专题02 勾股定理必刷题（九大题型）-2025-2026学年八年级数学下册期末高频必刷题（人教版）

**基本信息** 聚焦勾股定理9大核心题型，从概念辨析到实际应用构建递进训练体系，强化几何直观与空间观念 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |用勾股定理解三角形|5题|含直角边、斜边计算及作图综合题|勾股定理直接应用，基础核心| |勾股数问题|2题|整数组判断，排除非整数选项|概念辨析，巩固勾股定理数式特征| |勾股定理与无理数|3题|结合数轴表示无理数|数形结合，拓展定理几何意义| |勾股定理与折叠问题|2题|折叠后直角三角形构建|动态几何，培养空间观念| |勾股定理的实际应用|8题|含古代问题、测量、航行等|模型意识，强化应用能力| |以弦图为背景的计算|3题|赵爽弦图面积关系应用|传统文化与定理证明结合| |判断三边能否构成直角三角形|2题|边长平方关系验证|逆定理基础应用| |勾股定理的逆定理应用|2题|四边形面积及距离计算|综合应用，提升推理能力| |勾股定理-最短路径问题|3题|圆柱、正方体表面路径|空间转化，发展几何直观|

专题02 勾股定理必刷题 【题型1：用勾股定理解三角形】......................................................................................1 【题型2：勾股数问题】 【题型3：勾股定理与无理数】 【题型4：勾股定理与折叠问题】 【题型5：勾股定理的实际应用】 【题型6：以弦图为背景的有关计算】 【题型7：判断三边能否构成直角三角形】 【题型8：勾股定理的逆定理应用】 【题型9：勾股定理-最短路径问题】 【题型1：用勾股定理解三角形】 1．一个直角三角形的一条直角边是6，斜边长10，另一条直角边是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，本题直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由勾股定理可得：另一直角边长． 故选：B． 2．已知直角三角形的两条边长分别为和，则这个直角三角形的第三边长为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的两条边长分别为和，需要分两种情况求解，当和为直角三角形的两条直角边时，第三边长为；当直角三角形的斜边为时，第三边长为． 【详解】解：当和为直角三角形的两条直角边时， 第三边长为； 当为直角边，为直角三角形的斜边时， 第三边长为， 这个直角三角形的第三边长为或． 故选： C． 3．在中，，则边的长为（    ） A．3 B．27 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查30度角的直角三角形的性质及勾股定理，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．根据含30度角的直角三角形的性质推出，再用勾股定理求出即可． 【详解】解：，，， ， 故选：D 4．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则线段的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，过D点作DH⊥AB于H点，根据全等证明出BC=BH,设DC=DH=x则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，在Rt△ADH中，由勾股定理得到 ，由此即可求出x的值． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线， 过D点作DH⊥AB于H点， ∵∠C=∠DHB=90°， ∴DC=DH， ， ∵∠C=∠DHB=90°，∠HBD=∠CBD，BD=BD ∴△BHD≌△BCD（AAS） ∴ BC=BH      设DC=DH=x，则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4， 在Rt△ADH中，由勾股定理：， 代入数据：，解得，故， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，在角的内部角平分线上的点到角两边的距离相等，勾股定理等相关知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图是解决本题的关键． 5．如图，在中，，，，分别以A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为，，过，两点作直线交于点，则的长是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查基本作图——线段的垂直平分线．熟练掌握线段的垂直平分线的性质，勾股定理，是解题的关键． 由线段垂直平分线段性质，推出，设，由，得，构建方程即可解决问题． 【详解】解：设， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故选：C． 【题型2：勾股数问题】 6．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．4，5，6 B．1，2，3 C．1.5，2，2.5 D．3，4，5 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股数，勾股数首先必须是整数，再分别计算两个较小的整数的平方与最大整数的平方，再判断是否相等，从而可得答案，掌握如果a，b，c为正整数，且满足，那么，a、b、c叫做一组勾股数是解本题的关键． 【详解】解：A．，故不是勾股数； B．，故不是勾股数； C．存在小数，故不是勾股数； D．，故是勾股数； 故选：D． 7．下列各组数中，是“勾股数”的一组是（   ） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．1，，2 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股数的定义．勾股数必须满足都是正整数，同时还需满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，据此注意判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6，不是勾股数，不符合题意； B、，这两个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴6，8，10是勾股数，符合题意； D、不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 【题型3：勾股定理与无理数】 8．如图，点A表示的实数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴，如图，利用勾股定理计算出的长，再根据，即可解答． 【详解】解：如图， 由勾股定理得， 则， 点A表示的实数是， 故选：D． 9．如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的知识，数轴上的点表示数的方法．解题关键是利用勾股定理求出矩形的对角线长度，同时要掌握圆上各点到圆点的距离相等都为半径．图中矩形的长为2，宽为1，则可根据勾股定理求出矩形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴正方向交于点P，则点P表示的数即为3加上对角线的长度． 【详解】解：应用勾股定理得，矩形的对角线的长度， 以矩形对角线长为半径画弧，交数轴正方向于点P， 所以数轴上的点P表示的数为：． 故选：C． 10．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理与无理数，关键是能准确理解并运用该知识和勾股定理进行求解．先运用勾股定理求得线段的长，即可求解． 【详解】解：由题意得， ， ∴点D表示的数为， 故选C． 【题型4：勾股定理与折叠问题】 11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】先利用折叠的性质得到，设，则，，在中，根据勾股定理可得到，求解即可． 【详解】解：∵沿DE翻折，使点A与点B重合， ∴， ∴， 设，则，， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质及勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键． 12．如图，小明用一张长方形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，长为．当小明折叠时，顶点落在边上的点处（折痕为）．则此时的面积为_____． 【答案】25 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由题意可知，，，，在利用勾股定理可求得，从而知道，然后设，，通过，求得，最后利用算得答案． 【详解】解：由题意可知，， ， 长方形，宽为，长为 ，， 设， 故答案为：25． 【题型5：勾股定理的实际应用】 13．我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问题，今有方池一丈二，葭生其中央，出水二尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：葭长几何？（1丈尺）．意思是有一个长方体池子，底面是边长为丈的正方形，正中间有芦苇，把高出水面2尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，则芦苇长（   ）尺 A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】B 【分析】设芦苇长为x尺，根据题意，得尺，尺，尺，根据勾股定理计算即可． 本题考查了勾股定理，正方形的性质，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：设芦苇长为x尺， 根据题意，得尺，尺，尺， 根据勾股定理得， 解得． 故选：B． ． 14．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（   ） A．13尺 B．12尺 C．24尺 D．26尺 【答案】A 【分析】本题考查正确勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题是学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设芦苇长为尺，水深尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设芦苇长为尺，水深尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 即芦苇的长度13尺． 故选：A． 15．《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田的面积有多少？设该长方形的对角线为步，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设该长方形的对角线为步，则该长方形的宽为步，再根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设该长方形的对角线为步，则该长方形的宽为步， 由勾股定理得， 故选：B． 16．如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆，地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离是（    ）米. A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题意可知，电线杆，钢缆和固定点A到电线杆底部B的线段，构成了直角三角形，钢缆是斜边，根据勾股定理可求出解． 【详解】解：∵钢缆是电线杆，钢缆，线段构成的直角三角形的斜边， 又∵钢缆长度为10米，从电线杆到钢缆的上端为6米， ∴米， 故选：C． 17．我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺（尺），求这个秋千的绳索有多长？（    ） A．12尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺和秋千的上端的端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解． 【详解】解：设绳索有x尺长， 则， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 18．如图，一支长为的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为，，，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为 ，由勾股定理得，长方体的对角线长为，当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为 ，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为 ， 由勾股定理得，长方体的对角线长为， 当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为 ， ∴这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 19．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，小时后两艘轮船相距海里，则乙轮船每小时航行________海里． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可以知道两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵甲轮船沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行， ∴， ∴ ∵甲以9海里/时的速度沿西北方向匀速航行了1小时， ∴（海里）， ∵海里， 在中，（海里）， ∴乙轮船平均每小时航行（海里）． 故答案为：． 20．小明在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端，热爱思考的他制定了一个测量树高的方案．如图，在地面A处测得手中剩下的风筝线为4米．后退6米后，在地面B处风筝线恰好用完（点N在点M的正下方，A、B、N在同一条直线上）．已知风筝线总长为8米，则这棵树的高度为______． 【答案】米/ 【分析】此题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意得，米，（米），米， ∴，， ∴，， ∴， ∴（负值已舍去）， 故答案为：米． 【题型6：以弦图为背景的有关计算】 21．如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，若，，则小正方形的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理等，先求出大正方形的面积为，由勾股定理得，求出小正方形的面积，即可求解；能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：正方形的面积为：， ， ， 小正方形的面积是， 故选：A． 22．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是（   ） A．49 B．36 C．25 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意求得大正方形的边长，根据勾股定理求出直角三角形的小直角边长为3，从而得小正方形的边长，即可得出结果． 【详解】解：设大正方形的边长为c，直角三角形的小直角边为a， ∵大正方形的面积是169， ∴， ∵直角三角形的长直角边是12， ∴， ∴小正方形的边长， ∴小正方形的面积． 故选：A． 23．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（    ）． A．24 B．30 C．40 D．50 【答案】B 【分析】本题主要考查了弦图，完全平方公式，设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，根据题意， ，结合已知化简计算即可． 【详解】解：设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b， 根据题意， ， ∵， ∴， ∴ ∴， 即的值是30， 故选：B． 【题型7：判断三边能否构成直角三角形】 24．由下列各组线段组成的三角形是直角三角形的是（   ） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．2，3，5 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为3，4，4的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴长为3，4，5的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意； C、∵， ∴长为3，4，6的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为2，3，5的三条线段不可以组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 25．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1 C．4，5，6 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足“较小两边的平方和等于最大边的平方”，则该三角形为直角三角形，将各个选项逐一代数计算即可得出答案． 【详解】解：A、∵， 不能构成直角三角形，故不符合题意； B、， 能构成直角三角形，故不符合题意； C、∵， 不能构成直角三角形，故不符合题意； D、， 不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选：B． 【题型8：勾股定理的逆定理应用】 26．如图，在一条东西走向的省级干线公路l的一侧有一村庄P，由P原有两条笔直小路与l相连接，其中，由于某种原因，由P到A的路已经不通，现今该村的乡村产业振兴小组为方便村民运输农产品与出行，争取上级支持新建了一条公路（A，C，B在同一条直线上），测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明： (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)原来的路线PA的长为8.45千米 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握定理内容并正确运用是关键； （1）计算与的值，两者的值相等，则是直角三角形，则 PC是从村庄P到l的最近路； （2）设，则；在中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：是； 理由是：在中， ，， ， 是直角三角形， ， 是从村庄P到l的最近路； （2）解：设，则， 在中，， ， 解得：， 答：原来的路线PA的长为8.45千米． 27．如图，莲花湖景区内有一块四边形空地，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经测量，，，，． (1)请你帮助管理人员计算出这个四边形对角线的长度； (2)请你用学过的知识计算出求这块空地的面积； (3)观赏草坪每平方米的价格是30元，请你计算购买草坪需要花多少元． 【答案】(1)米 (2)平方米 (3)7020元 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）利用勾股定理求出即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，计算两个直角三角形面积即可解决问题 （3）根据总价单价面积 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得： （米）． （2）在中，∵， ∴．   ∴  （米2）． （3）购买草坪需要的总价为（元） 答：赏草坪每平方米的价格是30元，请你计算购买草坪需要花7020元． 【题型9：勾股定理-最短路径问题】 28．如图，有一个圆柱形物体，一只蚂蚁要绕着圆柱外壁从点爬到点，圆周率取3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，圆柱的侧面展开图的长方形的长为，长方形的宽等于圆柱的高，根据题意，爬行到对面的意义即为求图中的长，利用勾股定理解答即可． 本题考查了勾股定理的应用，正确确定展开图中各线段的长度是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设圆柱的侧面展开图为长方形，，，， 如图所示：， 故选：A． 29．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜（杯壁厚度不计），此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用、轴对称的性质、圆柱的侧面展开图，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键．圆柱形玻璃杯的侧面展开图的一半为长方形，作点关于的对称点，过点作于点，连接，先求出，的长，再利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，圆柱形玻璃杯的侧面展开图的一半为长方形，作点关于的对称点，过点作于点，连接， 由题意得：，，，， ∴， ∴， 即蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为， 故选：A． 30．如图是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，则蚂蚁爬行的最短距离是______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及最短路径，先把各种情况展开，因为是一个边长为1的正方体硬纸盒，故展开后的平面都是一样的，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图： ∵一个边长为1的正方体硬纸盒， ∴不管把看到的前面和上面组成一个平面或者左面与上面组成一个平面还是前面和右面组成一个平面，都跟上图一模一样， 即， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理必刷题 【题型1：用勾股定理解三角形】 【题型2：勾股数问题】 【题型3：勾股定理与无理数】 【题型4：勾股定理与折叠问题】 【题型5：勾股定理的实际应用】 【题型6：以弦图为背景的有关计算】 【题型7：判断三边能否构成直角三角形】 【题型8：勾股定理的逆定理应用】 【题型9：勾股定理-最短路径问题】 【题型1：用勾股定理解三角形】 1．一个直角三角形的一条直角边是6，斜边长10，另一条直角边是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．已知直角三角形的两条边长分别为和，则这个直角三角形的第三边长为（   ） A． B． C．或 D． 3．在中，，则边的长为（    ） A．3 B．27 C． D． 4．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则线段的长为（    ） A．3 B． C． D． 5．如图，在中，，，，分别以A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为，，过，两点作直线交于点，则的长是（   ） A．1 B． C． D． 【题型2：勾股数问题】 6．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．4，5，6 B．1，2，3 C．1.5，2，2.5 D．3，4，5 7．下列各组数中，是“勾股数”的一组是（   ） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．1，，2 【题型3：勾股定理与无理数】 8．如图，点A表示的实数是（   ）． A． B． C． D． 9．如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（    ） A． B． C． D． 10．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（    ） A．2 B． C． D． 【题型4：勾股定理与折叠问题】 11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（   ） A． B．3 C． D． 12．如图，小明用一张长方形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，长为．当小明折叠时，顶点落在边上的点处（折痕为）．则此时的面积为_____． 【题型5：勾股定理的实际应用】 13．我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问题，今有方池一丈二，葭生其中央，出水二尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：葭长几何？（1丈尺）．意思是有一个长方体池子，底面是边长为丈的正方形，正中间有芦苇，把高出水面2尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，则芦苇长（   ）尺 A．8 B．10 C．12 D．13 14．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（   ） A．13尺 B．12尺 C．24尺 D．26尺 15．《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田的面积有多少？设该长方形的对角线为步，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 16．如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆，地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离是（    ）米. A．6 B．7 C．8 D．9 17．我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺（尺），求这个秋千的绳索有多长？（    ） A．12尺 B．尺 C．尺 D．尺 18．如图，一支长为的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为，，，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（    ）    A． B． C． D． 19．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，小时后两艘轮船相距海里，则乙轮船每小时航行________海里． 20．小明在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端，热爱思考的他制定了一个测量树高的方案．如图，在地面A处测得手中剩下的风筝线为4米．后退6米后，在地面B处风筝线恰好用完（点N在点M的正下方，A、B、N在同一条直线上）．已知风筝线总长为8米，则这棵树的高度为______． 【题型6：以弦图为背景的有关计算】 21．如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，若，，则小正方形的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是（   ） A．49 B．36 C．25 D．9 23．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（    ）． A．24 B．30 C．40 D．50 【题型7：判断三边能否构成直角三角形】 24．由下列各组线段组成的三角形是直角三角形的是（   ） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．2，3，5 25．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1 C．4，5，6 D． 【题型8：勾股定理的逆定理应用】 26．如图，在一条东西走向的省级干线公路l的一侧有一村庄P，由P原有两条笔直小路与l相连接，其中，由于某种原因，由P到A的路已经不通，现今该村的乡村产业振兴小组为方便村民运输农产品与出行，争取上级支持新建了一条公路（A，C，B在同一条直线上），测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明： (2)求原来的路线的长． 27．如图，莲花湖景区内有一块四边形空地，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经测量，，，，． (1)请你帮助管理人员计算出这个四边形对角线的长度； (2)请你用学过的知识计算出求这块空地的面积； (3)观赏草坪每平方米的价格是30元，请你计算购买草坪需要花多少元． 【题型9：勾股定理-最短路径问题】 28．如图，有一个圆柱形物体，一只蚂蚁要绕着圆柱外壁从点爬到点，圆周率取3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 29．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜（杯壁厚度不计），此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（   ） A． B． C． D． 30．如图是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，则蚂蚁爬行的最短距离是______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $