内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年八年级下学期6月阶段检测数学试题

**基本信息** 以新能源汽车电池、哪吒文创促销等真实情境为载体，通过函数图像分析、几何折叠与动态问题设计，考查抽象能力、推理意识和应用意识，实现基础巩固与创新应用的梯度融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|4题54分|函数应用、几何证明、实际问题建模|15题促销方案设计体现模型意识，17题正方形动态重叠问题发展创新意识，14题旗杆测量综合几何直观与运算能力|

2025-2026学年第二学期八年级期末教学质量调研考试（五) 数学学科 考试时长：90分钟满分：100分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.下列各点中，在正比例函数y=-5x的图象上的是() A.(0,-2) B.(0,0) C.(1,2) D.(2,-1) 2.已知某三角形的三条边长依次为9cm,12cm,15cm,则该三角形是() A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形 3.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走捷径”， A 在花圃内走出了一条路”.他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草.他们 “路 5m 少走的路长为() A.2m B.3m 12m C.3.5m D.4m 4.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,AB在x轴上，若以点A为圆心，对角线 AC的长为半径作弧，交x轴的正半轴于点M,则点M的坐标为() A.(V5,0) B.(√10,0) M C.(5-1,0) D.(10-1,0) 第1页，共7页 5.如图，某一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于(1,0)和(0,2)两点，则下列说法错误的 是() A.此函数的表达式为y=-2x+2 B.当x>1时，y<0 C.当x<0时，y随x的增大而增大 0 D.将此直线向下平移2个单位所得到的直线必过原点 6.下面的三个问题中都有两个变量： ①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，电池剩余电量y 与使用时间x: ②用固定长度的新型导热线性材料，制作矩形形状的芯片散热框架，矩形面 积y与一边长x; ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度y与燃烧时间x. 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是() A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 7.如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点D恰好落在DC延长线上的点D 处，若AD交BC于点E,则下列结论一定正确的是() D A.∠BAD=135 B.△CED'是直角三角形 B C.AD平分∠BAC D.EB=ED 8.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x-k和y=kx的图象可能是() 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.已知△ABC的三边分别为a,b,c.且a,b满足b=V7-a+√a-7+24,c=25.则 SAABC=· 第2页，共7页 10.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.远航号、海天”号轮船同时离开港口，各 自沿一固定方向航行，远航号每小时航行16海里，海天号每小时航行12海里.它们 离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.已知远航号沿东北方向航 行，则海天号沿方向航行. 北 Q 东 11.如图，直线y=kx+b(k≠0)经过点A(-2,4),则不等式x+b>4的解集为 v=Kx+0 2 12.如图，△ABC是等边三角形，点D是AB边上一点，过点D作DE1BC,垂足为点 E,直线DE与CA的延长线相交于点F若BD=4cm,AF=3cm,则EC的长 为一cm. D B E 第3页，共7页 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.计算： (1)2V5+V20-√45 (2)1-V3+(-1)2024-V6÷√2. 四、解答题：本题共4小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.(本小题13分) 在人教版八年级下册数学教材测量学校旗杆高度的数学活动里，聪聪设计了一种新颖 的测量方法.从点C观察旗杆顶端的仰角为30°，接着往前走10米到达点D,观察旗杆顶 端的仰角为60°. (I)直接写出CD与BD的数量关系： (2)根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度AB.(人的身高忽略不计，结果保留根号) B 第4页，共7页 15.(本小题13分) 某玩具工厂生产哪吒主题文创用品乾坤圈和混天绫，乾坤圈每个定价20元，混天绫每个 定价6元.暑假期间开展促销活动，并向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个乾坤圈就赠送一个混天绫； 方案二：乾坤圈和混天绫都按定价的80%付款 某哪吒主题文创用品店计划购进80个乾坤圈和x个混天绫(x>80).设选择方案一需付款 y1元，选择方案二需付款y元. (1)分别写出y1,y2关于x的函数解析式. (2)当x=200时. ①请通过计算说明该文创用品店选择以上哪种方案更省钱： ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用 方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠)，请你设计出更省钱的购买方案，并计算出 该方案所需费用. 第5页，共7页 16.(本小题13分)四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交 BC的延长线于点E. (I)求证：BE=CD; (2)连接BF、AC、DE,当BF L AE时，求证：四边形ACED是平行四边形. 第6页，共7页 17.(本小题15分) 【课本再现】 如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1BC1O的一个顶点，而 且这两个正方形的边长相等，四边形OEBF为两个正方形的重叠部分，正方形A1B1C1O 可绕点0转动. 【问题发现】 (I)①线段AE,BF之间的数量关系是 ②在①的基础上，连接EF,则线段AE,CF,EF之间的数量关系是 【拓展应用】 (2)如图2，若矩形A1BCO的一个顶点O是矩形ABCD对角线AC的中点，A,O与边 AB相交于点E,延长A1O交CD于点M,CO与边CB相交于点F,连接EF.矩形 ABC1O可绕点O转动，猜想AE,CF,EF之间的数量关系，并进行证明 【类比迁移】 (3)如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6,BC=8,∠EDF=90°，点D在边AB的 中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC,BC相交于点E,F.∠EDF可绕点D转 动，当AE=4时，请直接写出△CEF的面积. A E B C 图1 图2 图3 备用图 第7页，共7页 2025-2026学年第二学期八年级期末教学质量调研考试（五） 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各点中，在正比例函数的图象上的是(    ) A. B. C. D. 2.已知某三角形的三条边长依次为，，，则该三角形是(    ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草他们少走的路长为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在矩形中，，，在轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 5.如图，某一次函数的图象与轴、轴分别相交于和两点，则下列说法错误的是(    ) A. 此函数的表达式为 B. 当时， C. 当时，随的增大而增大 D. 将此直线向下平移个单位所得到的直线必过原点 6.下面的三个问题中都有两个变量： 新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，电池剩余电量与使用时间； 用固定长度的新型导热线性材料，制作矩形形状的芯片散热框架，矩形面积与一边长； 点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度与燃烧时间． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是(    ) A. B. C. D. 7.如图，将平行四边形沿对角线折叠，点恰好落在延长线上的点处，若交于点，则下列结论一定正确的是(    ) A. B. 是直角三角形 C. 平分 D. 8.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图象可能是(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.已知的三边分别为，，且，满足，则        ． 10.如图，某港口位于东西方向的海岸线上“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里它们离开港口一个半小时后分别位于点，处，且相距海里已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿      方向航行． 11.如图，直线经过点，则不等式的解集为______． 12. 如图，是等边三角形，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点若，，则的长 为        ． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.计算： ． ． 四、解答题：本题共4小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 在人教版八年级下册数学教材“测量学校旗杆高度”的数学活动里，聪聪设计了一种新颖的测量方法从点观察旗杆顶端的仰角为，接着往前走米到达点，观察旗杆顶端的仰角为． 直接写出与的数量关系； 根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度人的身高忽略不计，结果保留根号 15. 本小题3分 某玩具工厂生产哪吒主题文创用品乾坤圈和混天绫，乾坤圈每个定价元，混天绫每个定价元暑假期间开展促销活动，并向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个乾坤圈就赠送一个混天绫； 方案二：乾坤圈和混天绫都按定价的付款． 某哪吒主题文创用品店计划购进个乾坤圈和个混天绫设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元 分别写出，关于的函数解析式． 当时． 请通过计算说明该文创用品店选择以上哪种方案更省钱． 若两种优惠方案可以同时使用使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠，请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 16.本小题3分四边形为平行四边形，的角平分线交于点，交的延长线于点． 求证：； 连接、、，当时，求证：四边形是平行四边形． 17.本小题5分 【课本再现】 如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 线段，之间的数量关系是______； 在的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是______． 【拓展应用】 如图，若矩形的一个顶点是矩形对角线的中点，与边相交于点，延长交于点，与边相交于点，连接矩形可绕点转动，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【类比迁移】 如图，在中，，，，，点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，可绕点转动，当时，请直接写出的面积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级期末教学质量调研考试（五） 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各点中，在正比例函数的图象上的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：：当时，，但该点纵坐标为，不符合，故A错误，不符合题意； ：当时，，该点纵坐标为，完全符合，故B正确，符合题意； ：当时，，但该点纵坐标为，不符合，故C错误，不符合题意； ：当时，，但该点纵坐标为，不符合，故D错误，不符合题意； 故选：． 将各选项的横坐标代入函数解析式，验证计算结果是否等于纵坐标，即可判断． 本题考查正比例函数图象上点的坐标特征．熟练掌握正比例函数图象上的点坐标适合解析式是解题的关键． 2.已知某三角形的三条边长依次为，，，则该三角形是(    ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A  【解析】解：某三角形的三条边长依次为，，， ， 该三角形是直角三角形， 故选：． 根据勾股定理逆定理的计算判定即可． 本题考查了勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理逆定理的计算是解题的关键． 3.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草他们少走的路长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：，，， ， 少走的路长为， 故选：． 利用勾股定理求出的长，再根据少走的路长为，计算即可． 本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为是解本题的关键． 4.如图，在矩形中，，，在轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由题意得：  ，  故，  点表示的数为，，  点表示的数为，  点的坐标为  故选：． 在中利用勾股定理求出，继而得出的长，结合数轴的知识可得出点表示的数． 此题考查了勾股定理及数轴的知识，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键． 5.如图，某一次函数的图象与轴、轴分别相交于和两点，则下列说法错误的是(    ) A. 此函数的表达式为 B. 当时， C. 当时，随的增大而增大 D. 将此直线向下平移个单位所得到的直线必过原点 【答案】C  【解析】解：设一次函数为， 图象与轴、轴分别相交于和两点， ，解得， 此函数的表达式为，故A选项正确，不合题意； 由图象可知，当时，，故B选项正确，不合题意； ， 随增大而减小，故C选项错误，符合题意； 将此直线向下平移个单位所得到的直线为，必过原点，故D选项正确，不合题意． 故选：． 利用待定系数法求得函数解析式，然后根据一次函数的性质以及平移的规律，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 本题考查了一次函数的图象，观察函数图象，逐一分析各结论的正误是解题的关键． 6.下面的三个问题中都有两个变量： 新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，电池剩余电量与使用时间； 用固定长度的新型导热线性材料，制作矩形形状的芯片散热框架，矩形面积与一边长； 点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度与燃烧时间． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，则电池剩余电量随使用时间的增加而减小，符合题意；  用固定长度的新型导热线性材料围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长的二次函数，不符合题意；  点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度与随燃烧时间的增加而减小，符合题意；  故选：． 根据电池剩余电量随使用时间的增加而减小判断即可；  根据矩形的面积公式判断即可；  根据蜡烛的剩余高度与随燃烧时间的增加而减小判断即可． 本题考查了函数的图象，掌握函数图象表示的意义是解题的关键． 7.如图，将平行四边形沿对角线折叠，点恰好落在延长线上的点处，若交于点，则下列结论一定正确的是(    ) A. B. 是直角三角形 C. 平分 D. 【答案】D  【解析】解：将平行四边形沿对角线折叠，点恰好落在延长线上的点处， 由题意可得：，，，，，，， 由折叠的性质可得： ，，，，， ，， ，，则， ， ，即， 点是，的中点， ，故D选项正确，符合题意； 是等腰三角形， ， 是直角三角形，错误，故B选项不符合题意； 连接， 四边形是矩形， ，的数量关系不确定， 平分BAC错误，故C选项不符合题意； ，但，的位置关系不确定， ， ，故A选项不符合题意． 故选：． 根据平行四边形的性质，折叠的性质，数形结合分析逐一判定即可． 本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 8.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图象可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：当，正比例函数图象经过第一、三象限，则一次函数图象经过第一、二、三象限，故A选项错误，选项错误； 当，正比例函数图象经过第二、四象限，则一次函数图象经过第一、三、四象限，选项错误、选项正确； 故选：． 根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 本题考查了一次函数、正比例函数的图象，熟练掌握正比例函数图象与系数的关系是关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.已知的三边分别为，，且，满足，则        ． 【答案】  【解析】解：根据题意可知，， ， ， ， 则， 是直角三角形， ． 故答案为：． 先根据二次根式的非负性得，，再结合，得出是直角三角形，即可求出． 本题考查了二次根式有意义的条件，勾股定理的逆定理，三角形的面积，掌握相应的运算法则是关键． 10.如图，某港口位于东西方向的海岸线上“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里它们离开港口一个半小时后分别位于点，处，且相距海里已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿      方向航行． 【答案】西北方向  【解析】解：由题知，海里，海里，海里，， ，， ， ， ． 故答案为：西北方向． 根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可． 本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答． 11.如图，直线经过点，则不等式的解集为______． 【答案】  【解析】解：观察图象知：当时，， 故答案为． 结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可． 本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 12.如图，是等边三角形，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点若，，则的长为        ． 【答案】  【解析】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 由等边三角形的性质可得，由含度角的直角三角形的性质得，由等角对等边得，所以，据此即可求解． 本题考查了含度角的直角三角形，等边三角形的性质，掌握含度角的直角三角形的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.计算： ． ． 解：   ........................................3分 ；......................................5分    ........................................3分   ．........................................5分 先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可．  先化简绝对值，乘方，再算二次根式的除法，然后计算加减法即可． 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 四、解答题：本题共4小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 在人教版八年级下册数学教材“测量学校旗杆高度”的数学活动里，聪聪设计了一种新颖的测量方法从点观察旗杆顶端的仰角为，接着往前走米到达点，观察旗杆顶端的仰角为． 直接写出与的数量关系； 根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度人的身高忽略不计，结果保留根号 【解析】，，， ，， ，， ， ．........................................3分 米， ，........................................8分 米，.......................................12分 答：旗杆的高度为米．......................................12分 由题意可得，，，根据等角对等边即可得出答案； 由知，米，，在中，根据勾股定理即可求出答案． 本题考查了三角形的内角和，等角对等边，含角的直角三角形的性质，勾股定理，正确进行计算是解题关键． 15.本小题3分 某玩具工厂生产哪吒主题文创用品乾坤圈和混天绫，乾坤圈每个定价元，混天绫每个定价元暑假期间开展促销活动，并向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个乾坤圈就赠送一个混天绫； 方案二：乾坤圈和混天绫都按定价的付款． 某哪吒主题文创用品店计划购进个乾坤圈和个混天绫设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元 分别写出，关于的函数解析式． 当时． 请通过计算说明该文创用品店选择以上哪种方案更省钱． 若两种优惠方案可以同时使用使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠，请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 解：设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元．根据题意可得： ，......................................2分 ；......................4分 当时，，．........................................6分 ， 方案二更省钱；........................................7分 设选择方案一购买个乾坤圈，则选择方案二购买个乾坤圈，个混天绫， 则，.................................9分 ， 随的增大而减小． ， 当时，取最小值，为．................................12分 ．............................13分 答：先按方案一购买个乾坤圈，再按方案二购买个混天绫，该方案所需费用为元． 根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； 将分别代入中得出的两个函数表达式，即可解答； 设选择方案一购买个乾坤圈，则选择方案二购买个乾坤圈，个混天绫，列出函数解析式求解即可． 本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． 16.本小题分 四边形为平行四边形，的角平分线交于点，交的延长线于点． 求证：； 连接、、，当时，求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ，，........................................2分 平分， ，...................................4分 ， ．........................................6分 ，， ， ， ，.......................................8分 在和中， ， ≌........................................10分 ， ， 四边形是平行四边形． ........................................13分 【解析】只要证明，即可解决问题． 只要证明≌推出，即可解决问题． 本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 17.本小题4分 【课本再现】 如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 线段，之间的数量关系是______； 在的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是______． 【拓展应用】 如图，若矩形的一个顶点是矩形对角线的中点，与边相交于点，延长交于点，与边相交于点，连接矩形可绕点转动，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【类比迁移】 如图，在中，，，，，点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，可绕点转动，当时，请直接写出的面积． 解：四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， 故答案为：；......................................2分 解：≌， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：；......................................4分 证明：；........................................5分 理由如下： 连接，如图： 为矩形中心， ， 延长交于， ， ， 又， ≌，........................................6分 ，， 又四边形是矩形， ，........................................8分 垂直平分， ， 在中，由勾股定理得：， ；......................................10分 解：设， 当在线段上时，如图， ， ， 在中，， ， ， 又由易知， ， ， 解得，即， ； 当点在延长线上时， 同理可证， ， 又在中， ， ， 解得，即， ； 故的面积为或．........................................14分 根据题型先证明≌，进而即可得出线段，之间的数量关系； 根据≌，得出，进而根据勾股定理得出，根据线段之间的数量关系，即可得出结论； 猜想：，连接，延长交于，证明≌，再利用勾股定理证明即可； 设，分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在延长线上时，结合勾股定理，即可求解． 本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年第二学期八年级期末教学质量调研考试（五) 数学学科 考试时长：90分钟满分：100分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.下列各点中，在正比例函数y=-5x的图象上的是() A.(0-2) B.(0,0) C.(12) D.(2,-1) 【答案】B 【解析】解：A:当x=0时，y=-5×0=0,但该点纵坐标为-2，不符合，故A错 误，不符合题意： B:当x=0时，y=一5×0=0，该点纵坐标为0，完全符合，故B正确，符合题意： C:当x=1时，y=-5×1=-5,但该点纵坐标为2，不符合，故C错误，不符合题 意； D:当x=2时，y=-5×2=-10,但该点纵坐标为-1，不符合，故D错误，不符合题 意； 故选：B. 将各选项的横坐标代入函数解析式，验证计算结果是否等于纵坐标，即可判断， 本题考查正比例函数图象上点的坐标特征.熟练掌握正比例函数图象上的点坐标适合解 析式是解题的关键 2.已知某三角形的三条边长依次为9cm,12cm,15cm,则该三角形是() A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形 【答案】A 第1页，共16页 【解析】解：某三角形的三条边长依次为9cm,12cm,15cm, 92+122=152, 该三角形是直角三角形， 故选：A. 根据勾股定理逆定理的计算判定即可. 本题考查了勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理逆定理的计算是解题的关键， 3.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走捷径”，在花圃内走出了一 条“路”他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草他们少走的路长为() A.2m B.3m “路 C.3.5m D.4m 12m 【答案】D 【解析】解：∠ACB=90°，AC=5m,BC=12m, ·AB=VAC2+BC=V52+12=13m), .少走的路长为AC+BC-AB=5+12-13=4(), 故选：D 利用勾股定理求出AB的长，再根据少走的路长为AC+BC一AB,计算即可. 本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为AC+BC一AB是解本题的关键 4.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,AB在x轴上，若以点A为圆心，对角线 AC的长为半径作弧，交x轴的正半轴于点M,则点M的坐标为() A.(5,0) B.(10,0) C.(W5-1,0) D.(10-1,0) 【答案】D 【解析】解：由题意得： AC=VAB2+BC2=VAD2+DC2=V10, 第2页，共16页 故AM=AC=V10, 点A表示的数为-1，AM=V10, 点M表示的数为V10-1, 点M的坐标为(V10-1,0), 故选：D 在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC,继而得出AM的长，结合数轴的知识可得出点 M表示的数 此题考查了勾股定理及数轴的知识，利用勾股定理求出AC的长度是解答本题的关键， 5.如图，某一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于(1,0)和(0,2)两点，则下列说法错误的 是() A.此函数的表达式为y=-2x+2 B.当x>1时，y<0 C.当x<0时，y随x的增大而增大 D.将此直线向下平移2个单位所得到的直线必过原点 【答案】C 【解析】解：设一次函数为y=kx+b, ~图象与x轴、y轴分别相交于(1,0)和(0,2)两点， 伦+8-0，解行伦2 ∴此函数的表达式为y=一2x+2,故A选项正确，不合题意； 由图象可知，当x>1时，y<0,故B选项正确，不合题意； k=-2, y随x增大而减小，故C选项错误，符合题意： 将此直线向下平移2个单位所得到的直线为y=一2x,必过原点，故D选项正确，不合题 意. 故选：C 利用待定系数法求得函数解析式，然后根据一次函数的性质以及平移的规律，可以判断 各个选项中的说法是否正确，本题得以解决， 本题考查了一次函数的图象，观察函数图象，逐一分析各结论的正误是解题的关键， 第3页，共16页 6.下面的三个问题中都有两个变量： ①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，电池剩余电量y与使用时间 X; ②用固定长度的新型导热线性材料，制作矩形形状的芯片散热框架，矩形面积y与一边 长x: ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度y与燃烧时间x. 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是() A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 【答案】C 【解析】解：①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，则电池剩余电 量y随使用时间x的增加而减小，符合题意： ②用固定长度的新型导热线性材料围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次 函数，不符合题意： ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度y与随燃烧时间x的增加而减小，符合题 意； 故选：C ①根据电池剩余电量y随使用时间x的增加而减小判断即可： ②根据矩形的面积公式判断即可： ③根据蜡烛的剩余高度y与随燃烧时间x的增加而减小判断即可. 本题考查了函数的图象，掌握函数图象表示的意义是解题的关键， 7.如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点D恰好落在DC延长线上的点D 处，若AD交BC于点E,则下列结论一定正确的是() A.∠BAD=135° B.△CED是直角三角形 B E C.AD平分∠BAC D.EB=ED 【答案】D 【解】解：将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点D恰好落在DC延长线上的点 D处， 第4页，共16页 由题意可得：AB=CD,AB/ICD,AD=BC,ADI/BC,∠ABC=∠ADC, ∠BAD=∠BCD,∠ABC+∠BCD=180°， 由折叠的性质可得： .AD=AD,CD=CD',∠D=∠D',∠DAC=∠D'AC,AC I DD', .AB//DD',BC=AD', ·∠BAC=∠ACD=90°，∠BAE=∠D',则∠EAB=∠EBA, ·EA=EB, ·AD'-EA=BC-EB,即EC=ED', 点E是BC,AD的中点， ·EB=ED',故D选项正确，符合题意； △CED'是等腰三角形， :∠ACD'=90°>∠ECD', “△CED'是直角三角形，错误，故B选项不符合题意； 连接BD', A D B D 四边形ABDC是矩形， AB,AC的数量关系不确定， ·AD平分∠BAC错误，故C选项不符合题意； :∠BAC=90°，但AE,BC的位置关系不确定， …∠B≠45°， ∠BAD≠135°，故A选项不符合题意. 故选：D 根据平行四边形的性质，折叠的性质，数形结合分析逐一判定即可. 本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键 8.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x-k和y=kx的图象可能是() 第5页，共16页 【答案】C 【解析】解：当k>0,正比例函数图象经过第一、三象限，则一次函数y=x一k图象经 过第一、二、三象限，故A选项错误，D选项错误： 当k<0,正比例函数图象经过第二、四象限，则一次函数y=x-k图象经过第一、三、 四象限，B选项错误、C选项正确： 故选：C 根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经 过的象限. 本题考查了一次函数、正比例函数的图象，熟练掌握正比例函数图象与系数的关系是关 键 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.已知△ABC的三边分别为a,b,c.且a,b满足b=√7-a+√a-7+24,c=25.则 SAABC=—· 【答案】84 【解析】解：根据题意可知，√7-a≥0，√a-7≥0， a=7, b=0+0+24=24, c=25, 则a2+b2=72+242=625=252=c2, ∴△ABC是直角三角形， SA4Bc=号×7×24=84. 故答案为：84. 先根据二次根式的非负性得a=7,b=24,再结合a2+b2=72+242=625=252=c2,得 出△ABC是直角三角形，即可求出S△ABC, 第6页，共16页 本题考查了二次根式有意义的条件，勾股定理的逆定理，三角形的面积，掌握相应的运 算法侧是关键， 10.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.远航号、海天号轮船同时离开港口，各 自沿一固定方向航行，远航”号每小时航行16海里，海天号每小时航行12海里.它们 离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.已知远航”号沿东北方向航 行，则海天号沿方向航行. S +东 【答案】西北方向 【解析】解：由题知，PQ=16×1.5=24海里，PR=12×1.5=18海里，QR=30海 里，∠SPQ=45°， PQ2+PR2=242+182=900,QR2=900, ..PQ2+PR2=QR2, ∠RPQ=90°， ∠SPR=∠RPQ-∠SPQ=90°-45°=45°. 故答案为：西北方向. 根据题意，得出△PRQ的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出△PRQ是直角三角形， 再求解即可. 本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理 发现直角三角形进行解答 第7页，共16页 11.如图，直线y=kx+b(k≠0)经过点A(-2,4),则不等式kx+b>4的解集为 y=kx+b 4 -20 【答案】x>-2 【解析】解：观察图象知：当x>-2时，kx+b>4, 故答案为x>-2. 结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可， 本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 y=x+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围：从函数图象的角度看，就是确定直 线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合， I2.如图，△ABC是等边三角形，点D是AB边上一点，过点D作DE1BC,垂足为点 E,直线DE与CA的延长线相交于点F.若BD=4c,AF=3cm,则EC的长为 cm. B E 【答案】5 【解析】解：：△ABC是等边三角形， ∠B=∠C=60°， :DE⊥BC, ·∠DEB=∠CEF=90°， ∠BDE=∠F=30°， BD=4cm, 第8页，共16页 BE-BD-2cm, :∠ADF=∠BDE=30°， .∠ADF=∠F, .AD=AF=3cm, .BC=AB=AD+BD=7cm, .EC=BC-BE=5(cm). 故答案为：5. 由等边三角形的性质可得∠B=∠C=60°，由含30度角的直角三角形的性质得BE= BD=2cm,由等角对等边得AD=AF=3cm,所以BC=AB=AD+BD=7cm,据此即 可求解. 本题考查了含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形 的性质和等边三角形的性质是解题的关键. 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.计算： (1)25+V20-V45. (2)1-V3+(-1)2024-V6÷V2. 解：(1)2V5+V20-V45 =2v5+2V5-3V5 .3分 =V5: .5分 (2)1-√3+(-1)224-√6÷V2 =V3-1+1-√6÷√2 .3分 =V3-1+1-V3 =0.5分 (1)先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可. (2)先化简绝对值，乘方，再算二次根式的除法，然后计算加减法即可. 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键. 第9页，共16页 四、解答题：本题共4小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.(本小题13分) 在人教版八年级下册数学教材测量学校旗杆高度的数学活动里，聪聪设计了一种新颖 的测量方法.从点C观察旗杆顶端的仰角为30°，接着往前走10米到达点D,观察旗杆顶 端的仰角为60°. (I)直接写出CD与BD的数量关系： (2)根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度AB.(人的身高忽略不计，结果保留根号) - D B 【解析】(1)∠C=30°，∠ADB=60°，∠B=90, .∠BAD=90°-∠ADB=30°，∠CAD=∠ADB-∠C=30°， AD=2BD,∠C=∠CAD, ..AD=CD, CD=2BD.… 3分 (2)AD=CD=10米， BD=CD=5,8分 ·AB=VAD2-BD2=V102-52=5V3(米)， .12分 答：旗杆的高度为5√3米.12分 (1I)由题意可得，AD=2BD,∠C=∠CAD=30°，根据等角对等边即可得出答案： (2)由(I)知，AD=CD=10米，BD=CD=5,在Rt△DAB中，根据勾股定理即可求出 答案。 本题考查了三角形的内角和，等角对等边，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，正 确进行计算是解题关键 第10页，共16页 15.(本小题13分) 某玩具工厂生产哪吒主题文创用品乾坤圈和混天绫，乾坤圈每个定价20元，混天绫每个 定价6元.暑假期间开展促销活动，并向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个乾坤圈就赠送一个混天绫： 方案二：乾坤圈和混天绫都按定价的80%付款， 某哪吒主题文创用品店计划购进80个乾坤圈和x个混天绫(x>80).设选择方案一需付款 y1元，选择方案二需付款y元. (1)分别写出y1,y2关于x的函数解析式. (2)当x=200时. ①请通过计算说明该文创用品店选择以上哪种方案更省钱， ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用 方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠)，请你设计出更省钱的购买方案，并计算出 该方案所需费用. 解：(1)设选择方案一需付款y1元，选择方案二需付款y2元.根据题意可得： y1=20×80+6(x-80)=6x+1120,.2分 y2=20×80%×80+6×80%x=4.8x+1280;4分 (2)①当x=200时，y1=6×200+1120=2320, y2=4.8×20+1280=2240. 6分 2320>2240, 方案二更省钱； .7分 ②设选择方案一购买a个乾坤圈，则选择方案二购买(80-a)个乾坤圈，(200一a)个混天 绫， 则y=20a+20×0.8(80-a)+6×0.8(200-a=-0.8a+2240, 9分 -8<0, y随a的增大而减小. 0≤a≤80， 当a=80时，y取最小值，为-0.8×80+2240=2176..12分 .200-a=120.13分 第11页，共16页 答：先按方案一购买80个乾坤圈，再按方案二购买120个混天绫，该方案所需费用为 2176元. (1)根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可： (2)①将x=200分别代入(1)中得出的两个函数表达式，即可解答； ②设选择方案一购买a个乾坤圈，则选择方案二购买(80一a)个乾坤圈，(200一a)个混天 绫，列出函数解析式求解即可 本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题 意正确列出函数表达式， 16.(本小题13分) 四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点 E. (I)求证：BE=CD: (②)连接BF、AC、DE,当BF1AE时，求证：四边形ACED是平行四边形. 证明：(1)四边形ABCD是平行四边形， ·AB=CD,AD/BC,2分 :AE平分∠BAD, ·∠EAB=∠EAD=∠AEB, 4分 ..AB=BE, .BE=CD. 6分 (2)BA=BE,BF L AE, .AF=EF, AD//CE, ·∠DAF=∠CEF, 8分 在△ADF和△ECF中， (LDAF=∠CEF AF-FE ∠AFD=∠CFE 第12页，共16页 △DAF2△CEF10分 ..AD=CE, AD//CE, .四边形ADEC是平行四边形. .13分 【解析】(I)只要证明AB=CD,AB=BE即可解决问题. (②)只要证明△DAF≌△CEF推出AD=CE,即可解决问题. 本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质等知识，解题 的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型， 17.(本小题14分) 【课本再现】 如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形ABCO的一个顶点，而 且这两个正方形的边长相等，四边形OEBF为两个正方形的重叠部分，正方形AB1CO 可绕点O转动. 【问题发现】 (I)①线段AE,BF之间的数量关系是 ②在①的基础上，连接EF,则线段AE,CF,EF之间的数量关系是 【拓展应用】 (2)如图2，若矩形AB1C1O的一个顶点O是矩形ABCD对角线AC的中点，A1O与边 AB相交于点E,延长A1O交CD于点M,C1O与边CB相交于点F,连接EF矩形 AB1C1O可绕点O转动，猜想AE,CF,EF之间的数量关系，并进行证明. 【类比迁移】 (3)如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6,BC=8,∠EDF=90°，点D在边AB的 中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC,BC相交于点E,F.∠EDF可绕点D转 动，当AE=4时，请直接写出△CEF的面积， A B B C 图1 图2 图3 备用图 第13页，共16页 (I)①解：：四边形ABCD是正方形， ..AC L BD,OA=OB, ∠AOB=∠A1OC1=90, ·∠AOE=∠BOF, 在△AEO和△BFO中， (LAOE=∠BOF OA=OB ∠OAE=∠OBF ∴△AEO≌△BFO(ASA), .AE=BF, 故答案为：AE=BF; 2分 ②解：△AOE≌△BOF, .AE=BF, ·∠EBF=90°， .EF2 BE2+BF2, AB=BC,AE=BF, .BE=CF, .EF2=AE2+CF2, 故答案为：EF2=AE2+CF;4分 (2)证明：AE2+CF2=EF2: 5分 理由如下： 连接AC,如图： A D E E B F C :O为矩形中心， ..AO=CO, 延长EO交DC于E, AB//CD, 第14页，共16页 ·LBAC=LACE', 又：∠AOE=∠COE', △AOE≌△COE'(ASA),6分 ..AE=CE',EO=E'O, 又：四边形A1B1C1O是矩形， ∠EOF=90°=∠FOE', 8分 FO垂直平分EE', .EF=E'F, 在Rt△FCE中，由勾股定理得：CE2+FC2=EF2, AE2+CF2=EF2:10分 (3)解：设CF=x, ①当E在线段AC上时，如图3， E F÷C B AE=4, CE=2, 在Rt△FCE中，∠C=90, .CE2 CF2 =EF2, 22+x2=EF2, 又由(2)易知EF2=AE2+BF2, EF2=42+BF2, 22+x2=42+(8-x)2, 解得x=号即CP=是 Sa0ar=x2x2=只 4=4 第15页，共16页 ②当点E在CA延长线上时， 同理可证EF2=AE+BF2, .EF2=42+(8+x)2, 又在Rt△FCE中， EF2=x2+(6+4)2, x2+(6+4)2=42+(8+x)2, 解得x=子即CP=子 44 故ACEF的面积为号或兰 .14分 (I)①根据题型先证明△AEO≌△BFO(ASA),进而即可得出线段AE,BF之间的数量关 系； ②根据△AOE≌△BOE,得出AE=BF,进而根据勾股定理得出EF2=BE2+BF2，,根据 线段之间的数量关系，即可得出结论： (2)猜想：AE2+CF2=EF2,连接AC,延长EO交DC于E',证明 △AOE≌△COE'(ASA),再利用勾股定理证明即可； (3)设CF=x,分两种情况讨论：①当点E在线段AC上时，②当点E在CA延长线上 时，结合勾股定理，即可求解 本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，三角形 全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线， 熟练掌握相关的判定和性质， 第16页，共16页