2025--2026学年北师大版八年级下册数学期末复习——压轴专项练习

**基本信息** 聚焦几何变换与函数建模，通过分层探究构建"操作-猜想-验证"的解题体系，强化空间观念与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|8题|平移旋转性质、全等相似判定、动态轨迹分析|从静态图形到动态变换，形成"性质应用-变式拓展-综合迁移"的逻辑链| |函数应用|5题|一次函数建模、最值问题转化、数据关系分析|以实际问题为载体，构建"数据收集-模型建立-预测应用"的思维路径| |代数探究|5题|不等式性质、因式分解、规律归纳|通过特例分析到一般推理，培养抽象能力与推理意识|

2025-2026学年八年级下数学期末复习——压轴专项练习 一．解答题（共18小题） 1．为探究平面直角坐标系中图形平移的坐标变化规律，现将直角三角板锐角顶点A置于原点O处，直角边AB与x轴正半轴重合，将边长为2的正方形DEFG的顶点D与原点O重合，使正方形的一边DE紧贴三角板的斜边AC，当沿AC方向匀速平移该正方形时，请完成以下研究． 【初探】如图1，已知点设平移过程中，点E横坐标增加a，则纵坐标增加　 　 ，平移的距离为　 　 ，点E平移后的坐标为　 　 （用含a的代数式表示）． 【再探】如图2，已知点平移正方形，直至点E与点C重合，设平移过程中，点E纵坐标增加b，若AC的长度不小于2，不超过10，求b的取值范围． 【拓展】如图3，已知点AC＝10，平移正方形，当正方形某一顶点与B、C围成以BC为底边的等腰三角形时，求平移距离．（请直接写出结果） 2．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，．在Rt△DCE中，∠DCE＝90°，． （1）连接AE、BD，则线段AE和BD的数量关系是 　 　 ，直线AE和BD的位置关系是 　 　 ； （2）如图2，将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），请问：线段AE和BD的数量关系，直线AE和BD的位置关系与（1）中的结论是否一致？若一致，请给予证明；若不一致，请说明理由． （3）如图3，当点D旋转到线段AE的左侧且保持0°＜α＜90°时，连接AD、BE，线段AE与BD交于点O，求AD2+BE2的值．（请直接写出结果） 3．综合与实践 【调查发现】 某学校每天有500名学生在学校用午餐，配餐公司提供两种套餐：经济餐和营养餐．经济餐每份售价18元，每份成本17元；营养餐每份售价20元，每份营养餐的平均成本随着销售量的变化而变化， （1）若某一天共售出200份经济餐，则当天经济餐的利润为 　 　 元．（利润＝收入一成本） 【收集数据】 小山统计了第10周每日营养餐和经济餐的售出份数以及当天的总利润，如下表． 周一 周二 周三 周四 周五 营养餐（份） 295 300 305 290 315 经济餐（份） 205 200 195 210 185 总利润（元） 1155 1200 1245 1110 1335 （2）小山设每日营养餐售出x份，当天总利润为y元，并根据表中的数据在坐标系中描出各点，请帮助小山补全周二的对应点A和周四的对应点B． 【建模应用】 （3）小山观察后猜想这五个点在同一条直线上，请验证小山的猜想． （4）小山假设当0≤x≤500时，y与x之间的关系始终符合第（3）问中的一次函数，他预测若某一天平均每份营养餐的成本为15元，则当天总利润将超过2000元，小山的预测正确吗？请说明理由． 4．等边三角形是最具对称性的几何图形之一，其三边相等、三角均为60°，简洁背后隐藏着丰富的性质．某数学小组近期在研究等边三角形的相关知识． （1）如图1，数学小组发现一些精美的正六边形窗花，而一个正六边形可以由六个全等的等边三角形镶嵌而成，如图2，已知AB＝4，则正六边形ABCDEF的面积是　 　 ． （2）如图3，已知△ABC是边长为4的等边三角形，△BDE是边长为1的等边三角形．将△BDE 沿射线BC方向平移，点B，D，E的对应点分别为点B'，D'，E'． ①如图4，在△BDE平移过程中，小深同学画出了AB'＝AE'时的情形，此时△BDE平移的距离为　 　 ； ②如图5，在△BDE刚好平移到点E'与点C重合时，连接BD'，连接AB'并延长交BD′于点F，求此时∠B'FD'的大小； ③[画图探索]已知点G在线段AC上，且，在△BDE平移的过程中，当△B′E′G是直角三角形时，请直接写出△BDE平移的距离． 5．数学学习小组在学习《不等关系》后，深入研究了两个正数a，b的和与积之间的大小关系． 【发现问题】当a＝b＝2时，a+b＝ab． 【提出问题】当a＞2，b＞2时，a+b与ab存在怎样的大小关系？ 【特例分析】（1）给a，b分别赋予不同的数值，通过计算，判断a+b与ab的大小关系． 请完成下面的表格： a … 3 4 5 … b … 3 5 6 … a+b　 　 ab（填“＞”，“＜”，“＝”） … ＜ 　 　 ＜ … 【得出猜想】（2）根据特例分析，猜想：当a＞2，b＞2时，a+b　 　 ab． 【验证猜想】（3） ①小明认为可以设a＝2+x，b＝2+y，其中x＞0，y＞0，再通过计算完成验证． 请补充验证过程： ②小红发现可以用图形的面积关系来直观验证． 如图，在长方形ABCD中，AB＝a＞2，AD＝b＞2，AM＝MN＝AP＝PQ＝1．请在长方形ABCD中，用画阴影的方法表示面积为（a+b）的部分． 【深入探究】（4）学习小组经过讨论，还可从以下思路验证猜想： 思路一：利用不等式的基本性质得到ab＞2b… 思路二：对多项式 （ab﹣a﹣b+1）进行因式分解… 思路三：对分式进行变形与运算… 根据以上思路的启发，选择一种方法完成验证． 6．综合与实践 数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究． 【活动一】拼接 （1）将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点A与点F重合，点C与点D重合），求四边形ABCE的周长； 【活动二】平移 （2）在图2中，将△ABC纸片沿射线FE的方向平移．在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形AMDN，如图3所示． ①求证：四边形AMDN是平行四边形； ②若点A为EF的中点，则四边形AMDN的周长为　 　 ． 【活动三】旋转 （3） 在图3中，当点A为EF的中点时，将△DEF绕点F顺时针旋转一周．在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数． 7．深圳福田区部分小区，如图1，居民可通过智能回收箱扫描二维码投放废纸和废塑料，废品回收可实现资源循环利用．某学习小组对一批回收废纸和回收废塑料进行了调查，相应数据如下： 名称 每吨生产再生纸 数量（单位：吨） 共生产再生纸 废纸 x ①　 　 16吨 名称 每吨可回炼无铅汽油 数量（单位：吨） 共回炼无铅汽油 废塑料 ②　 　 ③　 　 18吨 任务一： （1）现回收废纸和废塑料共50吨，已知每吨废塑料回炼的无铅汽油量是每吨废纸生产再生纸数量的倍，设每吨废纸可生产x吨再生纸，请补全表格数据（用含x的代数式表示）； 任务二： （2）请求出（1）中x的值； 任务三： （3）如图2，在某区的智能回收箱运营体系中，点A为清运回收点，点B为分拣点，点C为打包点，点D为回收加工点，且满足：AB⊥BC，AB＝6千米，BC＝8千米，AB的垂直平分线DF与AC交于点D．将各点位置简化为图3．现需在BC边上设置智能回收运营管理处点G，使得点G到点A，B，C，D四个流程点的距离之和最小，请求出其最小值． 8．【特例研究】 （1）在△ABC中，点D是BC的中点． ①如图1，点F是AC边上的一点，连接FD并延长FD至点E，使得DE＝FD，连接BE，求证：FC∥BE且FC＝BE； ②如图2，若AB＝3，AC＝6，AD的取值范围为 　 　 ． 【拓展延伸】 （2）如图3，线段AB＝10，过点B作一条射线BC，使得∠ABC＝120°，动线段EF在射线BC上运动（点E在点F的下方），且EF＝AB，点D是AF的中点，连接DE． ①请求出DE的最小值； ②当BE等于多少时，∠DEB＝45°？请说明理由． 9．综合与实践 甲、乙两位同学将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽可能大的正方形． 要求：①直角三角形纸片的两条直角边长分别为3cm和4cm； ②在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同； ③将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大． 甲同学的方案 乙同学的方案 请根据以上信息，完成下列问题： （1）猜想：以上两个同学的方案中，　 　 （填“甲”或“乙”）拼成的正方形边长大；甲同学的方案中，拼成的正方形边长是 　 　 cm； （2）求出乙同学方案中拼成的正方形的边长； （3）请你设计一个新方案，使拼成的正方形的边长比甲、乙两位同学拼成的正方形都大．（要求：在答题卡上的两个直角三角形中分别画出裁剪线并直接写出这个正方形的边长） 10．如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝nAB（n≠＞1），点E是AD边上一动点（点E不与A，D重合），连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直线CD于点H． 【尝试初探】 （1）求证：△ABE∽△DEH． 【深入探究】 （2）若n＝2，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当点H是线段CD中点时，求AE的长度． 【拓展延伸】 （3）连接BH，FH，当△BFH是以FH为腰的等腰三角形时，求AE的长度（用含n的代数式表示）． 11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发．在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）． （1）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使四边形PQDC是平行四边形，若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由． （2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2； （3）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由． 12．【阅读材料】 我们都知道：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形．“数学大王”小组的同学对“对角线互相垂直且相等的四边形”非常感兴趣，想进一步去进行探索研究，为了方便，他们称对角线互相垂直且相等的四边形为“垂等四边形”． 【探索实践】 【任务一】下列四边形中一定是“垂等四边形”的是 　 　 ． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【任务二】如图1，四边形ABCD是“垂等四边形”，∠BCD＝90°，AB＝AC，点E，F分别是BD，AD的中点，连接CE，EF，以CE，EF为邻边作平行四边形CEFG． （1）求证：∠ABD＝∠ACE； （2）求证：四边形CEFG为正方形． 【任务三】如图2，在矩形ABCD中，AD＝2AB，将△ABD沿对角线BD翻折至△EBD，点F在BD上，且满足BF＝CE，点G为DE中点，求证：四边形CDFG是“垂等四边形”． 13．【问题探究】（1）小欢在初二上学期学习“勾股定理”时，遇到问题：如图1，已知四边形ABCD的对角线AC和BD垂直，若a＝4，c＝2，则b2+d2＝ 　 　 ；小欢进一步发现图1中的四条线段a、b、c、d存在数量关系：　 　 ； 【新知发现】（2）小欢在学习“矩形”时发现矩形内的任意一点也有类似的结论：如图2，点P在矩形ABCD内，连接PA，PB，PC，PD，可得：PA2+PC2＝PB2+PD2．小欢尝试在图3中进行结论证明： 证明：过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交CD于点F， 在Rt△PEA中，PA2＝PE2+AE2， 在Rt△PFC中，PC2＝PF2+CF2， 同理可得：PB2＝PE2+BE2，PD2＝PF2+DF2． 请帮助小欢继续完成结论的证明； 【拓展应用】（3）在图3的基础上，若PE＝3PF，小欢将△DPC绕着点P逆时针旋转，当∠ADP＝90°时，＝ 　 　 ； （4）如图4，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D和点E分别在边AB和BC上，连接AE、CD和DE，若CD＝9，AE＝10，DE＝6，求边AC的长． 14．已知四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝10，点E是边AD上的动点，连接BE，将△ABE绕点B顺时针旋转得到△FBG，点F落在BE上． （1）如图1，当AE＝4ED时，GF交BC于点K，求FK的长； （2）如图2，射线FG交DC的延长线于点H，当FH＝DH时，求线段AE的长； （3）若点G始终在矩形ABCD内，延长FG交射线BC于点M，当点E在边AD上运动时，若|FG﹣GM|＝3，请直接写出此时线段AE的长． 15．如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠C． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）在（1）的条件下，如图2，若F为AB边上一点，E为BC边上的中点，连结DF，EF，DE，若∠DEF＝90°，证明DF＝AF+2BF； （3）在（1）的条件下，若F为AB边上的中点，E为BC边上的一点，连结DF，EF，DE，若∠DFE＝90°，请直接写出线段BE，CE，ED之间的数量关系． 16．如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点D． 【问题解决】 （1）若∠ABC＝80°，∠A＝60°，则∠D＝ 　 　 ． 【猜想证明】 （2）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有∠A的式子表示∠D） 【拓展提高】 （3）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的数量关系，并说明理由． 17．【综合与实践】 深圳某条东西方向的道路共有五车道，早晚高峰期间经常拥堵，数学兴趣小组的同学就此问题开展研究性学习活动． 【信息一】通过实地考察，兴趣小组的同学对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行数据的收集统计和分析，整理得到下列表格，发现时间和交通量的变化规律符合一次函数特征，并由此得到y1与x的函数关系式及y2与x的函数关系式． 时间x 7时 10时 14时 17时 20时 自西向东交通量y1（辆/分钟） 93 78 a 43 28 自东向西交通量y2（辆/分钟） 42 48 56 62 68 【信息二】兴趣小组的同学希望根据两个不同方向的拥堵情况来合理设置中间“可变车道”的方向．通过查阅资料发现：若单位时间内双向交通总量设为v总＝y1+y2，当车流量较大的方向的交通量时，道路非常拥堵，需要通过把“可变车道”的行车方向与交通量较大的方向变为相同，去改善交通状况． 【解决问题】 （1）已知y1与x之间的函数关系式为y1＝﹣5x+128，表格中a＝ 　 　 ； （2）求y2与x之间的函数系式（不写自变量的取值范围）； （3）请你通过计算判断该路段从7时至20时在比较拥堵时如何设置“可变车道”的方向以缓解交通拥堵？（即在什么时间段把“可变车道”设为哪个方向的车道） 18．【综合探究】探究小组用两个完全相同的等腰直角三角形纸片通过平移做实验． 【操作探究】 （1）如图1，把重合中的△ABC向左平移成△DEF，顶点E恰好是BC边的中点，连接AF，，求三角形ACF的面积； 【深入探究】 （2）如图2，把△DEF继续向左平移，当点E与点C重合时，连接AF交DC于点G，求证：DG＝CG； 【拓展提升】 （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DQ⊥AF于点Q，连CQ，DQ＝2，直接写出CQ的长度． 2025-2026学年八年级下数学期末复习——压轴专项练习 参考答案与试题解析 一．解答题（共18小题） 1．为探究平面直角坐标系中图形平移的坐标变化规律，现将直角三角板锐角顶点A置于原点O处，直角边AB与x轴正半轴重合，将边长为2的正方形DEFG的顶点D与原点O重合，使正方形的一边DE紧贴三角板的斜边AC，当沿AC方向匀速平移该正方形时，请完成以下研究． 【初探】如图1，已知点设平移过程中，点E横坐标增加a，则纵坐标增加　　 ，平移的距离为　2a ，点E平移后的坐标为　　 （用含a的代数式表示）． 【再探】如图2，已知点平移正方形，直至点E与点C重合，设平移过程中，点E纵坐标增加b，若AC的长度不小于2，不超过10，求b的取值范围． 【拓展】如图3，已知点AC＝10，平移正方形，当正方形某一顶点与B、C围成以BC为底边的等腰三角形时，求平移距离．（请直接写出结果） 【答案】（1）；2a；； （2）0≤b≤4； （3）1或3或5． 【分析】（1）先求出直线OC的解析式，得到点E横坐标增加a时纵坐标的增加量；再通过作EH⊥OB，利用平行线性质和30°直角三角形性质求出平移距离，最后得出平移后点E的坐标． （2）根据AC的长度范围，结合∠CAB＝30°，得出CB的范围，再由点E的最高点为点C得到其纵坐标范围，最后结合点E纵坐标的变化求出b的取值范围． （3）先根据以BC为底边的等腰三角形顶点在BC中垂线上，通过作EH⊥OB，利用点E坐标和相似三角形求出CB，再分正方形的E、D、F为顶点的情况计算平移距离． 【解答】解：（1）∵点E在直线OC上，点E的坐标为，点O的坐标为（0，0）， 设y＝kx+b（k≠0），代入点E、点O， 得， 解得 ∴， 当x＝a时，， ∴当点E横坐标增加a时，则纵坐标增加， 如图，过点E作EH⊥OB， 由题意可知∠C＝30°， ∵EH⊥OB，CB⊥OB， ∴EH∥CB， ∴∠OEH＝∠C＝30°， 当点E横坐标增加a时， 设OH＝a， ∴OE＝2a， ∴平移的距离为2a； ∵点E横坐标增加a，纵坐标增加， ∴点E平移后的坐标为， 故答案为：；2a；； （2）∵AC的长度不小于2，不超过10， ∴2≤AC≤10， 由题意可知∠CAB＝30°， ∴， ∴1≤CB≤5， 当点E到达最高点（点C）时，yE＝yC＝BC， ∴1≤yE≤5， ∵点且点E纵坐标增加b， ∴点E变化后的纵坐标：yE＝1+b， ∴1≤1+b≤5， ∴0≤b≤4． （3）当正方形某一顶点与B、C围成以BC为底边的等腰三角形时， ∵BC是等腰三角形的底边， ∴三角形的顶点在BC边的中垂线上， 如图，过点E作EH⊥OB， ∵点， ∴， 在△AEH中，， ∵EH⊥OB，CB⊥OB， ∴EH∥CB， ∴∠AEH＝∠C，∠AHE＝∠B， ∵∠EAH＝∠CAB， ∴△AEH∽△ACB， ∴， ∵AC＝10， ∴， ∴， ①当点E为顶点时， 由（1）可知， 解得， ∴平移距离为； ②当点D为顶点时， ∵正方形DEFG 的边长为2， ∴DE＝2， ∴当点D为顶点时，平移距离为3+DE＝3+2＝5； ③当点F为顶点时，同理可得，当点D为顶点时，平移距离为3+DE＝3﹣2＝1， 综上，平移的距离为1或3或5． 【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查待定系数法求一次函数解析式、含30°角的直角三角形的性质、不等式的应用、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质及图形平移的坐标变化，掌握利用一次函数解析式分析坐标变化和通过角度性质求平移距离、将AC的长度范围转化为CB的范围，进而联系点E纵坐标的变化、分正方形不同顶点为等腰三角形顶点的情况进行讨论是解题的关键． 2．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，．在Rt△DCE中，∠DCE＝90°，． （1）连接AE、BD，则线段AE和BD的数量关系是 AE＝BD ，直线AE和BD的位置关系是 AE⊥BD ； （2）如图2，将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），请问：线段AE和BD的数量关系，直线AE和BD的位置关系与（1）中的结论是否一致？若一致，请给予证明；若不一致，请说明理由． （3）如图3，当点D旋转到线段AE的左侧且保持0°＜α＜90°时，连接AD、BE，线段AE与BD交于点O，求AD2+BE2的值．（请直接写出结果） 【答案】（1）AE＝BD，AE⊥BD； （2）一致，证明见解析； （3）20． 【分析】（1）先判断出△ACE≌△BCD，进而得出∠CAE＝∠CBD，即可得出结论； （2）同（1）的方法即可得出结论； （3）根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）如图①，延长BD交AE于F， ∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴CE＝CD，AC＝BC， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD， ∵∠ADF＝∠CDB， ∴∠AFB＝∠ACB＝90°， ∴BD⊥AE， 故答案为：AE＝BD，AE⊥BD； （2）一致， 证明：如图2，延长BD交AE于F， ∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴CE＝CD，AC＝BC，∠ACE＝∠BCD， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD， ∵∠ADF＝∠CDB， ∴∠AFB＝∠ACB＝90°， ∴BD⊥AE； （3）解：∵∠ACB＝90°，，∠DCE＝90°，， ∴AB＝AC2+BC2＝16，DE2＝CD2+CE2＝4， 由（2）知，AE⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠EOD＝∠BOE＝90°， ∴AD2+BE2＝OA2+OD2+OB2+OE2＝OA2+OB2+OD2+OE2＝AB2+DE2＝16+4＝20． 【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，判断出△ACE≌△BCD是解本题的关键． 3．综合与实践 【调查发现】 某学校每天有500名学生在学校用午餐，配餐公司提供两种套餐：经济餐和营养餐．经济餐每份售价18元，每份成本17元；营养餐每份售价20元，每份营养餐的平均成本随着销售量的变化而变化， （1）若某一天共售出200份经济餐，则当天经济餐的利润为 　200　 元．（利润＝收入一成本） 【收集数据】 小山统计了第10周每日营养餐和经济餐的售出份数以及当天的总利润，如下表． 周一 周二 周三 周四 周五 营养餐（份） 295 300 305 290 315 经济餐（份） 205 200 195 210 185 总利润（元） 1155 1200 1245 1110 1335 （2）小山设每日营养餐售出x份，当天总利润为y元，并根据表中的数据在坐标系中描出各点，请帮助小山补全周二的对应点A和周四的对应点B． 【建模应用】 （3）小山观察后猜想这五个点在同一条直线上，请验证小山的猜想． （4）小山假设当0≤x≤500时，y与x之间的关系始终符合第（3）问中的一次函数，他预测若某一天平均每份营养餐的成本为15元，则当天总利润将超过2000元，小山的预测正确吗？请说明理由． 【答案】（1）200； （2）（3）见解答； （4）正确，理由见解答． 【分析】（1）根据利润＝（售价﹣成本）×售出份数计算即可； （2）直接描点即可； （3）利用待定系数法求出y与x的函数关系式并将表格中的数据对分别代入进行验证即可； （4）利用（3）中求得的y与x的函数关系式，根据当天总利润＝营养餐的总利润+经济餐的总利润列关于x的一元一次方程并求解，从而求出对应y的值并与2000比较大小即可． 【解答】解：（1）200×（18﹣17）＝200（元）． 在答案为：200． （2）补全周二的对应点A和周四的对应点如图所示： （3）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）， 将坐标（295，1155）和（300，1200）分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴y与x的函数关系式为y＝9x﹣1500， 当x＝295时，y＝9×295﹣1500＝1155， 当x＝300时，y＝9×300﹣1500＝1200， 当x＝305时，y＝9×305﹣1500＝1245， 当x＝290时，y＝9×290﹣1500＝1110， 当x＝315时，y＝9×315﹣1500＝1335， ∴这五个点在同一条直线上． （4）小山的预测正确．理由如下： 根据题意，得9x﹣1500＝（20﹣15）x+（18﹣17）（500﹣x）， 解得x＝400， 当x＝400时，y＝9x﹣1500＝9×400﹣1500＝2100， ∵2100＞2000， ∴小山的预测正确． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 4．等边三角形是最具对称性的几何图形之一，其三边相等、三角均为60°，简洁背后隐藏着丰富的性质．某数学小组近期在研究等边三角形的相关知识． （1）如图1，数学小组发现一些精美的正六边形窗花，而一个正六边形可以由六个全等的等边三角形镶嵌而成，如图2，已知AB＝4，则正六边形ABCDEF的面积是　24　 ． （2）如图3，已知△ABC是边长为4的等边三角形，△BDE是边长为1的等边三角形．将△BDE 沿射线BC方向平移，点B，D，E的对应点分别为点B'，D'，E'． ①如图4，在△BDE平移过程中，小深同学画出了AB'＝AE'时的情形，此时△BDE平移的距离为　1.5　 ； ②如图5，在△BDE刚好平移到点E'与点C重合时，连接BD'，连接AB'并延长交BD′于点F，求此时∠B'FD'的大小； ③[画图探索]已知点G在线段AC上，且，在△BDE平移的过程中，当△B′E′G是直角三角形时，请直接写出△BDE平移的距离． 【答案】（1）24；（2）①1.5；②120°；③或3﹣或4﹣． 【分析】（1）过点O作OH⊥AB于点H，利用等边三角形的性质，直角三角形的边角关系定理求得△OAB的面积，则正六边形ABCDEF的面积＝6倍的△OAB的面积； （2）①利用线段的垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一的性质解答即可； ②延长D′B′交AB于点G，利用等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质得到∠GAB′＝∠B′D′B，再利用三角形的内角和定理解答即可； ③利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：Ⅰ．当∠B′GE′＝90°时，此时点E′与点C重合，△BDE平移的距离＝BB′＝BC﹣B′E′＝4﹣1＝3；Ⅱ．当∠B′E′G＝90°时，利用直角三角形的边角关系定理求得CE′，则△BDE平移的距离＝BB′＝BC﹣B′E′﹣CE′；Ⅲ．当∠GB′E′＝90°时，利用直角三角形的边角关系定理求得CE′，则△BDE平移的距离＝BB′＝BC+CE′＝BC﹣CB′+B′E′． 【解答】解：（1）过点O作OH⊥AB于点H，如图， ∵△OAB为等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝4，∠ABO＝60°， ∵OH⊥AB， ∴AH＝BH＝＝2， ∴OH＝OB•sin60°＝2． ∴＝4， ∴正六边形ABCDEF的面积＝6． 故答案为：24； （2）①连接AD′，AD交BC于点F，如图， ∵D′B′＝D′E′，AB'＝AE'， ∴AD′为B′E′的垂直平分线， ∴AF⊥BC，D′F⊥BC， ∵AB＝AC，D′B′＝D′E′， ∴BF＝FC＝BC＝2，B′F＝E′F＝＝0.5， ∴BB′＝BF﹣B′F＝1.5， ∴△BDE平移的距离为1.5． 故答案为：1.5； ②延长D′B′交AB于点G，如图， 由题意得：∠ACB＝∠D′B′C＝60°， ∴D′G∥AC， ∴∠B′AC＝∠FB′D′，∠BGB′＝∠BAC＝60°， ∴△BGB′为等边三角形， ∴BB′＝BG＝B′G， ∵BA＝BC， ∴AG＝B′C， ∵B′C＝B′D′， ∴B′D′＝AG． 在△B′GA和△BB′D′中， ， ∴△B′GA≌△BB′D′（SAS）， ∴∠GAB′＝∠B′D′B， ∵∠GAB′+∠B′AC＝∠BAC＝60°， ∴∠B′D′B+∠FB′D′＝60°， ∴∠B′FD′＝180°﹣（∠B′D′B+∠FB′D′）＝120°； ③Ⅰ．当∠B′GE′＝90°时，如图， 过点G作GH⊥BC于点H， ∵GH⊥BC，∠ACB＝60°，CG＝， ∴GH＝CG•sin60°＝＝，CH＝CG•cos60°＝， ∵GH⊥BC，∠B′GE′＝90°， ∴△B′GH∽△GE′H， ∴， 设B′H＝x，则HE′＝1﹣x， ∴， ∴x＝， ∴BB′＝BC﹣B′H﹣CH＝4﹣＝． Ⅱ．当∠B′E′G＝90°时，如图， 此时GE′⊥BC， ∵∠C＝60°，， ∴CE′＝CG•cos60°＝， ∴△BDE平移的距离＝BB′＝BC﹣B′E′﹣CE′＝4﹣1﹣＝3﹣． Ⅲ．当∠GB′E′＝90°时，如图， 此时GB′⊥BC， ∵∠ACB＝60°，， ∴CB′＝CG•cos60°＝， ∴△BDE平移的距离＝BB′＝BC+CE′＝BC﹣CB′+B′E′＝3﹣+1＝4﹣． 综上，当△B′E′G是直角三角形时，△BDE平移的距离为或3﹣或4﹣． 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，平移的性质，正六边形的性质，分类讨论的思想方法，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 5．数学学习小组在学习《不等关系》后，深入研究了两个正数a，b的和与积之间的大小关系． 【发现问题】当a＝b＝2时，a+b＝ab． 【提出问题】当a＞2，b＞2时，a+b与ab存在怎样的大小关系？ 【特例分析】（1）给a，b分别赋予不同的数值，通过计算，判断a+b与ab的大小关系． 请完成下面的表格： a … 3 4 5 … b … 3 5 6 … a+b　＜　 ab（填“＞”，“＜”，“＝”） … ＜ 　＜　 ＜ … 【得出猜想】（2）根据特例分析，猜想：当a＞2，b＞2时，a+b　＜　 ab． 【验证猜想】（3） ①小明认为可以设a＝2+x，b＝2+y，其中x＞0，y＞0，再通过计算完成验证． 请补充验证过程： ②小红发现可以用图形的面积关系来直观验证． 如图，在长方形ABCD中，AB＝a＞2，AD＝b＞2，AM＝MN＝AP＝PQ＝1．请在长方形ABCD中，用画阴影的方法表示面积为（a+b）的部分． 【深入探究】（4）学习小组经过讨论，还可从以下思路验证猜想： 思路一：利用不等式的基本性质得到ab＞2b… 思路二：对多项式 （ab﹣a﹣b+1）进行因式分解… 思路三：对分式进行变形与运算… 根据以上思路的启发，选择一种方法完成验证． 【答案】（1）＜，＜； （2）＜； （3）①见解析： ②见解析； （4）见解析． 【分析】本题主要探究两个正数 a，b 的和与积之间的大小关系，通过特例分析、设未知数计算、图形面积以及不同思路的代数变形来进行验证． 【解答】解：（1）当 a＝3，b＝3 时，a+b＝3+3＝6，ab＝3×3＝9，所以 a+b＜ab．当a＝4，b＝5 时，a+b＝4+5＝9，ab＝4×5＝20，所以 a+b＜ab． 故答案为：＜，＜； （2）根据前面的特例分析，猜想：当 a＞2，b＞2 时，a+b＜ab． 故答案为：＜； （3）①设 a＝2+x，b＝2+y，其中x＞0，y＞0．a+b＝（2+x）+（2+y）＝4+x+y，ab＝（2+x）（2+y）＝4+2y+2x+xy＝4+2（x+y）+xy，ab﹣（a+b）＝4+2（x+y）+xy﹣（4+x+y） ＝ x+y+xy， ∵x＞0，y＞0， ∴x+y+xy＞0， 即 ab＞a+b． ② （4）对多项式 （ab﹣a﹣b+1）进行因式分解．ab﹣a﹣b+1＝a（b﹣1）﹣（b﹣1）＝（a﹣1）（b﹣1）．∵a＞2，b＞2， ∴a﹣1＞1，b﹣1＞1，则 （a﹣1）（b﹣1）＞1， 即 ab﹣a﹣b+1＞0， 移项可得 ab＞a+b． 【点评】本题结合特例，考查了代数运算能力，数形结合思想． 6．综合与实践 数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究． 【活动一】拼接 （1）将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点A与点F重合，点C与点D重合），求四边形ABCE的周长； 【活动二】平移 （2）在图2中，将△ABC纸片沿射线FE的方向平移．在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形AMDN，如图3所示． ①求证：四边形AMDN是平行四边形； ②若点A为EF的中点，则四边形AMDN的周长为　9　 ． 【活动三】旋转 （3）在图3中，当点A为EF的中点时，将△DEF绕点F顺时针旋转一周．在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数． 【答案】（1）12+6． （2）①证明见解答；②9． （3）60°或240°． 【分析】（1）根据30°锐角的性质在直角三角形中求出另外一条直角边和斜边，便可求出四边形ABCE的周长． （2）①通过推出四边形两组对边平行即可证明结论； ②根据题意判定AN和AM是△EFD的中位线，然后由中位线的性质得出平行四边形AMDN的周长为2AN+2AM＝DF+DE． （3）通过旋转图形可以发现当顺时针旋转60°或240°是两个三角形的重叠部分为等腰三角形． 【解答】解：（1）根据题意，由30°锐角直角三角形的性质可得： AB＝DE＝2×3＝6，BC＝EF＝3×＝3． ∴四边形ABCE的周长为：AB+DE+BC+EF＝2（6+3）＝12+6.． （2）①证明：∵平移前，∠EFD＝∠ACB＝90°，A、F两点重合，C、D两点重合， ∴EF∥BC， ∴∠B＝∠FAB， ∵∠B＝∠E， ∴AB∥DE， 根据平移的性质，AC∥DF， ∴四边形AMDN为平行四边形． ②根据题意可得AN和AM是△EFD的中位线，则DF＝2AN，DE＝2AM， 由平行线四边形的性质，四边形AMDN的周长为：2AN+2AM＝DF+DE＝3+6＝9． 故答案为：9． （3）如图，当△DEF顺时针旋转60°时位于△D1E1F；当△DEF顺时针旋转240°时位于△D2E2F． 当△DEF顺时针旋转60°时，此时两个三角形重叠部分为△AD1G． ∵AB∥DF， ∴∠AD1F＝∠D1FD＝60°． ∵∠BAC＝90°﹣30°＝60°， ∴△AD1G为等边三角形，符合题意． 当△DEF顺时针旋转240°时，此时两个三角形重叠部分为△PQC． ∵∠PQC＝∠AQE1＝∠BAC﹣∠D1E1F＝30°＝∠PCQ， ∴△PQC为等腰三角形，符合题意． 故旋转角的度数为60°或240°． 【点评】本题考查了锐角为30°的直角三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的判定，等腰三角形的判定等知识点．熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 7．深圳福田区部分小区，如图1，居民可通过智能回收箱扫描二维码投放废纸和废塑料，废品回收可实现资源循环利用．某学习小组对一批回收废纸和回收废塑料进行了调查，相应数据如下： 名称 每吨生产再生纸 数量（单位：吨） 共生产再生纸 废纸 x ①　①（或　 16吨 名称 每吨可回炼无铅汽油 数量（单位：吨） 共回炼无铅汽油 废塑料 ②　　 ③　（或　 18吨 任务一： （1）现回收废纸和废塑料共50吨，已知每吨废塑料回炼的无铅汽油量是每吨废纸生产再生纸数量的倍，设每吨废纸可生产x吨再生纸，请补全表格数据（用含x的代数式表示）； 任务二： （2）请求出（1）中x的值； 任务三： （3）如图2，在某区的智能回收箱运营体系中，点A为清运回收点，点B为分拣点，点C为打包点，点D为回收加工点，且满足：AB⊥BC，AB＝6千米，BC＝8千米，AB的垂直平分线DF与AC交于点D．将各点位置简化为图3．现需在BC边上设置智能回收运营管理处点G，使得点G到点A，B，C，D四个流程点的距离之和最小，请求出其最小值． 【答案】（1）（或，，（或； （2）（1）中x的值为； （3）8+． 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出分式方程，解方程即可得到结论； （3）延长AB至点E，使得AB＝BE，连接DE交BC于点G，点G即为所求．过点D作DF⊥AB于点F，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，求得∠A＝∠ABD，得到BD＝DC，得到点F为AB的中点，且BF＝3；根据三角形中位线定理得到DF＝4，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）由题意得①（或，②，③（或； 故答案为：（或，，（或； （2）根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：（1）中x的值为； （3）延长AB至点E，使得AB＝BE，连接DE交BC于点G，点G即为所求． 过点D作DF⊥AB于点F， ∴DF所在直线是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD， ∵∠A+∠C＝90°，∠ABD+∠CBD＝90°， ∴∠CBD＝∠C， ∴BD＝DC， ∴AD＝DC， ∴点D为AC的中点． ∵DF所在直线是AB的垂直平分线， ∴点F为AB的中点，且BF＝3； ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF＝4， 又∵AB＝BE＝6， ∴BF＝9． 又∵DF⊥EF， 由勾股定理，， 又∵GA+GD＝DE， ∴G到A，B，C，D四个流程点的距离之和最小值：． 【点评】本题是三角形的综合题，考查了勾股定理，最短路径问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，分式方程的应用，正确地作出图形是解题的关键． 8．【特例研究】 （1）在△ABC中，点D是BC的中点． ①如图1，点F是AC边上的一点，连接FD并延长FD至点E，使得DE＝FD，连接BE，求证：FC∥BE且FC＝BE； ②如图2，若AB＝3，AC＝6，AD的取值范围为 　1.5＜AD＜4.5　 ． 【拓展延伸】 （2）如图3，线段AB＝10，过点B作一条射线BC，使得∠ABC＝120°，动线段EF在射线BC上运动（点E在点F的下方），且EF＝AB，点D是AF的中点，连接DE． ①请求出DE的最小值； ②当BE等于多少时，∠DEB＝45°？请说明理由． 【答案】（1）①见解析； ②1.5＜AD＜4.5； （2）①DE的最小值为； ②． 【分析】（1）①由点D是BC的中点，得到BD＝CD，根据全等三角形的性质得到BE＝CF，∠EBD＝∠C，根据平行线的判定定理得到BE∥CF； ②如图，延长AD到M，使DM＝AD，根据全等三角形的性质得到AB＝CM＝3，根据三角形的三边关系即可得到结论； （2）①延长ED至点N，使得DN＝ED，连接AN，BN，作NH⊥BC，垂足为H．由（1）知，NA∥EF，且NA＝EF＝AB＝10，根据等边三角形的性质得到BN＝10．∠ABN＝60°，求得∠NBH＝60°，根据勾股定理得到，求得，得到DE的最小值为； ②根据等边三角形的性质得到，BH＝5，根据等腰直角三角形的性质得到结论． 【解答】（1）①证明：∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BEF和△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（SAS）， ∴BE＝CF，∠EBD＝∠C， ∴BE∥CF； ②如图，延长AD到M，使DM＝AD， 在△ADB与△CDM中， ， ∴△ADB≌△CDM（SAS）， ∴AB＝CM＝3， ∵AC＝6， ∴AC﹣CM＜AM＜AC+CM， ∴3＜AM＜9， ∴1.5＜AD＜4.5 故答案为：1.5＜AD＜4.5； （2）①延长ED至点N，使得DN＝ED，连接AN，BN，作NH⊥BC，垂足为H． 由（1）知，NA∥EF，且NA＝EF＝AB＝10， ∴∠NAB＝60°， ∴△NAB是等边三角形， ∴BN＝10．∠ABN＝60°， ∴∠NBH＝60°， 在Rt△NBH中，BN＝10，∠NBH＝60°， ∴， ∵（等号成立时，动点E和定点H重合）， ∴， ∴DE的最小值为； ②当∠DEB＝45°时，如上图， ∵∠NBH＝60°，NB＝10， ∴，BH＝5， ∵∠DEB＝45°， ∴， ∴． 【点评】本题是三角形的综合题，考查了三角形的中线，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 9．综合与实践 甲、乙两位同学将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽可能大的正方形． 要求：①直角三角形纸片的两条直角边长分别为3cm和4cm； ②在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同； ③将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大． 甲同学的方案 乙同学的方案 请根据以上信息，完成下列问题： （1）猜想：以上两个同学的方案中，　甲　 （填“甲”或“乙”）拼成的正方形边长大；甲同学的方案中，拼成的正方形边长是 　3　 cm； （2）求出乙同学方案中拼成的正方形的边长； （3）请你设计一个新方案，使拼成的正方形的边长比甲、乙两位同学拼成的正方形都大．（要求：在答题卡上的两个直角三角形中分别画出裁剪线并直接写出这个正方形的边长） 【答案】（1）甲；3； （2）乙同学方案中拼成的正方形边长为cm； （3）满足要求的正方形边长为． 【分析】（1）根据甲乙两同学所得数据进行比较即可得解．由直角三角形的最短边可得甲同学方案拼成的正方形边长； （2）根据勾股定理，得MN＝5cm，证△MDA∽△MON，△BCN∽△MON，得，设AD＝x，则DM＝＝，CN＝CB＝x，求解得乙同学方案中拼成的正方形边长为cm； （3）根据全等三角形的判定及性质以及相似三角形的判定及性质设计即可得解． 【解答】解：（1）甲同学方案中拼成的正方形边长为3cm， 由条件可知∠MDA＝∠MON＝90°，∠NCB＝∠NOM＝90°， ∵∠M＝∠M，∠N＝∠N， 由相似三角形性质可知：＝， 设AD＝x，则DM＝＝，CN＝CB＝x， ∴+x+2x＝5， 解得x＝， ∴AB＝cm， ∴乙同学方案中拼成的正方形边长为cm， ∵3cm＞cm， ∴甲同学方案中拼成的正方形边长较大． 故答案为：甲；3； （2）如图，由拼成条件可得AB＝DC＝2AD＝2BC， 记直角三角形为OMN，根据勾股定理，得， 由（1）知乙同学方案中拼成的正方形边长为cm； （3）其中一张直角三角形纸片的裁剪图如下： 边长计算如下： 如图，过点B作BH⊥OM于点H， ∴∠AHB＝NOA＝90°， ∴∠ABH+∠BAH＝90°， 根据拼接要求，△ABN为等腰直角三角形，∠BAN＝90°， ∴AB＝AN，∠BAH+∠NAO＝90°， ∴∠ABH＝∠NAO， ∴△ONA≌△HAB， ∴HA＝ON＝3cm，HB＝OA， 设OA＝x，则HB＝x，MH＝1﹣x， 由条件可知△MHB∽△MON， ∴，即， 解得x＝． ∴根据勾股定理得AB＝＝＞3， 即满足要求的正方形边长为． 【点评】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的判定以及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 10．如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝nAB（n≠＞1），点E是AD边上一动点（点E不与A，D重合），连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直线CD于点H． 【尝试初探】 （1）求证：△ABE∽△DEH． 【深入探究】 （2）若n＝2，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当点H是线段CD中点时，求AE的长度． 【拓展延伸】 （3）连接BH，FH，当△BFH是以FH为腰的等腰三角形时，求AE的长度（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）证明见解析； （2）AE的长度为2+或2﹣； （3）AE的长为n或． 【分析】（1）根据矩形性质得出∠A＝∠D＝∠BEG＝90°，根据余角性质证明∠AEB＝∠DHE，即可证明结论； （2）设AE＝x，则DE＝4﹣x．根据△ABE∽△DEH，得出，即可得出，求出x＝2+或x＝2﹣即可得出答案； （3）分两种情况讨论：当BH＝FH时或当BF＝FH时，分别画出图形，根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD与BEGF为矩形， ∴∠A＝∠D＝∠BEG＝90°， ∴∠AEB+∠DEH＝∠DEH+∠DHE＝90°， ∴∠AEB＝∠DHE， ∴ABE∽△DEH； （2）解：∵AB＝2，AD＝nAB（n＞1）， ∴n＝2时，AD＝4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝2， ∵点H是线段CD中点， ∴DH＝CD＝1， 设AE＝x，则DE＝4﹣x， 根据解析（1）可知，△ABE∽△DEH， ∴， 即， 解得：x＝2+或x＝2﹣， 经检验x＝2+或x＝2﹣都是原方程的根，且符合题意， ∴AE的长度为2+或2﹣． （3）解：当BH＝FH时，如图所示： ∵AB＝2，AD＝nAB（n＞1）， ∴AD＝BC＝2n， ∵四边形BEGF为矩形， ∴∠BEG＝∠G＝90°，BE＝FG， ∵BH＝FH， ∴Rt△BEH≌Rt△FGH（HL）， ∴EH＝GH， ∴矩形EBFG∽矩形ABCD， ∴＝n， ∴＝n， ∴， 根据解析（1）可知，△ABE∽△DEH， ∴， ∴DE＝AB＝n， ∴AE＝AD﹣DE＝2n﹣n＝n； 当BF＝FH时，如图所示： ∵矩形EBFG∽矩形ABCD， ∴∠ABC＝∠EBF＝90°，， ∵∠ABE+∠EBC＝∠EBC+∠CBF＝90°， ∴∠ABE＝∠CBF， ∴△ABE∽△CBF， ∴∠BCF＝∠A＝90°， ∴∠BCD+∠BCF＝90°+90°＝180°， ∴D、C、F三点共线， ∵BF＝FH， ∴∠FBH＝∠FHB， ∵EG∥BF， ∴∠FBH＝∠EHB， ∴∠EHB＝∠CHB， ∵BE⊥EH，BC⊥CH， ∴BE＝BC＝2n， ∵AB＝2， ∴在Rt△ABE中，根据勾股定理得： AE＝＝； 综上分析可知，AE的长为n或． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似多边形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的定义，角平分线的性质，平行线的性质，解题的关键是根据题意画出相应的图形，数形结合，并注意分类讨论． 11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发．在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）． （1）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使四边形PQDC是平行四边形，若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由． （2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2； （3）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由题意已知，AD∥BC，要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD＝PC即可，列出等式可求解． （2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于60cm2，可以分为两种情况，点P、Q分别沿AD、BC运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，即（QD+PC）×AB÷2＝60，因为Q、P点的速度已知，AD、AB、BC的长度已知，用t可分别表示QD、BC的长，即可求得时间t； （3）使△PQD是等腰三角形，可分三种情况，即PQ＝PD、PQ＝QD、QD＝PD；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t． 【解答】解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形 ∴DQ＝CP 当P从B运动到C时， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t， CP＝21﹣2t ∴16﹣t＝21﹣2t 解得t＝5 ∴当t＝5秒时，四边形PQDC是平行四边形； （2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时， •AB＝60， 即×12＝60， 解得t＝9（秒） 若点P返回时，CP＝2t﹣21， 则×12＝60 解得t＝15（秒）． 故当t＝9或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等60cm2； （3）当PQ＝PD时 作PH⊥AD于H，则HQ＝HD， ∵QH＝HD＝QD＝（16﹣t）， ∵AH＝BP ∴2t＝（16﹣t）+t ∴t＝秒； 当PQ＝QD时，QH＝AH﹣AQ＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t，QD＝16﹣t， ∵QD2＝PQ2＝t2+122 ∴（16﹣t）2＝122+t2 解得t＝（秒）； 当QD＝PD时，DH＝AD﹣AH＝AD﹣BP＝16﹣2t， ∵QD2＝PD2＝PH2+HD2＝122+（16﹣2t）2 ∴（16﹣t）2＝122+（16﹣2t）2 即3t2﹣32t+144＝0 ∵Δ＜0， ∴方程无实根， 综上可知，当t＝秒或秒时，△PQD是等腰三角形． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质，平行四边形的性质，梯形的面积，等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏． 12．【阅读材料】 我们都知道：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形．“数学大王”小组的同学对“对角线互相垂直且相等的四边形”非常感兴趣，想进一步去进行探索研究，为了方便，他们称对角线互相垂直且相等的四边形为“垂等四边形”． 【探索实践】 【任务一】下列四边形中一定是“垂等四边形”的是 D ． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【任务二】如图1，四边形ABCD是“垂等四边形”，∠BCD＝90°，AB＝AC，点E，F分别是BD，AD的中点，连接CE，EF，以CE，EF为邻边作平行四边形CEFG． （1）求证：∠ABD＝∠ACE； （2）求证：四边形CEFG为正方形． 【任务三】如图2，在矩形ABCD中，AD＝2AB，将△ABD沿对角线BD翻折至△EBD，点F在BD上，且满足BF＝CE，点G为DE中点，求证：四边形CDFG是“垂等四边形”． 【答案】见试题解答内容 【分析】任务一：由正方形的性质可得出答案； 任务二：（1）证明EC＝EB，得出∠EBC＝∠ECB，则可得出结论； （2）由正方形的判定可得出结论； 任务三：证出，则可得出结论． 【解答】任务一：解：∵平行四边形的对角线互相平分， ∴A选项不符合题意； ∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴B选项不符合题意； ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴C选项不符合题意； ∵正方形的对角线互相垂直平分且相等， ∴D选项符合题意； 任务二：证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BCD＝90°，E为BD的中点， ∴EC＝EB， ∴∠EBC＝∠ECB， ∴∠ABC﹣∠EBC＝∠ACB﹣∠ECB， 即∠ABD＝∠ACE； （2）∵点E，F分别是BD，AD的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴EF＝， ∵∠BCD＝90°，E为中点， ∴， 由“垂等四边形”得AB＝BD， ∴EF＝EC， 则四边形为菱形， 由中位线EF得EF∥AB， ∴∠FED＝∠ABD， 由（1）得∠ABD＝∠ACE， ∴∠FED＝∠ACE， 由“垂等四边形”得AB⊥BD， 则∠ACE+∠CED＝90°， 则∠FEC＝∠FED+∠CED＝90°， 则四边形为正方形； 任务三：证明：∵将△ABD沿对角线BD翻折至△EBD， ∴EC∥BF， ∵BF＝CE， ∴四边形ECFB为平行四边形， 则FC∥BE， 又BE⊥DE， 则FC⊥DG， ∴， 则四边形CDFG是“垂等四边形”． 【点评】此题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，解本题的关键是熟练掌握以上知识． 13．【问题探究】（1）小欢在初二上学期学习“勾股定理”时，遇到问题：如图1，已知四边形ABCD的对角线AC和BD垂直，若a＝4，c＝2，则b2+d2＝ 　20　 ；小欢进一步发现图1中的四条线段a、b、c、d存在数量关系：a2+c2＝b2+d2 ； 【新知发现】（2）小欢在学习“矩形”时发现矩形内的任意一点也有类似的结论：如图2，点P在矩形ABCD内，连接PA，PB，PC，PD，可得：PA2+PC2＝PB2+PD2．小欢尝试在图3中进行结论证明： 证明：过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交CD于点F， 在Rt△PEA中，PA2＝PE2+AE2， 在Rt△PFC中，PC2＝PF2+CF2， 同理可得：PB2＝PE2+BE2，PD2＝PF2+DF2． 请帮助小欢继续完成结论的证明； 【拓展应用】（3）在图3的基础上，若PE＝3PF，小欢将△DPC绕着点P逆时针旋转，当∠ADP＝90°时，＝ 　　 ； （4）如图4，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D和点E分别在边AB和BC上，连接AE、CD和DE，若CD＝9，AE＝10，DE＝6，求边AC的长． 【答案】（1）20；a2+c2＝b2+d2； （2）证明见解析； （3）； （4）． 【分析】（1）直接利用勾股定理即可求解； （2）过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交CD于点 F，则∠AEF＝90°，由勾股定理得PA2＝PE2+AE2，PC2＝PF2+CF2，PB2＝PE2+BE2，PD2＝PF2+DF2，然后证明四边形AEFD是矩形，同理可得四边形BEFC是矩形，故有AE＝DF，BE＝CF，然后进行代换即可； （3）由（2）得AE＝DF，PA2+PC2＝PB2+PD2，设AE＝DF＝b，PF＝a，则PE＝3a，由旋转性质可知PD＝PD1，所以，同理AP2＝b2+（3a）2＝b2+9a2，然后通过勾股定理，最后代入求解即可； （4）作点E关于AB对称点E1，点D关于BC对称点D1，连接AE1、BE1、BD1、CD1，则有BE＝BE1，DB＝D1B，从而可得A、B、D1共线，C、B、E1共线，则有 CD＝CD1＝9，AE＝AE1＝10，∠DBE＝∠D1BE1＝90°，证明△DBE≌△D1BE1（SAS），得出D1E1＝DE＝6，由（1）得，即AC2+62＝102+92，然后求解即可． 【解答】（1）解：∵AC⊥BD， ∴∠AEB＝∠CEB＝∠CED＝∠AED＝90°， 由勾股定理得：AE2+BE2＝a2，CE2+BE2＝b2，CE2+ED2＝c2，CE2+AE2＝d2， ∴AE2+BE2+CE2+ED2＝CE2+BE2+CE2+AE2， ∴a2+c2＝b2+d2， 当a＝4，c＝2，则b2+d2＝42+22＝20， 故答案为：20；a2+c2＝b2+d2； （2）证明：过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交CD于点 F，则∠AEF＝90°，如图2， 在Rt△PEA中，由勾股定理得：PA2＝PE2+AE2， 在Rt△PFC中，由勾股定理得：PC2＝PF2+CF2， 同理：在直角三角形BEP中，由勾股定理得：PB2＝PE2+BE2， 在直角三角形DPF中，由勾股定理得：PD2＝PF2+DF2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ADC＝90°， ∵∠AEF＝90°， ∴∠BAD＝∠ADC＝∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形，同理可得四边形BEFC是矩形， ∴AE＝DF，BE＝CF， ∴PA2+PC2＝PE2+AE2+PF2+CF2，PB2+PD2＝PE2+BE2+PF2+DF2， ∴PA2+PC2＝PB2+PD2； （3）解：如图3，由（2）得AE＝DF，PA2+PC2＝PB2+PD2， 设AE＝DF＝b，PF＝a，则PE＝3a， ∵将△DPC绕着点P逆时针旋转，∠ADP＝90°， ∴PD＝PD1， ∴， 同理：AP2＝b2+（3a）2＝b2+9a2， ∵∠AD1P＝90°， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：如图4，作点E关于AB对称点E1，点D关于BC对称点D1，连接AE1、BE1、BD1、CD1， ∴BE＝BE1，DB＝D1B， ∵∠B＝90°， ∴A、B、D1共线，C、B、E1共线， ∴CD＝CD1＝9，AE＝AE1＝10，∠DBE＝∠D1BE1＝90°， 在△DBE和△D1BE1中， ， ∴△DBE≌△D1BE1（SAS）， ∴D1E1＝DE＝6， 由（1）得：， ∴AC2+62＝102+92， ∴． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 14．已知四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝10，点E是边AD上的动点，连接BE，将△ABE绕点B顺时针旋转得到△FBG，点F落在BE上． （1）如图1，当AE＝4ED时，GF交BC于点K，求FK的长； （2）如图2，射线FG交DC的延长线于点H，当FH＝DH时，求线段AE的长； （3）若点G始终在矩形ABCD内，延长FG交射线BC于点M，当点E在边AD上运动时，若|FG﹣GM|＝3，请直接写出此时线段AE的长． 【答案】（1）； （2）； （3）AE的长为或；理由见解答过程． 【分析】（1）四边形ABCD 是矩形，△ABE绕点B顺时针旋转得到△FBG，则△ABE∽△FKB，可得，然后可求出值； （2）连接HE，FH＝DH，EH＝EH，则Rt△DHE＝Rt△FHE（HL），可推出ED＝EF，设AE＝a，ED＝EF＝10﹣a，在Rt△ABE中，由勾股定理得：62+a2＝（16﹣a）2，可求解； （3）四边形ABCD 是矩形，△ABE绕点B顺时针旋转得到△FBG，点G始终在矩形ABCD 内，可得△ABE∽△FMB，可退出，根据|FG﹣GM|＝3，分类讨论即可求解． 【解答】解：（1）∵AB＝6，AD＝10，AE＝4ED，即AE+ED＝10， ∴AE＝8，DE＝2， ∵四边形ABCD 是矩形，△ABE绕点B顺时针旋转得到△FBG， ∴∠A＝∠BFK＝90°，∠AEB＝∠EBK，AB＝BF＝6， ∴△ABE∽△FKB， ∴，则， 解得：； （2）∵四边形ABCD 是矩形，△ABE绕点B顺时针旋转得到△FBG， ∴∠A＝∠BFK＝∠D＝90°，AB＝BF＝6， 如图3，连接HE， ∵FH＝DH，EH＝EH， 在Rt△DHE和Rt△FHE中， ， ∴Rt△DHE＝Rt△FHE（HL）， ∴ED＝EF， 设AE＝a，ED＝EF＝10﹣a， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：62+a2＝（16﹣a）2， 解得：， ∴； （3）如图4，四边形ABCD 是矩形，△ABE绕点B顺时针旋转得到△FBG，点G始终在矩形ABCD 内， ∴∠A＝∠BFK＝90°，∠AEB＝∠EBK，AB＝BF＝6，AE＝FG， ∴△ABE∽△FMB， ∴， ∵|FG﹣GM|＝3， ∴FG﹣GM＝3或FG﹣GM＝﹣3， 设AE＝FG＝x， ∴GM＝x﹣3或GM＝3+x； ①当GM＝x﹣3，FM＝2x﹣3， ∴， 整理得：2x2﹣3x＝36， 解得：或（不合题意，舍去）； 经检验，是原分式方程的解，且符合题意； ②当GM＝3+x，FM＝2x+3， ∴，则2x2+3x＝36， 解得：或（不合题意，舍去）， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 综上所述：AE的长为或． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用，旋转的性质和辅助线的做法，解题关键在于熟练运用各个知识点的内容解题． 15．如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠C． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）在（1）的条件下，如图2，若F为AB边上一点，E为BC边上的中点，连结DF，EF，DE，若∠DEF＝90°，证明DF＝AF+2BF； （3）在（1）的条件下，若F为AB边上的中点，E为BC边上的一点，连结DF，EF，DE，若∠DFE＝90°，请直接写出线段BE，CE，ED之间的数量关系． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． （3）结论：DE＝CE+2BE．见解析． 【分析】（1）根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）证明△BEF≌△CEG（ASA），推出EF＝EG，BF＝CG，可得结论； （3）延长EF交DA的延长线于H，根据平行线的性质得到∠HAF＝∠B，求得AF＝BF，根据全等三角形的性质得到AH＝BE，FH＝FE，求得DH＝DE，于是得到结论． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠A+∠D＝180°，∠B+∠C＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）证明：延长FE，交DC延长线于点G，如图， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠ECG， ∵BE＝CE，∠BEF＝∠CEG， ∴△BEF≌△CEG（ASA）， ∴EF＝EG，BF＝CG， ∵∠DEF＝90°， ∴DE⊥FG， ∴DF＝DG， ∴DF＝DG＝CD+CG＝AB+BF＝AF+BF+BF＝AF+2BF， ∴DF＝AF+2BF； （3）解：DE＝CE+2BE， 理由：延长EF交DA的延长线于H， ∵AD∥BC， ∴∠HAF＝∠B， ∵F为AB边上的中点， ∴AF＝BF， ∵∠AFH＝∠BFE， ∴△AFH≌△BFE（ASA）， ∴AH＝BE，FH＝FE， ∵∠DFE＝90°， ∴DH＝DE， ∵AD＝BC＝BE+CE， ∴DE＝DH＝AH+AD＝BE+BE+CE＝CE+2BE． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的判定和性质，正确地添加辅助线是解题的关键． 16．如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点D． 【问题解决】 （1）若∠ABC＝80°，∠A＝60°，则∠D＝ 　30°　 ． 【猜想证明】 （2）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有∠A的式子表示∠D） 【拓展提高】 （3）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）30°； （2）∠D＝∠A； （3）∠BMN+∠CNM﹣2∠D＝180°． 【分析】（1）根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可； （2）根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可； （3）由（2）的结论，再根据三角形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝80°，∠A＝60°， ∴∠ACE＝80°+60°＝140°， ∵CD是∠ACE的平分线， ∴∠ACD＝∠ECD＝×140°＝70°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝×80°＝40°， ∵∠ECD＝∠D+∠CBD， ∴∠D＝∠ECD﹣∠CBD＝70°﹣40°＝30°， 故答案为：30°； （2）当∠A保持不变，则∠D不会变化，∠D＝∠A，理由： ∵CD是∠ACE的平分线， ∴∠ACD＝∠ECD＝∠ACE， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC， ∵∠ECD＝∠D+∠CBD， ∴∠D＝∠ECD﹣∠CBD ＝∠ACE﹣∠ABC ＝（∠ACE﹣∠ABC） ＝∠A； （3）∠BMN+∠CNM﹣2∠D＝180°，理由： 如图，延长BM，CN相交于点F，由（2）可得∠D＝∠F，即∠F＝2∠D， ∵∠F+∠FMN+∠FNM＝180°，∠BMN＝∠F+∠FNM，∠CNM＝∠F+∠FMN， ∴∠BMN+∠CNM＝∠F+∠FNM+∠F+∠FMN＝180°+∠F， 即∠BMN+∠CNM＝180°+2∠D， 也就是∠BMN+∠CNM﹣2∠D＝180°． 【点评】本题考查角平分线，三角形内角和定理，以及多边形的内角与外角，掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线的定义是正确解答的关键． 17．【综合与实践】 深圳某条东西方向的道路共有五车道，早晚高峰期间经常拥堵，数学兴趣小组的同学就此问题开展研究性学习活动． 【信息一】通过实地考察，兴趣小组的同学对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行数据的收集统计和分析，整理得到下列表格，发现时间和交通量的变化规律符合一次函数特征，并由此得到y1与x的函数关系式及y2与x的函数关系式． 时间x 7时 10时 14时 17时 20时 自西向东交通量y1（辆/分钟） 93 78 a 43 28 自东向西交通量y2（辆/分钟） 42 48 56 62 68 【信息二】兴趣小组的同学希望根据两个不同方向的拥堵情况来合理设置中间“可变车道”的方向．通过查阅资料发现：若单位时间内双向交通总量设为v总＝y1+y2，当车流量较大的方向的交通量时，道路非常拥堵，需要通过把“可变车道”的行车方向与交通量较大的方向变为相同，去改善交通状况． 【解决问题】 （1）已知y1与x之间的函数关系式为y1＝﹣5x+128，表格中a＝ 　58　 ； （2）求y2与x之间的函数系式（不写自变量的取值范围）； （3）请你通过计算判断该路段从7时至20时在比较拥堵时如何设置“可变车道”的方向以缓解交通拥堵？（即在什么时间段把“可变车道”设为哪个方向的车道） 【答案】（1）58； （2）y2＝2x+28； （3）7≤x≤8时，“可变车道”的方向为自西向东；19≤x≤20，“可变车道”的方向为自东向西． 【分析】（1）把x＝14代入所给的函数解析式，求得a的值即可； （2）设出一次函数解析式，把表格中的任意两对数值代入可得k和b的值，即可求得相应的一次函数解析式； （3）表示出v总，分别求得y1≥v总和y2≥v总时对应的x的取值范围，结合题意可得相应的x的取值范围及“可变车道”的方向． 【解答】解：（1）当x＝14时，a＝﹣5×14+128＝58， 故答案为：58； （2）设y2＝kx+b， ∵经过点（7，42），（10，48）， ∴， 解得：， ∴y2＝2x+28； （3）v总＝y1+y2＝﹣3x+156， ①y1≥v总， ﹣5x+128≥（﹣3x+156）， 解得：x≤8， ②y2≥v总， 2x+28≥（﹣3x+156）， 解得：x≥19． 答：7≤x≤8时，“可变车道”的方向为自西向东；19≤x≤20，“可变车道”的方向为自东向西． 【点评】本题考查一次函数的应用．用待定系数法求得y2的函数解析式是解决本题的关键；难点是根据y≥v总得到相应的x的取值范围． 18．【综合探究】探究小组用两个完全相同的等腰直角三角形纸片通过平移做实验． 【操作探究】 （1）如图1，把重合中的△ABC向左平移成△DEF，顶点E恰好是BC边的中点，连接AF，，求三角形ACF的面积； 【深入探究】 （2）如图2，把△DEF继续向左平移，当点E与点C重合时，连接AF交DC于点G，求证：DG＝CG； 【拓展提升】 （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DQ⊥AF于点Q，连CQ，DQ＝2，直接写出CQ的长度． 【答案】（1）5； （2）见解析； （3）2． 【分析】（1）根据平移的性质得到AB＝BC＝EF＝2，求得CE＝BE＝BC＝，根据三角形的面积公式即可得到三角形ACF的面积＝CF•AB＝××＝5； （2）连接AD，根据平移的性质得到BE＝CF＝AD，AD∥CF，根据平行四边形的性质即可得到DG＝CG； （3）过C作CH⊥FQ于H，根据全等三角形的判定和性质定理和都有自己熟悉的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】（1）解：∵把重合中的△ABC向左平移成△DEF， ∴AB＝BC＝EF＝2， ∵点E恰好是BC边的中点， ∴CE＝BE＝BC＝， ∴CF＝EF﹣CE＝， ∵∠B＝90°， ∴三角形ACF的面积＝CF•AB＝××＝5； （2）证明：连接AD， ∵把重合中的△ABC向左平移成△DEF， ∴BE＝CF＝AD，AD∥CF， ∴四边形ADFC是平行四边形， ∴DG＝CG； （3）解过C作CH⊥FQ于H，CM⊥CQ交FQ于M， ∴∠MCQ＝∠FCD＝90°， ∴∠FCM＝∠DCQ， ∵DQ⊥AF， ∴∠DQG＝∠FCG＝90°， ∵∠DGQ＝∠CGF， ∴∠CFM＝Q， ∴CFM≌△CDQ（ASA）， ∴CM＝CQ， ∴∠CQH＝45°， ∵∠CHG＝∠DQG＝90°， ∠DGQ＝∠CGH，DG＝CG， ∴△DQG≌△CHG（AAS）， ∴CH＝DQ＝2， ∴CQ＝． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了平移的性质，勾股定理，三角形的面积公式，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/5 17:35:21；用户：18938334525；邮箱：18938334525；学号：5957904 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $