山东名校考试联盟2026年高考模拟数学试题

保密★启用前 山东名校考试联盟 2026年普通高等学校招生全国统一考试（模拟） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知一组数据1，2，6，8，10，12，的中位数为，则可能为 A．3 B．5 C．7 D．9 4．已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则 A．-2 B．0 C．1 D．2 5．我国自主研制的JF-22超高速风洞，是航空航天高端研发的国之重器．在风洞平面流场研究中，取平面内一组不共线的单位气流矢量，作为平面基底，风洞内某位置的合气流矢量可以唯一表示为，已知基底矢量与的夹角为，且合气流矢量与基底矢量相互垂直，则 A． B． C． D．3 6．已知过原点的直线与圆交于，两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为 A． B．0 C．0或 D．0或 7．已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上、下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上、下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为 A． B． C． D． 8．已知双曲线的右焦点为，中心为，是右支上的动点，若点满足，则的最小值为 A． B．1 C． D．2 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则 A． B． C． D． 10．已知函数，满足，，且的最小值为，下列说法正确的是 A．的最小正周期为 B．在区间单调递减 C．在区间有两个极值点 D．使得为偶函数的最小正实数为 11．已知，为方程的两个实根，设，则 A． B．存在，使得 C．的个位数字为7 D．为完全平方数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量服从正态分布，且，则____________． 13．部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，当时，臭氧含量的瞬时变化率为____________． 14．已知：①在一系列独立重复的伯努利试验中，用表示事件第一次发生时已经进行的试验次数，记每次试验中事件发生的概率为，则的分布列为，．如果随机变量具有上式的形式，则称随机变量服从几何分布，且；②若随机变量，满足，则．连续不断地抛掷一枚骰子，记录下它每次落地时朝上的面的点数，直到2，4，6点均出现为止，则抛掷总次数的数学期望为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 设是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）求． 16．（15分） 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 17．（15分） 数学多选题的得分规则如下：每小题给出A、B、C、D四个选项，其中有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分（例如：若正确选项为两项，选对其中一项得3分；若正确选项为三项，选对其中一项得2分、选对其中两项得4分），有选错的得0分．已知任意一道多选题四个选项全部正确的概率为0，设正确选项为两项的概率为． （1）现有某道多选题，小李同学完全不会，他的策略是在A，B，C、D四个选项中任选两个选项． （i）若，求该题他得到6分的概率； （ii）已知小李在该题得分不是0分的条件下，恰好得4分的概率为，求的值； （2）有一道多选题，小李判断得出A选项正确（答案中A为正确选项），B，C，D选项他不会判断，现在他有两个方案，方案一：选A和B，C，D中任意一个，方案二：选A和B，C，D中任意两个，从该题得分期望的角度分析，小李应该选择哪个方案． 18．（17分） 已知函数，为的导数． （1）求在处的切线方程； （2）证明在区间存在唯一极大值点； （3）证明有且仅有2个零点． 19．（17分） 已知动直线与椭圆交于，两个不同点，且的面积，其中为坐标原点． （1）证明和均为定值； （2）设线段的中点为，求的最大值； （3）椭圆上是否存在点，，，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $山东名校考试联盟 2026年普通高等学校招生全国统一考试（模拟) 数学试题参考答案 一、选择题：DBCA CDCB 二、选择题：9.ABD10.AC11.ACD 三、填空题：12.0.313.-0.0025Qe00514.11 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：(1)设{an}的公差为d,则a,+d+a+4d=7ln2,解得d=ln2, 所以an=a+(n-1)d=ln2+(n-1)ln2=nln2.5分 (2）e2o,=e2mh2=eh4=(eh4”=4" 所以e4+e4+…e4=4+4++4=40-4》.4-4.13分 1-43 16.(1)证明：以为AP=CP=AC=4,O为AC的中点， 所以OP⊥AC,且OP=2N3,连接OB.2分 因为HB=BC=5AC,所以△MBC为等腰直角三角形，且OB14C,OB=4C=2. 2 2 由OP2+OB2=PB2得P0⊥OB.4分 由OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O得PO⊥平面ABC.6分 (2)如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz,由题意得O(0,0,0) ，B(2,0,0),A0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),AP=(0,2,25).8分 2 M 取平面PAC的一个法向量为OB=(2,0,0). 设M(a,2-a,0)(0<a≤2)， 则AM=(a,4-a,0).设平面PAM的法向量为i=(x,y,z). 由AP.n=0,AM·i=0,得 2y+25z=0,可取元=(N5(a-4),V5a,-0), ax+(4-a)y=0, 2V5(a-4) 所以cos(OB,n)= ·11分 2V3(a-4)2+3a2+a2 又osO吸，-}所以 2V3(a-4) V3(a-4)2+3a2+a22 解得a=4(舍去)或a=4, 13分 854V54、 所以i=3,等2,3，Pc=0,2-25), 设PC与平面PAM所成角为0，则sin0=cos<PC,i>二V3 .15分 17.(1)(1)由于本题得到了6分，因此标准答案必须为两项1分 1C_1 记事件A为该题他得到6分，则P(A)=。× 3C☒18 1 那么该题他得到6分的概率为 3分 18 ()记事件B为小李在该题的得分不是0分，记X为小李该题的分数，则 PB)=PX=4)+PX=6,PX=4=I-pS-1-2 5分 X-6-P()P)Px C61 PX=4B)=PX=④_3-3p 6分 P(B)3-2p 3-3卫_3，解得p=2 1 7分 3-2p4 2 (2)记Y为小李该多选题的得分，执行方案一Y的可能取值为0、4、6 11+卫8分 g=0=Px名+-Pp)×3了 22_2卫9分 PY=4)=0-p)×333 1 P P(Y=6)=p×÷= 33 10分 方案一的得分分布列为 Y0 4 6 p1+P2_2p2 33333 ED=0x3+马+4×日 -2+6×2=822 3 11分 3 3 333 执行方案二Y,的可能取值为0、6 P(Y2=0)=p×1+(1-p)× 2_2+卫 xC=3+3 12分 P(Y,=6)=(1-p)× Ci=1_p C33 13分 方案一的得分分布列为 5 0 6 p号号 B,)=0×径++6x6=2-2p14分 33 、33 42 E(Y)-E(Y2)= 2P+2p-2Pt,E00=>0成立，达深 33 18.(1)f'(x)=c0sx- x+7'f0)=0,2分 1 f(0)=0,切线方程为y=0,4分 1 (2)由题意知：f(x)定义域为：(-1，+o)且f'(x)=cosx- x+1 令g)=cosr-1， xe(-l x+1 xe() 1 ∴.g'(x)=-sinx+ “在(-孕上调造流一血r在-导上单城 g(x)在(-1，)上单调递减7分 又g'0)=-sin0+1=1>0,g'(5)=-sin 4 4 2'π+2乎a+2y-1<0 3,∈0，孕，使得8x,)=0 当xe(-1x)时，g>0:xe2时，g()<0 即0在(-山上单调递增：在C,)上单调递减9分 则x=x,为g(x)唯一的极大值点 即：f()在区间(-1，)上存在唯一的极大值点·10分 1 (3)由(2)知：f'(x)=c0sx- x+1’x∈(-l,+o) ①当x∈(-1,0]时，由(2)可知f"(x)在(-1,0]上单调递增 .f'(x)≤∫'(0)=0.f(x)在(-1,0]上单调递减 又f(0)=0 .x=0为f(x)在(-1,0]上的唯一零点.11分 ②当xe(0孕时，代)在0)上单调造指，在（化，孕上单暖减 又f'(0)=0.f'(x)>0 ∴.f(x)在(0，x)上单调递增，此时f(x)>f(0)=0,不存在零点 又f(9)=co 元2=-2<0 2π+2π+2 e化孕，使得f)=0 ·()在(，)上单调递增，在(G,乃上单调递减 又f)>f0=0.f③=sm7-hl+受=h22>h1=0 π+2 x)>0在(G子上恒成立，此时不存在零点13分 ③当x∈ sinx单调递减，-ln(x+1)单调递减 ·f(x)在 2π上单调递减 又f(号>0，f()=sin元-h(π+)=-lh(π+)<0 甲孕<0，又)在[爱上单调递减 .( :上存在唯一零点15分 ④当x∈（π，+oo)时，sinx∈[-l,l],ln(x+1)>ln(π+1）>lne=1 .sin x In(x+1)<0 即f(x)在（π，+0）上不存在零点16分 综上所述：f(x)有且仅有2个零点.17分 19.(1)(1)当直线1的斜率不存在时，P,Q两点关于x轴对称，所以x,=x2,少，=-y2 :P(x,)在椭圈上：父+上=1O 32 又：SAoP0= hb-5e 2 0@得=，=1.此时2+=3,2+以=2：1分 ()当直线的斜率存在时，是直线的方程为y=:+m(m≠0)，将其代入。+ 一十 。=1得 32 (3k2+2)x2+6kmx+3(m2-2)=0 故△=36k2m2-12(3k2+2)(m2-2)>0即3k2+2>m2 叉x+32+2,62) 6km 3k2+2 3分 P0=+FG+P-4x丙=+F265+2-m 3k2+2 ,点O到直线1的距离为d= V1+k2 Som=)V+26V32+2-m Im m3k2+2-m2 3k2+2 V1+k2 3k2+2 又：SA0r0= 6整理得3k2+2=2m25分 此时x2+x2=(G+,-2x=（3+2 76m}-2×3m2-2）-3 3k2+2 +房6-》号-)=4+=2 3 综上所述x2+x2=3,2+y2=2.结论成立.6分 2》①当直线的斜车不存，由D知OM-k=5.P阳-2-2 因此OMPg=√6.7分 (i)当直线的斜率存在时，由(1)知 +=-3张，+2=k+五+m=3+2m-1 2 2m2 2 2m m ow=5y+(y=%t是-6m-2 2 =云七z422二之之22久 2 Pef=0+的246.2m--2犯+9分 (2+3k2)2m2 w四A加Ae共青 m 25 11分 m m 22 4 OMP四子当议当3太-2+后，睡m,袋号底立 1 m -=2+ 综合(2得oMPQ的最大值为 12分 (3)椭圆C上不存在三点D、E、G,使得S△oDE=S△oDG=S△oEG= VG 2 证明：假设存在D(u,y),Ex,y),Gx2,y,),满足SAODE=SAODG=SAOEG=V 2 由(1)得w2+x2=3,u2+x22=3,x2+x22=3,v2+y2=2,v2+y22=2,y2+y22=2 调：产多时=对- 因此4，x,x2从集合 2’-2 中选取，，片，2从集合{-1,1}中选取；15分 因此D、E、G只能从点集 官个点的两两连线必然有一条经过原点，这与SAODE=SAoc=JAc=V6 二矛盾 2 所以圆C上不存车三点D.E、G,俊得Sae=Saoe=Su- 2 .17分