精品解析：2026年黑龙江省大庆市祥阁学校二模数学试题

2025-2026下大庆祥阁学校九年级中考第二次模拟考试数学 答题时间：120分钟 卷面分值：120分 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若一个数的倒数是，则这个数是（ ） A. B. C. D. 2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成．判断拿走图中的哪一个积木后，此图形主视图的形状会改变（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 下列命题是真命题的是( ) A. 抛物线与坐标轴有3个不同交点 B. 若分式方程有增根,则它的增根是1 C. 对角线互相垂直的四边形,顺次连接它的四边中点所得四边形是菱形 D. 若一个角的两边分别与另一个角的两边平行,则这两个角相等 6. 已知一组数据的方差计算公式为，由公式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 中位数是 B. 众数是 C. 方差是 D. 平均数是 7. 七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点D，与边相交于点E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）在的内部相交于点F；③连接并延长，与边相交于点G；④以点C为圆心，线段长为半径画弧，与相交于点M；⑤连接并延长，与边相交于点N．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 10. 如图，已知正方形，延长至点E使，连接、，与交于点N，取的中点F，连接、，交于于点且交于点O，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 12. 分解因式：______． 13. 将一个无底圆锥母线长为，展开得到面积为的扇形，则圆锥的高为__________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的边平行于x轴，过点A作的垂线，交于点B，且，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，若的面积为4，则k的值为__________． 15. 已知，则关于的不等式组的所有整数解的积是________． 16. 如图，在中，，，，D是边AB的中点，点E在边AC上，将沿DE翻折，使得点A落在点处，当直线时，______． 17. 为满足新能源汽车的充电需求，某停车场增设了充电站，建立如图所示的平面直角坐标系，矩形是充电站的平面示意图，矩形是第一个停车位，矩形是第二个停车位……，所有车位长，宽相同，按图示并列划定．若，点坐标为，点坐标为，则的坐标为______． 18. 定义：在平面直角坐标系中有两个函数的图象，如果在这两个图象上分别取点，（为自变量取值范围内的任意数），都有点和点关于点成中心对称（这三个点可以重合），那么称这两个函数互为“中心对称函数”．其中正确结论序号的是______________． ①和是互为“中心对称函数”； ② 已知函数的“中心对称函数”的图象与反比例函数()的图象在第一象限有两个交点，，且的面积为．则； ③ 反比例函数 的“中心对称函数”的图象在第一象限内最低点坐标为； ④ 已知三个不同的点，，都在二次函数 (，，为常数，且)的“中心对称函数”的图象上，且满足．如果恒成立，则 三、解答题（本大题共10小题，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 春节将至，今年各类年会表演热点是机器人表演．某工厂计划生产跳舞机器人1000套，安排甲、乙两个车间完成，甲车间计划完成400套．在生产过程中，甲、乙车间每天生产的套数之比为，两车间同时生产，结果甲车间比乙车间早2天完成任务，求甲车间每天生产多少套跳舞机器人？ 22. 如图，某校科技节，该校无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面的处，操控者从A处观测无人机D的仰角为，无人机D测得教学楼顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者和教学楼之间的距离为，点A，B，C，D都在同一平面上． （1）求此时无人机D与教学楼之间的水平距离的长度是多少（结果保留根号）？ （2）求教学楼的高度（结果取整数）．（参考数据：，，，） 23. 为丰富学生的校园生活，提升学生的综合素质，某校计划开设丰富多彩的社团活动．为了解全校学生对各类社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生必选且只选一类），并根据调查结果制成如下统计图（不完整）： 结合调查信息，回答下列问题： （1）本次共调查了________名学生； （2）补全条形图； （3）若该校有600名学生，请估计大约有多少名学生喜爱“体育类”社团活动？ （4）某班有2名男生和2名女生参加“科技类”社团中“探索奥秘社”的选拔，2名学生被选中．请用列表法或画树状图法求选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 24. 如图，在中，于点E；F是上一点，且，连接． （1）求证：四边形是矩形 ． （2）沿直线折叠，点C恰好落在矩形的对角线的中点H 处，若，，求四边形的面积． 25. 某小区业主委员会决定把一块长，宽的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于，且不大于，设每块绿化区的较长边为，活动区的面积为． （1）写出y与x之间的函数关系式及x的取值范围； （2）求活动区的面积y的最大值； （3）预计活动区造价为50元，绿化区造价为40元，如果业主委员会计划投资不超过72000元来建造，则当x为整数时，共有几种建造方案？ 26. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）如图1，将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求平移距离； （3）如图2，是第二象限内一点，，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点的坐标． 27. 综合运用 如图，中，，D为中点，，是的外接圆．是的直径． （1）求证：是的切线； （2）求的长； （3）若，求的半径． 28. 平面直角坐标系中，已知抛物线：（m为常数）与x轴交于点A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C． （1）若，求点A，B，C的坐标； （2）如图1，在（1）的条件下，D为抛物线x轴上方一点，连接，若，求点D的坐标； （3）如图2，将抛物线向左平移个单位长度与直线AC交于M，N（点M在点N右边），若，求，之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026下大庆祥阁学校九年级中考第二次模拟考试数学 答题时间：120分钟 卷面分值：120分 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若一个数的倒数是，则这个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把带分数化成假分数，再把分子分母对调，数的正负性不变，即得答． 【详解】∵， ∴的倒数是． 故选：B． 【点睛】本题考查倒数的概念及求法．其关键是如果这个数为整数（0除外），则这个数的倒数是分子为1，分母就是这个整数的分数；如果这个数是分数，先化带分数（如果是的情况）为假分数，再把分子分母对调，数的正负性不变，即得这个数的倒数．注意0没有倒数，一个数和它的倒数同号． 2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，解决本题的关键是熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念． 根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据中心对称图形的概念，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不满足题意； B选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，不满足题意； C选项，既是轴对称图形，又是中心对称图形，满足题意； D选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不满足题意． 故选：C ． 3. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，6710亿， 故选：B 4. 如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成．判断拿走图中的哪一个积木后，此图形主视图的形状会改变（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】观察可知，图形的主视图分3列，第1列有3个小正方形，第2列有2个小正方形，第3列有1个小正方形，进行判断即可. 【详解】解：观察可知，图形的主视图分3列，第1列有3个小正方形，第2列有2个小正方形，第3列有1个小正方形， 故当移走甲，丙，丁后，主视图不变，移走乙后，主视图的第2列变为1个小正方形，主视图发生变化. 5. 下列命题是真命题的是( ) A. 抛物线与坐标轴有3个不同交点 B. 若分式方程有增根,则它的增根是1 C. 对角线互相垂直的四边形,顺次连接它的四边中点所得四边形是菱形 D. 若一个角的两边分别与另一个角的两边平行,则这两个角相等 【答案】B 【解析】 【详解】解:A､在中,令得, ∴与轴交点坐标为, 令得, ∴与轴交点坐标为､, ∴抛物线与坐标轴有2个不同交点,故A是假命题,不符合题意; B､若分式方程有增根,则增根可能是1或-1,去分母得,,当增根为1时,,解得;当增根为-1时,4=0,不存在,故增根为1,故B是真命题,符合题意; C､对角线互相垂直的四边形,顺次连接它的四边中点所得四边形是矩形,故C是假命题,不符合题意; D､若一个角的两边分别与另一个角的两边平行,则这两个角相等或互补,故D是假命题,不符合题意; 故选:B． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解二次函数与坐标轴交点坐标的求法､分式方程的增根､中点四边形和平行线的性质等知识． 6. 已知一组数据的方差计算公式为，由公式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 中位数是 B. 众数是 C. 方差是 D. 平均数是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查方差，中位数，众数及平均数的定义，根据已知的方差计算公式得出这组数据为2、3、3、4，再根据中位数，众数，平均数以及方差的概念求解即可． 【详解】由题意可知这组数据为2、3、3、4、所以中位数为，故选项A不符题意． 众数为3，故选B不符合题意． 平均数为，故选项D符合题意． 方差为，故选项C不符题意， 故选：D． 7. 七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出是解题的关键． 由等腰直角三角形的性质得，由，得，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 8. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点D，与边相交于点E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）在的内部相交于点F；③连接并延长，与边相交于点G；④以点C为圆心，线段长为半径画弧，与相交于点M；⑤连接并延长，与边相交于点N．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据尺规作图的步骤可知平分，，再根据等边对等角及三角形外角的性质得，即可得出答案． 【详解】解：根据作图步骤可知平分，， ∴． ∵分别是的外角， ∴， ∴，则B正确； 不能确定的数量关系，不能确定的位置关系，不能确定的数量关系，所以A，C，D不正确． 9. 如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作的外接圆，连接，取的中点Q，连接，证明是等边三角形，求出，得到点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出，当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值，根据等边三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：作的外接圆，连接，取的中点Q，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出， 当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值， ∵是等边三角形，， ∴， ∵，， ∴． ∴的最小值是， 故选：C． 【点睛】本题考查坐标与图形，点到圆上的距离，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线构造三角形外接圆是解题的关键． 10. 如图，已知正方形，延长至点E使，连接、，与交于点N，取的中点F，连接、，交于于点且交于点O，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正方形的性质得出，，从而可得，根据相似三角形的性质得出，结合，可得出，由此可判断①； 先根据正方形的性质得出，，从而可得，根据，从而可得，于是有，从而得出，，于是有，再根据点为的中点，得出，平分，从而可得，，于是可求得，进而得出，根据相似三角形的性质可得出，进而得出为中点，于是有，从而可求得，由此可判断②； 先求得，再求得，由此可得出，由此可判断③； 先证明，从而可得，结合，可得出，进而得出、，于是有，设，则，从而可得，再证明，从而可得，结合，，可得，于是有，从而可得，再得出，从而可得出，由此可判断④． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图，过点作于点． ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵点为的中点， ∴，平分， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴． ∵，，， ∴为中点， ∴， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确， 综上所述，正确的有①②④，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了三线合一，根据正方形的性质证明，相似三角形的判定与性质综合，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查代数式有意义的条件，由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得：且，求解即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 12. 分解因式：______． 【答案】2a（a-2b）2 【解析】 【分析】首先提取公因式2a，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： =2a（a2-4ab+4b2） =2a（a-2b）2． 故答案为：2a（a-2b）2． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 13. 将一个无底圆锥母线长为，展开得到面积为的扇形，则圆锥的高为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用扇形面积公式求出扇形弧长，该弧长等于圆锥底面圆周长，据此求出底面圆半径，再利用勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】设展开后扇形的弧长为，已知圆锥母线长，扇形面积， 根据扇形面积公式，代入得： ， 解得． 扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为，则 ， 解得． 圆锥的母线，底面圆半径，圆锥的高构成直角三角形，根据勾股定理，圆锥的高为： ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的边平行于x轴，过点A作的垂线，交于点B，且，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，若的面积为4，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查已知图形面积求值，相似三角形的判定和性质，延长交轴于点，证明，求出的面积，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，进而求出的面积，再根据值的几何意义，进行求解即可． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积为4， ∴，， ∴， ∵反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，且双曲线在第二象限， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 已知，则关于的不等式组的所有整数解的积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是求不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握一元一次不等式组的解法． 先求出不等式组的解集，结合的取值范围找到所有整数解并求积即可． 【详解】解：由可得， ， 不等式组的解为，所有整数解为、、， 故所有整数解的积是． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，D是边AB的中点，点E在边AC上，将沿DE翻折，使得点A落在点处，当直线时，______． 【答案】或## 或 【解析】 【分析】分两种情况：①延长A'E交AB于F，由∠C=90°，AC=12，BC=5，得AB= ， ，根据将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，有，∠DA'F=∠A，在Rt△A'DF中，可得DF=A'D•sin∠DA'F=，，即知BF=BD+DF= ，再用勾股定理即得 ； ②A'E与AB交于F，同①方法可求出． 【详解】解：分两种情况：①当A′E⊥AB时，延长A'E交AB于F，如图： ∵A′E⊥AB， ∴∠A'FD=90°， ∵∠C=90°，AC=12，BC=5， ∴， ∴， ， ∵D是边AB的中点， ∴， ∵将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处， ∴，∠DA'F=∠A， 在Rt△A'DF中，DF=A'D•sin∠DA'F= ， A'F=A'D•cos∠DA'F=， ∴， 在Rt△A'BF中， ； ②A'E与AB交于F，如图： 由题意知：∠A'FD=∠A'FB=90°， ∵将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处， ∴ ， 在Rt△A'DF中，DF=A'D•sin∠DA'F= ， A'F=A'D•cos∠DA'F= ， ∴BF=BD-DF=， 在Rt△A'BF中， ； 综上所述，A'B的长度为或， 故答案为：或 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理、三角函数及解直角三角形的有关知识，解题的关键是明确翻折前后的对应角和边相等，在计算中利用等角的三角函数值相等解决问题． 17. 为满足新能源汽车的充电需求，某停车场增设了充电站，建立如图所示的平面直角坐标系，矩形是充电站的平面示意图，矩形是第一个停车位，矩形是第二个停车位……，所有车位长，宽相同，按图示并列划定．若，点坐标为，点坐标为，则的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出，，再求出车库的宽度，求出，可求出的纵坐标，求出，可求出的横坐标，即可解决问题． 【详解】解：∵点坐标为，点坐标为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴, ∴， ∴, 同理可得：，， ∴，, ∴的坐标为． 18. 定义：在平面直角坐标系中有两个函数的图象，如果在这两个图象上分别取点，（为自变量取值范围内的任意数），都有点和点关于点成中心对称（这三个点可以重合），那么称这两个函数互为“中心对称函数”．其中正确结论序号的是______________． ①和是互为“中心对称函数”； ② 已知函数的“中心对称函数”的图象与反比例函数()的图象在第一象限有两个交点，，且的面积为．则； ③ 反比例函数 的“中心对称函数”的图象在第一象限内最低点坐标为； ④ 已知三个不同的点，，都在二次函数 (，，为常数，且)的“中心对称函数”的图象上，且满足．如果恒成立，则 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①根据中心对称的性质，得点为点和点连线的中点，即可得到,当时，函数和互为“中心对称函数”，分别将和两函数相加，若结果为，则互为“中心对称函数”，由此即可得出答案； ②先求出函数的“中心对称函数”是，由，为函数与反比例函数的图象在第一象限的两个交点，可设，，再利用割补法求三角形面积得，进而得，再将的代数式代入点坐标，根据反比例函数的值相等，得，求解即可得点的坐标，进而得的值； ③然后求出的“中心对称函数”为，根据不等式公式可得当时，，当时，在第一象限内的值最小，求解即可得该函数在第一象限内最低点坐标； ④由“中心对称函数”的定义得的“中心对称函数”为，根据，都在的图象上，可得，，再根据，将，的代数式代入不等式，得，结合，将不等式化简变形得，再根据点，的纵坐标相等，得抛物线的对称轴为，即，再根据二次函数的增减性即可得的取值范围，即可求解． 【详解】解：①点和点关于点成中心对称， ， 令， ， 和互为“中心对称函数”，故①正确 ②函数的“中心对称函数”是， 如图，令函数与轴，轴的交点分别为，， 令，则，故， 令，则，得，故， 点，为函数与反比例函数的图象在第一象限的两个交点， 设，， ，的面积为4， ， ， ， ， 解得，， ， ，故②正确； ②的“中心对称函数”为， 当时，， ，即时，的值最小， 的函数图象在第一象限内最低点坐标为，故③正确 ④的“中心对称函数”为， ，都在的图象上， ，， ， ， ， ， ， 点，的纵坐标相等， 抛物线的对称轴为，即， ， ， 令， 当 时，； 当时， ， ∴， 恒成立， ，故④不正确． 综上所述，①②③正确． 三、解答题（本大题共10小题，共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得． 【详解】原式 ， 当时， 原式 ＝． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 21. 春节将至，今年各类年会表演热点是机器人表演．某工厂计划生产跳舞机器人1000套，安排甲、乙两个车间完成，甲车间计划完成400套．在生产过程中，甲、乙车间每天生产的套数之比为，两车间同时生产，结果甲车间比乙车间早2天完成任务，求甲车间每天生产多少套跳舞机器人？ 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用． 设甲车间每天生产套，乙车间每天生产套，根据生产任务和提前2天完成的条件列出方程求解即可． 【详解】解：甲车间计划生产400套，则乙车间计划生产套， 设甲车间每天生产套数为， ∵甲、乙车间每天生产的套数之比为， ∴乙车间每天生产套数为， 甲车间生产天数为， 乙车间生产天数为， ∵甲车间比乙车间早2天完成任务， ∴， 即， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴甲车间每天生产套． 22. 如图，某校科技节，该校无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面的处，操控者从A处观测无人机D的仰角为，无人机D测得教学楼顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者和教学楼之间的距离为，点A，B，C，D都在同一平面上． （1）求此时无人机D与教学楼之间的水平距离的长度是多少（结果保留根号）？ （2）求教学楼的高度（结果取整数）．（参考数据：，，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，由题意得到，根据解直角三角形求出米，即可得到答案； （2）求出，再根据进行计算即可． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 由题意可知， 在中，， 米， 米， 答：此时无人机D与教学楼之间的水平距离的长度是米； 【小问2详解】 解：在中，， 米， （米）． 答：教学楼的高度约为米． 23. 为丰富学生的校园生活，提升学生的综合素质，某校计划开设丰富多彩的社团活动．为了解全校学生对各类社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生必选且只选一类），并根据调查结果制成如下统计图（不完整）： 结合调查信息，回答下列问题： （1）本次共调查了________名学生； （2）补全条形图； （3）若该校有600名学生，请估计大约有多少名学生喜爱“体育类”社团活动？ （4）某班有2名男生和2名女生参加“科技类”社团中“探索奥秘社”的选拔，2名学生被选中．请用列表法或画树状图法求选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）80 （2）见解析 （3）大约有225名学生喜爱“体育类”社团活动 （4） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，用样本估计总体，用列表法或树状图法求概率，解题的关键是： （1）用“艺术类”人数除以所占百分比求出被调查人数； （2）用被调查人数减去其他类型的人数求得“阅读类”的人数，即可补全条形图； （3）利用样本估计总体即可求解； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：（人）， 即本次共调查了80名学生； 故答案为：80； 【小问2详解】 解：“阅读类”的人数为（人）； 补全条形图如图； 【小问3详解】 解：， 答：大约有225名学生喜爱“体育类”社团活动； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的结果有8种， 抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率为． 24. 如图，在中，于点E；F是上一点，且，连接． （1）求证：四边形是矩形 ． （2）沿直线折叠，点C恰好落在矩形的对角线的中点H 处，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，等边三角形和中线性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，并证得四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由（1）知四边形是矩形，结合锐角三角函数得出，即可求出，进一步得出为等边三角形以及，即可结合得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴即，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵是中点，， ∴， ∵由折叠可知， ∴，即为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中点，即是的中线， ∴， ∴． 25. 某小区业主委员会决定把一块长，宽的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于，且不大于，设每块绿化区的较长边为，活动区的面积为． （1）写出y与x之间的函数关系式及x的取值范围； （2）求活动区的面积y的最大值； （3）预计活动区造价为50元，绿化区造价为40元，如果业主委员会计划投资不超过72000元来建造，则当x为整数时，共有几种建造方案？ 【答案】（1） （2） （3）4种 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用， （1）首先根据其宽度不小于，不大于，求出，然后用大矩形的面积减去4个小矩形的面积即可求解； （2）将整理为顶点式，利用抛物线性质即可求解； （3）设费用为w，由题意得，利用抛物线性质和x的取值范围结合即可求解． 【小问1详解】 出口的宽度为， ∵其宽度不小于，不大于， ∴． 解得， ∵四周的4个出口宽度相等，设绿化区的宽为a， ∴ ∴ 根据题意得， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 ， ∵，抛物线的开口向下，对称轴为， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，． ∴活动区的面积y的最大值为； 【小问3详解】 设投资费用为w， 由题意得，， ∴当时，解得，． ∵，对称轴为， ∴当时，W随x增大而减小， 又∵w不超过72000元， ∴，且x为整数， ∴共有4种建造方案． 26. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）如图1，将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求平移距离； （3）如图2，是第二象限内一点，，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先将点代入一次函数，求得一次函数解析式，再求出点，即可求出把比例函数解析式； （2）法1：作轴交直线于点，根据，即可求． 法2：设直线平移前后与轴分别交于两点，连接，根据与同底等高，，即可求； （3）连接，设点的对应点为点，过点作轴于，过点作轴于，由旋转的性质可证明，得，设，则，得点的坐标为，列方程，解方程进而可求点的坐标． 【小问1详解】 解：点在一次函数上， ， 一次函数的表达式为； 点在直线上， ， ． ， 把代入得， 解得：， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：法1：作轴交直线于点， ， ， ， ， ． 法2：设直线平移前后与轴分别交于两点， 连接， 与同底等高， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：连接，设点的对应点为点，过点作轴于，过点作轴于， 由旋转的性质可知：， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， 点， 为等腰直角三角形． 设，则， ， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 解得：（不合题意，舍去）， 当时，， 点的坐标为． 【点睛】本题主要涉及一次函数与反比例函数的性质及应用，还包括图形的旋转等知识，解题的关键在于利用函数图像上点的坐标满足函数解析式这一性质，求出函数中的未知参数，进而确定函数解析式；对于三角形面积问题，通过合理设点坐标利用面积公式求解；对于图形旋转问题，根据旋转的性质得到对应点坐标的关系，再结合反比例函数解析式求解． 27. 综合运用 如图，中，，D为中点，，是的外接圆．是的直径． （1）求证：是的切线； （2）求的长； （3）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得是的切线； （2）先证明，得到，即可解答； （2）过点A作于点F，设，则，，根据勾股定理构造方程，求得，根据正弦的定义即可求解． 【小问1详解】 证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，D为中点， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点A作于点F， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 整理得：， 解得，（舍去）， ∴，， ∵与都是所对的圆周角， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查相似三角形的判定及性质，解直角三角形，圆周角定理，掌握各种定理和判定方法是解题的关键． 28. 平面直角坐标系中，已知抛物线：（m为常数）与x轴交于点A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C． （1）若，求点A，B，C的坐标； （2）如图1，在（1）的条件下，D为抛物线x轴上方一点，连接，若，求点D的坐标； （3）如图2，将抛物线向左平移个单位长度与直线AC交于M，N（点M在点N右边），若，求，之间的数量关系． 【答案】（1），， （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）当时，抛物线为，令得，令得，即可解得的坐标为，的坐标为，的坐标为； （2）过作轴于，过作于，由，，，可得，，，即得，，从而，设，则，，可得，即可解得，； （3）过作轴交轴于点，过作轴，过作轴交于点，由抛物线，知将其向左平移个单位的抛物线的解析式为，用待定系数法可求得直线的解析式为，根据，设点、的横坐标分别为、，有，，而，可得，可得，，代入可得． 【小问1详解】 解：当时，抛物线为， 令得， ， 令得， 解得或， ，； ∴的坐标为，的坐标为，的坐标为； 【小问2详解】 过作轴于，过作于，如图： 由（1）知，，， ，，， 在中，， ， ， ， 又， ， ， ， 设，则，， ， 解得或（舍去）， ，； 【小问3详解】 过作轴交轴于点，过作轴，过作轴交于点，如图： 抛物线， ①当时，，，， 将抛物线向左平移个单位，得到的抛物线的解析式为， 由，设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 由， 得， 设点、的横坐标分别为、， 则，， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 整理得； ，之间的数量关系为； ②当时，，，， 将抛物线向左平移个单位，得到的抛物线的解析式为， 由，设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 由，得， 设点、的横坐标分别为、， ，， 同①得， ，即， ， ， ， ， 整理得：， ． 综上所述：，之间的数量关系为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及锐角三角函数、三角形相似的判定与性质、一元二次方程根与系数的关系等知识，解题的关键是通过正确地作出辅助线，构造所需要的图形，从而列出方程，求得结果，此题综合性强，计算繁琐，属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $