第07讲 两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布（7题型）讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册期末重点题型归纳及应试过关检测

第07讲 两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点一.两点分布 3 知识点二.超几何分布 3 知识点三.二项分布 4 知识点四.正态分布的期望与方差 4 03 重难点题型 5 题型一：两点分布+ 5 题型二：超几何分布 8 题型三：二项分布 10 题型四：二项分布与超几何分布的最值问题 14 题型五：正态分布 19 题型六：标准正态分布 24 题型七：综合应用 27 04 过关检测 34 知识点一.两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义如果，则，那么的分布列如表所示 0 1 我们称X服从两点分布或0－1分布． 知识点二.超几何分布 （1）超几何分布模型是一种不放回抽样 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … （2）超几何分布的期望 （p为N件产品的次品率）． （3）超几何分布的特征： ①样本总体分为两大类，要么类，要么类； ②超几何分布是组合问题，分组或分类，有明显的选次品的意思； ③超几何分布是将随机变量分类，每一类之间是互斥事件； ④超几何分布的随机变量的确定，只需搞清楚最少和最多两种情况，其他的在最少和最多之间． 知识点三.二项分布 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 若，则，． 知识点四.正态分布的期望与方差 若，则，． 正态变量在三个特殊区间内取值的概率 （1）； （2）； （3）． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则． 题型一：两点分布+ 例1．（2026·高二·河北保定·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记向上的点数大于4的次数为． (1)求的分布列； (2)记，证明服从两点分布，并求的分布列． 【解析】（1）的可能取值为： ，，， 分布列如下： 0 1 2 （2）记，则的可能取值为： ，, , 因为的取值只有和两种可能，所以服从两点分布, 分布列如下： 0 1 例2．（2026·高二·北京大兴·期末）现有人要通过化验来确定是否患有某种疾病，化验结果阳性视为患有该疾病．化验方案：先将这人化验样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还要对每个人再做一次化验；否则化验结束．已知这人未患该疾病的概率均为，是否患有该疾病相互独立． (1)按照方案化验，求这人的总化验次数的分布列； (2)化验方案：先将这人随机分成两组，每组人，将每组的人的样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还需要对这人再各做一次化验；否则化验结束．若每种方案每次化验的费用都相同，且，问方案和中哪个化验总费用的数学期望更小？ 【解析】（1）按照方案化验，这10人的总化验次数的可能取值为1,11. ，， 的分布列为： 1 11 （2）设按照方案化验，这10人的总化验次数为，的可能取值为， ，，， ， 由（1）知，， ， 因为当时，，所以. 所以方案的化验总费用的数学期望更小. 例3．（2026·高二·福建南平·阶段检测）篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为． （1）若投篮1次得分记为，求方差的最大值； （2）当（1）中取最大值时，求运动员甲投5次篮得分为4分的概率． 【解析】（1）依题意，的分布列为 0 1 当时，取最大值，且最大值为. （2）由（1）可知，投5次蓝得分为，则 那么 则运动员甲投5次篮得分为4分概率为． 变式1．（2026·高二·福建·期末）由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图． （1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求a、b的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率； （2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立． ①求该团队能进入下一关的概率； ②该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X的数学期望达到最小，并说明理由． 【解析】（1）甲解开密码锁所需时间的中位数为47， ，解得；                                          ，解得；                                          ∴甲在1分钟内解开密码锁的频率是；        乙在1分钟内解开密码锁的频率是； （2）由（1）知，甲在1分钟内解开密码锁的频率是0.9，乙是0.7，丙是0.5， 且各人是否解开密码锁相互独立； ①令“团队能进入下一关”的事件为，“不能进入下一关”的事件为， ，           ∴该团队能进入下一关的概率为； ②设按先后顺序自能完成任务的概率分别p1，p2，p3，且p1，p2，p3互不相等， 根据题意知X的取值为1，2，3； 则，， ， ， ，                        若交换前两个人的派出顺序，则变为， 由此可见，当时， 交换前两人的派出顺序可增大均值，应选概率大的甲先开锁； 若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序， ， ∴交换后的派出顺序则变为， 当时，交换后的派出顺序可增大均值； 所以先派出甲，再派乙，最后派丙， 这样能使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小． 题型二：超几何分布 例4．（2026·高二·陕西西安·阶段检测）锅中有12个汤圆，其中有5个黑芝麻馅、7个花生馅，从中随机一次性地捞出3个汤圆放入碗中. (1)求碗中的汤圆恰有2个黑芝麻馅的概率； (2)求碗中的汤圆至少有1个花生馅的概率. 【解析】（1）碗中的汤圆恰有2个黑芝麻馅的概率为. （2）由间接法可得碗中的汤圆至少有1个花生馅的概率为. 例5．（2026·高二·江苏南通·期中）已知一个暗箱中装有8个大小、形状完全相同的小球，其中3个红球，5个黄球．从中一次摸出5个球． (1)所摸出5个球中红球的个数记为，求的分布列及数学期望； (2)计分规则：每个红球计4分，每个黄球计2分，所摸出5个球的总得分记为，求． 【解析】（1）由题意，的所有取值为， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 则. （2）由题意，，而， 则. 例6．（2026·陕西榆林·模拟预测）一个彩票盒中装有15张刮开前外表相同的彩票，其中奖金为500元的一等奖彩票有4张，奖金为300元的二等奖彩票有5张，奖金为100元的三等奖彩票有6张，从中随机抽出3张彩票. (1)求抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元的概率； (2)记表示抽出3张彩票中三等奖彩票的张数，求的分布列和数学期望. 【解析】（1）抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元，可能的情况有：3张100元，或2张100元，1张300元；或2张100元，1张500元；或1张100元，2张300元. 所以抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元的概率为. （2）的可能取值为0，1，2，3，则， ， ， . 故的分布列为 0 1 2 3 所以或. 变式2．（2026·高二·广东东莞·期中）在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球. (1)求取球后袋子里白球的个数为1的概率； (2)设取球后袋子里红球的个数为随机变量，求的分布列. 【解析】（1）设事件A为“取球后袋子里白球的个数为1”， 则， 所以取球后袋子里白球的个数为1的概率为. （2）依题意，随机变量的取值为0，1，2， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 题型三：二项分布 例7．（2026·高二·北京延庆·期中）假设某种人寿保险规定，投保人没活过60岁时，保险公司要赔偿100万元；活过60岁时，保险公司不赔偿，已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过60岁的概率都为0.9．随机抽取3个投保人，设其中活过60岁的人数为，保险公司要赔偿这三人的总金额为万元． (1)求的分布列； (2)求和； (3)求． 【答案】(1) 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 (2)． (3)0.027 【分析】 （1）根据二项分布直接求出分布列即可； （2）由二项分布的期望和方差公式直接计算即可； （3）根据可得即可求得其概率. 【详解】 （1）的可能取值为0，1，2，3，且． ，， ，； 从而的分布列为 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 （2）因为， 所以． （3）因为，由可得， 所以． 例8．（2026·高二·江苏常州·期中）在2026马年春晚武术节目《武BOT》中，宇树科技机器人展示了醉拳、双节棍、弹射空翻等高难度动作，向全世界人民展示了我国机器人高动态、高协同的集群控制技术.已知机器人做一个空翻动作需要三类部件，分别是接收动作指令部件，翻译动作指令部件，实行动作指令部件，记为甲、乙、丙部件，完成空翻动作需要这三类部件同时正常运行，在节目开始前需要对这三类部件进行检测，若发现异常则需要调适.已知部件甲，乙，丙需要调整的概率分别为0.1，0.3，0.4，且各部件的状态相互独立． (1)求设备在检测过程中，部件甲，乙中至少有1个需要调整的概率； (2)记设备在检测过程中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望． 【解析】（1）用A，B，C分别表示事件：“设备在检测过程中，部件甲，乙，丙需要调整”， 则，，                     用D表示事件：“设备在检测过程中，部件甲，乙中至少有1个需要调整”则                                      所以部件甲，乙中至少有1个需要调整的概率为0.37 （2）X的所有可能取值为0，1，2，3 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.378 0.456 0.154 0.012 故X的数学期望为. 例9．（2026·高二·北京·期中）某公司准备对，两个项目进行竞标.已知两个项目竞标互不影响，项目资料审核通过即认为竞标成功.每个项目均有两次资料审核的机会，若第一次资料审核未通过，可通过增补资料进行第二次审核，若第一次资料审核通过，则无需进行第二次资料审核.经综合评估判断，该公司在，两个项目上首次资料审核通过的概率分别为，；若第一次没有通过，通过增补资料，第二次，两个项目资料审核通过的概率分别为，. (1)求该公司在第一次资料审核中恰有一个项目审核通过的概率； (2)两个项目中竞标成功的个数记为，求随机变量的分布列； (3)由于资金限制，该公司目前只能对两个项目中的一个进行投资，若，两个项目竞标成功，投资收益分别为220万元、300万元；若竞标失败，该公司将分别面临20万元、30万元的亏损.如果你是公司经理，那么你会选择哪个项目进行投资？请说明理由. 【解析】（1）设，项目第一次资料审核通过为事件，.恰有一个项目通过为事件， 则，，. 所以； （2）的可能取值有0，1，2. 项目失败的概率为，项目成功的概率为， 项目失败的概率为，项目成功的概率为， 则， ， . 所以的分布列为 0 1 2 （3）记为项目的收益，则的可能取值有220，. ，， 所以（万元） 记为项目的收益，则的可能取值有300，. ，， 所以（万元） 因为，所以项目期望收益更大，应该选择项目进行投资. 变式3．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）为推动制造业高端化、智能化、绿色化发展，某国家重点支持的高端装备制造企业对其核心零部件生产线进行智能化升级改造，全面提升产品质量稳定性和可靠性． (1)升级改造前，该企业从一批库存零件中随机抽取8个进行质量检测，发现其中有3个零件不合格．现从这8个零件中不放回地随机抽取4个，已知取出的4个零件中至少有一个不合格，求恰好有2个不合格的概率； (2)经过智能化升级改造后，生产线的质量稳定性显著提升，单件产品的合格率达到，且各零件是否合格相互独立．为评估改造效果，质检部门从新生产线上随机抽取4个零件进行检测，记为抽到的合格零件个数，求的分布列、期望与方差． 【解析】（1）设为取出的不合格零件个数，事件：取出的4个零件中至少有一个不合格；事件：取出的4个零件中恰好有2个不合格． 所以． 因此． 故在已知取出的4个零件至少有一个不合格的条件下，恰好有2个不合格的概率为． （2）由题意，每件产品合格的概率，不合格的概率为，抽取个数，且各零件质量相互独立， 因此服从二项分布． 的可能取值为， 故的分布列为 Y 0 1 2 3 4 期望， 方差． 题型四：二项分布与超几何分布的最值问题 例10．（2026·高二·江苏无锡·阶段检测）某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有：，． (1)若从样本中喜欢春节联欢晚会的人里随机挑选2人，求这两人恰好都是男生的概率． (2)现从这100名女生中，按喜欢联欢晚会与不喜欢联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为X．求X的概率分布列和方差； (3)将样本的频率视为概率．现从全校的学生中随机抽取n名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为Y，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数n． 【解析】（1）由，得女生中喜欢春节联欢晚会的人数为60人， 由，得喜欢春节联欢晚会的人数为人，则男生中喜欢春节联欢晚会的人数为30人， 故男生中不喜欢春节联欢晚会的人数为70人，女生中不喜欢春节联欢晚会的人数为40人. 所以从样本中喜欢春节联欢晚会的人里随机挑选2人，则这两人恰好都是男生的概率为： . （2）由，得10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为6人和4人， 故的取值为0，1，2， 则，，， 所以X的概率分布列为： 0 1 2 故的期望为， 所以的方差为. （3）由（1）得，喜欢春节联欢晚会的人数为90人，由频率估计概率，从全校的学生中随机抽取1名学生，他喜欢春节联欢晚会的概率为， 则随机变量，. 因为当时，取得最大值， 所以，即， 整理得，即，解得， 因为，所以或40或41. 故全校学生中抽取的学生可能的人数为39或40或41. 例11．（2026·广东深圳·模拟预测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄都位于，得到如下直方图： (1)利用直方图中的数据，求的值，并估计该AI工具用户的平均年龄； (2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列及其期望； (3)已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，当t变化时，要使得恰好答对3个问题的概率取到最大值，求此时的取值． 【解析】（1）根据频率直方图的性质可得，解得, 利用中点值可估计平均年龄为； （2）由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有（人）， 年龄在第二组内有 人，年龄在第三组内有 人， 年龄在第四组内有 人，年龄在第五组内有 人， 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 所以； （3）从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为， 设，由，且得， 所以， 显然，， 令， 当时，有，，即， 此时； 当时，有，，即， 此时，即，所以． 例12．（2026·高二·吉林长春·阶段检测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力. 某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 人数 30 150 90 60 30 (1)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为，第二组的人数为. 设，求的分布列； (2)已知该AI工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个，若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时的取值. 【解析】（1）由题意得，这 12 人中，年龄在第一组内的有（人）， 年龄在第二组内的有（人）， 则的所有可能取值为， ：对应和，则； ：对应、和，则； ：对应和，则； ：对应，则； ：对应，则. 则的分布列为： 0 1 2 3 4 （2）设抽取10个中答对的个数为，则服从超几何分布，恰好答对3个的概率为， 要使得恰好最大，需满足 ， 解：，化简得； 解：，化简得. 结合，且，可知. 变式4．（2026·高二·上海·期中）某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味），统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表： 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 (1)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； (2)该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称为“七分糖爱好者”，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，每次抽取互不影响且每次被抽到的概率相同（以样本估计总体、用频率代替概率），记抽到个“七分糖爱好者”的概率为，问当为何值时最大？ 【解析】（1）用分层抽样的方法，从甜度偏好分数在这组中抽取人， 甜度偏好分数在这组中抽取人， 故，，， 因此，的分布列为： X 1 2 3 P 故，， ． （2）由题，抽到“七分糖爱好者”的概率是0.4， 抽到“七分糖爱好者”的人数k服从二项分布，即， ，则， 当，即时当，即时， 因此，，且， 所以，当时，最大． 变式5．（2026·高二·山西·阶段检测）聊天机器人是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，求的分布列及当最大时的值． 【解析】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件， 由题意，，，则 ， ． （2）依题意，， 所以的分布列为， 当最大时，有 即， 解得，， 故当最大时，． 题型五：正态分布 例13．（多选题）（2026·高三·陕西商洛·阶段检测）某市为了解高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，则下列说法正确的是（    ） 参考数据：若随机变量，则，，. A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由题意知，学生的体育成绩， 可得期望，方差， 即，，故A、B正确； 由，， ， 所以，故D正确； 因为， 所以， 即，故C错误. 例14．（多选题）（2026·高二·河北沧州·期中）已知正态分布的密度曲线是，的图象．则下列命题正确的是（    ） A．对任意，成立 B．如果随机变量，且，那么是上的增函数 C．如果随机变量，那么的期望是，标准差是 D．随机变量，，，则 【答案】ABD 【解析】对于A，由知：图象关于对称，即，A正确； 对于B，若，则当增大时，密度曲线与轴围成的区域面积增大，即增大，是上的增函数，B正确； 对于C，若，则的期望为，方差为，标准差为，C错误； 对于D，，，图象关于对称， ，D正确. 例15．（2026·高二·浙江金华·阶段检测）某工厂生产一种仪器，已知该仪器出厂前的检测流程为：若第一次检测合格，则该件仪器合格；若第一次检测不合格，则对该件仪器进行调校后再进行第二次检测．如果第二次检测合格，则该件仪器合格；否则为不合格．已知该仪器第一次检测的合格率为0.8，第二次检测的合格率为0.5 (1)从未经过检测的仪器中随机抽取3件，按上述流程进行检测，记合格的件数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)在统计学中，对于离散型随机变量，当且时，可以认为近似服从正态分布，其中和分别为在二项分布中的期望和标准差，现从未经过检测的仪器中随机抽取100件，按上述流程进行检测，试估计合格的件数的概率． 附：若，则，，． 【解析】（1）由题，该仪器的合格率， 所以随机变量，故其分布列为， 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 数学期望． （2）由（1）知，随机变量， 此时，， 所以可以认为随机变量Y近似服从正态分布， 其中，， 所以， 所以 ． 所以合格的件数的概率约为0.976． 变式6．（2026·高二·山东滨州·期中）某科技公司生产精密零件，零件质量指标.规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立. 附：若，则. (1)现从该公司生产的零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该公司生产的零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与数学期望. 【解析】（1）因为，所以，， 所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率， 所以从该批零件中随机抽取个，恰好有个为优质品的概率为. （2）设随机抽取的个零件中，优质品的个数为. 由题意得，， 所以， 因为， 当时，， 当时，， 所以，概率最大时对应，即. 由题意可得的所有可能取值为1、2、3， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 . 变式7．（2026·高二·江苏盐城·期中）一个研究性学习小组为了了解某市市民年春假旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的名市民年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 4 3 9 (1)从这位市民中随机抽取两人，求这两人2026年旅游支出费用均不低于元的概率； (2)若市民年旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定该市年常住人口为万人，试估计有多少市民年旅游支出费用在元以上； （ii）若在该市随机抽取3位市民，设其中年旅游支出费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：若，则，． 【解析】（1）由频数分布表知，旅游支出不低于元的市民人数为：人， 则从人中随机抽取人的总情况数为：； 符合条件的情况数为：； 符合条件的概率为：． （2）由频数分布表，结合题意可得各组中间值为：， 则样本平均数为， 已知，则； （i）元即为千元，则， 由正态分布的性质：， 则， 该市万市民中，支出在元以上的市民人数约为： 万人． （ii）元即千元，正态分布关于对称，则， 随机变量表示支出在元以上的人数，故， 则，，， ， 则随机变量的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为： ． 题型六：标准正态分布 例16．产品质量指标，. (1)求；（结果保留四位小数） (2)抽取10件，求至少2件指标在之内的概率.（结果保留四位小数） 说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表求时的概率，这里，相应于的值是指总体取值小于的概率，即. 参考数据：. 【解析】（1）因为产品质量指标，即， 又因为，即， 解得， 又，则，解得. （2）因为，所以，， 记指标在之内的件数为，则， 所以. 例17．设是来自正态总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差． (1)证明． (2)证明． (3)若，求的值（已知标准正态分布） 附：若，则） 【解析】（1）证明：由样本均值的定义知，由于，且相互独立， 所以根据期望的线性性质可得； 又因为（）是来自正态总体的简单随机样本，所以， 所以； 根据方差的性质（为常数）可得， 又因为（）， 所以. （2）证明：由样本方差的定义知，且 可得 ， 又因为， 所以 ， （3）由（1）知，即， 定义，则，临界值为， ， 根据标准正态分布表可知. 例18．（2026·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【解析】（1）依题意，令，则， 所以可得，， ， 又因为，则，解得； （2）由（1）可得， 设最录取分数为，则， ，，所以， 即最低录取分数线为分． （3）考生甲的成绩为分分， 所以甲能被录取概率为， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，约有， 即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以甲能获得高薪. 变式8．（2026·高三·江西·开学考试）已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布． (1)记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）； (2)设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客． 附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，． 【解析】（1）由乘客的体重（单位：）服从正态分布可得， 则可得， 即任意一名乘客体重大于的概率为， 则的所有可能取值为， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 期望值为. （2）设为第位乘客的体重，则，其中， 所以， 由可得， 即，可得，即，. 所以保证该轮渡不超载的概率不低于，最多可运载64名乘客. 题型七：综合应用 例19．（2026·高二·安徽·阶段检测）目前中国数字经济已进入快速发展阶段，传统产业数字化转型不断加快．数据显示，成本、市场、产能是企业进行数字化转型的核心驱动因素，现统计300家想进行数字化转型的企业，把成本、市场、产能分别作为首要因素的企业数占比分别为，，． (1)若从把成本、市场、产能分别作为首要因素的企业中分别抽取6家，4家，2家参加座谈会，再从这12家企业中随机抽取4家进行发言，求选到的4家企业中至少有2家把成本作为首要因素，且恰有1家把产能作为首要因素的概率； (2)将这300家企业中把成本、市场、产能分别作为首要因素的企业数占比作为所有想进行数字化转型的企业中把成本、市场、产能分别作为首要因素的占比． （ⅰ）从所有想进行数字化转型的企业中随机抽取11家，记把市场作为首要因素的企业数为Y，求Y的期望和方差； （ⅱ）从所有想进行数字化转型的企业中随机抽取3家，记抽取的把成本、市场分别作为首要因素的企业数差的绝对值为X，求X的分布列及期望． 【解析】（1）从12家企业中抽取4家共有种不同的抽法， 第一类：抽到的4家企业中恰有2家把成本作为首要因素， 恰有1家把产能作为首要因素的企业有种抽法， 第二类：抽到的4家企业中恰有3家把成本作为首要因素， 恰有1家把产能作为首要因素的企业有种抽法， 故选到的4家企业中至少有2家把成本作为首要因素，且恰有1家把产能作为首要因素的企业有种抽法， 所以选到的4家企业中至少有2家把成本作为首要因素，且恰有1家把产能作为首要因素的概率为； （2）（ⅰ）每家企业把市场作为首要因素的概率为， 抽取11家企业，随机变量，所以， ； （ⅱ）的取值为， ， ， ， ， 所以随机变量X的分布列为： 0 1 2 3 所以. 例20．（2026·高二·广东广州·阶段检测）某新能源汽车公司为测试A型和B型两款辅助驾驶系统避让障碍物的能力，用分别搭载A型和B型系统的汽车各测试了100次，其中A型系统成功避让80次，B型系统成功避让75次．假设每次测试相互独立，用频率估计概率． (1)估计A型系统每次测试中成功避让的概率； (2)若对B型系统再测试2次，对A型系统再测试1次，设为其中成功避让的次数，求的分布列和数学期望； (3)这两款辅助驾驶系统都是利用摄像头配合激光雷达来识别障碍物的，如果摄像头没有正确识别障碍物，仅依靠激光雷达，则A型和B型系统成功避让的概率都只有0.4，若摄像头正确识别障碍物，则A型系统一定能成功避让，B型系统成功避让的概率为0.9，设A型、B型系统中摄像头正确识别障碍物的概率分别为，试比较的大小． 【解析】（1）由题意知，A型系统每次测试中成功避让的概率； （2）由题意知，B型系统成功避让的概率， 可能的取值为，，，，所以的分布列为： ；； ；， 所以的分布列为： 所以，数学期望； （3）由题意得，对型系统，，解得， 对型系统，，解得， 所以. 例21．（2026·高二·山东淄博·期中）2022年，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6：5惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇. (1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数的分布列和期望； (2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知，. ①求的通项公式； ②设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小. 【解析】（1）由题意可得，门将每次可以扑出点球的概率，则， 所以门将在前三次扑出点球的个数的可能取值为0，1，2，3； 则，， ，； 因此的分布列为： 0 1 2 3 期望为. （2）①第次传球之前球在甲脚下的概率为， 则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，第次传球之前球不在甲脚下的概率为， 因此， 即， 又，，可知， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 因此，即 ②因为第次传球之前球在乙脚下的概率为，可知； 则， 当且为奇数时，，此时，即； 当且为偶数时，，此时，即； 因此可知当且为奇数时，；当为偶数时，. 变式9．（2026·高二·浙江·阶段检测）某奶茶店计划购买2台制冰机，每台制冰机使用三年后即被替换．制冰机中有一个易损部件——制冰格，在购买机器时，可以额外购买这种制冰格作为备件，每个成本150元．在使用期间，若备件不足需临时采购，则每个价格300元．现对过去100台同类制冰机在三年内的制冰格更换情况进行调查，得到柱状图分布：以这100台机器更换制冰格的频率代替1台机器更换数量的概率．记表示2台制冰机在三年内共需更换的制冰格总数，表示购买2台制冰机时同时购买的制冰格备件数． (1)求； (2)求随机变量的分布列； (3)以购买制冰格所需费用的期望值为决策依据，在和之中选其一，应选用哪一个？ 【解析】（1）每台机器更换的制冰格数为7，8，9． 记事件为第一台机器三年内换掉个制冰格，记事件为第二台机器三年内换掉个制冰格， 由题意知，， 所以 . （2）2台机器共需更换的制冰格数的随机变量为，则的取值为. ， ， ， ， 的分布列为： 14 15 16 17 18 （3）购买制冰格所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买制冰格的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用： 当时，仅时需要补购一个， 费用的期望为（元）， 当时，费用的期望为（元）， 因，则应选用． 另因为和时至少需购买17个，故可考虑增量部分做出决策， 当时，若临时购买一个需花费的费用期望为：元， 当时，需花费150元，所以时花费费用最少，则应选用． 变式10．（2026·高二·北京·期末）某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的评分数据按照分组，绘制成评分频率分布直方图，如图： (1)从该校高中生中随机抽取的学生的测试评分不低于80分的学生有9人，求此次抽取的学生人数； (2)在测试评分不低于80分的9名学生中随机选取3人作为航空航天知识宣传大使，记这3名学生中测试评分不低于90分的人数为，求的分布列和数学期望； (3)观察频率分布直方图，判断该校高中生测试评分的均值和评分的中位数的大小关系．（结论不要求证明） 【解析】（1）因为不低于80分的学生的频率为， 又不低于80分的学生有9人， 所以此次抽取的学生人数为 ； （2）因为与这两组的频率之比为， 所以与的人数分别为6，3，依题意， 则, 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以的期望为； （3）因为频率分布直方图向左拖尾，所以测试评分的均值小于评分的中位数． 1．（2026·高二·山东滨州·期中）下列说法错误的是（    ） A．若离散型随机变量服从两点分布，且，则 B．若随机变量，则 C．随机变量满足，若，则 D．随机变量，若，则 【答案】D 【解析】A，由服从两点分布，则， 而，则，对； B，由，则，对； C，由，则， 又，则，对； D，由，，则， 故，错. 2．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）已知随机变量均服从两点分布，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为服从两点分布，且． 设，则， 由，解得．于是． 3．（2026·高二·新疆·期末）已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（    ） A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84 【答案】A 【解析】由题意可得， 故选：A. 4．（2026·高三·广东深圳·开学考试）已知随机变量均服从两点分布，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】随机变量均服从两点分布， ，， 又， ，由条件概率公式， 故选：D. 5．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是（    ） A． B． C． D．以上均不对 【答案】D 【解析】从20个零件中任取3个，总事件数为。"至少有1个一等品"表示取出的3个零件中，一等品的数量为1个、2个或3个， 共三种情况： 1个一等品+2个二等品，有种不同的取法； 2个一等品+1个二等品，有种不同的取法； 3个一等品+0个二等品，有种不同的取法； 因此概率为. A、B、C选项均不符合，所以选D. 6．（2026·高二·河北邢台·期中）已知盒子中装有个红球和2个白球，从中任取3个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】B 【解析】由题意可得，解得或（舍去）. 因为，， 所以， 则. 7．（2026·高二·河北邢台·期中）有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若表示取得次品的件数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知的可能取值为，，，，服从超几何分布， 则. 8．（2026·高二·广西南宁·期中）设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（    ） A．0.25 B．0.35 C．0.45 D．0.55 【答案】B 【解析】因为函数有极值点， 所以有变号的根， 所以， 解得， 又因为随机变量服从正态分布，且， 由正态分布的特征可知， 所以. 9．（多选题）（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为，若使标准分，，，，则（     ） A．这次考试标准分不低于180分的约有450人 B．这次考试标准分在内的人数约为997 C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分不低于180分的概率为 D． 【答案】BC 【解析】依题意得，，，因为， 所以这次考试标准分不低于180分的约有人，故A不正确； ， 所以这次考试标准分在内的人数约为人，故B正确； 依题意可知，每个人的标准分不低于180分的概率为， 所以甲、乙、丙三人恰有2人的标准分不低于180分的概率为，故C正确； ，故D错误. 10．（多选题）（2026·高二·吉林长春·期中）一个袋子中有10个大小相同的球，其中4个黄球，6个白球，从中随机有放回的取4次，每次取1球，记取到黄球的个数为，则下述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，有放回的取4次，每次取到黄球的概率为，每次取球相互独立，因此取到黄球的个数服从的二项分布，即，故A错误； 对于B，由二项分布概率公式得，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误. 11．（多选题）（2026·高二·湖南长沙·期中）某计算机程序每运行一次都会随机出现一个七位二进制数（例如1101010），其中A上的数字出现0的概率为，出现1的概率为，记，其中X为十进制数，则当程序运行一次时（    ） A． B． C． D．当时，取得最大值 【答案】ACD 【解析】由题意有，， 则，A正确； ，B错误； ，C正确； 因为， 则， 当时，，即， 则有， 当时，，即， 则有，所以当时，取得最大值，D正确． 12．（2026·高二·宁夏·期中）如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动60次，则它位于数字___________处的可能性最大． 【答案】20 【解析】设质点向右移动的次数为，则服从二项分布，即， 则质点最终的位置等于向右移动的次数减去向左移动的次数， 即， 由二项分布的概率公式可得， 设最大，则， 由可得， 即， 化简可得，解得， 由可得， 即， 化简可得，解得， 即，且，则时，最大， 则质点最终的位置为． 13．（2026·高二·江苏无锡·阶段检测）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得2分．多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分．若抛掷2次骰子，最终得分为X，则随机变量X的期望是______；若抛掷50次骰子，记得分恰为n分的概率为，则当取最大值时的值为______ 【答案】 或 【解析】设单次抛掷骰子得分为. 时，对应点数2,3,4,5，概率； 时，对应点数1,6，概率. 单次得分期望为 抛掷2次总得分的期望为. 设50次中，得2分的次数为（，为整数）， 则得1分的次数为，总得分， 于是，且. 概率， 要使最大，即求二项分布的最可能值. 由，为整数， 故最大值在和处取得，对应和. 即当取最大值时的值为或. 14．（2026·高二·全国·单元测试）为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；摸到两白球，可获得价值百元代金券；摸到两红球，可获得价值百元代金券（均为非负整数）．已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多______百元代金券． 【答案】18 【解析】设抽奖一次可获得百元代金券，则的所有可能取值为， 摸到一红球一白球的概率， 摸到两白球的概率， 摸到两红球的概率． 则的分布列如下： a b ，即，． 由题意知，运气最好者获得百元代金券， 则， 当且仅当，即，时等号成立， 即的最大值为18. 故答案为：18． 15．（2026·高二·北京·期中）2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放.冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约､安全､精彩”的冬奥盛会拉开序幕. 为了解“开幕式”当晚的收看情况，对某地区居民进行简单随机抽样，获得数据如下表：（用频率估计概率） 收看方式 通过电视收看 通过手机收看 没有收看 人数（人） 200 300 100 (1)从该地区被调查对象中随机选取1人，估计此人是通过电视收看的概率； (2)采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出3人，用表示这3人中通过手机收看的人数，求的分布列和期望； (3)从该地区被调查对象中随机选取3人，若3人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人没有收看的概率为；若3人都用手机收看的概率为.试比较与的大小.（直接写出结论） 【解析】（1）由频率估计概率，总人数为(人)， 通过电视收看的人数为200(人)，； （2）由题意，～，可能的值为，服从超几何分布： ； ； ； ； 分布列如下： ； （3）由题意知，指随机抽取的人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人没有收看的概率. 从人中任选人有种，其中人用手机收看的概率为， 再从剩下的两人中任选人，有种，用电视收看的概率为，还有人没有收看的概率为， 由分步计数原理得：； 同理得， 所以. 16．（2026·安徽·三模）某研发团队为测试新型智能学习助手的答题准确率，对道高中数学概率统计题进行测试，记录了每道题的解题成功率（单位：%）．已知该助手解答同类型题目的成功率近似服从正态分布，其中，． (1)从该助手解答的题目中随机抽取1道，求其成功率满足的概率； （附：若，则，） (2)现有（，）同类型的题目，其中成功率不低于的题目共有6道．现从这道测试题中随机抽取3道进行人工复核，记抽到成功率不低于的题目数量为随机变量． （i）当时，求的分布列及数学期望； （ii）若，试估计的值（即使得取得最大值时的的值）． 【解析】（1）由题意， ． （2）（i）服从超几何分布，且，，， 故的所有可能取值为：0，1，2，3， ，， ，， 故的分布列为： Y 0 1 2 3 期望． （ii）记，， 则 ，解得 ， 故当 时，，当 时，， 当时，， 故 ， 所以或时，最大． 17．（2026·高二·福建泉州·期中）一个袋子中有20个大小相同的小球，其中黑球10个，白球10个， (1)从中有放回地抽取4个小球作为样本，用表示样本中白球的个数，求的分布列和数学期望； (2)从中不放回地抽取10个小球作为样本，用表示样本中白球的个数，则样本中出现几个白球的可能性最大？ （要求写出推导过程）． 【解析】（1）有放回地抽取4个小球，每次抽取均是在20个小球中抽取有20种不同的方法， 抽到白球的抽法有10种，所以每次抽到白球的概率为，所以， 所以，， ，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. （2）由题意可得服从超几何分布，则， 所以， 令，所以，所以， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以样本中出现5个白球的可能性最大. 18．（2026·高二·重庆·期中）某市为了传承和发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，得到如下直方图． (1)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列； (2)以样本的频率估计概率，从该市得分在中随机抽取200份学生成绩，用表示200份中恰有k份学生竞赛成绩在的概率，其中．当最大时，求k的值； (3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛学生的得分X近似服从正态分布，经计算．若参赛学生得分X满足：，则可获得“纪念证书”；若参赛学生得分X满足：，则可获得“先锋证书”．已知该市共600名学生参加知识竞赛活动，试估计获得“纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为91分的学生能否获得“先锋证书”． 附：若，则，，． 【解析】（1）由题参加座谈的11人中，得分在的有人， 所以的可能取值为0，1，2， 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 （2）用频率估计概率，竞赛成绩在内的概率， 则， ． 令，解得，当且仅当时取等号，即， 当时，，当时，， 所以当或，最大． （3）由频率分布直方图估计这100名学生得分的平均数为 ， 所以取，由已知，，. 由题可知， 所以获得“参赛纪念证书”的学生人数约为：人， ，所以竞赛成绩为91分的学生能获得“先锋证书”． 19．（2026·高二·北京顺义·期中）入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能.为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛.老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果.活动中，高三年级 500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表. 壶1 壶2 壶3 投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中 高三年级 40 160 90 60 60 90 假设用频率估计概率 (1)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率. (2)投壶活动结束后，高三学生自发编织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶 3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽.当学生投完三支箭，挑战结束.某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，设这位学生在“过关比赛”中投中的次数为，求分布列和的数学的期望. (3)为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投 20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶 2的概率，那么在投完 20次之后，这位同学投中壶 2多少次的概率最大?(只需写出结论) 【解析】（1）由频率估计概率可知，从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，这位学生在活动中投中壶2的概率为. （2）由题意知，壶1投中的概率为，壶1未投中的概率为， 壶2投中的概率为，壶2未投中的概率为， 壶3投中的概率为，壶3未投中的概率为， 这位学生在“过关比赛”中投中次数的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 所以这位学生在“过关比赛”中投中次数的分布列为 0 1 2 3 则. （3）壶2投中的概率为. 记这位同学投中壶 2的次数为，则. 则，. 假设投中壶2的次数为时概率最大，则 ，即， 解得，又，所以. 投完 20次之后，这位同学投中壶 2的次数为12时，概率最大. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点一.两点分布 3 知识点二.超几何分布 3 知识点三.二项分布 4 知识点四.正态分布的期望与方差 4 03 重难点题型 5 题型一：两点分布+ 5 题型二：超几何分布 6 题型三：二项分布 7 题型四：二项分布与超几何分布的最值问题 8 题型五：正态分布 10 题型六：标准正态分布 12 题型七：综合应用 14 04 过关检测 17 知识点一.两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义如果，则，那么的分布列如表所示 0 1 我们称X服从两点分布或0－1分布． 知识点二.超几何分布 （1）超几何分布模型是一种不放回抽样 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … （2）超几何分布的期望 （p为N件产品的次品率）． （3）超几何分布的特征： ①样本总体分为两大类，要么类，要么类； ②超几何分布是组合问题，分组或分类，有明显的选次品的意思； ③超几何分布是将随机变量分类，每一类之间是互斥事件； ④超几何分布的随机变量的确定，只需搞清楚最少和最多两种情况，其他的在最少和最多之间． 知识点三.二项分布 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 若，则，． 知识点四.正态分布的期望与方差 若，则，． 正态变量在三个特殊区间内取值的概率 （1）； （2）； （3）． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则． 题型一：两点分布+ 例1．（2026·高二·河北保定·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记向上的点数大于4的次数为． (1)求的分布列； (2)记，证明服从两点分布，并求的分布列． 例2．（2026·高二·北京大兴·期末）现有人要通过化验来确定是否患有某种疾病，化验结果阳性视为患有该疾病．化验方案：先将这人化验样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还要对每个人再做一次化验；否则化验结束．已知这人未患该疾病的概率均为，是否患有该疾病相互独立． (1)按照方案化验，求这人的总化验次数的分布列； (2)化验方案：先将这人随机分成两组，每组人，将每组的人的样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还需要对这人再各做一次化验；否则化验结束．若每种方案每次化验的费用都相同，且，问方案和中哪个化验总费用的数学期望更小？ 例3．（2026·高二·福建南平·阶段检测）篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为． （1）若投篮1次得分记为，求方差的最大值； （2）当（1）中取最大值时，求运动员甲投5次篮得分为4分的概率． 变式1．（2026·高二·福建·期末）由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图． （1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求a、b的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率； （2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立． ①求该团队能进入下一关的概率； ②该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X的数学期望达到最小，并说明理由． 题型二：超几何分布 例4．（2026·高二·陕西西安·阶段检测）锅中有12个汤圆，其中有5个黑芝麻馅、7个花生馅，从中随机一次性地捞出3个汤圆放入碗中. (1)求碗中的汤圆恰有2个黑芝麻馅的概率； (2)求碗中的汤圆至少有1个花生馅的概率. 例5．（2026·高二·江苏南通·期中）已知一个暗箱中装有8个大小、形状完全相同的小球，其中3个红球，5个黄球．从中一次摸出5个球． (1)所摸出5个球中红球的个数记为，求的分布列及数学期望； (2)计分规则：每个红球计4分，每个黄球计2分，所摸出5个球的总得分记为，求． 例6．（2026·陕西榆林·模拟预测）一个彩票盒中装有15张刮开前外表相同的彩票，其中奖金为500元的一等奖彩票有4张，奖金为300元的二等奖彩票有5张，奖金为100元的三等奖彩票有6张，从中随机抽出3张彩票. (1)求抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元的概率； (2)记表示抽出3张彩票中三等奖彩票的张数，求的分布列和数学期望. 变式2．（2026·高二·广东东莞·期中）在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球. (1)求取球后袋子里白球的个数为1的概率； (2)设取球后袋子里红球的个数为随机变量，求的分布列. 题型三：二项分布 例7．（2026·高二·北京延庆·期中）假设某种人寿保险规定，投保人没活过60岁时，保险公司要赔偿100万元；活过60岁时，保险公司不赔偿，已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过60岁的概率都为0.9．随机抽取3个投保人，设其中活过60岁的人数为，保险公司要赔偿这三人的总金额为万元． (1)求的分布列； (2)求和； (3)求． 例8．（2026·高二·江苏常州·期中）在2026马年春晚武术节目《武BOT》中，宇树科技机器人展示了醉拳、双节棍、弹射空翻等高难度动作，向全世界人民展示了我国机器人高动态、高协同的集群控制技术.已知机器人做一个空翻动作需要三类部件，分别是接收动作指令部件，翻译动作指令部件，实行动作指令部件，记为甲、乙、丙部件，完成空翻动作需要这三类部件同时正常运行，在节目开始前需要对这三类部件进行检测，若发现异常则需要调适.已知部件甲，乙，丙需要调整的概率分别为0.1，0.3，0.4，且各部件的状态相互独立． (1)求设备在检测过程中，部件甲，乙中至少有1个需要调整的概率； (2)记设备在检测过程中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望． 例9．（2026·高二·北京·期中）某公司准备对，两个项目进行竞标.已知两个项目竞标互不影响，项目资料审核通过即认为竞标成功.每个项目均有两次资料审核的机会，若第一次资料审核未通过，可通过增补资料进行第二次审核，若第一次资料审核通过，则无需进行第二次资料审核.经综合评估判断，该公司在，两个项目上首次资料审核通过的概率分别为，；若第一次没有通过，通过增补资料，第二次，两个项目资料审核通过的概率分别为，. (1)求该公司在第一次资料审核中恰有一个项目审核通过的概率； (2)两个项目中竞标成功的个数记为，求随机变量的分布列； (3)由于资金限制，该公司目前只能对两个项目中的一个进行投资，若，两个项目竞标成功，投资收益分别为220万元、300万元；若竞标失败，该公司将分别面临20万元、30万元的亏损.如果你是公司经理，那么你会选择哪个项目进行投资？请说明理由. 变式3．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）为推动制造业高端化、智能化、绿色化发展，某国家重点支持的高端装备制造企业对其核心零部件生产线进行智能化升级改造，全面提升产品质量稳定性和可靠性． (1)升级改造前，该企业从一批库存零件中随机抽取8个进行质量检测，发现其中有3个零件不合格．现从这8个零件中不放回地随机抽取4个，已知取出的4个零件中至少有一个不合格，求恰好有2个不合格的概率； (2)经过智能化升级改造后，生产线的质量稳定性显著提升，单件产品的合格率达到，且各零件是否合格相互独立．为评估改造效果，质检部门从新生产线上随机抽取4个零件进行检测，记为抽到的合格零件个数，求的分布列、期望与方差． 题型四：二项分布与超几何分布的最值问题 例10．（2026·高二·江苏无锡·阶段检测）某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有：，． (1)若从样本中喜欢春节联欢晚会的人里随机挑选2人，求这两人恰好都是男生的概率． (2)现从这100名女生中，按喜欢联欢晚会与不喜欢联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为X．求X的概率分布列和方差； (3)将样本的频率视为概率．现从全校的学生中随机抽取n名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为Y，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数n． 例11．（2026·广东深圳·模拟预测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄都位于，得到如下直方图： (1)利用直方图中的数据，求的值，并估计该AI工具用户的平均年龄； (2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列及其期望； (3)已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，当t变化时，要使得恰好答对3个问题的概率取到最大值，求此时的取值． 例12．（2026·高二·吉林长春·阶段检测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力. 某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 人数 30 150 90 60 30 (1)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为，第二组的人数为. 设，求的分布列； (2)已知该AI工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个，若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时的取值. 变式4．（2026·高二·上海·期中）某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味），统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表： 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 (1)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； (2)该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称为“七分糖爱好者”，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，每次抽取互不影响且每次被抽到的概率相同（以样本估计总体、用频率代替概率），记抽到个“七分糖爱好者”的概率为，问当为何值时最大？ 变式5．（2026·高二·山西·阶段检测）聊天机器人是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，求的分布列及当最大时的值． 题型五：正态分布 例13．（多选题）（2026·高三·陕西商洛·阶段检测）某市为了解高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，则下列说法正确的是（    ） 参考数据：若随机变量，则，，. A． B． C． D． 例14．（多选题）（2026·高二·河北沧州·期中）已知正态分布的密度曲线是，的图象．则下列命题正确的是（    ） A．对任意，成立 B．如果随机变量，且，那么是上的增函数 C．如果随机变量，那么的期望是，标准差是 D．随机变量，，，则 例15．（2026·高二·浙江金华·阶段检测）某工厂生产一种仪器，已知该仪器出厂前的检测流程为：若第一次检测合格，则该件仪器合格；若第一次检测不合格，则对该件仪器进行调校后再进行第二次检测．如果第二次检测合格，则该件仪器合格；否则为不合格．已知该仪器第一次检测的合格率为0.8，第二次检测的合格率为0.5 (1)从未经过检测的仪器中随机抽取3件，按上述流程进行检测，记合格的件数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)在统计学中，对于离散型随机变量，当且时，可以认为近似服从正态分布，其中和分别为在二项分布中的期望和标准差，现从未经过检测的仪器中随机抽取100件，按上述流程进行检测，试估计合格的件数的概率． 附：若，则，，． 变式6．（2026·高二·山东滨州·期中）某科技公司生产精密零件，零件质量指标.规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立. 附：若，则. (1)现从该公司生产的零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该公司生产的零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与数学期望. 变式7．（2026·高二·江苏盐城·期中）一个研究性学习小组为了了解某市市民年春假旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的名市民年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 4 3 9 (1)从这位市民中随机抽取两人，求这两人2026年旅游支出费用均不低于元的概率； (2)若市民年旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定该市年常住人口为万人，试估计有多少市民年旅游支出费用在元以上； （ii）若在该市随机抽取3位市民，设其中年旅游支出费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：若，则，． 题型六：标准正态分布 例16．产品质量指标，. (1)求；（结果保留四位小数） (2)抽取10件，求至少2件指标在之内的概率.（结果保留四位小数） 说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表求时的概率，这里，相应于的值是指总体取值小于的概率，即. 参考数据：. 例17．设是来自正态总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差． (1)证明． (2)证明． (3)若，求的值（已知标准正态分布） 附：若，则） 例18．（2026·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 变式8．（2026·高三·江西·开学考试）已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布． (1)记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）； (2)设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客． 附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，． 题型七：综合应用 例19．（2026·高二·安徽·阶段检测）目前中国数字经济已进入快速发展阶段，传统产业数字化转型不断加快．数据显示，成本、市场、产能是企业进行数字化转型的核心驱动因素，现统计300家想进行数字化转型的企业，把成本、市场、产能分别作为首要因素的企业数占比分别为，，． (1)若从把成本、市场、产能分别作为首要因素的企业中分别抽取6家，4家，2家参加座谈会，再从这12家企业中随机抽取4家进行发言，求选到的4家企业中至少有2家把成本作为首要因素，且恰有1家把产能作为首要因素的概率； (2)将这300家企业中把成本、市场、产能分别作为首要因素的企业数占比作为所有想进行数字化转型的企业中把成本、市场、产能分别作为首要因素的占比． （ⅰ）从所有想进行数字化转型的企业中随机抽取11家，记把市场作为首要因素的企业数为Y，求Y的期望和方差； （ⅱ）从所有想进行数字化转型的企业中随机抽取3家，记抽取的把成本、市场分别作为首要因素的企业数差的绝对值为X，求X的分布列及期望． 例20．（2026·高二·广东广州·阶段检测）某新能源汽车公司为测试A型和B型两款辅助驾驶系统避让障碍物的能力，用分别搭载A型和B型系统的汽车各测试了100次，其中A型系统成功避让80次，B型系统成功避让75次．假设每次测试相互独立，用频率估计概率． (1)估计A型系统每次测试中成功避让的概率； (2)若对B型系统再测试2次，对A型系统再测试1次，设为其中成功避让的次数，求的分布列和数学期望； (3)这两款辅助驾驶系统都是利用摄像头配合激光雷达来识别障碍物的，如果摄像头没有正确识别障碍物，仅依靠激光雷达，则A型和B型系统成功避让的概率都只有0.4，若摄像头正确识别障碍物，则A型系统一定能成功避让，B型系统成功避让的概率为0.9，设A型、B型系统中摄像头正确识别障碍物的概率分别为，试比较的大小． 例21．（2026·高二·山东淄博·期中）2022年，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6：5惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇. (1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数的分布列和期望； (2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知，. ①求的通项公式； ②设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小. 变式9．（2026·高二·浙江·阶段检测）某奶茶店计划购买2台制冰机，每台制冰机使用三年后即被替换．制冰机中有一个易损部件——制冰格，在购买机器时，可以额外购买这种制冰格作为备件，每个成本150元．在使用期间，若备件不足需临时采购，则每个价格300元．现对过去100台同类制冰机在三年内的制冰格更换情况进行调查，得到柱状图分布：以这100台机器更换制冰格的频率代替1台机器更换数量的概率．记表示2台制冰机在三年内共需更换的制冰格总数，表示购买2台制冰机时同时购买的制冰格备件数． (1)求； (2)求随机变量的分布列； (3)以购买制冰格所需费用的期望值为决策依据，在和之中选其一，应选用哪一个？ 变式10．（2026·高二·北京·期末）某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的评分数据按照分组，绘制成评分频率分布直方图，如图： (1)从该校高中生中随机抽取的学生的测试评分不低于80分的学生有9人，求此次抽取的学生人数； (2)在测试评分不低于80分的9名学生中随机选取3人作为航空航天知识宣传大使，记这3名学生中测试评分不低于90分的人数为，求的分布列和数学期望； (3)观察频率分布直方图，判断该校高中生测试评分的均值和评分的中位数的大小关系．（结论不要求证明） 1．（2026·高二·山东滨州·期中）下列说法错误的是（    ） A．若离散型随机变量服从两点分布，且，则 B．若随机变量，则 C．随机变量满足，若，则 D．随机变量，若，则 2．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）已知随机变量均服从两点分布，若，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高二·新疆·期末）已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（    ） A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84 4．（2026·高三·广东深圳·开学考试）已知随机变量均服从两点分布，且，若，则（    ） A． B． C． D． 5．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是（    ） A． B． C． D．以上均不对 6．（2026·高二·河北邢台·期中）已知盒子中装有个红球和2个白球，从中任取3个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A．4 B．5 C．6 D．9 7．（2026·高二·河北邢台·期中）有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若表示取得次品的件数，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高二·广西南宁·期中）设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（    ） A．0.25 B．0.35 C．0.45 D．0.55 9．（多选题）（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为，若使标准分，，，，则（     ） A．这次考试标准分不低于180分的约有450人 B．这次考试标准分在内的人数约为997 C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分不低于180分的概率为 D． 10．（多选题）（2026·高二·吉林长春·期中）一个袋子中有10个大小相同的球，其中4个黄球，6个白球，从中随机有放回的取4次，每次取1球，记取到黄球的个数为，则下述正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·高二·湖南长沙·期中）某计算机程序每运行一次都会随机出现一个七位二进制数（例如1101010），其中A上的数字出现0的概率为，出现1的概率为，记，其中X为十进制数，则当程序运行一次时（    ） A． B． C． D．当时，取得最大值 12．（2026·高二·宁夏·期中）如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动60次，则它位于数字___________处的可能性最大． 13．（2026·高二·江苏无锡·阶段检测）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得2分．多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分．若抛掷2次骰子，最终得分为X，则随机变量X的期望是______；若抛掷50次骰子，记得分恰为n分的概率为，则当取最大值时的值为______ 14．（2026·高二·全国·单元测试）为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；摸到两白球，可获得价值百元代金券；摸到两红球，可获得价值百元代金券（均为非负整数）．已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多______百元代金券． 15．（2026·高二·北京·期中）2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放.冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约､安全､精彩”的冬奥盛会拉开序幕. 为了解“开幕式”当晚的收看情况，对某地区居民进行简单随机抽样，获得数据如下表：（用频率估计概率） 收看方式 通过电视收看 通过手机收看 没有收看 人数（人） 200 300 100 (1)从该地区被调查对象中随机选取1人，估计此人是通过电视收看的概率； (2)采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出3人，用表示这3人中通过手机收看的人数，求的分布列和期望； (3)从该地区被调查对象中随机选取3人，若3人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人没有收看的概率为；若3人都用手机收看的概率为.试比较与的大小.（直接写出结论） 16．（2026·安徽·三模）某研发团队为测试新型智能学习助手的答题准确率，对道高中数学概率统计题进行测试，记录了每道题的解题成功率（单位：%）．已知该助手解答同类型题目的成功率近似服从正态分布，其中，． (1)从该助手解答的题目中随机抽取1道，求其成功率满足的概率； （附：若，则，） (2)现有（，）同类型的题目，其中成功率不低于的题目共有6道．现从这道测试题中随机抽取3道进行人工复核，记抽到成功率不低于的题目数量为随机变量． （i）当时，求的分布列及数学期望； （ii）若，试估计的值（即使得取得最大值时的的值）． 17．（2026·高二·福建泉州·期中）一个袋子中有20个大小相同的小球，其中黑球10个，白球10个， (1)从中有放回地抽取4个小球作为样本，用表示样本中白球的个数，求的分布列和数学期望； (2)从中不放回地抽取10个小球作为样本，用表示样本中白球的个数，则样本中出现几个白球的可能性最大？ （要求写出推导过程）． 18．（2026·高二·重庆·期中）某市为了传承和发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，得到如下直方图． (1)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列； (2)以样本的频率估计概率，从该市得分在中随机抽取200份学生成绩，用表示200份中恰有k份学生竞赛成绩在的概率，其中．当最大时，求k的值； (3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛学生的得分X近似服从正态分布，经计算．若参赛学生得分X满足：，则可获得“纪念证书”；若参赛学生得分X满足：，则可获得“先锋证书”．已知该市共600名学生参加知识竞赛活动，试估计获得“纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为91分的学生能否获得“先锋证书”． 附：若，则，，． 19．（2026·高二·北京顺义·期中）入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能.为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛.老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果.活动中，高三年级 500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表. 壶1 壶2 壶3 投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中 高三年级 40 160 90 60 60 90 假设用频率估计概率 (1)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率. (2)投壶活动结束后，高三学生自发编织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶 3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽.当学生投完三支箭，挑战结束.某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，设这位学生在“过关比赛”中投中的次数为，求分布列和的数学的期望. (3)为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投 20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶 2的概率，那么在投完 20次之后，这位同学投中壶 2多少次的概率最大?(只需写出结论) 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $