号0时，接收信号为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收信号为1和0的概率分别为，，其中：，．假设每次信号的传输相互独立． (1)当连续3次发送的信号均为0时，设其相应3次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值； (2)设，当连续4次发送的信号均为1时，设其相应4次接收到的信号数字依次为，，，，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量X（注：当，，，中任意相邻的数字均不相同时，则取）．举例：若相应4次接收到的信号数字依次为1，1，0，1，则此时.求随机变量X的概率分布列和X的均值． 【答案】(1) (2) X 1 2 3 4 P 均值为 【分析】（1）由独立事件乘法公式、互斥事件加法公式得函数表达式，结合二次函数性质即可求解最小值； （2）判断X的可能取值为1，2，3，4．由独立事件乘法公式、互斥事件加法公式求出对应的概率，进而得分布列以及数学期望. 【详解】（1）由题可知， 化简得， 因为，所以当时，的最小值为． （2）由题设知，X的可能取值为1，2，3，4． ①当时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010． 因此，； ②当时，相应四次接收到的信号数字依次为 0010，0100，1101，1011，1001，0110，1100，0011． 因此，； ③当时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000． 因此，； ④当时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111． 因此，． 所以X的概率分布表为 X 1 2 3 4 P 因此，X的均值． 变式3．（25-26高二下·河北邢台·期中）某公司的技术员进行技能操作竞赛，规则如下：技能竞赛按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都操作失败，则竞赛结束；每一个阶段随机分配一个甲任务或乙任务，分配到甲任务的概率为，分配到乙任务的概率为.已知一个技术员能成功完成甲任务与乙任务的概率分别为和，且各阶段任务完成情况相互独立，完成阶段越多的获得胜利. (1)求该技术员在一个阶段中成功完成任务的概率； (2)记为该技术员在执行完第个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率，求，. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）应用全概率公式结合条件概率计算求解； （2）应用对立事件及独立事件乘法公式计算求解. 【详解】（1）设事件“分配到甲任务”，则“分配到乙任务”，事件“在一个阶段中成功完成任务”. 依题意，，，，， 因此， 所以该技术员在一个阶段中成功完成任务的概率为. （2）设事件“该技术员在第个阶段中成功完成任务”，则， 当时，挑战显然不会终止，即， 又各阶段完成任务与否相互独立， 所以当时，第1，2阶段至少成功完成一次，， ， 同理可得. 考点二 二项分布及其应用 例1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）某翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望、方差. 【答案】(1) (2)分布列 0 1 2 3 ， 【分析】（1）借助对立事件概率公式，先计算两次翻牌均未翻出花色牌的概率，再用减去该概率得到甲获得精美礼品的概率. （2）先判断随机变量服从二项分布，利用二项分布概率公式求出各取值对应的概率，列出分布列，再套用二项分布的期望、方差公式完成计算. 【详解】（1）甲获得一份精美礼品的概率为. （2）由题意得， 则，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 ,. 例2．（2026·重庆·三模）某工厂生产一种零件，其标准尺寸参数，计划生产每种尺寸零件的概率相等，实际生产过程中有10%的概率发生工艺缺陷，无缺陷时，生产出来的零件为标准尺寸，若发生工艺缺陷，则生产出来的零件尺寸会缩减为标准尺寸的一半，且每次生产过程独立进行． (1)连续生产10个该种零件，记有X个零件有工艺缺陷，求X最有可能的取值； (2)求实际生产一个零件的尺寸的分布列和期望． 【答案】(1)最有可能为1． (2) Y 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 5 P ． 【分析】（1）根据题意随机变量服从二项分布，据此计算得解； （2）求出随机变量的可能取值，计算对应的概率，列出分布列，求期望即可. 【详解】（1）由题意，， 故， 令其大于1，得，解得， 所以最有可能为1． （2）设生产一个零件的尺寸为，则的可能取值有 其分布列为： Y 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 5 P 所以期望． 例3．（25-26高二下·山东滨州·期中）某科技公司生产精密零件，零件质量指标.规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立. 附：若，则. (1)现从该公司生产的零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该公司生产的零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) 1 2 3 【分析】（1）先确定，由条件可得从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率，再结合独立重复试验概率公式求结论； （2）先求，由，判断的单调性，确定，再确定的可能取值，并求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1）因为，所以，， 所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率， 所以从该批零件中随机抽取个，恰好有个为优质品的概率为. （2）设随机抽取的个零件中，优质品的个数为. 由题意得，， 所以， 因为， 当时，， 当时，， 所以，概率最大时对应，即. 由题意可得的所有可能取值为1、2、3， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 . 变式1．（25-26高二下·江苏·期中）甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有3个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取3次，每次取1个球，抽取后放回，设取到红球的次数为，求的分布列及均值； (2)若从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，设从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列． 【答案】(1)分布列： X 0 1 2 3 P 均值为 (2)分布列： Y 0 1 2 P 【分析】（1）识别出有放回重复抽样模型服从二项分布 ，利用二项分布概率公式计算各取值的概率，再通过期望定义或二项分布期望公式求解均值. （2）以“从甲袋中取出的球的颜色”为划分依据，利用全概率公式，结合超几何分布计算不同条件下从乙袋取红球的概率，合成得到随机变量 的分布列. 【详解】（1）由题意，的可能取值为0，1，2，3， 所以，， ， ， 所以的分布列为： X 0 1 2 3 P ． 或由题意，所以． （2）设“从甲袋中取到红球”为事件，则，， 则由题意的可能取值为0，1，2， ， ， ． 所以的分布列为： Y 0 1 2 P 变式2．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知个盒子排成一排，每个盒子中均装有除颜色以外完全相同的1个黑球和1个白球，备用盒子中装有除颜色以外完全相同的个黑球和个白球．试验规则如下：先从备用盒子中，随机摸出一球，放入第1个盒子，再从第1个盒子中随机摸出一球放入第2个盒子，接着从第2个盒子中随机摸出一球放入第3个盒子，…，以此类推，直至从第个盒子中随机摸出一球，第一轮试验结束．    (1)若，，，记第一轮试验结束时装有1个黑球和1个白球的盒子的数量为，求； (2)若，记从第个盒子中摸出黑球的概率为，其中，，，． ①求； ②当第一轮试验结束后，将含有同色球的盒子取走，剩下的盒子按原来的顺序重新排成一排，若盒子全部取走，则试验结束，否则将备用盒的黑、白球数量复原，重复第一轮操作，以此类推，求第三轮试验结束且只剩一个盒子的概率． 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）先确定所有可能的操作路径，判断每个路径下装有1黑1白的盒子数量，结合古典概型计算对应概率，再根据期望公式计算； （2）①先求初始的，即从备用盒摸黑球的概率，再建立和的递推关系，通过递推关系求解的通项； ②先计算单个盒子在一轮试验后保留（即仍为1黑1白）的概率，再确定第三轮结束只剩1个盒子的概率，得到剩余盒子数服从二项分布，从而计算得到结果. 【详解】（1）由，，，得有2个盒子排成一排，每个盒子中装有的1个黑球和1个白球；备用盒子中装有1个黑球. 对于任意1个盒子，放入1个球，再摸出1个球， 若放入黑球，盒子内装有2黑1白，此时摸出黑球的概率为，摸出白球的概率为，盒子内装有1黑1白的概率为； 若放入白球，盒子内装有1黑2白，此时摸出黑球的概率为，摸出白球的概率为，盒子内装有1黑1白的概率为； 则，，； . （2）①由（1）可得，； ，； ，即. ②对于任意1个盒子，放入1个球，再摸出1个球， 若放入黑球，盒子变为2黑1白，此时摸出黑球的概率为，摸出白球的概率为，盒子被保留的概率为； 若放入白球，盒子变为1黑2白，此时摸出黑球的概率为，摸出白球的概率为，盒子被保留的概率为； 因此，在每一轮试验中，每个盒子独立地以概率被保留，以概率被取走. 对于不同盒子，由于每次摸球独立且传球的随机性不会破坏独立性，故盒子结果相互独立.因此，每一轮结束后，每个盒子以概率保留，经过三轮，每个盒子最终存活概率为，则三轮试验结果，剩余盒子数服从二项分布. . 变式3．（25-26高二下·福建泉州·期中）一个袋子中有20个大小相同的小球，其中黑球10个，白球10个， (1)从中有放回地抽取4个小球作为样本，用表示样本中白球的个数，求的分布列和数学期望； (2)从中不放回地抽取10个小球作为样本，用表示样本中白球的个数，则样本中出现几个白球的可能性最大？ （要求写出推导过程）． 【答案】(1)分布列见解析， (2)样本中出现5个白球的可能性最大. 【分析】（1）利用二项分布的概率公式可求得分布列与数学期望； （2）由题意可得服从超几何分布，则，利用，计算求解即可得结论. 【详解】（1）有放回地抽取4个小球，每次抽取均是在20个小球中抽取有20种不同的方法， 抽到白球的抽法有10种，所以每次抽到白球的概率为，所以， 所以，， ，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. （2）由题意可得服从超几何分布，则， 所以， 令，所以，所以， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以样本中出现5个白球的可能性最大. 2 学科网（北京）股份有限公司 $