期末培优：一次函数中的角度问题、一次函数中的新定义问题专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦一次函数与几何角度、新定义的综合应用，通过分层典例构建从基础计算到动态探究的逻辑链条，培养几何直观与抽象能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数中的角度问题|3例+3变式|含动态点、角度条件（如等角）、最值问题，结合正方形/平行四边形|从一次函数交点坐标到几何图形性质（中点、对称），再到动态几何综合应用| |一次函数中的新定义问题|3例+2变式|以“制导点”“L路径”等新定义为载体，涉及平移、对称、交点计算|新定义规则抽象→一次函数性质转化→代数与几何综合推理|

期末培优：一次函数中的角度问题、一次函数中的新定义问题专项训练 期末培优：一次函数中的角度问题、一次函数中的新定义问题专项训练 考点目录 一次函数中的角度问题 一次函数中的新定义问题 考点一 一次函数中的角度问题 例1．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知直线分别与轴，轴交于两点，直线交于点． (1)求两点的坐标； (2)如图，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，在轴上找一点，使的值最小，求出点坐标． (3)如图，若，过点，交轴于点，此时在轴上存在点，使，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（）根据题意列方程即可得出结论； （）由（）可得，求得，过点作轴于点，易证，则有，进而根据勾股定理可求解；作点关于轴的对称点，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得即为的最小值，则与轴的交点即为点，进而求出的解析式，最后求解即可； （）根据题意得到点的坐标，如图，当点在点的左侧，根据全等三角形的性质得到，当点在点的右侧时，根据三角形的面积即可得出结论． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴，轴交于两点， 令，得，故， 令，得，故； （2）解：过点作轴于点，作点关于轴的对称点，连接，如图所示： 由轴对称的性质可得垂直平分，则有点到点的距离相等，再由两点之间线段最短可得即为的最小值，此时与轴的交点即为点， 由（）可得，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点与点重合， ∴点，则点， 设解析式为， 将，代入得 ∴解析式为： 解得： ∴点， 设的解析式为， 则有： 解得： ∴解析式为， 令时，则， 解得：， ∴当为最小值时，点的坐标为； （3）解：∵ ∴直线：， ∵， ∴设的解析式为，把代入得， ， 所以直线的解析式为， 当时，即 解得： ∴ 如图，当点在点的左侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 当点在点的右侧时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴ 解得：， ∴， 综上所述，点的坐标为或 例2．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式： (2)若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，并将直线沿轴向下平移7个单位长度得直线，在直线上是否存在动点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)存在，或 【分析】（1）根据直线的表达式得到点的坐标，进而得出点、点的坐标，即可求解； （2）根据题意得出点的坐标，，，设，根据点在直线下方和在直线上方时分情况讨论，列出关于的表达式，根据的取值范围分情况讨论，即可求解； （3）过点作交轴于点，过点作交的延长线于点，直线和直线交于点，直线和直线分别交直线于点和，在直线上截取，连接，通过证明四边形是平行四边形，得到点即为所求，再通过证明直线垂直平分，得到，继而得到点的两种情况下的坐标. 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交点， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴，则， ∵点是直线与线段的交点， ∴当时，， ∴， 设直线的表达式为：， ∴代入点，，得，解得：， ∴直线的表达式为：； （2）解：由（1）可知直线的表达式为：， ∴当时，，则， 又∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点为直线上一动点，且直线的表达式为， ∴设， 当点在直线下方时，此时，如图所示，连接，，， ∴， ， ， ， 当时，，此时，解得，， ∴， 当时，此时，解得，（不合题意，舍去）， 当点在直线上时，点与点重合，不存在，不符合题意， 当点（）在直线上方时，如图所示，连接，，， ， ， 当时，，，解得：，（不合题意，舍去）， 当时，，，解得：， ， 综上所述，点的坐标或； （3）解：存在， 设直线的表达式为：， 代入点、得，解得：， ∴直线的表达式为：， ∴直线沿轴向下平移个单位后，直线的表达式为， 如图，过点作交轴于点，过点作交的延长线于点，直线和直线交于点，直线和直线分别交直线于点和，在直线上截取，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求， ∵， ∴设直线的表达式为：， 代入点到直线的表达式，得：，解得：， ∴直线的表达式为：， ∴联立直线和直线的表达式，得：，解得：， ∴点， ∵,， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴直线垂直平分， ∴， ∴， ∴联立直线和直线的表达式，得：，解得：， ∴点， ∵，， ∴点的横坐标为：， ∴点的纵坐标为：， ∴点， 综上所述，满足条件的点的坐标为或. 例3．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与x轴负半轴交于点C，与y轴正半轴交于点D，直线和直线交于点，． (1)如图1，请求出直线的解析式： (2)如图2，点P是线段上一点（不与A，B重合），点M，N是直线上两动点（点M在点N的上方），且，点Q是x轴上一动点，连接，，．当四边形的面积为时，求的最小值； (3)如图3，点G为y轴负半轴上一点，且，点K为直线上一动点，连接．若，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出求解点K的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)4 (3)或 【分析】（1）先求出，，推导出，设直线解析式：，将，代入，求出，即可解答； （2）先求出，连接，设，推导出，推导出是直角三角形，且，作点关于直线的对称点，连接，此时点在直线上，且点E为的中点，求出，过点作，交轴于点，求出直线的解析式为，推导出四边形为平行四边形，得到取得最小值为，此时点、、在同一直线上，且当轴，即点与点重合时，取得最小值，为，即可解答． （3）推导出，，分类讨论：①当点K在x轴的上方时，②当点K在x轴下方时，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， 解得， ，即， 又， ， ． 将点代入直线中，得 可得， ． 设直线解析式：， 将，代入中得： ，， ． （2）解：在中，当时，， ∴， 连接，如图 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形，且， 作点关于直线的对称点，连接，如图 此时点在直线上，且点E为的中点， ∴，即， 过点作，交轴于点，如图，设直线的解析式为， 将代入，得，解得 ， 直线的解析式为， 当时， ， ∴， ， ， 四边形为平行四边形 ， ∵取得最小值， ∴取得最小值为，此时点、、在同一直线上，且当轴，即点与点重合时，取得最小值，为． （3）解：或，理由如下： ∵， ∴， ，， ． ①当点K在x轴的上方时，如图 ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得 ， 解得． ∴直线的解析式为， 令， 解得， ； ②当点K在x轴下方时，如图， 令交于点F，过点G作轴， 交于点H，过点F作轴于点R，交于点S， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点F横坐标为， 即， ∴， 同理，可得直线的解析式为， 令， 解得， 综上所述，或． 变式1．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，已知一次函数的图象分别与轴，轴交于点，． (1)如图1，当时，以为边在第一象限构造正方形，连接，，求直线和的表达式； (2)如图2，当时，以为边在第二象限构造正方形，连接，求的面积； (3)若，点在正比例函数的图象上，且，直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为；直线的表达式为 (2) (3)， 【分析】（1）先求出的坐标，作轴，作轴，求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的坐标，作轴，进而求出点的坐标，再利用面积公式进行计算即可； （3）分2种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， 作轴，作轴，则， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为； 同理：， ∴， ∴， ∴， 同法可得直线的表达式为； （2）解：∵的图象分别与轴，轴交于点，， ∴当时，， ∴， ∴， 作轴， 同（1）法可得：， ∴， ∴的面积； （3）解：连接， 当，则， 同（1）法：，， 直线的解析式为， ∵正方形， ∴，， ∴点为直线与直线的交点， 联立，解得； ∴； 延长至点，使，连接，则， ∴， ∴当点为直线与直线的交点时，也满足题意， ∵，，， ∴， 此时点恰好在上，即点与点重合； ∴， 综上：或. 变式2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，设运动时间为，若的面积为，求与之间的关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，在上有一点，连接，若，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可计算出，则，利用勾股定理计算出，作差可得，进而得到点的坐标； （2）作于点，由面积法可计算出，因此； （3）延长至点，使得，连接，作于点，作于点，设，通过导角可知，，则．由等腰三角形的性质和勾股定理可得，，，则，进而计算出，由勾股定理可得，写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：如图，作于点， ∵， ∴， 由题意可知，， ∴； （3）解：如图，延长至点，使得，连接，作于点，作于点，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴点的坐标为． 变式3．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图1，直线与轴，轴及直线分别交于点，，． (1)求点和点的坐标； (2)若点P在y轴上，并且，求P点坐标； (3)如图2，为轴上点右侧一动点，以，为邻边作▱，连接，，在点移动过程中，能否等于？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)P点坐标为或； (3)能，． 【分析】（1）先求出直线的解析式，再求两直线交点坐标即可； （2）设P点坐标为，求得，根据题意得到，据此求解即可； （3）过点C作交于点Q，过C点作轴，过点M作交于E点，过点Q作交于F点，证明，设，则，Q点在直线上，可得，求出m即可求M点坐标． 【详解】（1）解：将点代入， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴， 当时，解得， ∴， ∴； （2）解：设P点坐标为， ∵，，， ∴， ∵， ∵， ∴， 解得或， ∴P点坐标为或； （3）解：能等于，理由如下： 过点C作交于点Q，过C点作轴，过点M作交于E点，过点Q作交于F点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设，则点， ∵， ∴， ∴， ∴点纵坐标为， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴． 考点二 一次函数中的新定义问题 例1．（25-26八年级下·广东中山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：先将点向上（当时）或向下（当时）平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点的“制导点”． (1)如图1，点坐标为． ①当点时，点的“制导点”的坐标为_____________； ②若点为点的“制导点”，则点的坐标为_____________． (2)如图2，点，，，点在边上，点．若直线上存在点的“制导点”，求的取值范围； (3)如图3，点，，，，其中，点在正方形边上，点，．若线段上存在点的“制导点”，直接写出的取值范围_____________． 【答案】(1)①；② (2) (3)或或 【分析】（1）①②直接根据“制导点”的定义求解即可； （2）设S的坐标为，，，由“制导点”的定义可得，，则，然后再跟点S在三角形的边上分别根据直角坐标系、一次函数解析式以及“制导点”的定义求解即可． （3）先求出线段的解析式为；设，S的坐标为，，则，进而得到，即，，则；再把点代入可得；然后分点S在上四组情况，分别列出关于n的方程求出n，然后再结合相关取值范围即可解答． 【详解】（1）解：①设点T的“制导点”的坐标为， ∵点，点T坐标为， ∴，，解得：，， ∴的坐标为； ②设点S的坐标为， ∵T坐标为，点为点T的“制导点”， ∴，， ∴点S的坐标为． （2）解：设S的坐标为，，， ∴，，则， ∵点在边上，点，，， ∴当S在上时，，，即 ∴， ∴； ∴ 把代入可得，即； 当S在上时，设直线的解析式为， 则，解得：， ∴线段的解析式为，即 ， ∴， ∴， 把代入可得， ∴ ∵， ∴； 当S在上时，设直线的解析式为， ，，， 则，解得：， ∴线段的解析式为，即， ， ∴，即， 把代入可得， ∴， ∵， ∴； 综上，m的取值范围为． （3）解：设直线的解析式为，，． 则，解得：， ∴线段的解析式为， 设，S的坐标为，，则， ∴，即，， ∴， 把代入可得：， ∴， ∵点S在正方形边上， ∴当点S在线段上时，，， ∴，解得：， ∵ ∴； 当点S在线段上时，，， ∴，解得：， ∵， ∴； ∴当点S在线段上时，，， ∴，即， ∵， ∴； ∴当点S在线段上时，，， ∴， 关于n的方程无解． 综上，n的取值范围为或或． 例2．（25-26八年级上·广东佛山·期中）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即． 定义理解 (1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点） (2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值； (3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握求一次函数与坐标轴交点的方法以及讨论等腰三角形的存在性． （1）求出点A和点B的坐标，即可解答； （2）求出点C和点D的坐标，根据，列出方程，即可解答； （3）根据等腰三角形的性质，进行分类讨论：当点Q在y轴上时，分3种情况进行讨论，结合“L路径”的定义，即可解答． 【详解】（1）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ； （2）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ， ， 解得：； （3）， 、， 根据勾股定理可得：， 点Q在y轴上，共分为三种情况： 第一种情况，当时， 或， 点关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，故不符合题意， 即只有符合题意； 第二种情况，当时， ， ， ； 第三种情况，当时， 设， ， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：， ； 综上所述，存在，点的坐标为或或． 例3．（25-26八年级上·安徽六安·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”，例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为________， (2)若一次函数的“不动点”为，求，的值； (3)若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上不与原点重合的一个动点，使得，求满足条件的点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的综合题，一次函数与二元一次方程组，一次函数与坐标轴的交点问题． （1）根据“不动点”定义，联立一次函数与的方程组，求解即可得到交点坐标． （2）先利用“不动点”在上求出的值，再将“不动点”坐标代入一次函数解析式求出的值． （3）先根据直线无“不动点”得出两直线平行，求出的值，进而得到直线解析式，求出、两点坐标，设出点坐标，利用三角形面积公式列方程求解，注意排除与原点重合的点． 【详解】（1）解：联立 将代入，得 解得，则 一次函数的“不动点”为． （2）解：“不动点”在上 解得 又点在上，且 解得 ． （3）解：直线上没有“不动点”， 直线与直线平行， ， 直线解析式为 令，则，得 令，则，得 设，且 两边同时乘2，得 即 解得或 不与原点重合 舍去 答：满足条件的点坐标为． 变式1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）阅读理解：在平面直角坐标系中，给出如下定义： 定义一：若有三点，，，且，则称点是，的轴美点； 定义二：若函数图像上存在某点到轴和轴的距离中，其中一个距离是另一个距离的2倍，则称点为该函数的“倍美点”，此函数称为“倍美函数”，如点是函数图像上的点，所以函数是“倍美函数”，点是该函数的“倍美点”．像、等则是特殊的“倍美函数”． 根据以上材料，完成下列问题： (1)已知函数与轴和轴分别相交于点A，，若有三点、、，则其中是A、“轴美点”的是__________．（只填字母） (2)已知两点、． ①请说明点、的“轴美点”在函数上； ②在①的条件下，若“倍美函数”上存在点，使得点既是，“轴美点”，又是此函数的“倍美点”，求出的值． (3)已知“倍美函数”，是否存在整数使得该函数恰好具有三个“倍美点”？若存在，直接写出值和“倍美点”坐标；若不存在，简要说理． 【答案】(1)D (2)①见解析；②7或或 (3)或 【分析】（1）分别求出各点到点A、B的距离，若相等，即为A，B的“轴美点”，据此判断即可； （2）①设函数上一点M为，利用两点间的距离公式得到的长度，可得，那么点G、H的“轴美点”在函数上；②根据点P在上，设出点P的坐标，进而根据“倍美点”的定义一个距离是另一个距离的2倍得到点P的坐标，代入“倍美函数”上即可求得m的值； （3）易得“倍美函数”关于直线对称，那么画出相关图象，得到与直线，时恰好有3个交点时的位置，计算出相关交点即可． 【详解】（1）解：∵与x轴和y轴分别相交于点A，B， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∵点、、， ∴，；， ∵， ∴是A、B“轴美点”的是D． 故答案为：D． （2）解：①证明：设函数上一点M为， ∵、， ，， ∴， ∴G、H的“轴美点”在函数上； ②由题意得：点， Ⅰ、， ∴或，解得：或； Ⅱ、， ∴或，解得：或无解； 当时，点P为， ∴，解得：； 当时，点P为， ∴，解得：； 当时，点P为， ∴，解得：． 综上：m的值为7或或． （3）解：∵“倍美函数”恰好具有三个“倍美点”， ∴与和恰好有3个交点， 如图：当时，恰好具有三个“倍美点”，分别是； 当时，恰好具有三个“倍美点”， 或，解得：或． ∴“倍美点”分别是或． 变式2．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的图象的交点称为一次函数的“近点”，例如求的“近点”，联立，得方程组，解得，则的“近点”为． (1)由定义可知，一次函数的“近点”为____________； (2)一次函数的“近点”为，求，的值； (3)已知直线与轴交于点，与轴交于点，直线上没有“近点”．若点为直线上一点，且点在第一象限，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，熟练地利用数形结合的方法解题是关键． （1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“近点”为，代入求得q，进而把点的坐标代入求得p即可； （3）根据题意可得，设直线 与 轴交于 ，则，根据得出点的纵坐标为，代入直线，即可求解． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“近点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 联立， 解得， 一次函数的“近点”为； 故答案为：； （2）解：根据定义可得，点在上， ， 解得， ∵点又在上， ， ∴， （3）解：∵直线上没有“近点”， ∴直线与平行， ∴， ∴， 令，则， 令，则， ， ， ∴ ∴ 依题意，点为直线上一点， 如图，设直线 与 轴交于 ，则 ∵点在第一象限， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴点的纵坐标为 ∵点为直线上一点， 将代入得 解得 ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：一次函数中的角度问题、一次函数中的新定义问题专项训练 期末培优：一次函数中的角度问题、一次函数中的新定义问题专项训练 考点目录 一次函数中的角度问题 一次函数中的新定义问题 考点一 一次函数中的角度问题 例1．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知直线分别与轴，轴交于两点，直线交于点． (1)求两点的坐标； (2)如图，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，在轴上找一点，使的值最小，求出点坐标． (3)如图，若，过点，交轴于点，此时在轴上存在点，使，请直接写出点的坐标． 例2．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式： (2)若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，并将直线沿轴向下平移7个单位长度得直线，在直线上是否存在动点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 例3．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与x轴负半轴交于点C，与y轴正半轴交于点D，直线和直线交于点，． (1)如图1，请求出直线的解析式： (2)如图2，点P是线段上一点（不与A，B重合），点M，N是直线上两动点（点M在点N的上方），且，点Q是x轴上一动点，连接，，．当四边形的面积为时，求的最小值； (3)如图3，点G为y轴负半轴上一点，且，点K为直线上一动点，连接．若，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出求解点K的横坐标的其中一种情况的过程． 变式1．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，已知一次函数的图象分别与轴，轴交于点，． (1)如图1，当时，以为边在第一象限构造正方形，连接，，求直线和的表达式； (2)如图2，当时，以为边在第二象限构造正方形，连接，求的面积； (3)若，点在正比例函数的图象上，且，直接写出满足条件的点的坐标． 变式2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，设运动时间为，若的面积为，求与之间的关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，在上有一点，连接，若，且，求点的坐标． 变式3．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图1，直线与轴，轴及直线分别交于点，，． (1)求点和点的坐标； (2)若点P在y轴上，并且，求P点坐标； (3)如图2，为轴上点右侧一动点，以，为邻边作▱，连接，，在点移动过程中，能否等于？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由． 考点二 一次函数中的新定义问题 例1．（25-26八年级下·广东中山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：先将点向上（当时）或向下（当时）平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点的“制导点”． (1)如图1，点坐标为． ①当点时，点的“制导点”的坐标为_____________； ②若点为点的“制导点”，则点的坐标为_____________． (2)如图2，点，，，点在边上，点．若直线上存在点的“制导点”，求的取值范围； (3)如图3，点，，，，其中，点在正方形边上，点，．若线段上存在点的“制导点”，直接写出的取值范围_____________． 例2．（25-26八年级上·广东佛山·期中）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即． 定义理解 (1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点） (2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值； (3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26八年级上·安徽六安·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”，例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为________， (2)若一次函数的“不动点”为，求，的值； (3)若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上不与原点重合的一个动点，使得，求满足条件的点坐标． 变式1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）阅读理解：在平面直角坐标系中，给出如下定义： 定义一：若有三点，，，且，则称点是，的轴美点； 定义二：若函数图像上存在某点到轴和轴的距离中，其中一个距离是另一个距离的2倍，则称点为该函数的“倍美点”，此函数称为“倍美函数”，如点是函数图像上的点，所以函数是“倍美函数”，点是该函数的“倍美点”．像、等则是特殊的“倍美函数”． 根据以上材料，完成下列问题： (1)已知函数与轴和轴分别相交于点A，，若有三点、、，则其中是A、“轴美点”的是__________．（只填字母） (2)已知两点、． ①请说明点、的“轴美点”在函数上； ②在①的条件下，若“倍美函数”上存在点，使得点既是，“轴美点”，又是此函数的“倍美点”，求出的值． (3)已知“倍美函数”，是否存在整数使得该函数恰好具有三个“倍美点”？若存在，直接写出值和“倍美点”坐标；若不存在，简要说理． 变式2．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的图象的交点称为一次函数的“近点”，例如求的“近点”，联立，得方程组，解得，则的“近点”为． (1)由定义可知，一次函数的“近点”为____________； (2)一次函数的“近点”为，求，的值； (3)已知直线与轴交于点，与轴交于点，直线上没有“近点”．若点为直线上一点，且点在第一象限，若，求点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $