3.5 一次函数与二元一次方程的关系 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

这是一份初中数学湘教版八年级下册同步教学课件，聚焦“一次函数与二元一次方程的关系”，通过情境导入、探究活动、例题解析及练习，构建从具体方程到函数图象、从数到形的学习支架，涵盖方程与函数的对应关系、方程组与交点坐标等核心内容。 资料以“数学王国宴请”情境激发兴趣，通过“x+y=5与y=-x+5”等探究活动，引导学生用数学眼光观察数与形的联系，发展几何直观和抽象能力，结合例题强化推理意识，帮助建立模型观念。八年级学生处于逻辑思维发展关键期，需从具体到抽象过渡，该资料能降低理解难度，提升学生数形结合思维，也为教师提供结构化教学资源。

八年级下册数学（湘教版） 3.5 一次函数与二元一次方程的关系 第3章 一次函数 情境导入 数学王国的国王决定宴请群臣.他下令,让大臣们按照自己的家族入座.这时候,x+y=5来了... x+y=5 二元一次方程 一次函数 到我这来！ 不,应该到我这来！ 它到底该去哪? 探究新知 无数个! 画函数图象的一般步骤: ①列表 ②描点 ③连线 二元一次方程与一次函数图象的关系 探究一:方程x+y=5的解有多少个?写出其中的几个. 探究二:请画出一次函数 y= -x+5 的图象. 探究新知 请画出一次函数y= - x+5的图象. ①列表: x 0 y= - x+5 0 y x O 65 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 ②描点: ③连线: 如图所示: 5 5 y= - x+5 探究新知 y x O 65 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 y=-x+5 都在! (-1,6) (0,5) (1,4) (2,3) 二元一次方程与一次函数图象的关系 探究三:以方程x+y=5的解为坐标的点,它们都在一次函数y=-x+5的图象上吗? y x O 65 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 y=-x+5 探究新知 都满足! 二元一次方程与一次函数图象的关系 相同 探究四:在一次函数y=-x+5的图象上任取一点,点的坐标满足方程x+y=5吗? 探究五:以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同吗? 小结归纳 二元一次方程x+y=5的解: 一次函数y=-x+5 图象上点的坐标: (a,b) 从数到形 从形到数 一次函数 y＝kx＋b 二元一次方程 kx－y＋b＝0 图象上所有点坐标满足 解为坐标的点都在图象上 二元一次方程 ax＋by＋c＝0 (a≠0，b≠0) 一次函数 任意一个解为坐标的点都在其图象上 任意一点的坐标都是其一个解 小结归纳 在平面直角坐标系中，关于 x，y 的二元一次方程 ax＋by＋c＝0 (a≠0，b≠0)表示一条直线，这条直线是一次函数 图象. 二元一次方程与一次函数的关系 二元一次方程的解 一次函数图象上点的坐标 一一对应 小结归纳 1. 方程 x – y = 1 有一个解是 ，则一次函数 y = x – 1 的图象上必有一个点的坐标为 . 2. 一次函数y = 2x – 4的图象上有一个点的坐标为(3，2)， 则方程 2x – y = 4 必有一个解是________. (2，1) 练一练 例1 在平面直角坐标系中，画出二元一次方程－2x＋3y－6＝0 表示的直线. 解 由 －2x＋3y－6＝0 可得一次函数 ， 当 x＝0 时，y＝2；当 x＝3 时，y＝4. 在平面直角坐标系，描出 A(0，2)， B(3，4) 两点，过这两点作直线， 如图所示，则这条直线是一次函数 的图象，从而它是二元 一次方程－2x＋3y－6＝0表示的直线. A(0，2) B(3，4) 2.下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是 二元一次方程 x－2y＝2 的解的是 (　　) 小试牛刀 1.请将下列方程改写为y关于x的一次函数. (1)2x+y=1 (2)x-y=2 (3)2y-x=-6 y=-2x+1 y=x-2 y=0.5x-3 C 思考：对于二元一次方程组 你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？ 2x－y＝l， 3x＋5y＝8， 分析：方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数 y＝2x－l 与 方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标，因此，可以用画图象的方法得到这个二元一次方程组的解. 二元一次方程组与一次函数图象的关系 探究新知 观察 在坐标系中分别画出两条直线 y＝2x－l 和 . 1.它们的交点坐标____________. 2.方程组 的解 是____________. 这两个函数图象交点的坐标就是这个方程组的解. (1，1) 2x－y＝1， 3x＋5y＝8 y＝2x－l “数”的角度 “形”的角度 两个一次函数 y = k1x + b1 (k1≠0)， y = k2x + b2 (k2≠0) 的自变量 x，y 的一组相同的值⇔二元一次方程组 的解 直线 y = k1x + b1 (k1≠0)，y = k2x + b2 (k2≠0)的交点坐标 (m，n) ⇔二元一次方程组 的解为 x = m，y = n 一次函数与二元一次方程组的关系 例2 如图，求直线 l1 与 l2 的交点坐标. 分析：由函数图象可以求直线 l1 与 l2 的解析式，进而通过方程组求出交点坐标. 解方程组 y = 2x + 2， y = - x + 3， 解：因为直线 l1过点 (-1，0)， (0，2) ，用待定系数法可求得 直线 l1 的解析式为 y = 2x + 2. 同理 可求得直线 l2 的解析式为 y = - x + 3. 即直线 l1 与 l2 的交点坐标为 探究新知 x= -10 一元一次方程与一次函数图象的关系 探究六:方程2x+20=0的解是什么? 探究七: 当自变量x为何值时， 函数y=2x+20的值为0？ x= -10 x y O (-10,0) 数 形 小结归纳 从“函数值”角度理解方程 5 5 小结归纳 从“函数图象”角度理解方程 一次函数与一元一次方程的关系 小结归纳 (1)若方程kx＋2＝0的解是x=5， 则直线y=kx＋2与x轴交点坐标为（____,____）. (2)若直线y=ax+b过点A(0，2)和点B(-3，0)， 则方程ax+b=0的解是_______. 练一练 5 0 x=-3 一次函数与一次方程 二元一次方程的解与相应一次函数图象上点的坐标一一对应 在平面直角坐标系中，关于 x，y 的二元一次方程 ax＋by＋c＝0 (a≠0， b≠0)表示一条直线，这条直线是一次函数 图象 课堂小结 思考：下面三个不等式有什么共同特点? (1)3x+2＞2； (2)3x+2＜0； (3)3x+2≤-1． 你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗? 思考：应该构造哪个函数呢？如何从函数角度来理解？ 探究新知 y =3x+2 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y =3x+2 　　不等式ax+b＞c的解集就是使函数y=ax+b的函数值大于c的对应的自变量取值范围. 　　不等式ax+b＜c的解集就是使函数y=ax+b的函数值小于c的对应的自变量取值范围. 探究新知 一元一次不等式与一次函数图象的关系 (1)3x+2＞2； (2)3x+2＜0； (3)3x+2≤-1． x＞0 x＜ x (-1，-1) 如图，已知直线y=kx+b与x轴交于点(-4,0)， 则当y＞0时，x的取值范围是________. x y o y=kx+b -4 y=0 练一练 $