3.4 用待定系数法确定一次函数表达式课件 2025-2026学年湘教版（2024）八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“用待定系数法确定一次函数表达式”，课堂导入先复习一次函数表达式及两点法画图象，再通过“已知两点求表达式”的问题，衔接前后知识，搭建从已有认知到新知识的学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，结合温标转换、收割机油量等生活实例培养模型意识，通过“一设二代三解四写”步骤归纳发展推理能力。学生能提升用数学解决实际问题的能力，教师可借助清晰结构高效教学。

y x O 3.4 用待定系数法确定一次函数表达式 湘教·八年级下册 复习导入 前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出两个具体的一次函数表达式吗？如何画出它们的图象？ 两点法——两点确定一条直线 y=2x，y= +3 复习导入 　　思考：反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的表达式吗？ 新知探究 探 究 如图3. 4-1，已知一次函数的图象经P（0，-1） ，Q（1，1）两点. 怎样确定这个一次函数的表达式呢？ 问题1： 一次函数 y = kx + b（k≠0），要求出该一次函数的表达式，关键是需要确定哪几个量的值？ 问题2： 求一次函数 y = kx + b中的k,b，需要几个方程？需要几个已知条件？ 关键是确定k，b的值. 两个二元一次方程组成方程组. 两个点的坐标（两个条件） 新知探究 解这个方程组，得 所以这个一次函数的表达式为y=2x-1. 设 代 解 写(还原) 解：设y=kx+b（k≠0）,将这两点坐标代入该式中， 探 究 如图3. 4-1，已知一次函数的图象经过P（0，-1），Q（1，1）两点. 怎样确定这个一次函数的表达式呢？ 求一次函数的表达式有哪些步骤呢？ 待定系数法 k·0 + b =-1， k + b = 1. k = 2， b =-1. 新知探究 总结归纳 通过先设定函数表达式（确定函数模型），再根据条件确定表达式中的未知系数（即待定的系数），从而求出函数表达式的方法称为待定系数法. 待定系数法： 注意：使用的前提是已知函数是什么函数。 总结归纳 （1）设这个函数表达式为y=kx+b（k≠0）； （2）把已知点的坐标x，y的对应值代入解析式代出方程组； （3）解这个二元一次方程组，求出k、b的值； （4）把所求出k、b的值代入y=kx+b中，可具体写出一次函数的表达式. 即：一设二代三解四写（还原） 要确定正比例函数的表达式需要几个条件？与同学交流你的想法. 典例分析 例1 世界上大多数国家（包括我国）都采用摄氏温标预报天气，而美国仍然采用华氏温标. 已知两种温标计量值的对应关系如下表所示，尝试用函数表达它们的对应关系. 请问能不能运用待定系数法求它们的对应关系？ 那你怎样判断它们的关系是一次函数？ 能，因为它们是一次函数. 因变量随自变量的变化是均匀的 自变量每增加10，因变量都是增加18. 解 由上表可知，摄氏温度每增加10℃，华氏温度都增加18℉，于是它们之间的关系可用一次函数关系式表示. 因此可以设所求函数表达式为y=kx+b(k，b为常数，k≠0). 由已知条件，得 b =32， 10k + b = 50. 解得 因此，华氏温度与摄氏温度的函数表达式为 摄氏温度与对应的华氏温度的值有相等的可能吗？为什么？ 典例分析 例2 某种收割机的油箱可储油40 L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y（L）与工作时间x（h）之间为一次函数关系，函数图象如图3. 4-2所示. （1） 求y关于x的函数表达式； （2） 一箱油可供收割机工作几小时？ 分析 (1)观察图象可知，有两点P(2，30)，Q(6，10)在一次函数图象上，故可用待定系数法求函数表达式；(2)当余油量为零时，对应的时间即为一箱油可供拖拉机工作的时间. （1）求y关于x的函数表达式； 解 （1）设一次函数的表达式为y=kx+b(k，b为常数，k≠0). 由于点P(2, 30)，Q(6, 10)都在一次函数图象上，将这两点的坐标代入表达式，得 2k + b = 30， 6k + b = 10. 解得 所以函数表达式为y=-5x+40. k = -5， b = 40. （2）一箱油可供收割机工作几小时？ （2）当剩余油量为0，即y=0时， -5x+40=0，解得x=8. 所以一箱油可供收割机工作8h. 新知探究 待定系数法求一次函数表达式的一般步骤: 1. 设出含字母系数的一次函数表达式：y = kx + b； 2. 将已知条件代入上述表达式中，得到关于 k，b 的二元一次方程组； 3. 解这个二元一次方程组，得 k，b 的值； 4. 写出一次函数的表达式. 总结归纳 1.已知一次函数的图象经过A(-1, 3)，B(2, -5)两点，求这个函数的表达式． 解：设一次函数的表达式为y=kx+b(k，b为常数，k≠0)， 由于点A(-1, 3)，B(2, -5)都在一次函数图象上，将这两点坐 标代入表达式，得 -k + b = 3， 2k + b = -5. 解得 因此所求一次函数的表达式为 【选自教材P106 练习 第1题】 2.根据本节例1的结果，将84℉换算成摄氏温度． 解得x≈28.89（℃） 因此，把温度84℉换算成摄氏温度约为28.89℃. 【选自教材P106 练习 第2题】 令y=84（℉） 3.点A′是点A(6，2)关于y轴的对称点．若一个正比例函数的图象经过点A′，求该函数的表达式． 解：设该正比例函数的表达式为y=kx(k≠0). 所以点A′的坐标为(-6，2). 【选自教材P106 练习 第3题】 因为点A′是点A(6，2)关于y轴的对称点， 课堂小结 1.求一次函数表达式的步骤： （1）设一次函数一般式 （2）根据已知条件列出关于k，b的方程 （3）解方程，求k，b （4）把k，b代回表达式中，写出表达式 --------设 --------代 --------解 --------写（还原） 2.求出表达式后已知其中一个量求另一个量 3.根据函数图象回答或求出相关问题 $