3.6.1 建模问题及行程问题 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一次函数的建模预测与行程问题应用，以“乌鸦喝水”故事情境导入，通过指尖距与身高、游泳池注水等实例作为学习支架，衔接一次函数概念，引导学生从具体情境抽象数学模型。 其亮点在于以问题驱动教学，结合指尖距建模（数学眼光观察数量关系）、行程问题图像分析（数学思维推理逻辑关系），总结等量关系与待定系数法两种建模方法。培养学生模型意识与应用能力，教师可借助结构化案例提升教学效率，帮助学生理解数学与现实的联系。

3.6 第1课时　建模预测问题及行程问题 第3章 一次函数 情境导入 乌鸦喝水，是《伊索寓言》中一个有趣的寓言故事. 故事梗概为：“一只口渴的乌鸦看到窄口瓶内有半瓶水，于是将小石子投入瓶中，使水面升高，从而喝到了水.”告诉人们遇到困难要积极想解决办法，认真思考才能让问题迎刃而解 的道理. 数学问题也一样哦. 建模预测问题 现实生活或具体情境中的很多问题或现象都可以抽象成数学问题，并通过建立合适的数学模型来表示数量关系和变化规律，再求出结果并讨论结果的意义. 下面有一个实际问题，你能否利用已学的知识给予解决？ 1 伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，测量两指指尖间的最大距离，这个距离简称为指尖距. 假设指尖距与身高具有如下关系： 指尖距 x (cm) 19 20 21 身高 y (cm) 151 160 169 (1) 身高 y 与指尖距 x 之间可用函数关系式刻画吗？如可以，其表达式是怎样的？ 思考 (2) 若李华的指距为 22 cm 时，你能估计他的身高吗？ 解：(1)设身高 y 与指尖距 x 之间的一次函数表达式为 y＝kx＋b (k，b 为常数，k≠0). 19k + b = 151， 20k + b = 160. 解得 k＝9，b＝-20. 于是 y＝9x - 20. 故 y＝9x - 20就是身高 y 与指尖距 x 之间的函数表达式. 将 x＝19，y＝151 与 x＝20，y＝160 代人上式，得 指尖距 x (cm) 19 20 21 身高 y (cm) 151 160 169 (2) 当 x = 22 时， y = 9×22 - 20 = 178. 因此，李华的身高大约是 178 cm. 基础巩固题 新知应用 1.给某长方体游泳池注水，池深2m. 假如注水的时长与水深具有如下关系： （1） 你能为注水的时长与水深之间的关系建立函数模型吗？ （2） 用求出的函数表达式分别估计注水2h、2. 5h后的水深. 当注水时长增加0.5h，水深就增加40cm +0.5 +0.5 +40 +40 水深与注水的时长之间的关系是一次函数 因变量随自变量的变化是均匀的 基础巩固题 新知应用 (1)解：由上表三组数据可知，水深与注水的时长之间的关系是一次函数 设水深y与注水的时长x之间的函数表达式为y=kx+b.将x=0.5， y=60与x=1，y=100代入上式，得 0.5k + b = 60， k + b = 100. 解得k=80，b=20. 于是y=80x+20. y=80x+20就是水深与注水的时长之间的函数表达式. (2)解：当x=2时，y=80×2+20=180； 当x=2.5时，y=80×2.5+20=220； 将x=1.5，y=140代入上式，也符合. 1.给某长方体游泳池注水，池深2m. 假如注水的时长与水深 具有如下关系： 练一练 （1） 你能为注水的时长与水深之间的关系建立函数模型吗？ （2） 用求出的函数表达式分别估计注水2h、2.5h后的水深. +0.5 +0.5 +40 +40 水深与注水的时长之间的关系是一次函数 y=80x+20. 【课本P113 练习 第1题】 利用一次函数解决行程问题 2 例1 已知甲、乙两地相距 40 km，小徐 8∶00 骑自 行车由甲地去乙地，平均车速为 8 km/h；小李10∶00 坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为 40 km/h.设小徐所用的时间为 x h，小徐离甲地的距离为 y1 km，小李离甲地的距离为 y2 km. (1) 分别写出 y1， y2 与 x 之间的函数解析式； 解 (1) 由“路程＝速度×时间”可知 y1＝8x，自变量 x 的取值范围是 0≤x≤5. 由于小李比小徐晚出发 2 h，因此小李所用时间为(x－2) h， 从而 y2＝40(x－2)，自变量 x 的取值范围是 2≤x≤3. (1) 分别写出 y1， y2 与 x 之间的函数解析式； 1 2 3 4 5 8 16 24 32 40 y2＝40(x-2) y1＝8x (2) 在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地. (2) 将以上两个函数的图象画在同一平面直角坐标系中，如图所示. 过点 M(0，40) 作射线 l 与 x轴平行，它先与 y2＝40(x－2)相交，这表明小李先到达乙地. l M 典例分析 例1 已知甲、乙两地相距 40 km，小徐 8：00骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8 km/h；小李10：00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40 km/h.设小徐所用的时间为 x h，小徐离甲地的距离为 y1 km，小李离甲地的距离为y2 km. （1） 分别写出y1，y2与x之间的函数解析式； （2）在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地. 注意：x代表意义，是小徐所用的时间 （1）分别写出y1，y2与x之间的函数解析式； 解：（1）由“路程=速度×时间”可知y1= 8x，自变量x的取值范围是0≤x≤5. 由于小李比小徐晚出发2h，因此小李所用时间为(x-2)h， 从而 y2=40(x-2)， 自变量x的取值范围是2≤x≤3. 2. 小刚和小强在一条公路上由西向东行走，出发的时间相同 . 小强 从 A地出发，小刚从小强东边80m处出发，小刚、小强每分钟分别 走40m，60m. （1） 分别写出小刚、小强离A地的距离 y（m）与行走时间 t （min） 之间的函数表达式. （2） 在同一平面直角坐标系中，分别画出上述两个函数的图象. （3） 根据图象回答：在出发后几分钟小强追上小刚？谁先到达与 A 地相距300 m的B地？ 练一练 【课本P113 练习 第2题】 找等量关系 (2) 将以上两个函数的图象画在同一个直角坐标系中，如图所示. （3）由图象知出发4min后 小强追上小刚. 小强先到达与A地相距300m的B地。 l 8 返回 1． 电力公司想要估计某种风力发电塔的建造成本和所带来的利润，调查小组提出用如图的公式估计财务营收，其中F(元)为财务营收，x(年)为时间．根据公式，至少需要________年才能收回成本． 16 典例分析 根据题意，你能不能判断y2与x之间的函数是一次函数？ 根据题意，你能不能判断y1与x之间的函数是一次函数？ 不能，不能用待定系数法，只能根据等量关系求. 也不能，不能用待定系数法，只能根据等量关系求. 求函数表达式的方法有哪些？它们使用的条件分别是什么？ 等量关系 待定系数法 距离=速度x时间 （2）在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地. /km /h l 小徐y1=8x 小李y2=40(x-2) 过点M(0，40)作射线l与x轴平行，它先与y2=40(x-2)的图象相交，这表明小李先到达乙地. M 课堂练习 1. 我市制定的用水收费标准是生活用水费用为每吨1.54元，每月加 卫生费9.5元，小明家5月份用水x吨，他家5月份应付费y（元），则 y与x之间的关系式为________________. y=1.54x+9.5 2. 某航空公司规定,旅客乘机所携带行李的 质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次 函数图象确定,那么旅客可携带的免费行李的 最大质量为(　　) A.20 kg　　　B.25 kg　　C.28 kg　　D.30 kg A 找等量关系 待定系数法 y=30x-600. 3. 如图，射线 OA、BA 分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中 s、t 分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差 km/h. 解析：根据图象可得出：甲的速度为 120÷5 = 24 (km/h)， 乙的速度为(120﹣4)÷5 = 23.2 (km/h)， 速度差为 24 - 23.2 = 0.8 (km/h). 0.8 B 4． 甲、乙两名同学周末相约骑自行车去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，甲比乙早出发5 min.甲骑行 20 min后，乙以原速的1.5倍继续骑行，经过一段时间，乙先到达B地，甲一直保持原速前往B地，在此过程中，甲、乙两人相距的路程y(m)与甲骑行的时间x(min)之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是(　　) A．甲的骑行速度是250 m/min B． A，B两地的总路程为22.5 km C．乙出发60 min后追上甲 D．甲比乙晚5 min到达B地 21 【点拨】 由题图知甲5 min骑行1 250 m，故甲的骑行速度为1 250÷5＝250(m/min)，故选项A正确，不符合题意．设乙的速度为a m/min，则有20×250－15a＝2 000，解得a＝200，所以乙的速度为200 m/min.因为甲骑行20 min后，乙以原速的1.5倍，即1.5×200＝300(m/min)继续骑行，且乙先到达B地，所以A，B两地的总路程为(20－5)×200＋(85－20)×300＝22 500(m)＝22.5 km，故B正确，不符合题意． 新知探究 总结归纳 关键是根据题意建立一次函数模型 1.根据因变量与自变量的等量关系建立函数模型. 2.待定系数法建立函数模型 一次函数与实际问题 “建模”可以把实际问题转化为关于一次函数的数学问题，它的关键是确定函数的表达式，并确定实际问题中自变量的取值范围 . 新知探究 总结归纳 关键是根据题意建立一次函数模型 1.根据因变量与自变量的等量关系建立函数模型. 2.待定系数法建立函数模型 一次函数与实际问题 4. 某公司到果园基地购买某种优质水果慰问医务工作者, 购买量在3000千克以上(含 3000千克), 果园基地对此有两种销售方案. 甲方案：每千克9元, 由基地送货上门；乙方案：每千克8元, 由顾客自己租车运回. 已知该公司租车从基 地到公司的运输费为5000元. (1)分别写出该公司两种购买方案的费用y(元) 与所购买的水果量x(千克)之间的函数表达式, 并写 出自变量x的取值范围； (2)采用哪种购买方案费用少？并说明理由. 分析 画出两个一次函数图像, 利用图像法选择方案 思路2 分y甲=y乙, y甲>y乙, y甲<y乙三种情 形讨论, 确定方案 思路1 y甲=9x(x≥3000)； y乙=8x+5000(x≥3000). 解: (1)y甲=9x(x≥3000)； y乙=8x+5000(x≥3000). (2)解法一：①当y甲=y乙时, 有9x=8x+5000, 解得x=5000. 所以当x=5000时, 两种方案费用一样； ②当y甲<y乙时, 有9x<8x+5000. 所以当3000≤x<5000时, 选择甲方案费用少； ③当y甲>y乙时,有9x>8x+5000,解得x>5000. 所以当x>5000时, 选择乙方案费用少. 一次函数模型的应用 ①将实验得到的数据在平面直角坐标系中描出 ②观察这些点的特征，确定选用的函数模型，并根据已知数据求出具体的函数表达式 ③进行检验 ④应用这个函数模型解决问题 $