第五章 5.5 复数 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦复数专题，依据高考评价体系梳理了复数的概念、四则运算、几何意义三大核心考点，通过近三年高考真题分析明确运算化简占50%、几何意义应用占30%的高频考点分布，归纳出概念辨析、运算求解、几何意义三类常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+微点突破+素养提升”的备考设计，如以2025长春模拟题“复数除法化简”为例，详解分母有理化技巧，培养学生运算能力与推理意识，结合复平面内点与向量的对应关系发展几何直观。特设“易误点警示”和“结论速记卡”，助力学生高效突破考点，教师可依托题型分类实现精准复习指导。

复　数 落实主干知识 1.复数的有关概念 (1)复数的定义：形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 是复数的实部， 是复数的虚部，i为虚数单位. (2)复数的分类： 复数z=a+bi(a，b∈R) 复数 (3)复数相等： a+bi=c+di⇔ (a，b，c，d∈R). a b = = ≠ a=c且b=d (4)共轭复数： a+bi与c+di互为共轭复数⇔ (a，b，c，d∈R). (5)复数的模： 向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作 或 ，即|z|=|a+bi|=(a，b∈R). a=c，b=-d |z| |a+bi| 2.复数的几何意义 (1)复数z=a+bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b). (2)复数z=a+bi(a，b∈R) 平面向量. 3.复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1+z2=(a+bi)+(c+di)= ； ②减法：z1-z2=(a+bi)-(c+di)= ； ③乘法：z1·z2=(a+bi)·(c+di)= ； ④除法：===(c+di≠0). (a+c)+(b+d)i (a-c)+(b-d)i (ac-bd)+(ad+bc)i +i (2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即=__________，=__________. + - 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数z=a+bi(a，b∈R)中，虚部为bi. (　　) (2)原点是实轴与虚轴的交点. (　　) (3)已知z=a+bi(a，b∈R)，当a=0时，复数z为纯虚数. (　　) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. (　　) 自主诊断 × √ × √ 2.(2024·新课标全国Ⅱ)已知z=-1-i，则|z|等于 A.0 B.1 C. D.2 √ 解析　若z=-1-i，则|z|==. 3.(2025·长春模拟)复数z=的共轭复数为 A.1-i B.1+i C.2-2i D.2+2i √ 解析　由题意得，z==1-i， ∴=1+i. 4.(2025·潍坊模拟)在复平面内，复数z=对应的点的坐标为 A.(-2，1) B.(2，-1) C.(-2，i) D.(2，-i) 解析　因为z====-2+i. 所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(-2，1). √ 1.熟记与复数有关的常用结论 (1)(1±i)2=±2i；=i；=-i. (2)i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N*). (3)z·=|z|2=||2，|z1·z2|=|z1|·|z2|，=，|zn|=|z|n(n∈N*). (4)r1≤|z|≤r2表示以原点O为圆心，以r1和r2为半径的两圆所夹的圆环； |z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆. 微点提醒 2.谨防两个易误点 (1)利用复数相等a+bi=c+di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件. (2)两个不全为实数的复数不能比较大小. 微点提醒 返回 探究核心题型 例1　(1)(2025·温州模拟)若复数a2-2a+ai是纯虚数，则实数a=　　　.  题型一　复数的概念及运算 命题点1　复数的概念 2 解析　由题意得⇒a=2. (2)(2025·全国Ⅰ卷)(1+5i)i的虚部为 A.-1 B.0 C.1 D.6 √ 解析　因为(1+5i)i=i+5i2=-5+i，所以其虚部为1. 解决复数概念问题的常用方法 (1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b. (2)复数是实数的条件：①z=a+bi∈R⇔b=0(a，b∈R)；②z∈R⇔z=；③z∈R⇔z2≥0. (3)复数是纯虚数的条件 ①z=a+bi是纯虚数⇔a=0且b≠0(a，b∈R)； ②z是纯虚数⇔z+=0(z≠0)； ③z是纯虚数⇔z2<0. (4)复数z=a+bi(a，b∈R)的共轭复数为=a-bi，则z·=|z|2=||2，即|z|=||=. 思维升华 跟踪训练1　(1)已知复数z满足z+=-1，z-=i，则下列结论正确的是 A.|z|= B.z为纯虚数 C.z的虚部为i D.z2= √ 解析　由z+=-1，z-=i可得z=-+i， 对于A，|z|==1，A错误； 对于B，z不是纯虚数，B错误； 对于C，z的虚部为，C错误； 对于D，z2==-i+i2=--i=，D正确. (2)(2025·西安模拟)已知=1-i，则复数的实部与虚部之和为 A.1 B.-i C.2 D.+i √ 解析　由=1-i，得z=1+=1+=1+=+i， 则=-i，所以复数的实部与虚部之和为+=1. 例2　(1)(2025·全国Ⅱ卷)已知z=1+i，则等于 A.-i B.i C.-1 D.1 命题点2　复数的运算 解析　====-i. √ (2)(2026·青岛模拟)若(1+2i)z=5，则z·等于 A.3 B.4 C.5 D.6 解析　z===1-2i， 所以=1+2i，所以z·=(1-2i)(1+2i)=5. √ 复数四则运算问题的解题策略 思维升华 复数的加减法 在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算 复数的乘法 复数的乘法类似于多项式的乘法，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并 复数的除法 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式，这里的分母实数化可类比分母含根式的分母有理化 跟踪训练2　(1)(2023·新高考全国Ⅰ)已知z=，则z-等于 A.-i B.i C.0 D.1 √ 解析　因为z== ==-i，所以=i，即z-=-i. (2)(2026·枣庄模拟)已知复数z在复平面内对应的点为(1，2)，则等于 A.-1+i B.1-i C.1+i D.-1-i √ 解析　由复数z在复平面内对应的点为(1，2)，得z=1+2i， 所以=====1+i. 例3　(1)(2025·晋中模拟)已知复数z=1-2i是关于x的方程x2+ax+b=0(a，b∈R)的根，则|a+bi|等于 A. B.4 C. D. 题型二　复数的模 √ 解析　方法一　由题意得，=1+2i是方程x2+ax+b=0(a，b∈R)的另一个根， 由根与系数的关系得1+2i+1-2i=-a，(1+2i)(1-2i)=b， 故a=-2，b=5， 故|a+bi|=|-2+5i|==. 方法二　由题意知，(1-2i)2+a(1-2i)+b=0， 则(a+b-3)+(-4-2a)i=0， 则解得 故|a+bi|=|-2+5i|==. (2)(2025·天津)已知i是虚数单位，则=　　　　.  解析　由题意得，=-i(3+i)=1-3i，所以==. 解与复数的模有关的计算问题的两个方法 (1)根据复数的模的公式|a+bi|=(a，b∈R)直接计算求解； (2)利用模的性质|z|2=||2=z·求解. 思维升华 跟踪训练3　(1)(2025·南通模拟)已知复数z满足z2=-3+4i，则|z|等于 A. B.5 C. D.2 √ 解析　设z=a+bi(a，b∈R)， 则z2=a2-b2+2abi，又z2=-3+4i， 所以解得或 则z=1+2i或z=-1-2i， 所以|z|==. (2)(2025·安康模拟)已知i为虚数单位，若z(2+i)=3-i，则|+2i|等于 A.10 B. C.5 D. √ 解析　依题意，z====1-i，=1+i， 所以|+2i|=|1+3i|==. 例4　(1)(2026·菏泽模拟)在复平面内，向量对应的复数为-1+3i，向量对应的复数为-2+i，则向量对应的复数为 A.-3-4i B.-3+4i C.1+2i D.-1-2i 题型三　复数的几何意义 √ 解析　因为向量对应的复数为-1+3i，向量对应的复数为-2+i， 则=(-1，3)，=(-2，1)， 所以=-=(-1，-2)， 所以向量对应的复数为-1-2i. (2)已知i是虚数单位，复数z=a+bi(a，b∈R)，且|z-i|=|z+2-i|，则|z-3+i|的最小值为 A.5 B.4 C.3 D.2 √ 解析　方法一　由|z-i|=|z+2-i|，得复数z在复平面内对应的点Z到点(0，1)与点(-2，1)的距离相等，则点Z在直线x=-1上. |z-3+i|表示点Z与点(3，-)的距离，过点(3，-)作直线x=-1的垂线，垂足为P(图略)，当点Z与点P重合时，|z-3+i|取得最小值4. 方法二　因为z=a+bi(a，b∈R)， 则z-i=a+(b-1)i， z+2-i=(a+2)+(b-1)i， 由|z-i|=|z+2-i|， 可得=， 解析　解得a=-1，则z=-1+bi， 所以z-3+i=-4+(b+)i， 因此|z-3+i|=≥4， 当且仅当b=-时，等号成立， 故|z-3+i|的最小值为4. 复数的几何意义及应用 (1)复数z、复平面上的点Z及平面向量相互联系、一一对应，即z=a+bi(a，b∈R) Z(a，b) . (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观. 思维升华 跟踪训练4　(1)(2025·漳州模拟)已知复数z1=1+2i，在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，且点Z1与点Z2关于直线y=x对称，则|z1-z2|等于 A. B. C. D.5 √ 解析　因为z1=1+2i，所以点Z1(1，2). 因为点Z1与点Z2关于直线y=x对称，所以Z2(2，1). 所以|z1-z2|=||==. (2)(2025·上海)已知复数z满足z2=，|z|≤1，则|z-2-3i|的最小值是 　.  2 解析　设z=a+bi(a，b∈R)，所以=a-bi， 由题意可知z2=a2+2abi-b2==a2-2abi-b2，则ab=0， 又|z|=≤1，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点Z(a，b)在单位圆内部(含边界)的坐标轴上运动，如图所示即点Z在线段AB，CD上运动， 设E(2，3)，则|z-2-3i|=|ZE|，由图象可知|BE|= >|CE|=2， 所以|ZE|min=2，即|z-2-3i|的最小值为2. 微拓展 复数的三角形式 1.复数的三角形式 (1)复数的辐角 以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角. 我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.记作：arg z，即0≤arg z<2π. 微拓展 (2)复数的三角表示式 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos θ+isin θ)的形式.其中，r是复数z的模；θ是复数z=a+bi的辐角.r(cos θ+isin θ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式. 注意：复数三角形式的特点 模非负，角相同，余弦前，加号连. (3)两个用三角形式表示的复数相等的充要条件： 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 微拓展 2.复数三角形式的乘、除运算 (1)复数三角形式的乘法及其几何意义 设z1，z2的三角形式分别是z1=r1(cos θ1+isin θ1)，z2=r2(cos θ2+isin θ2)， 则z1·z2=r1r2. 简记为：模数相乘，辐角相加. 几何意义：把复数z1对应的向量绕点O按逆时针方向旋转z2的一个辐角，长度乘以z2的模，所得向量对应的复数就是积z1z2. 微拓展 (2)复数三角形式的除法及其几何意义 设z1，z2的三角形式分别是z1=r1(cos θ1+isin θ1)，z2=r2(cos θ2+isin θ2)，且z2≠0， 则z1÷z2=. 简记为：模数相除，辐角相减. 几何意义：把复数z1对应的向量绕点O按顺时针方向旋转z2的一个辐角，长度除以z2的模，所得向量对应的复数就是. 微拓展 典例　(1)-1-i的三角形式是 A.-2 B.2 C.2 D.2 √ 解析　由题意得-1-i =2=2. 微拓展 (2)设z1=2，z2=，则z1·z2的三角形式为 　　　　 　　　　　　　.  解析　方法一　因为z1=2=1+i， z2===+i， 所以z1·z2=(1+i) =+i+i+i2=-+i ==. 返回 解析　方法二　因为z1=2， z2==， 所以z1·z2 =2× =. 课时精练 一、单项选择题 1.(2025·厦门模拟)已知(1-2i)a+(3+4i)b=2+6i，其中a，b为实数，则 A.a=1，b=-1 B.a=-1，b=1 C.a=-1，b=-1 D.a=1，b=1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 知识过关 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　因为(1-2i)a+(3+4i)b=2+6i， 所以(a+3b)+(-2a+4b)i=2+6i， 所以解得 2.(2025·曲靖模拟)在复平面内，复数3+2i，-2+3i对应的向量分别是，，其中O是坐标原点，则向量对应的复数为 A.1+i B.5-i C.5-3i D.-5+i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 解析　由题设=(3，2)，=(-2，3)， 则=-=(-5，1)， 所以向量对应的复数为-5+i. 3.(2026·蚌埠模拟)已知复数z满足z(1+2i)=7+4i，则在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　因为复数z满足z(1+2i)=7+4i，所以z===3-2i， 所以=3+2i，在复平面内对应的点为(3，2)，位于第一象限. 4.(2025·泰安模拟)已知i为虚数单位，若(1-i)(2+ai)是纯虚数，则实数a等于 A.-4 B.-2 C.1 D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　因为(1-i)(2+ai)=2-2i+ai-ai2=2+a+(a-2)i，所以解得a=-2. 5.(2025·抚顺模拟)已知复数z满足=1-2i，则 A.z为纯虚数 B.的虚部为-1 C.z=3 D.z和是方程x2+2x+2=0的两个根 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　因为=1-2i， 所以z+1=(1-2i)(z-1)=z-1-2iz+2i， 所以2iz=2i-2，z====1+i， 所以=1-i，所以A错误，B正确； z=(1+i)(1-i)=1-i2=2，所以C错误； 方法一　因为x2+2x+2=0，(x+1)2=-1，所以x+1=±i，x=-1±i，所以D错误. 方法二　因为z+=1+i+1-i=2≠-2， 则由根与系数的关系可知z和不是方程x2+2x+2=0的两个根，所以D错误. 6.(2025·安阳模拟)若复数z满足|z-1|=2，则在复平面内，复数z所对应的点组成的图形的周长为 A.π B.2π C.3π D.4π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ 解析　设z=x+yi(x，y∈R)， 由|z-1|=2，则(x-1)2+y2=4， 则在复平面内，复数z所对应的点组成的图形为以点(1，0)为圆心，2为半径的圆，故复数z所对应的点组成的图形的周长为2π×2=4π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 二、多项选择题 7.(2026·石家庄模拟)已知i为虚数单位，下列选项正确的是 A.若m，n∈R，则m+ni=2+i的充要条件是m=2，n=1 B.若复数z1，z2，z3满足z1z2=z2z3，则z1=z3 C.i+i2+i3+…+i2 025=i D.若复数z满足|z|=1，则|z-3+4i|的最大值为6 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　对于A，因m，n∈R，则m+ni=2+i等价于m-2+(n-1)i=0， 等价于即故A正确； 对于B，由z1z2=z2z3可得z2(z1-z3)=0， 当z2=0时，等式成立，但z1与z3不一定相等，故B错误； 对于C，对于n∈N，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4(n+1)=1， 则i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4(n+1)=i-1-i+1=0， 于是i+i2+i3+…+i2 025=(i+i2+i3+i4)×506+i=i，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　对于D，由|z|=1可理解为复平面内以原点为圆心的单位圆，而|z-3+4i|可看成该圆上的点到点(3，-4)的距离，易得|z-3+4i|的最大值即+1=6，故D正确. 8.(2025·湛江模拟)复数z1，z2满足z1+z2=4，z1·z2=8，则 A.|z1|·|z2|=8 B.|z1-z2|=4 C.|z1|+|z2|=4 D.=1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　依题意得，复数z1，z2是方程x2-4x+8=0的两个根，x2-4x+8=0可得Δ=(-4)2-4×8×1=-16=(4i)2， 解得x===2±2i， 则令z1=2+2i，z2=2-2i， 所以|z1|·|z2|=|z1·z2|=8，故选项A正确； |z1-z2|=|4i|=4，故选项B正确； |z1|+|z2|=+=4，故选项C错误； ===1，故选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 三、填空题 9.(2025·辽阳模拟)若复数z=+|3-4i|，则|z|=　　　　.  4 解析　z=+|3-4i|=+5 =+5=8-4i， |z|==4. 10.写出一个同时满足①②的复数z=　　　　.  ①z3=；②z∉R. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 i(或-i) 解析　因为z∉R，不妨设z=bi(b∈R，b≠0)， 则(bi)3=-b3i=-bi， 解得b=±1，即z=±i符合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 四、解答题 11.已知m∈R，复数z=2m+3+(m-1)i. (1)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围； 解　复数z在复平面内对应的点为(2m+3，m-1)， 由z在复平面内对应的点位于第四象限，得解得-<m<1， 所以实数m的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 11.已知m∈R，复数z=2m+3+(m-1)i. (2)若z满足z+3=n+4i，n∈R，求的值. 解　依题意，z+3=2m+3+(m-1)i+3[2m+3-(m-1)i]=4(2m+3)-2(m-1)i=n+4i， 又m，n∈R，则解得 ====-i， 所以==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.已知复数z满足(2+i)z-7i=|2-2i|. (1)求复数z和|z|； 解　因为复数z满足(2+i)z-7i=|2-2i|， 所以(2+i)z-7i==4， 所以z===3+2i. 所以|z|==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.已知复数z满足(2+i)z-7i=|2-2i|. (2)若复数z是关于x的方程2x2+ax+b=0(a，b∈R)的一个根，求实数a，b的值. 解　方法一　因为复数z是关于x的方程2x2+ax+b=0的一个根， 由(1)知z=3+2i， 则=3-2i是方程的另一个根， 所以z+=-=6， z·=(3+2i)(3-2i)=13=， 解得a=-12，b=26. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.已知复数z满足(2+i)z-7i=|2-2i|. (2)若复数z是关于x的方程2x2+ax+b=0(a，b∈R)的一个根，求实数a，b的值. 解　方法二　因为复数z是关于x的方程2x2+ax+b=0(a，b∈R)的一个根， 由(1)知z=3+2i， 所以2(3+2i)2+a(3+2i)+b=2(9+12i-4)+3a+2ai+b=10+3a+b+(2a+24)i=0， 所以 解得 13.若i为虚数单位，复数z满足|z|≤1，则|z-(1+i)|的最大值为 A.-1 B. C.+1 D.2 能力拓展 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ 解析　设z=x+yi，x，y∈R， 则x2+y2≤1，表示以(0，0)为圆心，1为半径的圆上和圆内的点， |z-(1+i)|=|x-1+(y-1)i|=，表示以(0，0)为圆心，以1为半径的圆上和圆内的点到点(1，1)的距离， 故|z-(1+i)|的最大值为+1=+1. 14.在复平面内，复数z=a+bi(a，b∈R)对应向量(O为坐标原点)，设||=r，以射线Ox为始边，向量所在射线为终边，旋转的角为θ，则z=r(cos θ+isin θ)，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：z1=r1(cos θ1+isin θ1)， z2=r2(cos θ2+isin θ2)，则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ).已知z=(+i)4，则||=　　；若复数ω满足ωn-1=0(n∈N*)，则称复数ω为n次单位根，若复数ω是6次单位根，且ω∉R，请写出一个满足条件的ω=______ 　　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 16 isin (答案不唯一) cos + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　 ∵+i=2， ∴z=(+i)4=24， 则||=|z|=24=16. 由题意知ω6=1， 设ω=cos θ+isin θ， 则ω6=cos 6θ+isin 6θ=1， ∴又ω∉R，∴sin θ≠0， 故可取θ=，则ω=cos +isin . 返回 $