期末复习：整式的混合运算、整式运算中的规律性问题专项训练-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦整式运算核心技能与规律探究，通过分层例题构建“运算技能-规律发现-模型应用”的递进式训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整式的混合运算|4题（含2例2变式）|化简求值步骤规范，强化公式应用与运算顺序|从单项式、多项式运算到综合化简，构建运算技能体系| |整式运算中的规律性问题|6题（含3例3变式）|规律观察-猜想-验证-应用，杨辉三角系数规律、平方速算模型|从具体运算到抽象规律，发展符号意识与模型观念|

期末复习：整式的混合运算、整式运算中的规律性问题专项训练 期末复习：整式的混合运算、整式运算中的规律性问题专项训练 考点目录 整式的混合运算 整式运算中的规律性问题 考点一 整式的混合运算 例1．（25-26七年级下·四川成都·期中）化简求值：，其中，． 【答案】 ； 【分析】根据整式混合运算法则化简，再将，代入求出结果． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 例2．（25-26七年级下·福建宁德·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 当，时， 原式． 变式1．（2026·吉林松原·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【详解】解； ， 当，时， 原式． 变式2．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值．先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 考点二 整式运算中的规律性问题 例1．（25-26七年级下·广东梅州·期中）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是项的系数，与通过计算后的结果对比，项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，项的系数为，用他发现的方法计算，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中项的系数是________； ②若，其中________． (2)若的积中不含项，求的值． (3)拓展应用：某超市计划购进，两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案，这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： 进价/（元/箱） 22 32 售价/（元/箱） 46 59 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱型号矿泉水，向社会福利机构捐款元，型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进型号矿泉水箱，超市获得的利润为元，用含，的式子表示，并求的值． 【答案】(1)①；②4052 (2) (3)；， 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算及应用等知识点，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数及题干中得出的规律是解决问题的关键． （1）①由题干中计算方法即可得解；②由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和，根据规律即可得解； （2）由题干中计算方法即可得解； （3）根据题意列出式子，由无论a为多少，w都不变，得出m的值，即可得解； 【详解】（1）解：①的系数：； ②的展开式中，的系数 ∵是由2026个相乘， 又由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和， ∴它的展开式的一次项系数为2026个2的和， ∴. （2）解：的系数为： 不含项则， ∴． （3）解：购进型箱，型箱，利润： 整理得： 因利润与无关，故， ∴， 例2．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）某校七年级的数学兴趣小组开展了探究末位数字是5的两位数的平方的速算规律，他们先通过一定的计算来发现规律： ， ， ， 按照以上规律，解决下列问题： (1)填空： ； (2)已知且n为整数，猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1)；7225 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据题干提供的信息得出规律，再进行求解即可； （2）根据题干中给出的等式写出第n个等式，利用完全平方公式和整式乘法运算法则，进行证明即可． 【详解】（1）解：， ， 以此类推 （2）解：， 证明：∵左边 右边 ， ∴左边右边，即． 例3．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）《详解九章算法》一书中给出的杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，此图揭示了（n为正整数）展开式的项数及各项系数的规律．请利用杨辉三角解决以下问题： (1)依次类推，写出______； (2)的展开式中一共有______项，各项系数之和为______； (3)的展开式中从左往右数第四项为______，x的三次项系数为______； (4)当代数式的值为1时，则的值为______． 【答案】(1) (2)2027， (3)；0 (4)0或 【分析】（1）根据杨辉三角的规律，的展开式系数对应杨辉三角第行的数字， 则当时，对应杨辉三角第6行数字1，5，10，10，5，1，即可解答； （2）观察杨辉三角可知，的展开式项数为，所以的展开式项数为，令，，得到，即可解答； （3）根据杨辉三角第7行的系数分别为1，6，15，20，15，6，1，得到 ，据此解答即可； （4）先对代数式变形为，令，则，分类讨论：①当时，②当时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：根据杨辉三角的规律，的展开式系数对应杨辉三角第行的数字， 则当时，对应杨辉三角第6行数字1，5，10，10，5，1， ∴； （2）解：观察杨辉三角可知，的展开式项数为，所以的展开式项数为； 令，，则 此值就是展开式各项系数之和， ∴各项系数之和为． （3）解：∵杨辉三角第7行的系数分别为：1，6，15，20，15，6，1， ∴ ， ， 从左往右数第四项为， 化简各项后，x的指数依次为：，没有指数为3的项，因此的三次项的系数为0． （4）解：先对代数式变形： 令，则 ： ①当时，， 解得， 则 ②当时，， 解得， 则 ∴的值为或． 变式1．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）按要求完成下列各题： (1)填空： ______； ______； ______． (2)猜想： ______（其中为正整数，且）． (3)利用（2）猜想的结论计算：． 【答案】(1)，，． (2) (3) 【分析】（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可； （2）根据（1）的规律可得结果； （3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， ． 故答案为：，，； （2）解：由（1）可得：； 故答案为：； （3）解：原式 变式2．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）公元11世纪，北宋数学家贾宪在其数学著作中给出了一张称为“开方作法本源”的三角形图表，原书佚失．13世纪，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中引用了此图表，如图①，并指明此表为贾宪所用，后来得以流传，人们称这个图表为“贾宪三角”或“杨辉三角”．事实上，如图②，这个数表给出了（为非负整数）的展开式的系数规律．根据规律，回答下列问题： (1)展开式中的系数是______；展开式中所有项的系数和为______； (2)利用上面的规律计算：； (3)如图③，在“杨辉三角”中，从第三行起取每一行的第三个数，依次记为，计算． 【答案】(1)5； (2)32 (3) 【分析】（1）根据“杨辉三角”的规律写出展开式，即可求解； （2）利用规律，根据有理数混合运算的法则计算即可； （3）根据规律得出：，将已知式子裂项为，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴展开式中的系数是5； 展开式中所有项的系数和为； 展开式中所有项的系数和为； 展开式中所有项的系数和为； 展开式中所有项的系数和为； 根据规律可得展开式中所有项的系数和为； （2）解： ； （3）解：根据题意可知：，，， ∴， ∴ ． 变式3．（25-26七年级下·广东茂名·期中）【观察思考】 ， ， ， … (1)【规律发现】根据规律可得______（其中n为正整数）； (2)【规律应用】计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中所给规律进行求解即可； （2）根据（1）中规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为， ， ， …， 所以（其中n为正整数）． （2）解：原式 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：整式的混合运算、整式运算中的规律性问题专项训练 期末复习：整式的混合运算、整式运算中的规律性问题专项训练 考点目录 整式的混合运算 整式运算中的规律性问题 考点一 整式的混合运算 例1．（25-26七年级下·四川成都·期中）化简求值：，其中，． 例2．（25-26七年级下·福建宁德·期中）先化简，再求值：，其中，． 变式1．（2026·吉林松原·一模）先化简，再求值：，其中，． 变式2．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）先化简，再求值： ，其中． 考点二 整式运算中的规律性问题 例1．（25-26七年级下·广东梅州·期中）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是项的系数，与通过计算后的结果对比，项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，项的系数为，用他发现的方法计算，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中项的系数是________； ②若，其中________． (2)若的积中不含项，求的值． (3)拓展应用：某超市计划购进，两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案，这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： 进价/（元/箱） 22 32 售价/（元/箱） 46 59 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱型号矿泉水，向社会福利机构捐款元，型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进型号矿泉水箱，超市获得的利润为元，用含，的式子表示，并求的值． 例2．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）某校七年级的数学兴趣小组开展了探究末位数字是5的两位数的平方的速算规律，他们先通过一定的计算来发现规律： ， ， ， 按照以上规律，解决下列问题： (1)填空： ； (2)已知且n为整数，猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 例3．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）《详解九章算法》一书中给出的杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，此图揭示了（n为正整数）展开式的项数及各项系数的规律．请利用杨辉三角解决以下问题： (1)依次类推，写出______； (2)的展开式中一共有______项，各项系数之和为______； (3)的展开式中从左往右数第四项为______，x的三次项系数为______； (4)当代数式的值为1时，则的值为______． 变式1．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）按要求完成下列各题： (1)填空： ______； ______； ______． (2)猜想： ______（其中为正整数，且）． (3)利用（2）猜想的结论计算：． 变式2．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）公元11世纪，北宋数学家贾宪在其数学著作中给出了一张称为“开方作法本源”的三角形图表，原书佚失．13世纪，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中引用了此图表，如图①，并指明此表为贾宪所用，后来得以流传，人们称这个图表为“贾宪三角”或“杨辉三角”．事实上，如图②，这个数表给出了（为非负整数）的展开式的系数规律．根据规律，回答下列问题： (1)展开式中的系数是______；展开式中所有项的系数和为______； (2)利用上面的规律计算：； (3)如图③，在“杨辉三角”中，从第三行起取每一行的第三个数，依次记为，计算． 变式3．（25-26七年级下·广东茂名·期中）【观察思考】 ， ， ， … (1)【规律发现】根据规律可得______（其中n为正整数）； (2)【规律应用】计算：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $