3.5 一次函数与二元一次方程的关系课件 2025-2026学年湘教版（2024）八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一次函数与二元一次方程的关系，通过“数学王国家庭聚会”情境导入，以“x + y = 5”引发归属疑问，搭建二元一次方程与一次函数的知识支架，帮助学生建立前后知识联系。 其亮点在于以情境激发兴趣，通过问题探究和归纳从具体到一般，体现数学眼光的抽象能力与创新意识，数学思维的推理意识，如判断方程解、变形方程为函数表达式。课堂小结明确转化与对应关系，助力学生建立数形联系，培养探究能力，教师使用可提升教学效率。

y x O 3.5 一次函数与 二元一次方程的关系 湘教·八年级下册 复习导入 今天数学王国举行了家庭聚会，各个成员按照自己所在的家庭就坐，这时来了“x + y = 5”. 二元一次方程 一次函数 x + y = 5 到我这里来 到我这里来 这是怎么回事？ x + y = 5应该坐在哪里呢？ 学 习 目 标 1 2 3 理解一次函数y=kx+b(k≠0)表达式与二元一次方程kx-y+b=0的关系（重点） 理解一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上的点的坐标与二元一次方程kx-y+b=0的解的关系（重点） 理解一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点的横坐标，与一元一次方程kx+b=0的解的关系（重点） 新知探究 议一议 问题1：（4，1）与（1，7）是二元一次方程2x+y-9=0的解吗？方程还有其他解吗？如有，再说出几个. 问题2：给定一个二元一次方程2x+y-9=0，若把方程中的未知数y用含未知数x的代数式表示，可以将其看作一次函数的表达式吗？ x y （4，1）与（1，7）都能使方程2x+y-9=0左右两边相等，所以它们都是方程2x+y-9=0的解。 我们知道二元一次方程有无数个解，所以二元一次方程2x+y-9=0有其它解。 （-1，11），（0，9）. 2x+y-9=0 y=-2x+9 转化 二元一次方程 一次函数 转化 (1) 一次函数 y＝－2x＋9 的图象任一点的坐标都是二元一次方程 2x＋y－9＝0 的解吗？ 思考 (1) 如图，一次函数 y＝－2x＋9 的图象上任一点的坐标可以表示为 (c，－2c＋9)，其中 c 为任意实数. 由于其都能使方程左右两边相等，因而都是二元一次方程 2x＋y－9＝0 的解. (2) 以二元一次方程 2x＋y－9＝0 的解为坐标的点组成的图形是一次函数 y＝－2x＋9 的图象吗？ (2) 又二元一次方程 2x＋y－9＝0 的所有解都可以表示为 (c，－2c＋9)，其中 c 为任意实数. 于是以二元一次方程 2x＋y－9＝0 的解为坐标的点组成的图形是一条直线，它是一次函数 y＝－2x＋9 的图象. 而所有点 (c，－2c＋9)都在一次函数 y＝－2x＋9 的图象(一条直线)上，如图所示. 新知探究 总结归纳 一次函数与二元一次方程： 一般地，一次函数 y=kx+b 图象上任意一点的坐标都是二元一次方程 kx-y+b=0 的一个解，以二元一次方程 kx-y+b=0 的解为坐标的点都在一次函数 y=kx+b 的图象上. 归纳总结 一次函数 y＝kx＋b 二元一次方程 kx－y＋b＝0 图象上所有点坐标满足 解为坐标的点都在图象上 二元一次方程 ax＋by＋c＝0 (a≠0，b≠0) 一次函数 任意一个解为坐标的点都在其图象上 任意一点的坐标都是其一个解 从形到数 从数到形 知识要点 在平面直角坐标系中，关于 x，y 的二元一次方程 ax＋by＋c＝0 (a≠0，b≠0)表示一条直线，这条直线是一次函数 图象. 二元一次方程与一次函数的关系 二元一次方程的解 一次函数图象上点的坐标 一一对应 1. 一次函数 y = 2x – 4 的图象上有一个点的坐标为(3，2) ，则方程 2x – y = 4 必有一个解是________. 典例分析 例1 在平面直角坐标系中，画出二元一次方程-2x+3y-6=0表示的直线. 从而当x=0时，y=2， 当x=3时，y=4. 在平面直角坐标系中，描出 A（0，2），B（3，4）两点，过这两点作直线，如图所示。 一次函数y = kx + b的图象就是二元一次方程kx - y + b = 0表示的直线； 二元一次方程kx-y+b=0表示的直线就是一次函数y = kx + b的图象。 典例分析 例2 如图 ，在平面直角坐标系中，已知一条直线经过P（0，- 2），Q（-4，5）两点，哪个二元一次方程表示这条直线？ 一次函数y=kx+b的图象就是二元一次方程kx-y+b=0表示的直线，因此，只要求出一次函数y=kx+b的表达式就可以。 分析: 典例分析 解 设直线 PQ 是一次函数y=kx+b（k，b 为常数，k ≠ 0）的图象. 因为点P（0，-2）和点Q（-4，5）都在该函数的图象上，所以 b=-2， -4k+b=5. 新知探究 议一议 关于x，y的二元一次方程kx-y+b=0（k ≠ 0）所表示的直线与x轴的交点坐标是什么？你的结果与其他同学相同吗？ x轴上的点的横、纵坐标分别有什么特征？ x轴上的点的纵坐标为0. 则kx+b=0, 解：令y=0, 新知探究 总结归纳 一次函数与一元一次方程： 一般地，一次函数 y=kx+b(k≠0) 的图象与 x 轴的交点的横坐标是一元一次方程 kx+b=0 的解. 任何一个一元一次方程 kx+b=0 的解，就是一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交点的横坐标. 求一元一次方程 kx + b = 0 的解 从“函数值”看 一次函数 y = kx+b 中 y = 0 时的 x 值 从“函数图象”看 直线 y = kx + b与 x 轴交点的横坐标 基础巩固题 新知应用 1、方程2x+12=0的解是直线y=2x+12( ) A.与y轴交点的横坐标 B.与y轴交点的纵坐标 C.与x轴交点的横坐标 D.与x轴交点的纵坐标 C 2、已知关于x的方程mx+n=0的解是x=-2，则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是__________. (-2，0) 方法点拨：直线 y＝kx＋b 与 x 轴交点的横坐标就是方程 kx＋b＝0 的解，反之亦然． 基础巩固题 新知应用 3.下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程 x－2y＝2 的解的是 (　　) C 对于二元一次方程 x－2y＝2， 当 x＝0 时，y＝－1；当 y＝0 时，x＝2， 故直线与两坐标轴的交点应该是(0，－1)，(2，0)． 基础巩固题 新知应用 4.在平面直角坐标系中，画出二元一次方程5x+3y-9=0表示的直线. 从而当x=0时，y=9， 当x=3时，y=4. 在平面直角坐标系中，描出 A（0，9），B（3，4）两点，过这两点作直线，如图所示。 · · 基础巩固题 新知应用 5.在平面直角坐标系中，已知一条直线经过 P（0，- 5），Q（4，- 2）两点，哪个二元一次方程表示这条直线？ 解 设直线 PQ 是一次函数y=kx+b（k，b 为常数，k ≠ 0）的图象. 因为点P（0，-5）和点Q（4，-2）都在该函数的图象上，所以 b=-5， 4k+b=-2. 基础巩固题 新知应用 6.求二元一次方程6x-y+9=0表示的直线与x轴的交点坐标. 则6x+9=0, 解：令y=0, 课堂小结 一次函数与二元一次方程 一元一次方程的解即对应一次函数的值为 0 时相应的自变量的值，也是一次函数的图象与 x 轴交点的横坐标 二元一次方程的解与相应一次函数图象上点的坐标一一对应 二元一次方程 一次函数 转化 $