第04讲 排列组合核心思想与经典解法梳理（8大重难点题型）（讲义）-2025-2026 学年高二下学期数学期末必考重难点题型归纳及检测（人教A版选择性必修第三册）

第04讲 排列组合核心思想与经典解法梳理 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1、求解有限制条件排列问题的主要方法 3 知识点2、两类含有附加条件的组合问题的解法 3 知识点3、分组问题的求解策略 3 知识点4、常用类型归纳： 4 ： 4 03 重难点题型 5 题型一：分步分类直接法 5 题型二：正难则反补集法 5 题型三：相邻着色分类法 6 题型四：捆绑插空法应用 7 题型五：定序消序法应用 7 题型六：插板分配法应用 7 题型七：先分组后分配法 8 题型八：路径标数法应用 8 04 过关检测 10 知识点1、求解有限制条件排列问题的主要方法 直 接 法 分类法 选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数 分步法 选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数 捆绑法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中 除法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列 间接法 对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法 知识点2、两类含有附加条件的组合问题的解法 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解． 知识点3、分组问题的求解策略 （1）对不同元素的分配问题． ①整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A（n为均分的组数），避免重复计数． ②部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． ③不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． （2）对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”． 知识点4、常用类型归纳： （1）定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法） （2）相邻问题捆绑法 （3）相离问题插空法 （4）定序问题除序（去重复）、空位、插入法 （5）平均分组问题倍除法（去重复法） （6）元素相同问题隔板法 （7）正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法） （8）重排问题求幂法 （9）环（圆）排问题直排法 （10）多排问题单排法 （11）排列组合混合问题先选后排法 （12）小集团问题先整体后局部法 （13）含约束条件问题合理分类与分步法 （14）简单问题实际操作穷举法 （15）数字排序问题查字典法 （16）复杂问题分解与合成法 （17）复杂问题转化归结法（化归法） （18）复杂分类问题表格法 （19）运算困难问题树图法 （20）不易理解问题构造模型法 ： 题型一：分步分类直接法 例1．（25-26高二下·河北保定·期中）某企业为河北农产品设计包装，有两类方式：方式一是使用现成包装模板，共种选择；方式二是自主定制，分两步完成，第一步先从种材质中选种，第二步再从种配色方案中选种．不同的包装选择种数为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·江苏南通·期中）若5名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（   ） A．5种 B．60种 C．120种 D．243种 例3．（25-26高二下·广东·期中）某校开展阅读打卡活动，语文老师要求每个学生阅读科普类文本或人文自然类文本中的一本，现有7本科普类文本和8本人文自然类文本可供选择，小明按照语文老师的要求进行选择，则不同的选法共有（    ） A．7种 B．8种 C．15种 D．56种 变式1．（25-26高二下·广东韶关·期中）市图书馆古籍修复志愿队有15名男志愿者和12名女志愿者（均已完成基础培训），现要从男、女志愿者中各选1人，组成见习搭档协助修复师完成线装古籍的辅助工作，则不同的搭档组合种数为（    ） A．27 B．66 C．105 D．180 题型二：正难则反补集法 例4．（25-26高二下·江苏南京·期中）某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对通义千问、DeepSeek、豆包这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（     ） A．144 B．114 C．94 D．78 例5．（2026·云南玉溪·模拟预测）我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（    ） A． B． C． D． 例6．（25-26高二下·山东临沂·期中）某高校安排名大学生到个车间实习，每个车间至少一人，其中大学生甲和乙不能去同一个车间，则不同的安排方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 变式2．（25-26高二下·重庆·期中）计划将甲、乙、丙、丁、戊五名教师分配到三个不同的乡村学校支教，每个学校至少分配一人，若甲、乙两人必须分配在同一个学校，且丙不能与甲、乙分配在同一个学校，则不同的分配方案种数为（   ） A．24 B．30 C．36 D．42 题型三：相邻着色分类法 例7．（25-26高二下·宁夏吴忠·期中）现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（    ）种. A．1440 B．120 C．720 D．1560 例8．（2025·河北沧州·一模）如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．84种 例9．（24-25高二下·陕西西安·阶段检测）如图，给编号为的正六边形区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同.若有3种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．96种 B．66种 C．48种 D．30种 变式3．（24-25高二下·河北保定·期中）如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．现有红、黄、蓝、绿四种不同的颜色供选择给赵爽弦图涂色，要求每个区域只涂一种颜色且相邻两个区域颜色不同，不同的涂色方法总数为（   ） A．48 B．24 C．144 D．72 题型四：捆绑插空法应用 例10．（25-26高二下·河南商丘·期中）某同学参加校园义卖活动，将自己制作的8个不同类型的手工艺品排成一排进行售卖，要求其中的甲、乙、丙3个手工艺品相邻排列，则不同的排法总数为（    ） A．1440 B．2160 C．4320 D．5760 例11．（25-26高二下·河南·期中）含甲乙丙的5人站成一排，其中甲不能站最左端，乙丙必须相邻且丙不能站最右端，则满足要求的不同站法种数为（   ） A．12 B．16 C．32 D．34 例12．（25-26高二下·河南洛阳·期中）已知共七个人站成一排，要求不站两端，且和不相邻，则不同的排法种数为（） A．2640 B．2160 C．3600 D．2880 变式4．（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知A，B，C，D四名同学参加诗歌朗诵比赛，已评出名次（第一名至第四名，无并列名次），但未公布，一位评委提供如下信息：A不是第四名，B，D两人名次不相邻，根据上述信息，这4人名次排列情况可能的种数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 题型五：定序消序法应用 例13．（25-26高二下·四川达州·期中）某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有（   ）种不同的答题顺序. A．60 B．75 C．12 D．720 例14．（25-26高二下·湖北武汉·期中）小明桌子上有本不同的数学书，本相同的物理书，现将这本书依次全部取走，则不同的取书顺序有（   ）种 A． B． C． D． 例15．（24-25高二下·天津·期末）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（   ） A．8400 B．11760 C．13440 D．20160 变式5．（25-26高二下·河北石家庄·期中）某4位同学排成一排准备照相时，又来了3位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（   ） A．150 B．160 C．180 D．210 题型六：插板分配法应用 例16．（25-26高二下·安徽合肥·期中）现有11个优秀团员的名额分配给8个班级，每班至少有1个名额，则名额分配的方法共有（   ） A．56种 B．112种 C．120种 D．240种 例17．（2026·河南·模拟预测）某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选10名志愿者，10个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（   ） A．45种 B．36种 C．28种 D．8种 例18．（25-26高二下·河南许昌·期中）现有18个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少4个名额，三、四、五班每班至少2个名额，则名额分配方式共有（   ） A．35种 B．70种 C．126种 D．210种 变式6．（2024·全国·模拟预测）现有13个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一班和二班每班至少3个名额，三班和四班每班至少2个名额，五班可以不分配名额，则名额分配方式共有（    ）. A．15种 B．35种 C．70种 D．125种 题型七：先分组后分配法 例19．（25-26高二下·广东江门·期中）年月日某市新冠疫情爆发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸，由于高二年级学生人数较多，要求高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配名志愿者，每名志愿者只能在个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为______.（用数字作答） 例20．（25-26高二下·重庆·期中）现有五名同学报名参加数学，物理，化学三个兴趣小组讲解员，每个小组至少需要一名同学，每名同学只能报名其中一个小组（每个同学都参加了小组），已知甲同学不参加化学小组，则不同的分配方法数量是________． 例21．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）将甲、乙、丙、丁、戊五个同学分配到三个城市参加活动，每个同学都要参加且只能去一个城市，每个城市至少去一人，共有__________种不同分配方法.（用数字作答） 变式7．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）第十五届全国运动会共有约5万名“小海豚”志愿者奔波于各个比赛场馆，他们在赛场内外用贴心的服务照亮每一场精彩赛事. 若要把4名新加入的志愿者全部随机分配到A、B、C三个不同的场馆服务，每个场馆至少分配到1名志愿者，每名志愿者只去1个场馆，且甲不能去A场馆，乙必须去B场馆，则共有______种分配方法. 变式8．（25-26高二下·河北保定·期中）将5名协警分配到3个交通岗亭执勤，每个岗亭至少分配1名协警，每名协警只去1个岗亭，则分配方案共有______种． 题型八：路径标数法应用 例22．（25-26高二下·河北衡水·期中）如图，质点需从网格点沿着网格线移动到点，每次仅能向右或向下移动一格，且不经过两点，则不同的路径共有__________条. 例23．（24-25高二下·北京通州·期中）平面直角坐标系上将横、纵坐标都为整数的点记为格点，点从格点出发，每次运动到另一格点时，沿水平或竖直方向移动一个单位，则点经过6次移动回到格点的移动路径总数为（    ） A．81 B．200 C．400 D．480 例24．（2025高三·全国·专题练习）如图，甲从到，乙从到，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路总计对数为（    ） A．1860对 B．1750对 C．1850对 D．1760对 变式9．（23-24高二下·河南·阶段检测）在某城市中，两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿路网选择一条最短路径，从地出发去往地，则不同的路径共有（    ） A．36条 B．37条 C．52条 D．53条 1．（25-26高二下·广东珠海·期中）已知是由，，组成的一个三位数，表示为，其中，，，均表示从1到5中的任意数，若以，，为三条边长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数共有（   ） A．65个 B．55个 C．47个 D．35个 2．（25-26高二下·河北沧州·期中）河北人文厚重，山水壮美，拥有众多5A景区和世界文化遗产，甲、乙、丙三人计划暑假去河北旅游，每人从承德避暑山庄、白洋淀景区、白石山景区、野三坡景区、南湖·开滦旅游景区这5个景点中随机任选1个去游玩，则不同的选择方法种数为（   ） A．125 B．60 C．25 D．10 3．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的不同卡片，从中有放回地取3次，每次取1张，将3次取到的卡片上的数字分别记为，若这三个数中的最大数与最小数之差恰好等于3，则抽取卡片的所有不同方法种数为（    ） A．32 B．36 C．48 D．60 4．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（   ） A．96种 B．72种 C．60种 D．48种 5．（24-25高二下·重庆荣昌·期中）2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（ ） A．120种 B．360种 C．420种 D．540种 6．（24-25高二下·江苏南京·阶段检测）现提供红､黄､蓝､绿四种颜色给一个四棱锥的五个面涂色，且相邻（两个面有公共边）的两个面所涂颜色不相同，则不同的涂色方案的种数为（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．144种 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图所示，现要给固定位置的四棱锥的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有5种，则不同的涂色方案共有（    ）    A．360 B．420 C．480 D．660 8．（25-26高二下·广西河池·阶段检测）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”五张知识展板放置在五个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．12 B．24 C．48 D．120 9．（25-26高二下·四川德阳·阶段检测）某德阳研学团计划参观三星堆博物馆、德阳文庙、绵竹年画村、白马关景区4个景点，要求三星堆博物馆必须排在第一个或最后一个参观，且德阳文庙与白马关景区必须相邻，则不同的参观顺序共有（   ）种 A．4 B．8 C．12 D．24 10．（2026·新疆·模拟预测）有5辆车停放在一排的5个相邻车位上，若甲车与乙车相邻停放，则不同停放方法的总数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．120 11．（25-26高二下·天津西青·阶段检测）5人排成一排，甲与乙不相邻，不同排法数是（    ） A．72 B．60 C．48 D．36 12．（25-26高二下·广东深圳·期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列选项中不正确的是（   ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻的两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 13．（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）将1，1，2，2，3五张数字牌按顺序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为（    ） A．12 B．26 C．52 D．104 14．（25-26高二下·四川凉山·期中）为倡导绿色出行，某小区计划新增3个不同的新能源汽车充电区和2个不同的电动自行车充电区．现有5个空位（排成一排）可供选择，要求2个电动自行车充电区不相邻，则不同的安装方案共有（    ） A．36种 B．48种 C．72种 D．144种 15．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知有2名男生和3名女生站成一排，其中女生甲不站在两端，且2名男生不相邻的不同站法有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 16．（24-25高二下·广东·阶段检测）14名同学合影，站成前排5人后排9人，现摄影师要从后排9人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（    ） A．181440 B．2016 C．1080 D．1512 17．（25-26高三·全国·一轮复习）10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有（   ）种不同分配方案． A．9 B．36 C．84 D．120 18．（24-25高二下·河北·期末）现有9个三好学生的名额分给甲、乙、丙、丁4个班级，若每个班级至少1个名额，则不同的分配方法有（   ） A．504种 B．126种 C．84种 D．56种 19．（25-26高二下·广东·期中）将甲、乙、丙、丁等8个人平均分成两组：第一组和第二组，在第一组中选择2人干工作C，其余2人干工作D；在第二组中选择1人干工作E，其余3人干工作C，已知甲不能干工作C，乙要干工作D，丙不与丁在同一组，则分配方式总数为______．（用数字作答） 20．（25-26高二下·山东济宁·期中）某校准备组建2个社团，现将5名同学分配到这2个社团，每名同学只能去其中1个，每个社团至少分配2名同学，则不同的分配方案的种数为___________． 21．（25-26高二上·上海·期末）如图，有一个用8个完全一样的空心正方体框架所搭建的模型．现有一只蚂蚁沿着这些正方体的棱，并按照箭头所指的相互垂直的三个方向从A点爬到B点，可能的爬行路径共有______种（用数字作答）． 22．（2024·广西柳州·一模）如图，在的格子中，有一只蚂蚁从点爬到点，每次只能向右或向上移动一格，则从点爬到点的所有路径总数为_________，若蚂蚁只在下三角形（对角线及以下的部分所围成的三角形）行走，则从点到点的所有总路径数为_________． 23．（25-26高二下·广西南宁·期中）智能舞蹈机器人在舞台上随音乐节奏移动，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，若机器人A从舞台中心正北方向2米的位置起步，则机器人移动6秒恰好位于舞台中心的路径条数为______．（用数字作答） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 排列组合核心思想与经典解法梳理 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1、求解有限制条件排列问题的主要方法 3 知识点2、两类含有附加条件的组合问题的解法 3 知识点3、分组问题的求解策略 3 知识点4、常用类型归纳： 4 ： 4 03 重难点题型 5 题型一：分步分类直接法 5 题型二：正难则反补集法 5 题型三：相邻着色分类法 7 题型四：捆绑插空法应用 9 题型五：定序消序法应用 10 题型六：插板分配法应用 11 题型七：先分组后分配法 12 题型八：路径标数法应用 14 04 过关检测 18 知识点1、求解有限制条件排列问题的主要方法 直 接 法 分类法 选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数 分步法 选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数 捆绑法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中 除法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列 间接法 对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法 知识点2、两类含有附加条件的组合问题的解法 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解． 知识点3、分组问题的求解策略 （1）对不同元素的分配问题． ①整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A（n为均分的组数），避免重复计数． ②部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． ③不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． （2）对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”． 知识点4、常用类型归纳： （1）定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法） （2）相邻问题捆绑法 （3）相离问题插空法 （4）定序问题除序（去重复）、空位、插入法 （5）平均分组问题倍除法（去重复法） （6）元素相同问题隔板法 （7）正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法） （8）重排问题求幂法 （9）环（圆）排问题直排法 （10）多排问题单排法 （11）排列组合混合问题先选后排法 （12）小集团问题先整体后局部法 （13）含约束条件问题合理分类与分步法 （14）简单问题实际操作穷举法 （15）数字排序问题查字典法 （16）复杂问题分解与合成法 （17）复杂问题转化归结法（化归法） （18）复杂分类问题表格法 （19）运算困难问题树图法 （20）不易理解问题构造模型法 ： 题型一：分步分类直接法 例1．（25-26高二下·河北保定·期中）某企业为河北农产品设计包装，有两类方式：方式一是使用现成包装模板，共种选择；方式二是自主定制，分两步完成，第一步先从种材质中选种，第二步再从种配色方案中选种．不同的包装选择种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方式一：共种选择； 方式二：第一步先从种材质中选种，有种选择， 第二步再从种配色方案中选种，有种选择，共有种选择； 因此方式一和方式二共有种选择. 例2．（25-26高二下·江苏南通·期中）若5名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（   ） A．5种 B．60种 C．120种 D．243种 【答案】D 【解析】5名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项， 则每人有三种选择，则不同的报名方式有种. 例3．（25-26高二下·广东·期中）某校开展阅读打卡活动，语文老师要求每个学生阅读科普类文本或人文自然类文本中的一本，现有7本科普类文本和8本人文自然类文本可供选择，小明按照语文老师的要求进行选择，则不同的选法共有（    ） A．7种 B．8种 C．15种 D．56种 【答案】C 【解析】有7本科普类文本和8本人文自然类文本，从科普类文本或人文自然类文本中选一本， 所以，根据分类加法计数原理，不同的选法共有（种）． 变式1．（25-26高二下·广东韶关·期中）市图书馆古籍修复志愿队有15名男志愿者和12名女志愿者（均已完成基础培训），现要从男、女志愿者中各选1人，组成见习搭档协助修复师完成线装古籍的辅助工作，则不同的搭档组合种数为（    ） A．27 B．66 C．105 D．180 【答案】D 【解析】根据分步乘法计数原理可得不同的搭档组合种数为． 题型二：正难则反补集法 例4．（25-26高二下·江苏南京·期中）某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对通义千问、DeepSeek、豆包这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（     ） A．144 B．114 C．94 D．78 【答案】B 【解析】将5位同学分为三组并分配到三种模型共有：种方法，若小李和小赵调研同一种模型共有：种方法， 所以若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为：种方法. 例5．（2026·云南玉溪·模拟预测）我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】五名同学参加四个社团，每个社团至少一人，必为分组，分两类讨论： ①甲单独一组：从其余人中选人成组，有种. 甲不参加围棋苑，有种选择，剩余组全排列. 方法数为. ②甲与另一人成组：选同伴有种，四组分到四社团，排除甲组去围棋苑. 方法数为. 总计方法数为. 例6．（25-26高二下·山东临沂·期中）某高校安排名大学生到个车间实习，每个车间至少一人，其中大学生甲和乙不能去同一个车间，则不同的安排方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】将名大学生分成三组，有种分法，再将其分到个车间实习，有种， 所以将名大学生分到个车间实习，每个车间至少一人，有种安排方法， 若大学生甲和乙分到同一个车间，将甲乙看成一个整体，于是问题等价于把4个对象安排到3个车间实习， 将4个对象分成三组有种分法，再将三组安排到3个车间有，所以有种安排方法， 所以不同的安排方案有种. 变式2．（25-26高二下·重庆·期中）计划将甲、乙、丙、丁、戊五名教师分配到三个不同的乡村学校支教，每个学校至少分配一人，若甲、乙两人必须分配在同一个学校，且丙不能与甲、乙分配在同一个学校，则不同的分配方案种数为（   ） A．24 B．30 C．36 D．42 【答案】B 【解析】将甲、乙捆绑成1个小组，则相当于共4个“元素”. 将4个“元素”分到3个学校，每个学校至少分到一人，则有种. 甲、乙与丙分配在同一个学校的方案数为：种. 故不同的分配方案种数为种. 题型三：相邻着色分类法 例7．（25-26高二下·宁夏吴忠·期中）现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（    ）种. A．1440 B．120 C．720 D．1560 【答案】D 【解析】如图所示： 当选择5种颜色时，从6种颜色中选5种共有种方法, 将选出的5种颜色分配给5个区域有种方法,总方法数为种， 当选择4种颜色时，从6种颜色中选4种共有种方法, 从（A,D）或（B,C）中选择一组涂同一颜色，有2种选择， 比如选择（A,D）组，将选出的4种颜色分配有种方法, 总方法数为种， 当选择3种颜色时，从6种颜色中选3种共有种方法, 则（A,D），（B,C）各涂同一颜色，有1种选择， 将选出的3种颜色分配有种方法, 总方法数为种， 则所有的方法数为种. 例8．（2025·河北沧州·一模）如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．84种 【答案】B 【解析】由题意可知，使用了3种颜色则只有和颜色相同，或只有和颜色相同， 则涂色方法共有种. 故选：B 例9．（24-25高二下·陕西西安·阶段检测）如图，给编号为的正六边形区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同.若有3种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．96种 B．66种 C．48种 D．30种 【答案】B 【解析】方法一：①若涂3种颜料，其中6个区域两两颜料相同，则有以下四种涂色方案： ， 四种涂色方法，故此时涂色方法共有种； ②若涂3种颜料，其中6个区域，有3个区域颜料相同（135或246）、剩下的另2个区域颜料相同，最后一个1个区域涂剩下的一种颜色，此时涂色方法有种； ③若涂2种颜料，此时有； 综上，由分步加法计数原理，不同的涂色方案有种. 方法二：本题为6个环形区域涂色，假设有个环形区域涂色，满足题意的涂色方法有种， 则有，由于，依次赋值代入递推公式可得种. 故选：B. 变式3．（24-25高二下·河北保定·期中）如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．现有红、黄、蓝、绿四种不同的颜色供选择给赵爽弦图涂色，要求每个区域只涂一种颜色且相邻两个区域颜色不同，不同的涂色方法总数为（   ） A．48 B．24 C．144 D．72 【答案】D 【解析】若选三种颜色，则①③同色且②④同色， 则有种方法； 若选四种颜色，则①③同色或②④同色， 则有种方法； 所以一共有种方法. 故选：D 题型四：捆绑插空法应用 例10．（25-26高二下·河南商丘·期中）某同学参加校园义卖活动，将自己制作的8个不同类型的手工艺品排成一排进行售卖，要求其中的甲、乙、丙3个手工艺品相邻排列，则不同的排法总数为（    ） A．1440 B．2160 C．4320 D．5760 【答案】C 【解析】将甲、乙、丙3个手工艺品看作一个整体，内部排序有种方法，将其和剩余的5个工艺品进行全排，有种情况. 则不同的排法总数共有种. 例11．（25-26高二下·河南·期中）含甲乙丙的5人站成一排，其中甲不能站最左端，乙丙必须相邻且丙不能站最右端，则满足要求的不同站法种数为（   ） A．12 B．16 C．32 D．34 【答案】C 【解析】设5人为甲乙丙丁戊， 对乙丙进行捆绑（先不考虑丙的位置问题），与丁、戊全排，再把甲插入（不在最左端） 则有种， 其中丙在右端时，甲、丁、戊的排法，先排丁、戊，再把甲插入（不在最左端）有种， 故满足要求的不同站法种数为种． 例12．（25-26高二下·河南洛阳·期中）已知共七个人站成一排，要求不站两端，且和不相邻，则不同的排法种数为（） A．2640 B．2160 C．3600 D．2880 【答案】A 【解析】先考虑和不相邻的排法： 先排A,B,C,D,E，有种排法， A,B,C,D,E排好后有6个空隙（含两端），从中选2个插入F和G，排法数：种， 所以，总排法有：种； 再考虑A站两端且F、G不相邻”的排法： 先排A在两端，有种（如A在最左端），再排B,C,D,E共4人，排法数：种， 此时5人（A,B,C,D,E）排好后有5个空隙（A的左边不算空隙）， 从中选2个插入F和G，排法数：种， 所以，总排法：种， 所以要求不站两端，且和不相邻，则不同的排法种数为种. 变式4．（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知A，B，C，D四名同学参加诗歌朗诵比赛，已评出名次（第一名至第四名，无并列名次），但未公布，一位评委提供如下信息：A不是第四名，B，D两人名次不相邻，根据上述信息，这4人名次排列情况可能的种数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解析】当A是第一名时，C只能是第三名，则有种排列种数； 当A是第二名时，C不能是第一名，则有种排列种数； 当A是第三名时，C不能是第四名，则有种排列种数， 综上可知，这4人名次排列情况可能的种数为. 题型五：定序消序法应用 例13．（25-26高二下·四川达州·期中）某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有（   ）种不同的答题顺序. A．60 B．75 C．12 D．720 【答案】A 【解析】首先将6只灯笼全排，即， 因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定， 即除以内部排序即可，故取谜题的方法有. 例14．（25-26高二下·湖北武汉·期中）小明桌子上有本不同的数学书，本相同的物理书，现将这本书依次全部取走，则不同的取书顺序有（   ）种 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】步骤：先假设所有书都不同， 如果本书全不同，那么取书顺序的总数是， 步骤：考虑相同书的重复情况， 因为有本相同的物理书，这本书的顺序交换不会产生新的取法，所以需要除以这本书的排列数， 所以，不同的取书顺序有． 例15．（24-25高二下·天津·期末）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（   ） A．8400 B．11760 C．13440 D．20160 【答案】B 【解析】首先从下层八个商品中抽取三个，共有种结果， 再将其放入上层时，由于上层原有商品保持相对顺序不变，可以使用定序问题中的缩倍法，共有种结果， 因此根据计数原理可知共有种结果. 故选：B 变式5．（25-26高二下·河北石家庄·期中）某4位同学排成一排准备照相时，又来了3位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（   ） A．150 B．160 C．180 D．210 【答案】D 【解析】7位同学排成一排准备照相时，共有种排法，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法. 题型六：插板分配法应用 例16．（25-26高二下·安徽合肥·期中）现有11个优秀团员的名额分配给8个班级，每班至少有1个名额，则名额分配的方法共有（   ） A．56种 B．112种 C．120种 D．240种 【答案】C 【解析】现有11个优秀团员的名额要分配给8个班级，要求每班至少一个名额， 利用隔板法，把11个元素排成一列形成10个空，再在10个位置放置7个隔板， 则共有种方案， 例17．（2026·河南·模拟预测）某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选10名志愿者，10个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（   ） A．45种 B．36种 C．28种 D．8种 【答案】B 【解析】10个名额为相同元素，可用隔板法，10个相同元素分为8组，即将7个隔板插入9个空，． 例18．（25-26高二下·河南许昌·期中）现有18个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少4个名额，三、四、五班每班至少2个名额，则名额分配方式共有（   ） A．35种 B．70种 C．126种 D．210种 【答案】B 【解析】根据题意，先将18个名额分配给一班、二班每班3个，三、四、五班每班1个， 还剩下9个名额，将剩下的9个名额进行分组，每组至少一个名额， 利用“隔板法”求解，9个元素间有8个间隔，要分成5组，8个间隔选4个插入隔板即可， 则有分配方法种. 变式6．（2024·全国·模拟预测）现有13个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一班和二班每班至少3个名额，三班和四班每班至少2个名额，五班可以不分配名额，则名额分配方式共有（    ）. A．15种 B．35种 C．70种 D．125种 【答案】B 【解析】根据题意，先将13个名额分能给一班、二班每班2个，三班、四班每班1个， 而由于五班可以不分配名额， 则将剩下的7个名额加上1个空名额，再分成5组，每组至少1个名额， 由于有，利用“隔板法”，有种分配方式. 故选：B. 题型七：先分组后分配法 例19．（25-26高二下·广东江门·期中）年月日某市新冠疫情爆发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸，由于高二年级学生人数较多，要求高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配名志愿者，每名志愿者只能在个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为______.（用数字作答） 【答案】80 【解析】根据题意，名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸， 则可分为和两类， 第一类，按分组，有种分组方法， 再分到三个教学楼且高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数， 则人组去高二，则有种分配方法， 则共有种方法； 第二类，按，有种分组方法， 再分到三个教学楼且高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数， 则2人组去高二，则有种分配方法， 则共有种方法， 则不同的分配方法共有种. 例20．（25-26高二下·重庆·期中）现有五名同学报名参加数学，物理，化学三个兴趣小组讲解员，每个小组至少需要一名同学，每名同学只能报名其中一个小组（每个同学都参加了小组），已知甲同学不参加化学小组，则不同的分配方法数量是________． 【答案】100 【解析】第一步，将五人分成三个小组，各小组人数有和两类情况， 当按照分组时，有种分组方法， 当按照分组时，有， 所以总的分组方法有种； 第二步，将含有甲的小组分到数学或物理兴趣小组，有2种方法； 第三步，将剩余两组分配到另外两个兴趣小组，有种方法. 又分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有种方法. 例21．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）将甲、乙、丙、丁、戊五个同学分配到三个城市参加活动，每个同学都要参加且只能去一个城市，每个城市至少去一人，共有__________种不同分配方法.（用数字作答） 【答案】150 【解析】第一步，将5个同学分为三组，有两种分法： 第一种分法，第一组1人，第二组1人，第三组3人，有种分法； 第二种分法，第一组2人，第二组2人，第三组1人，有种分法. 第二步，将三组同学分配到三个城市，有种分法， 所以共有种不同分配方法. 变式7．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）第十五届全国运动会共有约5万名“小海豚”志愿者奔波于各个比赛场馆，他们在赛场内外用贴心的服务照亮每一场精彩赛事. 若要把4名新加入的志愿者全部随机分配到A、B、C三个不同的场馆服务，每个场馆至少分配到1名志愿者，每名志愿者只去1个场馆，且甲不能去A场馆，乙必须去B场馆，则共有______种分配方法. 【答案】7 【解析】三个场馆每个场馆至少分配到1名志愿者， 所以4名志愿者将以2，1，1分配给三个场馆， 第一类，甲、乙被分配1个场馆，甲、乙只能分配到B场馆，此类共有种方法， 第二类，甲、乙被分配不同场馆，则甲只能分配到C场馆， 若剩下2人（丙丁）分配到同一个场馆，则只能分配到A场馆，有1种方法； 若剩下2人（丙丁）分配到不同场馆，则2人先选1人分配到A场馆， 剩下1人可选择分配到B场馆或C场馆，共有种， 则总共种分配方法． 变式8．（25-26高二下·河北保定·期中）将5名协警分配到3个交通岗亭执勤，每个岗亭至少分配1名协警，每名协警只去1个岗亭，则分配方案共有______种． 【答案】150 【解析】先将5名协警分为3组，则有1，1，3或1，2，2两种分组方法， 对于1，1，3分组：先选3人作为一组，剩下2人各成一组，因为两个1人组是无序的， 所以分组数为：. 对于1，2，2分组：先选1人作为一组，剩下4人分成两个2人组，因为两个2人组是无序的， 所以分组数为：. 将分好的组全排列分配到3个不同岗亭，排列数为. 综上，总方案数为：. 题型八：路径标数法应用 例22．（25-26高二下·河北衡水·期中）如图，质点需从网格点沿着网格线移动到点，每次仅能向右或向下移动一格，且不经过两点，则不同的路径共有__________条. 【答案】42 【解析】先计算的路径条数，就是将5次向右与4次向下排个顺序，故有种不同的路线， 其中经过的路径条数有种，经过的路径条数有种， 经过与经过的路径中重复的路径的路径条数为种. 故最终从且避开两点的路径共有（条）. 例23．（24-25高二下·北京通州·期中）平面直角坐标系上将横、纵坐标都为整数的点记为格点，点从格点出发，每次运动到另一格点时，沿水平或竖直方向移动一个单位，则点经过6次移动回到格点的移动路径总数为（    ） A．81 B．200 C．400 D．480 【答案】C 【解析】根据题意可知点从格点出发，可沿上、下、左、右四个方向移动； 若点经过6次移动回到格点可分为以下四种情况： 第一种：在六步移动过程中选择3步向上，另外3步向下，共有种； 第二种：选择3步向左，另外3步向右，共有种； 第三种：选择2步向上，另外2步向下，1步向左，1步向右，共有种； 第四种：选择1步向上，另外1步向下，2步向左，2步向右，共有种； 因此共有种. 故选：C 例24．（2025高三·全国·专题练习）如图，甲从到，乙从到，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路总计对数为（    ） A．1860对 B．1750对 C．1850对 D．1760对 【答案】B 【解析】首先计算总的路径的对数： 甲从到，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从到共有种走法， 乙从到，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从到共有种走法， 根据分步乘法计数原理可知，共有不同路径对. 再计算有相交路径的对数：设与的交点为，甲从到再到，乙从到再到， 可以理解为过点后，甲乙交换线路分别到达目的地，这样就等价于甲从到，乙从到的路径对数： 甲从到，需要向右走6步，向上走4步，共需10步，所以从到共有种走法， 乙从到，需要向右走2步，向上走4步，共需6步，所以从到共有种走法， 所以相交路径共有对， 因此不同的孤立路一共有对． 故选：B． 变式9．（23-24高二下·河南·阶段检测）在某城市中，两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿路网选择一条最短路径，从地出发去往地，则不同的路径共有（    ） A．36条 B．37条 C．52条 D．53条 【答案】D 【解析】由图可知，从地出发去往地的最短路径共8步，其中4步向下，4步向右，且前4步中最多2步向右， 则不同的路径共有条. 故选：D. 1．（25-26高二下·广东珠海·期中）已知是由，，组成的一个三位数，表示为，其中，，，均表示从1到5中的任意数，若以，，为三条边长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数共有（   ） A．65个 B．55个 C．47个 D．35个 【答案】C 【解析】若构成等边三角形，边长为1到5的三位数共5个，所以有个； 若构成等腰三角形，设腰长为，底边长为，其中且， 当时，，每种对应3个排列，共个； 当时，，每种对应3个排列，共个； 当时，，每种对应3个排列，共个； 当时，，每种对应3个排列，共个； 由分类计数原理得，共有个. 2．（25-26高二下·河北沧州·期中）河北人文厚重，山水壮美，拥有众多5A景区和世界文化遗产，甲、乙、丙三人计划暑假去河北旅游，每人从承德避暑山庄、白洋淀景区、白石山景区、野三坡景区、南湖·开滦旅游景区这5个景点中随机任选1个去游玩，则不同的选择方法种数为（   ） A．125 B．60 C．25 D．10 【答案】A 【解析】因为从5个景点中任选一个，每人均有5种独立选法， 所以共有种不同的选法． 3．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的不同卡片，从中有放回地取3次，每次取1张，将3次取到的卡片上的数字分别记为，若这三个数中的最大数与最小数之差恰好等于3，则抽取卡片的所有不同方法种数为（    ） A．32 B．36 C．48 D．60 【答案】B 【解析】由卡片数字取值为1~5，可得三个数的最大数与最小数之差为3时， 对应的（最小数，最大数）组合仅为和两类，且两类情况互斥，分别计算如下： 当最小数为1、最大数为4时，三次抽取的数字均属于集合， 且必须至少包含1个1和1个4. 由容斥原理，该类方法数为： ， 当最小数为2、最大数为5时，三次抽取的数字均属于集合， 且必须至少包含1个2和1个5， 同理可得该类方法数也为18种. 因此总抽取方法数为种. 4．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（   ） A．96种 B．72种 C．60种 D．48种 【答案】B 【解析】把5个窗花全排列有种情况，其中春字在两端的情况有种， 故春字不在两端的贴法有（种）． 5．（24-25高二下·重庆荣昌·期中）2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（ ） A．120种 B．360种 C．420种 D．540种 【答案】C 【解析】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色， 若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，相对的直角三角形必同色， 此时不同的涂色方案有种； 若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，其中一对相对的直角三角形必同色， 余下的两个直角三角形不同色，此时不同的涂色方案有种； 若块区域只用种颜色涂色，则每块直角三角形都不同色，此时不同的涂色方案有种； 综上，不同的涂色方案有：种. 故选：C. 6．（24-25高二下·江苏南京·阶段检测）现提供红､黄､蓝､绿四种颜色给一个四棱锥的五个面涂色，且相邻（两个面有公共边）的两个面所涂颜色不相同，则不同的涂色方案的种数为（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．144种 【答案】C 【解析】若用4种颜色，任选一种颜色涂在其中一组对面上有种， 其它3种颜色作全排有， 所以，共有种； 若用3种颜色，从4种颜色任选3种有种， 再任选两种颜色涂在两组对面上种，余下的一种颜色涂在底面有1种， 所以，共有种； 综上，不同的涂色方案有种. 故选：C. 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图所示，现要给固定位置的四棱锥的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有5种，则不同的涂色方案共有（    ）    A．360 B．420 C．480 D．660 【答案】B 【解析】若5种颜色全涂，有种； 若5种颜色涂4种，则左右侧面或前后侧面涂同种颜色，有种； 若5种颜色涂3种，则左右侧面涂同种颜色，前后侧面涂同种颜色，有种 可得，故不同的涂色方案共有420种. 故选：B 8．（25-26高二下·广西河池·阶段检测）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”五张知识展板放置在五个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．12 B．24 C．48 D．120 【答案】C 【解析】由于立春和春分相邻，先将二者捆绑，二者内部有顺序，排列数为 种； 捆绑后得到1个整体，和剩余3块展板共4个元素，对4个元素全排列，排列数为 ， 分步计数求总数：根据分步乘法计数原理，总放置方式为 . 9．（25-26高二下·四川德阳·阶段检测）某德阳研学团计划参观三星堆博物馆、德阳文庙、绵竹年画村、白马关景区4个景点，要求三星堆博物馆必须排在第一个或最后一个参观，且德阳文庙与白马关景区必须相邻，则不同的参观顺序共有（   ）种 A．4 B．8 C．12 D．24 【答案】B 【解析】首先安排三星堆博物馆的位置，要求三星堆必须排在第一个或最后一个，共2种排法； 由于德阳文庙与白马关必须相邻，用捆绑法将二者看作1个整体，二者内部可交换顺序，共种排法； 捆绑后的整体和绵竹年画村共2个元素，排列在剩余的空位中，共种排法. 根据分步乘法计数原理，总排列数为种. 10．（2026·新疆·模拟预测）有5辆车停放在一排的5个相邻车位上，若甲车与乙车相邻停放，则不同停放方法的总数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．120 【答案】B 【解析】将甲、乙视为一个“整体”（捆绑），甲、乙内部有2种排法（甲左乙右或乙左甲右）， 把“甲乙整体”与另外3辆车看成4个元素一起排列，有种排法， 所以总的停放方法是种. 11．（25-26高二下·天津西青·阶段检测）5人排成一排，甲与乙不相邻，不同排法数是（    ） A．72 B．60 C．48 D．36 【答案】A 【解析】. 12．（25-26高二下·广东深圳·期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列选项中不正确的是（   ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻的两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】C 【解析】对A：利用“捆绑法”，满足条件的排法有种，故A正确； 对B：因为课程“礼”排在“乐”的后面和课程“乐”排在“礼”的后面的情况一样多，所以满足条件的排法有种，故B正确； 对C：利用“插空法”，满足条件的排法有种，故C错误； 对D：满足条件的排法可分为两类： 第一类，“御”排在第一周，这样的排法有种； 第二类，“御”不排在第一周，这样的排法有种. 所以满足条件的排法种.故D正确. 13．（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）将1，1，2，2，3五张数字牌按顺序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为（    ） A．12 B．26 C．52 D．104 【答案】A 【解析】第一张为1时; 若第五张为1，则仅有1种排法； 若第三张为1，有种排法. 若第四张为1，有种排法. 第二张为1时; 若第四张为1，则共种排法， 若第五张为1，有种排法， 第三张为1时，第五张为1，有种排法， 综上可得：总计12种排法. 14．（25-26高二下·四川凉山·期中）为倡导绿色出行，某小区计划新增3个不同的新能源汽车充电区和2个不同的电动自行车充电区．现有5个空位（排成一排）可供选择，要求2个电动自行车充电区不相邻，则不同的安装方案共有（    ） A．36种 B．48种 C．72种 D．144种 【答案】C 【解析】先安装3个不同的新能源汽车充电区，则有种， 再将2个不同的电动自行车充电区插入到4个空位中，则有种， 所以不同的安装方案共有种． 故选：C 15．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知有2名男生和3名女生站成一排，其中女生甲不站在两端，且2名男生不相邻的不同站法有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】B 【解析】先排3名女生，共有种； 3名女生排好后，有4个空，2名男生不相邻，可以从4个空中任选2个进行排列， 共有种，所以2名男生不相邻的情况，共有种. 女生甲站在最左端，且2名男生不相邻的情况：先排2名女生，有种； 排好后，有3个空，2名男生不相邻的站法有种， 所以女生甲站在最左端，且2名男生不相邻，共有种， 同理，女生甲站在最右端，且2名男生不相邻，也共有， 因此，女生甲不站在两端，且2名男生不相邻的不同站法为种. 16．（24-25高二下·广东·阶段检测）14名同学合影，站成前排5人后排9人，现摄影师要从后排9人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（    ） A．181440 B．2016 C．1080 D．1512 【答案】D 【解析】第一步从后排9人中选2人有种方法， 第二步把这2人插入到前排中，有种方法， 其余5人顺序不变只有1种方法，前排相对顺序不变， 因此所有的方法种数是， 故选：D. 17．（25-26高三·全国·一轮复习）10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有（   ）种不同分配方案． A．9 B．36 C．84 D．120 【答案】C 【解析】我们可以把10个名额排成一排，会产生9个空隙， 要分成7组，需要插入6个隔板，不同的隔板位置对应不同的分配方案， 所以分配方案数就是从9个空隙中选6个的组合数，即. 故选：C 18．（24-25高二下·河北·期末）现有9个三好学生的名额分给甲、乙、丙、丁4个班级，若每个班级至少1个名额，则不同的分配方法有（   ） A．504种 B．126种 C．84种 D．56种 【答案】D 【解析】根据隔板法，9个名额，分给四个班级，每个班级至少1个名额，则有种. 故选：D 19．（25-26高二下·广东·期中）将甲、乙、丙、丁等8个人平均分成两组：第一组和第二组，在第一组中选择2人干工作C，其余2人干工作D；在第二组中选择1人干工作E，其余3人干工作C，已知甲不能干工作C，乙要干工作D，丙不与丁在同一组，则分配方式总数为______．（用数字作答） 【答案】68 【解析】不妨考虑丙在第一组，丁在第二组．显然乙必然在第一组． 若甲在第一组，则剩余4人中1人进第一组与丙共干工作C，剩余3人进入第二组，而这3人与丁中1人干工作E，剩余3人干工作C，故共有种． 若甲在第二组，则剩余4人中2人进第二组与丁干工作C，剩余2人进第一组与丙干工作，其中1人干工作D，剩余2人干工作C，故此时共有种． 所以，丙在第一组，丁在第二组的分配情况共有种， 同理，由对称性可知,丙在第二组，丁在第一组的分配情况也有种， 所以，总分配方式共种． 20．（25-26高二下·山东济宁·期中）某校准备组建2个社团，现将5名同学分配到这2个社团，每名同学只能去其中1个，每个社团至少分配2名同学，则不同的分配方案的种数为___________． 【答案】20 【解析】将五名同学分为两组，一组2人，一组3人，有种， 再将这两组同学分配到两个不同的社团中，有种分配方式， 则总的分配方案有种. 21．（25-26高二上·上海·期末）如图，有一个用8个完全一样的空心正方体框架所搭建的模型．现有一只蚂蚁沿着这些正方体的棱，并按照箭头所指的相互垂直的三个方向从A点爬到B点，可能的爬行路径共有______种（用数字作答）． 【答案】296 【解析】 从高度为1的顶点沿竖直向上的棱爬到高度为2的顶点，一共有7处，分别记为，，，，，，，且，，，，， 点下方的点记为，，，，，另外，点上方的点记为， 从到有种路径，沿竖直的棱向上爬再到有种路径， 从到有种路径，沿竖直的棱向上爬再到有1种路径， 从到到有种路径，从到到有种路径， 则从到有种路径，沿竖直的棱向上爬再到有1种路径， 从到到有种路径，从到到有种路径， 从到到有种路径，再到有1种路径， 又到有种路径，则从到到有种路径， 从到到有种路径，从到到有种路径， 从到到有种路径，竖直的棱向上爬再到有1种路径， 则从到竖直向上再到有种路径， 从到到有种路径，从到到到有种路径， 沿竖直的棱向上爬再到有1种路径，则从到竖直向上再到有种路径， 从到到有种路径，从到到有种路径， 从到到到有种路径，从到到到有种路径， 再到有1种路径，则从到到有种路径， 因此从到可能的爬行路径共有种. 故答案为：296. 22．（2024·广西柳州·一模）如图，在的格子中，有一只蚂蚁从点爬到点，每次只能向右或向上移动一格，则从点爬到点的所有路径总数为_________，若蚂蚁只在下三角形（对角线及以下的部分所围成的三角形）行走，则从点到点的所有总路径数为_________． 【答案】 【解析】蚂蚁从点爬到点需要走步，其中步横向，步纵向， 所有路径数为从步中选择步横向的组合数，所以； 蚂蚁只在下三角形（对角线及以下的部分所围成的三角形）行走，如下： 共种. 故答案为：；. 23．（25-26高二下·广西南宁·期中）智能舞蹈机器人在舞台上随音乐节奏移动，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，若机器人A从舞台中心正北方向2米的位置起步，则机器人移动6秒恰好位于舞台中心的路径条数为______．（用数字作答） 【答案】 【解析】以舞台中心为坐标原点，则的初始位置为， 设在6秒内，机器人向正北方向移动步，正南方向移动步， 因为最后要回到原点， 所以向正东和正西移动的距离相等，设为步， 由题意可得， 所以， 所以当时，，此时共有种移动方法； 当时，，此时共有种移动方法； 当时，，此时共有种移动方法； 当时，（舍）； 综上，一共有种移动方法. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $