江苏徐州市丰县2025-2026学年八年级（下）期中数学试卷

**基本信息** 融合文化传承（如成语概率题）与科技情境（AI图像识别统计），以几何直观与推理能力为核心，梯度设计适配八年级期中知识掌握程度与核心素养发展。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|公因式、概率、平行四边形性质|结合“水中捞月”等成语考查不可能事件，体现文化渗透| |填空题|8/32|因式分解、动态几何最值、正方形性质|第15题以Rt△动点问题考查矩形性质与垂线段最短，发展空间观念| |解答题|9/84|配方法应用、折纸探究、菱形作图|25题折纸探究综合矩形折叠、等边三角形判定，培养创新意识与推理能力|

2025-2026学年江苏省徐州市丰县八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）多项式a2+ab的公因式是（　　） A．a B．a2 C．ab D．b 2．（3分）成语作为汉语的瑰宝，凝结了中华文明的智慧与语言艺术精华．下列成语所描述的事件是不可能事件的是（　　） A．瓮中捉鳖 B．水中捞月 C．百步穿杨 D．守株待兔 3．（3分）小明同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.9，下列说法正确的是（　　） A．小明定点投篮1次，一定可以投中 B．小明定点投篮10次，一定投中1次 C．小明定点投篮10次，一定投中9次 D．小明定点投篮1次，投中的可能性较大 4．（3分）若x2+ax+9能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　） A．3 B．3或﹣3 C．6 D．6或﹣6 5．（3分）如图，在▱ABCD中，BC＝13，BD＝16，△BOC的周长是（　　） A．20.5 B．27 C．28 D．41 6．（3分）如图，将由四根木条钉成的矩形木框挤压后变成平行四边形的形状，在这个变化过程中，下列说法正确的是（　　） A．不变 B．变大 C．变小 D．不能确定 7．（3分）如图，四边形OBCD为正方形，点B的坐标为（6，0），点F在OD上，且∠ECF＝45°（　　） A．（0，2） B．（4，0） C．（0，3） D．（0，4） 8．（3分）顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（　　） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．等腰梯形 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9．（4分）分解因式：x2+4x＝　 　 ． 10．（4分）在如图所示的转盘中，转出的可能性最大的颜色是 　 　 ． 11．（4分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，其中∠1＝∠2，请你再添加一个条件，可以添加的条件是　 　 ． 12．（4分）如图，AC是正方形ABCD的对角线，延长CD至点M，若，CM＝2，则∠M＝　 　 °． 13．（4分）已知两个正方形的边长之和为13cm，它们的面积之差为13cm2，则较大正方形的边长是　 　 cm． 14．（4分）如图，两张等宽矩形纸片交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，∠ABC＝60°，BD＝　 　 ． 15．（4分）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝8，P为BC上一动点，PF⊥AC于点F，连接EF　 　 ． 16．（4分）一次函数y＝kx+k（k≠0，k为常数），不论k取何值，其图象都经过x轴上的一个定点　 　 ． 三、解答题（本大题有9小题，共84分） 17．（20分）分解因式： （1）10ab+5ac； （2）x2+6xy+9y2； （3）a4﹣9； （4）3ax2﹣12ay2． 18．（6分）在一个不透明的盒子里装有6张明信片，建筑图、动物图、植物图各2张，搅匀后随机摸出n张明信片 （1）当n＝　 　 时，这个事件不可能发生； （2）当n＝　 　 时，这个事件可能发生； （3）当n＝　 　 时，这个事件必然发生． 19．（7分）矩形的相邻两边长分别为m，n，（m＞n），其面积为6，周长为10．求m3n+2m2n2+mn3的值． 20．（7分）某科技公司为测试一款AI图象识别模型的性能，对该模型处理不同数量图象的正确识别结果进行了统计，绘制了统计图．请根据统计图提供的信息 （1）该模型的正确识别频率稳定在　 　 附近，估计该模型的正确识别率（概率）为　 　 （精确到0.1）； （2）该公司计划用该模型处理100000张图象，估计该模型能正确识别的图象数量． 21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，BC＝8． 求DE的长． 22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，AC上的点，BE与CD交于点M 求证：四边形BCED是等腰梯形． 23．（8分）如图，已知四边形ABCD是矩形． （1）请用无刻度的直尺和圆规，分别在AB，CD边上作点E，F（保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明）； （2）若AB＝16，BC＝8，试求出菱形AECF的面积． 24．（8分）【方法学习】配方法是初中数学的重要变形工具，核心是利用完全平方公式将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，可用于解决分解因式、求最值等多类问题． 请补全下列配方法的应用过程： （1）分解因式x2+6x﹣7：原式＝（x2+6x+9）﹣16＝（x+3）2﹣16＝　 　 ； （2）求代数式x2﹣8x+10的最小值：x2﹣8x+10＝x2﹣8x+16﹣6＝（x﹣4）2﹣6， ∵（x﹣4）2≥0，∴当x＝4即（x﹣4）2＝0时，x2﹣8x+10有最小值，最小值是　 　 ； 【拓展应用】（3）a，b，c分别为△ABC的三边长，当满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0时，求c的取值范围； （4）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD＝y，若x+y＝12　 　 ． 25．（12分）折纸中的数学奥秘： 小宁和小轩在学习了四边形的知识后，围绕矩形纸片ABCD开展折叠探究，发现了许多几何奥秘． （1）初次尝试 小宁按如图1方式沿对角线BD折叠矩形纸片ABCD（AB＜BC），点A与点E对应，DE与BC交于点F，它是 　 　 三角形； （2）进阶探究 受到启发，小轩设计了更复杂的折叠方案：先将矩形纸片ABCD对折，然后展开，点P为AD上的一点，再将纸片沿BP折叠，BP与MN交于点G． 如图2，当点Q落在MN上时： ①小宁联想到，八年级上学期曾有过类似的折纸活动，于是提出连接AQ　 　 三角形，为什么？ ②小轩发现，再沿PQ折叠纸片，点D与点G恰好重合，请你帮他说明理由； ③在②的条件下，若MG＝2，请求出该矩形纸片的长与宽． 2025-2026学年江苏省徐州市丰县八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）多项式a2+ab的公因式是（　　） A．a B．a2 C．ab D．b 【分析】根据公因式的定义，即可解答． 【解答】解：多项式a2+ab的公因式是a， 故选：A． 2．（3分）成语作为汉语的瑰宝，凝结了中华文明的智慧与语言艺术精华．下列成语所描述的事件是不可能事件的是（　　） A．瓮中捉鳖 B．水中捞月 C．百步穿杨 D．守株待兔 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【解答】解：A、瓮中捉鳖，不符合题意； B、水中捞月，符合题意； C、百步穿杨，不符合题意； D、守株待兔，不符合题意； 故选：B． 3．（3分）小明同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.9，下列说法正确的是（　　） A．小明定点投篮1次，一定可以投中 B．小明定点投篮10次，一定投中1次 C．小明定点投篮10次，一定投中9次 D．小明定点投篮1次，投中的可能性较大 【分析】根据概率的定义判断即可． 【解答】解：A、小明定点投篮1次，故不符合题意； B、小明定点投篮10次，故不符合题意； C、小明定点投篮10次，故不符合题意； D、小明定点投篮1次，故符合题意． 故选：D． 4．（3分）若x2+ax+9能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　） A．3 B．3或﹣3 C．6 D．6或﹣6 【分析】根据完全平方公式进行分解，即可解答． 【解答】解：∵x2+ax+9＝（x±4）2， ∴x2+ax+2＝x2±6x+8， ∴常数a的值是6或﹣6， 故选：D． 5．（3分）如图，在▱ABCD中，BC＝13，BD＝16，△BOC的周长是（　　） A．20.5 B．27 C．28 D．41 【分析】由平行四边新的性质推出OB＝BD＝8，OC＝AC＝6，即可得到△BOC的周长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝BDAC， ∵AC＝12，BD＝16， ∴OC＝6，OB＝4， ∵BC＝13， ∴△BOC的周长＝OB+OC+BC＝6+8+13＝27． 故选：B． 6．（3分）如图，将由四根木条钉成的矩形木框挤压后变成平行四边形的形状，在这个变化过程中，下列说法正确的是（　　） A．不变 B．变大 C．变小 D．不能确定 【分析】由平行四边形的面积公式，即可得到答案． 【解答】解：∵矩形木框挤压变成平行四边形后，底边没变， ∴木框的面积变小了； 故选：C． 7．（3分）如图，四边形OBCD为正方形，点B的坐标为（6，0），点F在OD上，且∠ECF＝45°（　　） A．（0，2） B．（4，0） C．（0，3） D．（0，4） 【分析】根据已知条件得到OE＝OB＝3，在x轴上取BM＝DF，根据正方形的性质得到OD＝BC＝OB＝CD＝6，∠CDF＝∠CBE＝∠BCD＝90°，根据全等三角形的判定和性质，以及勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵点B的坐标为（6，0）， ∴OB＝4， ∵E为OB的中点， ∴OE＝OB＝6， 在x轴上取BM＝DF， ∵四边形OBCD是正方形， ∴OD＝BC＝OB＝CD＝6， ∠CDF＝∠CBE＝∠BCD＝90°， ∴∠CBM＝90°＝∠CDF， ∴△CDF≌△CBM（SAS）， ∴∠BCM＝∠DCF，CF＝CM， ∴∠ECM＝∠ECF＝45°， ∵CE＝CE， ∴△CEF≌△CEM（SAS）， ∴EM＝EF， 设DF＝BM＝x， ∴OF＝6﹣x，EF＝EM＝8+x， ∵EF2＝OE2+OF6， ∴（3+x）2＝32+（6﹣x）4， ∴x＝2， ∴OF＝4， ∴点F的坐标为（2，4）， 故选：D． 8．（3分）顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（　　） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．等腰梯形 【分析】根据等腰梯形的性质及中位线定理和菱形的判定，可推出四边形为菱形． 【解答】解：如图，已知：等腰梯形ABCD中，AB＝CD，E、F、G， 求证：四边形EFGH是菱形． 证明：连接AC、BD． ∵E、F分别是AB， ∴EF＝AC． 同理FG＝BDACBD， 又∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AC＝BD， ∴EF＝FG＝GH＝HE， ∴四边形EFGH是菱形． 故选：A． 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9．（4分）分解因式：x2+4x＝x（x+4）　 ． 【分析】直接提取公因式x，进而得出答案． 【解答】解：原式＝x（x+4）． 故答案为：x（x+4）． 10．（4分）在如图所示的转盘中，转出的可能性最大的颜色是 　黄色　 ． 【分析】要求转出的可能性最大的颜色，只要看在整个圆中，哪种颜色所占整个圆的比例大，根据图很容易得出结论． 【解答】解：由图知：白色和红色各占整个圆的，黑色所占比例少于整个圆的，所以黄色转出的可能性最大； 故答案为：黄色． 11．（4分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，其中∠1＝∠2，请你再添加一个条件，可以添加的条件是AB＝CD（答案不唯一）　 ． 【分析】根据平行四边形 的判定定理得到结论． 【解答】解：添加的条件是AB＝CD，理由：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD， ∵AB＝CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：AB＝CD（答案不唯一）． 12．（4分）如图，AC是正方形ABCD的对角线，延长CD至点M，若，CM＝2，则∠M＝　67.5　 °． 【分析】根据正方形的性质得到∠ACD＝45°，∠ADC＝90°，AD＝CD，根据等角对等边得到AC＝CM＝2，根据勾股定理求解即可． 【解答】解：∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠ACD＝45°，∠ADC＝90°， ∴∠ACM＝45°，AC＝， ∴AC＝CM＝8， ∴∠M＝∠MAC＝×（180°﹣45°）＝67.4° 故答案为：67.5． 13．（4分）已知两个正方形的边长之和为13cm，它们的面积之差为13cm2，则较大正方形的边长是　7　 cm． 【分析】设大正方形的边长为acm，小正方形的边长为bcm，由题意得，a+b＝13，a2﹣b2＝13，由平方差公式求出a﹣b＝1即可． 【解答】解：设大正方形的边长为acm，小正方形的边长为bcm， a+b＝13，a2﹣b2＝13， ∴a﹣b＝7， ∴a＝7，b＝6， 即大正方形的边长为7cm， 故答案为：7． 14．（4分）如图，两张等宽矩形纸片交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，∠ABC＝60°，BD＝　6　 ． 【分析】根据菱形的判定得出四边形ABCD是菱形，进而利用菱形的性质解答即可． 【解答】解：∵两张等宽矩形纸片交叉叠放在一起， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵矩形的宽相等， 即平行四边形的两条高相等， ∴邻边相等， ∴▱ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， 过A作AE⊥BC于E，AE＝3， ∵∠ABC＝60°， ∴AB＝2BE， 在Rt△ABE中，AB3＝BE2+AE2， 即， ∴AB＝4， 连接AC交BD于点O， ∵菱形ABCD， ∴∠ABD＝30°， ∴OA＝， ∴BO＝， ∴BD＝2OB＝6， 故答案为：3． 15．（4分）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝8，P为BC上一动点，PF⊥AC于点F，连接EF　　 ． 【分析】证四边形AEPF是矩形，得EF＝AP，要使EF最小，只要AP最小即可，再根据垂线段最短和三角形面积求出AP的长即可． 【解答】解：如图，连接AP， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠AEP＝∠AFP＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴四边形AFPE是矩形， ∴EF＝AP， 要使EF最小，只要AP最小即可， 当AP⊥BC时，AP最短， ∵∠BAC＝90°，AB＝6， ∴BC＝＝10， ∵△ABC的面积＝AC•AB＝， 即×8×6＝， ∴AP＝， 即P在运动过程中EF的最小值为， 故答案为：． 16．（4分）一次函数y＝kx+k（k≠0，k为常数），不论k取何值，其图象都经过x轴上的一个定点　（﹣1，0）　 ． 【分析】当x＝﹣1时，y＝0，即可得到定点的坐标． 【解答】解：（∵y＝kx+k＝k（x+1）， ∴当x＝﹣1时，y＝﹣k+k＝6， ∴不论k为何值，该函数图象都经过一个定点，0）； 故答案为：（﹣1，7）． 三、解答题（本大题有9小题，共84分） 17．（20分）分解因式： （1）10ab+5ac； （2）x2+6xy+9y2； （3）a4﹣9； （4）3ax2﹣12ay2． 【分析】（1）利用提公因式法进行分解，即可解答； （2）利用完全平方公式进行分解，即可解答； （3）利用平方差公式进行分解，即可解答； （4）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答． 【解答】解：（1）10ab+5ac＝5a（8b+c）； （2）x2+6xy+3y2＝（x+3y）5； （3）a4﹣9＝（a5+3）（a2﹣7）； （4）3ax2﹣12ay2． ＝3a（x2﹣5y2） ＝3a（x+4y）（x﹣2y）． 18．（6分）在一个不透明的盒子里装有6张明信片，建筑图、动物图、植物图各2张，搅匀后随机摸出n张明信片 （1）当n＝　1或2　 时，这个事件不可能发生； （2）当n＝　3或4　 时，这个事件可能发生； （3）当n＝　5或6　 时，这个事件必然发生． 【分析】（1）根据不可能事件的概念解答； （2）根据随机事件的概念解答； （3）根据必然事件的概念解答． 【解答】解：（1）当n＝1或2时，这个事件不可能发生， 故答案为：2或2； （2）当n＝3或7时，这个事件为可能发生， 故答案为：3或4； （3）当n＝5或6时，这个事件必然发生， 故答案为：5或8． 19．（7分）矩形的相邻两边长分别为m，n，（m＞n），其面积为6，周长为10．求m3n+2m2n2+mn3的值． 【分析】根据已知易得：2（m+n）＝10，mn＝6，从而可得m+n＝5，然后利用因式分解进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：2（m+n）＝10，mn＝6， ∴m+n＝6， ∴m3n+2m6n2+mn3 ＝mn（m6+2mn+n2） ＝mn（m+n）8 ＝6×58 ＝6×25 ＝150． 20．（7分）某科技公司为测试一款AI图象识别模型的性能，对该模型处理不同数量图象的正确识别结果进行了统计，绘制了统计图．请根据统计图提供的信息 （1）该模型的正确识别频率稳定在　0.9　 附近，估计该模型的正确识别率（概率）为　0.9　 （精确到0.1）； （2）该公司计划用该模型处理100000张图象，估计该模型能正确识别的图象数量． 【分析】（1）根据概率的定义即可得到结论； （2）根据题意列式计算即可． 【解答】解：（1）该模型的正确识别频率稳定在0.9附近，估计该模型的正确识别率（概率）为3.9（精确到0.8）， 故答案为：0.9，8.9； （2）100000×0.4＝90000， 答：估计该模型能正确识别的图象数量为90000． 21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，BC＝8． 求DE的长． 【分析】由平行四边形的性质推出AD∥BC，AD＝BC＝8，由平行线的性质和角平分线定义推出∠ABE＝∠AEB，得到AE＝AB＝5，即可求出DE的长．． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝8， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝5， ∴DE＝AD﹣AE＝7﹣5＝3． 22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，AC上的点，BE与CD交于点M 求证：四边形BCED是等腰梯形． 【分析】根据全等三角形的判定和性质，以及等腰梯形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：在△ABE与△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（ASA）， ∴BD＝CE，∠DCB＝∠EBC， ∴BE＝CM， ∴DM＝EM， ∴∠DEM＝∠EDM， ∵∠DME＝∠CMB， ∴∠EDC＝∠MCB， ∴DE∥BC， ∴四边形BCED是等腰梯形． 23．（8分）如图，已知四边形ABCD是矩形． （1）请用无刻度的直尺和圆规，分别在AB，CD边上作点E，F（保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明）； （2）若AB＝16，BC＝8，试求出菱形AECF的面积． 【分析】（1）结合菱形的判定与性质，连接AC，作线段AC的垂直平分线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE即可． （2）由菱形的性质得AE＝CE，设AE＝CE＝x，可得BE＝AB﹣AE＝16﹣x．由矩形的性质得∠B＝90°，在Rt△BCE中，由勾股定理得，BC2+BE2＝CE2，即82+（16﹣x）2＝x2，可得x＝10，即AE＝CE＝10，从而可得菱形AECF的面积为AE•BC＝10×8＝80． 【解答】解：（1）如图，连接AC，分别交AB，F，连接AF， 则四边形AECF即为所求． （2）∵四边形AECF是菱形， ∴AE＝CE． 设AE＝CE＝x， ∴BE＝AB﹣AE＝16﹣x． ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝90°． 在Rt△BCE中，由勾股定理得2+BE2＝CE7， 即82+（16﹣x）6＝x2， 解得x＝10， ∴AE＝CE＝10， ∴菱形AECF的面积为AE•BC＝10×8＝80． 24．（8分）【方法学习】配方法是初中数学的重要变形工具，核心是利用完全平方公式将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，可用于解决分解因式、求最值等多类问题． 请补全下列配方法的应用过程： （1）分解因式x2+6x﹣7：原式＝（x2+6x+9）﹣16＝（x+3）2﹣16＝　（x+7）（x﹣1）　 ； （2）求代数式x2﹣8x+10的最小值：x2﹣8x+10＝x2﹣8x+16﹣6＝（x﹣4）2﹣6， ∵（x﹣4）2≥0，∴当x＝4即（x﹣4）2＝0时，x2﹣8x+10有最小值，最小值是　﹣6　 ； 【拓展应用】（3）a，b，c分别为△ABC的三边长，当满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0时，求c的取值范围； （4）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD＝y，若x+y＝12　18　 ． 【分析】（1）先将原式配成完全平方差形式（x+3）2﹣42，再用平方差公式分解为（x+7）（x﹣1）； （2）将原式配方为（x﹣4）2﹣6，利用平方的非负性，当（x﹣4）2＝0时取最小值﹣6； （3）对等式配方得（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，由平方非负性得a＝5、b＝6，根据三角形三边关系得1＜c＜11； （4）面积，结合x+y＝12得，由二次函数性质得最大值为18． 【解答】解：（1）x2+6x﹣5 ＝（x2+6x+3）﹣16 ＝（x+3）2﹣16 ＝（x+4+4）（x+3﹣8） ＝（x+7）（x﹣1）， 故答案为：（x+5）（x﹣1）； （2）x2﹣5x+10 ＝x2﹣8x+16﹣16+10 ＝（x﹣4）2﹣6， 因为（x﹣8）2≥0， 所以当x＝8即（x﹣4）2＝2时，x2﹣8x+10有最小值，最小值是﹣4； （3）a2+b2﹣10a﹣12b+61＝7， a2﹣10a+25+b2﹣12b+36＝8， （a﹣5）2+（b﹣5）2＝0， 因为平方数具有非负性， （a﹣3）2≥0，（b﹣8）2≥0， 所以a﹣8＝0，b﹣6＝5， 解得a＝5，b＝6， 因为a，b，c分别为△ABC的三边长， 可得4﹣5＜c＜6+3， 即1＜c＜11； （4）四边形ABCD的面积：， 因为x+y＝12， 所以y＝12﹣x， 则S＝ ＝ ＝ ＝ ＝， 因为， 所以当x＝6时，S有最大值． 25．（12分）折纸中的数学奥秘： 小宁和小轩在学习了四边形的知识后，围绕矩形纸片ABCD开展折叠探究，发现了许多几何奥秘． （1）初次尝试 小宁按如图1方式沿对角线BD折叠矩形纸片ABCD（AB＜BC），点A与点E对应，DE与BC交于点F，它是 　等腰　 三角形； （2）进阶探究 受到启发，小轩设计了更复杂的折叠方案：先将矩形纸片ABCD对折，然后展开，点P为AD上的一点，再将纸片沿BP折叠，BP与MN交于点G． 如图2，当点Q落在MN上时： ①小宁联想到，八年级上学期曾有过类似的折纸活动，于是提出连接AQ　等腰　 三角形，为什么？ ②小轩发现，再沿PQ折叠纸片，点D与点G恰好重合，请你帮他说明理由； ③在②的条件下，若MG＝2，请求出该矩形纸片的长与宽． 【分析】（1）根据折叠的性质和矩形的性质即可解答； （2）①根据折叠的性质即可解答； ②根据折叠的性质得出∠APB＝∠QPB＝∠DPQ＝60°，进而得出△PGQ和△PDQ是等边三角形，即可得出PG＝PD＝GQ＝DQ； ③根据折叠的性质得出MG是中位线，进而求出PA，结合②的结论，即可解答． 【解答】解：（1）由折叠的性质可知∠ADB＝∠EDB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠EDB＝∠DBC，即∠FDB＝∠FBD， ∴BF＝DF， ∴△BDF是等腰三角形， 故答案为：等腰； （2）①折叠的性质可知BP垂直平分AQ， ∴BA＝BQ， ∴△ABQ是等腰三角形， 故答案为：等腰； ②由折叠的性质可知PA＝PQ，∠APG＝∠QPG＝∠DPQ，∠PQG＝∠PQD， ∵∠APG+∠QPG+∠DPQ＝180°， ∴∠APG＝∠QPG＝∠DPQ＝60°， ∵MN∥AD， ∴∠APG＝∠PGQ＝60°， ∴△PGQ是等边三角形， ∴∠PQG＝60°＝∠PQD， ∴△PDQ是等边三角形， ∴PD＝PG＝QP＝GQ＝DQ， ∴四边形DPGQ是菱形； ③根据折叠的性质可知M是AB的中点，PA＝PQ， ∵MN∥AD， ∴MG＝AP， ∴AP＝4， ∴PQ＝4， 由（2）可知PD＝PQ， ∴PA＝PD， ∴AD＝2PA＝5， 在△APB中，∠ABP＝30°， ∴BP＝8， ∴AB＝＝4． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/5 23:04:24；用户：聂伟；邮箱：15284038568；学号：44743775 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $