课后作业5 一元二次方程、不等式-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦一元二次方程与不等式的概念、解法及应用，通过基础到综合的题型设计，构建从方程根到不等式解集再到实际应用的完整知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|选择填空（1-10题）|概念辨析与基本运算|方程根与不等式解集的转化，培养运算能力| |综合提升|解答题（11-13题）|含参不等式与恒成立问题|参数分类讨论与推理，发展逻辑思维| |实际应用|几何应用（第6题）|几何建模与不等式应用|数形结合与模型意识，强化应用能力|

课后作业(五)　一元二次方程、不等式 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分 一、单项选择题 1．(人教A版必修第一册P55习题2.3T5改编)已知集合A＝{x||x|>1}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∪B＝ (　　) A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(1，2) C．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(－1，1) 2．(2026·广东清远模拟)若关于x的不等式ax2－ax－1≥0的解集为空集，则a的取值范围是 (　　) A．(－4，0) B．[－4，0] C．(－4，0] D．[－4，0) 3．(2026·江苏徐州模拟)已知不等式ax2＋bx－3>0的解集为{x|x>1，或x<－3}，则不等式≥0的解集为 (　　) A．{x|－1<x≤2} B．{x|－2<x<2} C．{x|－1≤x≤2} D．{x|x>1，或x<－2} 4．(2026·天津模拟)若“－1<x<1”是“(x－a)·(x－3－a)<0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 (　　) A．{a|a≤1，或a≥2} B．{a|－2<a<1} C．{a|－2≤a≤－1} D．{a|a≤－2，或a≥－1} 5．(2025·北京大兴期中)若不等式x2－(a＋2)x＋2a≤0对任意的x∈[－1，1]恒成立，则a的取值范围是 (　　) A．[－1，1] B．[－1，＋∞) C．[－1，2] D．(－∞，－1] 6．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则矩形花园的其中一边的长x(单位：m)的取值范围是 (　　) A．[15，20] B．[12，25] C．[10，30] D．[20，30] 二、多项选择题 7．设集合A＝{x|x2－x－6<0}，B＝{x|x2＋bx＋c≤0}，若A∩B＝(－2，2]，则 (　　) A．b≥0 B．b<0 C．c≤－4 D．2b＋c＝－4 8．已知a∈R，关于x的不等式(ax－2)(x＋2)>0的解集可能是 (　　) A． B． C． D． 三、填空题 9．已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B＝{x|x2－x－a<0}，写出满足A∩B＝{0，1}的一个实数a的值___________． 10．一般地，把b－a称为区间(a，b)的“长度”．已知关于x的不等式x2－kx＋2k<0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位长度，则实数k的取值范围为__________________． 四、解答题 11．(13分)已知f (x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6． (1)解关于a的不等式f (1)>0； (2)若不等式f (x)>b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值． 12．(13分)已知函数f (x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2． (1)若不等式f (x)≥－2对于任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)若a<0，解关于x的不等式f (x)<a－1． 13．(15分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－4有且仅有一个公共点，且不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为[－1，3]． (1)求此二次函数的解析式； (2)若关于x的不等式ax2＋bx＋c<(m－1)x－m－3的解集中恰有一个正整数，求实数m的取值范围； (3)∀m∈[0，2]，不等式ax2＋bx＋c<(m－2)x恒成立，求实数x的取值范围． 课后作业(五) 1．C　2．C　3．A 4．C　[由(x－a)(x－3－a)<0，解得a<x<3＋a， 因为“－1<x<1”是“(x－a)(x－3－a)<0”的充分不必要条件， 所以(两个等号不能同时成立)，解得－2≤a≤－1， 所以实数a的取值范围是{a|－2≤a≤－1}． 故选C．] 5．D 6．C　[如图，过点A作AH⊥BC，交BC于点H，交DE于点F， 易知， 则AF＝x，FH＝40－x．所以矩形花园的面积S＝x(40－x)≥300，解得10≤x≤30． 故选C．] 7．ACD　[由题可得集合A＝{x|－2<x<3}，且A∩B＝(－2，2]， 所以方程x2＋bx＋c＝0的两根x1，x2满足x1≤－2，x2＝2．由根与系数的关系可知，－b＝x1＋x2＝2＋x1≤2＋(－2)＝0， 即b≥0，选项A正确，选项B错误； c＝x1x2＝2x1≤2×(－2)＝－4，选项C正确； 从而22＋2b＋c＝0，即2b＋c＝－4，选项D正确，故选ACD．] 8．ACD　[当a＝0时，＝－2(x＋2)>0⇒x<－2； 当a>0时，＝a>0⇒x>或x<－2，故A正确； 当a<0时，＝a>0， 若＝－2⇒a＝－1，则不等式无解； 若<－2⇒－1<a<0，则不等式的解为<x<－2，故D正确； 若>－2⇒a<－1，则不等式的解为－2<x<，故C正确．故选ACD．] 9．1(答案不唯一，满足0<a≤2即可)　[ 因为A∩B＝{0，1}，所以{0，1}⊆B， 设f (x)＝x2－x－a，则f (x)<0的整数解为0，1， 则f (0)<0，f (1)<0，f (－1)≥0且f (2)≥0，解得0<a≤2．故a可取1(答案不唯一，满足0<a≤2即可)．] 10．[－1，0)∪(8，9]　[不等式x2－kx＋2k<0有实数解等价于x2－kx＋2k＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝(－k)2－8k>0，解得k>8或k<0．设x2－kx＋2k＝0的两根为x1，x2，令x1<x2，则x1＋x2＝k，x1x2＝2k．由题意得x2－x1＝≤3，解得－1≤k≤9，又k>8或k<0，所以－1≤k<0或8<k≤9，所以实数k的取值范围为[－1，0)∪(8，9]．] 11．解：(1)由题意知f (1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0， 解得3－2<a<3＋2． ∴不等式的解集为{a|3－2<a<3＋2}． (2)∵f (x)>b的解集为(－1，3)， ∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3， ∴ 故a的值为3±，b的值为－3． 12．解：(1)∀x∈R，f (x)≥－2恒成立等价于∀x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0， 当a＝0时，x≥0，对任意实数x不恒成立，则a≠0，此时必有 即解得a≥， 所以实数a的取值范围是． (2)依题意，因为a<0，所以f (x)<a－1，即ax2＋(1－a)x－1<0，(x－1)>0． 当－＝1，即a＝－1时，解得x≠1； 当－>1，即－1<a<0时，解得x<1或x>－； 当0<－<1，即a<－1时， 解得x<－或x>1， 综上，当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠1}； 当－1<a<0时，原不等式的解集为； 当a<－1时，原不等式的解集为． 13．解：(1)由不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为[－1，3]，得a>0且－1，3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，因此ax2＋bx＋c＝a(x＋1)(x－3)，所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，其对称轴为x＝1．而该图象与直线y＝－4有且仅有一个公共点，则y＝a(x＋1)(x－3)图象的顶点为(1，－4)，于是－4＝－4a，解得a＝1，所以此二次函数的解析式为y＝(x＋1)·(x－3)，即y＝x2－2x－3． (2)由(1)知不等式ax2＋bx＋c<(m－1)x－m－3为x2－2x－3<(m－1)x－m－3，整理得x2－(m＋1)x＋m<0，即(x－1)·(x－m)<0．依题意，不等式(x－1)(x－m)<0的解集中恰有一个正整数，则m≠1．当m<1时，解得m<x<1，即不等式的解集为(m，1)，此时解集中不含正整数，故舍去．当m>1时，解得1<x<m，不等式的解集为(1，m)，要使解集中恰有一个正整数，则2<m≤3，所以实数m的取值范围是(2，3]． (3)∀m∈[0，2]，不等式ax2＋bx＋c<(m－2)x恒成立，即∀m∈[0，2]，不等式mx－x2＋3>0恒成立．令g(m)＝mx－x2＋3，m∈[0，2]， 则 解得－1<x<， 即实数x的取值范围为(－1，)． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $