3.6.1利用一次函数解决实际问题课件2025-2026学年 湘教版（2024）八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“利用一次函数解决实际问题”，通过“测量指尖距”的生活情境导入，引导学生从表格数据观察变量关系，用待定系数法建立函数模型，再结合注水、行程等实例巩固，构建“情境-抽象-建模-应用”的学习支架。 其亮点是以生活实例为载体，培养数学眼光（观察指尖距与身高的数量关系），通过数据变化分析发展推理意识（数学思维），清晰的建模步骤强化模型意识（数学语言）。如指尖距问题让学生经历完整建模过程，帮助学生提升实际问题解决能力，为教师提供结构化教学方案。

y x O 第1课时 利用一次 函数解决实际问题 湘教·八年级下册 伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，测量两指指尖间的最大距离，这个距离简称为指尖距. 假设指尖距与身高具有如下关系： 探索新知 指尖距x/cm 19 20 21 身高y/cm 151 160 169 新知探究 思 考 伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，测量两指指尖间的最大距离，这个距离简称为指尖距. 假设指尖距与身高具有如下关系： （1） 身高 y与指尖距 x之间可用函数关系式刻画吗？如可以，其表达式是怎样的？ （2） 若李华的指尖距为22 cm，你能估计他的身高吗？ 怎样判断它们是不是函数关系 求函数表达式的方法有哪些？它们使用的条件分别是什么？ 等量关系 待定系数法 判断两个变量是否有函数关系，要同时满足两个条件： （1）当其中的一个变量变化时，另一个变量也在随着变化； （2）自变量x每取一个确定的值，函数y都有唯一的值与之对应. 新知探究 观察表格，你能不能判断它们的关系是一次函数？ 因变量随自变量的变化是均匀的，所以身高y是指尖距x的一次函数 当指距增加1cm，身高就增加9cm -------待定系数法 求身高y与指尖距x之间的函数表达式: +1 +1 +9 +9 （1）身高y与指尖距x之间可用函数关系式刻画吗？如可以，其表达式是怎样的？ 将x=21，y=169代入上式，也符合. 19k+b=151， 20k+b=160. 解：（1）由上表三组数据可知，身高y与指尖距x之间存在一个对应关系，并且指尖距每增加1cm，身高对应增加9cm，于是可以尝试用一次函数来刻画. 设身高y与指尖距x之间的一次函数表达式为у=kx+b（k，b为常数，k≠0）.将x=19，y=151与x=20，y=160代入上式，得 解得k=9，b=-20.于是y=9x-20. 故y=9x-20就是身高y与指尖距x之间的函数表达式. （2）若李华的指尖距为22cm，你能估计他的身高吗？ 指尖距x/cm 19 20 21 身高y/cm 151 160 169 解：（2）当x=22时，y=9×22－20=178. 因此，李华的身高大约是178 cm. 建立一次函数模型解决问题一般步骤： (1) 找自变量和因变量(用两个字母)； (2) 根据自变量和因变量的关系设解析式； (3) 求表达式（考虑自变量取值范围） (4) 检验是否符合这种关系 (5)解决问题 (6) 答 归纳总结 基础巩固题 新知应用 1.给某长方体游泳池注水，池深2m. 假如注水的时长与水深具有如下关系： （1） 你能为注水的时长与水深之间的关系建立函数模型吗？ （2） 用求出的函数表达式分别估计注水2h、2. 5h后的水深. 当注水时长增加0.5h，水深就增加40cm +0.5 +0.5 +40 +40 水深与注水的时长之间的关系是一次函数 因变量随自变量的变化是均匀的 基础巩固题 新知应用 (1)解：由上表三组数据可知，水深与注水的时长之间的关系是一次函数 设水深y与注水的时长x之间的函数表达式为y=kx+b.将x=0.5， y=60与x=1，y=100代入上式，得 0.5k + b = 60， k + b = 100. 解得k=80，b=20. 于是y=80x+20. y=80x+20就是水深与注水的时长之间的函数表达式. (2)解：当x=2时，y=80×2+20=180； 当x=2.5时，y=80×2.5+20=220； 将x=1.5，y=140代入上式，也符合. 典例分析 例1 已知甲、乙两地相距 40 km，小徐 8：00骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8 km/h；小李10：00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40 km/h.设小徐所用的时间为 x h，小徐离甲地的距离为 y1 km，小李离甲地的距离为y2 km. （1） 分别写出y1，y2与x之间的函数解析式； （2）在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地. 注意：x代表意义，是小徐所用的时间 （1）分别写出y1，y2与x之间的函数解析式； 解：（1）由“路程=速度×时间”可知y1= 8x，自变量x的取值范围是0≤x≤5. 由于小李比小徐晚出发2h，因此小李所用时间为(x-2)h， 从而 y2=40(x-2)， 自变量x的取值范围是2≤x≤3. 典例分析 根据题意，你能不能判断y2与x之间的函数是一次函数？ 根据题意，你能不能判断y1与x之间的函数是一次函数？ 不能，不能用待定系数法，只能根据等量关系求. 也不能，不能用待定系数法，只能根据等量关系求. 求函数表达式的方法有哪些？它们使用的条件分别是什么？ 等量关系 待定系数法 距离=速度x时间 （2）在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地. /km /h l 小徐y1=8x 小李y2=40(x-2) 过点M(0，40)作射线l与x轴平行，它先与y2=40(x-2)的图象相交，这表明小李先到达乙地. M 新知探究 总结归纳 关键是根据题意建立一次函数模型 1.根据因变量与自变量的等量关系建立函数模型. 2.待定系数法建立函数模型 一次函数与实际问题 “建模”可以把实际问题转化为关于一次函数的数学问题，它的关键是确定函数的表达式，并确定实际问题中自变量的取值范围 . 基础巩固题 新知应用 2.小刚和小强在一条公路上由西向东行走，出发的时间相同 . 小强从 A地出发，小刚从小强东边80m处出发，小刚、小强每分钟分别走40m，60m. （1） 分别写出小刚、小强离A地的距离y（m）与行走时间t （min）之间的函数表达式. （2） 在同一平面直角坐标系中，分别画出上述两个函数的图象. （3） 根据图象回答：在出发后几分钟小强追上小刚？谁先到达与 A 地相距300 m的B地？ 不能用待定系数法，只能根据等量关系求. 距离=速度x时间 解：（1）小刚离A地的距离y1与行走时间t之间的函数表达式为y1=40t+80，自变量t的取值范围是0≤t≤5.5；小强离A地的距离y2与行走时间t之间的函数表达式为y2=60t，自变量t的取值范围是0≤t≤5. （2）如图所示. （3）在出发后4分钟小强追上小刚. 小强先到达与A地相距300m的B地. 小强 小刚 新知探究 总结归纳 关键是根据题意建立一次函数模型 1.根据因变量与自变量的等量关系建立函数模型. 2.待定系数法建立函数模型 一次函数与实际问题 建立一次函数模型解决问题一般步骤： (1) 找自变量和因变量(用两个字母)； (2) 根据自变量和因变量的关系设解析式； (3) 求表达式（考虑自变量取值范围） (4) 检验是否符合这种关系 (5)解决问题 (6) 答 归纳总结 $