期末培优：平行线的性质与角平分线的计算、平行线的性质与三角板中的角度计算专项训练-2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行线性质与角平分线、三角板结合的角度计算，通过分层例题与变式构建从静态到动态的系统性训练，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行线的性质与角平分线的计算|3例+3变式|含静态角度推导、动态射线旋转、综合实践证明|以平行线性质为基础，通过角平分线实现角关系转化，构建"性质应用-角平分线转化-综合证明"逻辑链| |平行线的性质与三角板中的角度计算|3例+3变式|涉及三角板静态放置、旋转动态探究、跨情境应用|结合三角板固定角度（30°/45°/60°/90°），从静态位置关系到旋转过程中的角度变化，深化平行线性质在动态几何中的应用|

期末培优：平行线的性质与角平分线的计算、平行线的性质与三角板中的角度计算专项训练 期末培优：平行线的性质与角平分线的计算、平行线的性质与三角板中的角度计算专项训练 考点目录 平行线的性质与角平分线的计算 平行线的性质与三角板中的角度计算 考点一 平行线的性质与角平分线的计算 例1．（25-26七年级下·江西南昌·期中）综合与实践： (1)如图1，，E为图形内一点，连接得到，求、、之间的关系，并说明理由． 探究应用：可以利用（1）中结论解决下面问题： (2)如图2，，直线分别交于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． 例2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路两旁安置了两座可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习．经观察，灯E射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯F射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射，光束交于点G． 【猜想验证】 (1)如图1，转至某刻，，，则_______°； 【应用迁移】 (2)灯E、灯F转动的速度分别是每秒2度、每秒4度．若两灯同时开始转动，如图2所示，则在灯E射线到达之前，灯F转动几秒时，？ 【实践创新】 (3)交相辉映处，饱读长安城，小明设想E、F处各有一条彩色光线，始终分别平分，，若两条角平分线所在直线交于点H，请你在图3中补全图形并探究与的数量关系，并说明理由． 例3．（25-26七年级下·贵州黔南·期中）如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分； (1)求的度数； (2)如图2，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒，在旋转过程中，若边，求的值； 变式1．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，，，的平分线交于点． ①求的度数． ②已知，为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．若，请直接写出的度数． 变式2．（25-26七年级下·北京朝阳·期中）直线，，两两相交，，过点A的直线与平行，点D是直线上一点（不与点A重合），过点D作交于点E，和的平分线所在直线相交于点P（点P不与点B，D重合）． (1)如图1所示： ①依题意补全图形； ②试探究，，之间的数量关系，并说明理由； (2)请直接写出的度数______． 变式3．（25-26七年级下·广东佛山·期中）按要求完成以下问题 (1)如图①，，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，，点E，F在直线之间，小明认为，你能帮他说出理由吗？ (3)如图，，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用α，β，γ的代数式表示） (4)结合（3）的探索经验，对这一模型进行一般化研究．若，在平行线与之间有，，，，…，，与的角平分线相交于点P，则_____；（用含，，，，…，的代数式表示） 考点二 平行线的性质与三角板中的角度计算 例1．（25-26七年级下·广东湛江·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，直角三角尺中，，． (1)【操作发现】：如图（1），当三角尺的顶点在直线上时，若，则_____°； (2)【探索证明】：如图（2），当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】：如图（3），把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点始终在直线（为直线上一点）的上方，若存在，请求出射线与直线所夹锐角的度数． 例2．（25-26七年级下·福建厦门·期中）已知两直线，且，直角三角尺中，，． (1)【操作发现】如图1，当三角尺的顶点在直线上时，若，则 °； (2)【探索证明】如图2，把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点，点始终在直线为直线上一点）的上方，若存在，请求出射线与直线所夹锐角的度数； (3)【拓展应用】如图3，改变三角尺的位置，将直角三角尺的一边放在直线上（点在直线上），另一边在直线的下方．过点作射线，使，将图3中三角尺绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（为常数），求的值． 例3．（25-26七年级下·山东临沂·期中）已知直线，且，在直角三角尺中，，三角尺的顶点在直线上．    (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，和分别与直线交于两点，探究和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，为直线上一点，绕点旋转直角三角尺，点始终在直线的上方，当时，求的度数． 变式1．（25-26七年级下·河北沧州·期中）综合与实践 【情境】在综合与实践课上，同学们利用一副直角三角板和两条平行线，探究变化过程中相关角度的变化．已知直线，在直角三角板中，，，，在直角三角板中，，． 【操作】操作一：如图1，将两块三角板的一条直角边重合，直角三角板的斜边与重合，直角三角板的顶点F在直线上． (1)在图1中，______，______； (2)利用图1，求的度数； 【探究】操作二：在操作一的基础上，直角三角板固定不动，让直角三角板绕着点G按逆时针方向旋转，旋转的度数小于．设边（或的延长线）与交于点Q． (3)如图2，当点F恰好落在上时，试判断与存在的数量关系，并说明理由； (4)当斜边与直角三角板的某一边平行时，直接写出的度数． 变式2．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“两把直角三角尺和（，，，）”为主题开展数学活动，已知． 【操作发现】 如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点． (1)若，求的度数； 【拓展探究】 (2)如图②，绕点逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点与点重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； 【结论应用】 (3)如图③，在（2）的条件下，继续将三角尺逆时针旋转，当恰好经过点时停止转动，连接，此时测得，请你猜想与的数量关系，并说明理由． 变式3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”开展数学活动． (1)如图1，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线，上，，若，则_____． (2)如图2，小亮把三角尺角的顶点放在点F处，即，，，平分交直线于点M，平分交直线于点N．将含角的三角尺绕着点F转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． (3)已知：直线，三角板中，，．三角板如图3位置放置，在线段上取点P，连接并延长交直线于点T，在线段上取点K，连接并延长交的角平分线于点Q，若，且．探究与之间的数量关系并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：平行线的性质与角平分线的计算、平行线的性质与三角板中的角度计算专项训练 期末培优：平行线的性质与角平分线的计算、平行线的性质与三角板中的角度计算专项训练 考点目录 平行线的性质与角平分线的计算 平行线的性质与三角板中的角度计算 考点一 平行线的性质与角平分线的计算 例1．（25-26七年级下·江西南昌·期中）综合与实践： (1)如图1，，E为图形内一点，连接得到，求、、之间的关系，并说明理由． 探究应用：可以利用（1）中结论解决下面问题： (2)如图2，，直线分别交于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点E作，则，由平行线的性质得，，可得； （2）利用（1）中结论可得 ， ，由，平分，可得 ，结合，可证． 【详解】（1）解： ， 如图所示，过点E作， ， ， ，， ， ， ， ；     （2）解：利用（1）中结论可得 ， ， ， ，平分， ， 又， ， 即． 例2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路两旁安置了两座可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习．经观察，灯E射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯F射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射，光束交于点G． 【猜想验证】 (1)如图1，转至某刻，，，则_______°； 【应用迁移】 (2)灯E、灯F转动的速度分别是每秒2度、每秒4度．若两灯同时开始转动，如图2所示，则在灯E射线到达之前，灯F转动几秒时，？ 【实践创新】 (3)交相辉映处，饱读长安城，小明设想E、F处各有一条彩色光线，始终分别平分，，若两条角平分线所在直线交于点H，请你在图3中补全图形并探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)35 (2)45秒或75秒 (3) 【分析】（1）过点G作的平行线，根据两直线平行，内错角相等进行求解； （2）先求出转动时间的取值范围，再分为点G在右侧和左侧两种情况进行讨论，运用第一小问作辅助线得出的结论进行求解； （3）四边形内角和是是解题的关键，运用角平分线的性质和第一小问作辅助线得出的结论进行求解． 【详解】（1）解：过点G作，如答案图①所示， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴； （2）设灯F转动t秒时，， 因为灯E、灯F转动的速度分别是每秒2度、每秒4度，则灯E射线旋转至时，，故， 当点G在右侧时，易知点G在上，如答案图②， ∵，， ∴， ∴， 解得：； 当点G在左侧时，可知灯F射线是在转到上后，返回的过程，如答案图③， ，， 由（1）可得：， 解得：， 综上所述，灯E射线到达之前，灯F转动45秒或75秒时，． （3），理由如下： 如答案图④所示， 当未到达前，设灯转动x秒，由题意可知、分别平分、， 设，， 可以得到：， 由（1）可得， 所以， 所以． 例3．（25-26七年级下·贵州黔南·期中）如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分； (1)求的度数； (2)如图2，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒，在旋转过程中，若边，求的值； 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】（1）根据平角的定义，求出，由角平分线求出，平行求出，再利用角的和差关系即可得解； （2）分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图①中，， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）如图2中，Ⅰ，当时，， ， ， ， ， ； Ⅱ如图3，当时，延长至点，则， ， ， ， ， 综上所述，在旋转过程中，若，的值为或． 变式1．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，，，的平分线交于点． ①求的度数． ②已知，为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①②当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时， 【分析】（1）过点C作，则有，然后得到，然后计算解题； （2）①过点C作，过点P作，求出，，，根据角平分线的定义结合平行线的性质求出 ，由计算即可得到结论； ②由①可得，，然后分点F在点P的左侧和点F在点P的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①过点C作，过点P作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的角平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴． ②由①得，，， ∵， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 当点F在点P的左侧时，如图，则， ∴， ∴； 当点F在点P的右侧时，如图， 则， ∴， ∴． 综上所述，当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，． 变式2．（25-26七年级下·北京朝阳·期中）直线，，两两相交，，过点A的直线与平行，点D是直线上一点（不与点A重合），过点D作交于点E，和的平分线所在直线相交于点P（点P不与点B，D重合）． (1)如图1所示： ①依题意补全图形； ②试探究，，之间的数量关系，并说明理由； (2)请直接写出的度数______． 【答案】(1)①见解析， (2)或或或 【分析】（1）①依据题意即可作图；②过点向左作，根据平行线的性质以及角平分线的意义求解即可； （2）分四种情况讨论，点在点左侧，且点在内；点在点左侧，且点在外；点在点右侧，且点在内；当点在点右侧，且点在外，然后过点作的平行线，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：①补全图形如图： ②，理由如下： 过点向左作， ∵分别平分 ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， 即； （2）解：①点在点左侧，且点在内时，如图： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 由（1）知， ； ②点在点左侧，且点在外时，如图： 过点作直线 ∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴； ③点在点右侧，且点在内时，如图： 过点作直线 ∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴； ④当点在点右侧，且点在外时，如图： 过点作直线 ∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， 综上：的度数为或或或． 变式3．（25-26七年级下·广东佛山·期中）按要求完成以下问题 (1)如图①，，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，，点E，F在直线之间，小明认为，你能帮他说出理由吗？ (3)如图，，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用α，β，γ的代数式表示） (4)结合（3）的探索经验，对这一模型进行一般化研究．若，在平行线与之间有，，，，…，，与的角平分线相交于点P，则_____；（用含，，，，…，的代数式表示） 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)（为奇数）；（为偶数） 【分析】（1）作，利用平行线性质得，结合角平分线定义得； （2）作辅助线构造平行线，利用内错角相等推导角的关系，结合角平分线的定义即可说明理由； （3）作辅助线转化折线角，利用平行线性质建立与α、β、γ的关系，再由角平分线定义得； （4）同理（3）解答即可． 【详解】（1）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作，则， ∴，， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，作，则， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴； （4）解：由（3）知：，在平行线与之间有，，，与的角平分线相交于点P，则； 当，在平行线与之间有，，，，与的角平分线相交于点P，同理（3）得； 当，在平行线与之间有，，，，，与的角平分线相交于点P，同理（3）得； ； 即内部所有折点（点）中所有下标为奇数的角的和减去所有下标为偶数的角的和的差的一半， ∴，在平行线与之间有，，，，…，，与的角平分线相交于点P， 当为奇数时，则； 当为偶数时，则． 考点二 平行线的性质与三角板中的角度计算 例1．（25-26七年级下·广东湛江·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，直角三角尺中，，． (1)【操作发现】：如图（1），当三角尺的顶点在直线上时，若，则_____°； (2)【探索证明】：如图（2），当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】：如图（3），把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点始终在直线（为直线上一点）的上方，若存在，请求出射线与直线所夹锐角的度数． 【答案】(1)34 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】(1) 过点作，利用平行线的传递性得到，根据内错角相等得到，，再由列等式求解． (2) 过点作，根据两直线平行同旁内角互补得，根据两直线平行内错角相等得，再结合建立等式求解． (3) 分两种情况讨论：当点在直线上方时，，则；当点在直线下方时，，则，由此解答即可． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ，， ， ， ， ． （2），理由如下： 解：过点作， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）依题意有以下两种情况： ①当点在直线的上方时，如图（3）①所示： 三角尺的顶点放在直线上且保持不动， ， ，， ， ， ， 直线， ， 即射线与直线所夹锐角的度数为； ②当点在直线的下方时，如图（3）②所示： 三角尺的顶点放在直线上且保持不动， ， ，， ， ， ， 直线， ， 即射线与直线所夹锐角的度数为， 综上所述：射线与直线所夹锐角的度数为或． 例2．（25-26七年级下·福建厦门·期中）已知两直线，且，直角三角尺中，，． (1)【操作发现】如图1，当三角尺的顶点在直线上时，若，则 °； (2)【探索证明】如图2，把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点，点始终在直线为直线上一点）的上方，若存在，请求出射线与直线所夹锐角的度数； (3)【拓展应用】如图3，改变三角尺的位置，将直角三角尺的一边放在直线上（点在直线上），另一边在直线的下方．过点作射线，使，将图3中三角尺绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（为常数），求的值． 【答案】(1)30 (2) (3)19 【分析】（1）过点作直线直线，根据平行线的性质和判定解答即可； （2）设，则，则，求出，则，根据，求出，即可解答； （3）根据题意可得当时，在之间，在之间，此时，，则，代入得，整理得：，结合，求出，，即可解答； 【详解】（1）解：如图，过点作直线直线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设，则， ∵点在直线上， ∴， ∵， ∴， 解得：， 则， ∵， ∴， 即射线与直线所夹锐角的度数为； （3）解：∵三角尺绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，， ∴当时，， ∵， ∴在之间，在下方， 如图， 故旋转秒后，三角尺逆时针旋转了， 此时，， 则，代入得， 整理得：， ∵， ∴，， ∴． 例3．（25-26七年级下·山东临沂·期中）已知直线，且，在直角三角尺中，，三角尺的顶点在直线上．    (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，和分别与直线交于两点，探究和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，为直线上一点，绕点旋转直角三角尺，点始终在直线的上方，当时，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由平行线的判定与性质，数形结合求解即可； （2）由平行线的判定与性质，数形结合求解即可； （3）根据题意，分两种情况，作出图形，数形结合，由平行线的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：过作，如图所示：   ， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由如下： 过作，如图所示：   ， 又， ， ， ， ， ，即； （3）解：①当在直线的上方时，如图③所示：    设，则， ， ， 解得，则， ， ， ； ②当在直线的下方时，如图④所示：    设，则，， ， ， 解得，则， ， ， ； 综上所述：当时，的度数为或． 变式1．（25-26七年级下·河北沧州·期中）综合与实践 【情境】在综合与实践课上，同学们利用一副直角三角板和两条平行线，探究变化过程中相关角度的变化．已知直线，在直角三角板中，，，，在直角三角板中，，． 【操作】操作一：如图1，将两块三角板的一条直角边重合，直角三角板的斜边与重合，直角三角板的顶点F在直线上． (1)在图1中，______，______； (2)利用图1，求的度数； 【探究】操作二：在操作一的基础上，直角三角板固定不动，让直角三角板绕着点G按逆时针方向旋转，旋转的度数小于．设边（或的延长线）与交于点Q． (3)如图2，当点F恰好落在上时，试判断与存在的数量关系，并说明理由； (4)当斜边与直角三角板的某一边平行时，直接写出的度数． 【答案】(1)90；135 (2) (3)，理由见解析 (4)或 【分析】（1）由题意得；由可求得的度数； （2）过点H作，由平行线的性质、，进而得，即可求解； （3）过点G作，由平行线的性质得及 ，由即可得两角的关系； （4）分三种情况讨论，分别画出图形，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵将两块三角板的一条直角边重合，， ∴； ∵，， ∴； （2）解：如图，过点H作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； （3）解：，理由如下： 如图，过点G作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：当时，如图3， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图4， ∴， 延长交于点T，过点H作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图5， 此时旋转角度大于，不符合题意； 综上，的大小为或． 变式2．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“两把直角三角尺和（，，，）”为主题开展数学活动，已知． 【操作发现】 如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点． (1)若，求的度数； 【拓展探究】 (2)如图②，绕点逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点与点重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； 【结论应用】 (3)如图③，在（2）的条件下，继续将三角尺逆时针旋转，当恰好经过点时停止转动，连接，此时测得，请你猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）先由邻补角的定义求出，由平行线的性质可得，由此计算即可得出结果； （2）作，则，，从而可得，进而得出，再结合，计算即可得出结果； （3）先求出，再结合题意即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴． 变式3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”开展数学活动． (1)如图1，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线，上，，若，则_____． (2)如图2，小亮把三角尺角的顶点放在点F处，即，，，平分交直线于点M，平分交直线于点N．将含角的三角尺绕着点F转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． (3)已知：直线，三角板中，，．三角板如图3位置放置，在线段上取点P，连接并延长交直线于点T，在线段上取点K，连接并延长交的角平分线于点Q，若，且．探究与之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】（1）过F作，根据平行线的性质求解即可； （2）过F作，设，由角平分线的定义可得，再根据平行线的性质即可得解． （3）过Q作，，设，则，．根据平行线的性质分别求出，，，进而求出，即可得解． 【详解】（1）解：过F作， ， ， ， ，， ， ． （2）解：不变，， 如图，过F作， ∵、分别平分、， ∴，， 设， ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 即． （3）解：过Q作，， 设，则，． ∵， ，， ， ， ∵平分， ∴， ， ， ∵， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ∵，， ∴， ， ， ∴，即． 2 学科网（北京）股份有限公司 $