2025-2026学年高二数学下学期期末复习训练卷(2)(范围：人教A版选择性必修1-3)

**基本信息** 以2025亚冬会滑雪运动、无人机销售统计等真实情境为载体，覆盖选择性必修1-3的导数、统计、立体几何等核心知识，通过基础巩固与综合应用的梯度设计，适配高二期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|导数几何意义（第2题）、线性回归（第3题）、二项分布（第8题）|结合亚冬会滑雪位移模型考查瞬时速度（第1题），体现数学眼光| |填空题|3题/15分|等差数列（第12题）、概率计算（第13题）、公切线（第14题）|生产标兵日产量概率题（第13题），培养数据观念| |解答题|5题/77分|函数最值（第15题）、抛物线与圆（第16题）、立体几何线面角（第17题）、正态分布与概率（第18题）、数列与概率证明（第19题）|第18题以精密制造企业质量检测为背景，融合正态分布与概率最值，发展模型观念与推理能力|

2025-2026学年高二下学期数学期末复习训练卷(2)（解析版） (范围：人教A版选择性必修1-3) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．冰雪同梦绽放光芒，亚洲同心共谱华章，2025年2月7日，第九届亚洲冬季运动会在黑龙江省哈尔滨市隆重开幕.在本次运动会滑雪比赛中摄影师利用雷达干涉仪记录了运动员的滑雪过程，由起点起经过秒后的位移（单位：米）与时间（单位：秒）的关系为，则运动员在滑雪过程中瞬时速度为零的时刻为（   ） A．1秒末 B．2秒末 C．3秒末 D．4秒末 2．若直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则等于（    ）. A．0 B． C．或0 D．0或 3．某公司生产的某型号无人机近5年的年销售量数据统计如表所示. 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码x 0 1 2 3 4 年销售量y/万件 10 15 20 30 35 根据表中的数据，用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为，则预测2024年该型号无人机的年销售量为（    ） A．40万件 B．41.5万件 C．46万件 D．48万件 4．若双曲线的离心率为，右焦点为，点E的坐标为，则直线OE（O为坐标原点）与双曲线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 5．某班组织文艺晚会，准备从等7个节目中选出3个节目演出，要求两个节目中至少有一个被选中，且同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为（    ） A．84 B．72 C．76 D．130 6．经统计，我市每年四月份降雨的概率为，出现四级以上大风天气的概率为，在出现四级以上大风天气条件下，降雨的概率为，则在已知降雨的条件下，出现四级以上大风天气的概率为（    ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数的导函数为.若对任意，都有，且，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 8．下列结论不正确的是（    ） A．随机变量X 服从二项分布，，则 B．相关系数r的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C．在线性回归分析中，若值越小则模型的拟合效果越好 D．随机变量X服从正态分布 ，且，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式的项数为6 B．二项式系数和为64 C．所有项的系数之和为2 D．展开式中第3项为 10．已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．的极大值点是 C．的图象关于对称 D．方程有1个实数根 11．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，则下列说法正确的是（   ） A．当点为的中点时， B．对于任意点，都有 C．三棱锥体积的最小值为 D．点到直线的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知是等差数列，若，，则________. 13．某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为__________． 14．曲线与在交点处存在公切线，则______． 四、解答题 15．（13分）已知函数的图像经过点. (1)求； (2)求在区间上的最大值与最小值. 16．（15分）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 17．（15分）如图，在四棱锥中，，，平面平面，，M，N分别是，的中点.    (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（17分）已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下： (1)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差s近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，记质量差服从正态分布，求该企业生产的产品为正品的概率P；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． (2)假如企业包装时要求把2件优等品和n（，且）件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B． ①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p； ②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为，求当n为何值时，取得最大值． 19．（17分）已知数列 的前n项和为 且 为等差数列． (1)求数列 的通项公式； (2)若从数列的前项中任取两项，记这两项中至少有一项能被3整除的概率为，证明： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期数学期末复习训练卷(2) (范围：人教A版选择性必修1-3) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．冰雪同梦绽放光芒，亚洲同心共谱华章，2025年2月7日，第九届亚洲冬季运动会在黑龙江省哈尔滨市隆重开幕.在本次运动会滑雪比赛中摄影师利用雷达干涉仪记录了运动员的滑雪过程，由起点起经过秒后的位移（单位：米）与时间（单位：秒）的关系为，则运动员在滑雪过程中瞬时速度为零的时刻为（   ） A．1秒末 B．2秒末 C．3秒末 D．4秒末 【答案】D 【分析】根据条件，利用导数的物理意义得，即可求解. 【详解】因为，所以， 令，得， 得或（舍去）， 所以瞬时速度为零的时刻为4秒末. 故选：D 2．若直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则等于（    ）. A．0 B． C．或0 D．0或 【答案】D 【详解】由，得，则，又， 所以曲线在处的切线方程为， 即， 由，得，则，又， 所以曲线在处的切线方程为， 即， 则，即， 则， 即，解得或. 当时，由得； 当时，由得. 故或, 则或. 3．某公司生产的某型号无人机近5年的年销售量数据统计如表所示. 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码x 0 1 2 3 4 年销售量y/万件 10 15 20 30 35 根据表中的数据，用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为，则预测2024年该型号无人机的年销售量为（    ） A．40万件 B．41.5万件 C．46万件 D．48万件 【答案】B 【分析】先根据题中所给的数据，计算得出样本中心点，代入求得，再将代入方程求得结果. 【详解】， 又因为直线过点， 故，解得， 则预测2024年该型号无人机的年销售量为（万件）， 故选：B 4．若双曲线的离心率为，右焦点为，点E的坐标为，则直线OE（O为坐标原点）与双曲线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出，进而求出直线的斜率，再与渐近线的斜率比较即可得解. 【详解】由双曲线的离心率为，得，则，， 因此点E的坐标为，双曲线C的渐近线斜率为，而直线的斜率， 所以直线OE与双曲线的交点个数为2个． 故选：C 5．某班组织文艺晚会，准备从等7个节目中选出3个节目演出，要求两个节目中至少有一个被选中，且同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为（    ） A．84 B．72 C．76 D．130 【答案】D 【分析】求出每种情况的数量，再利用分类加法计数原理相加即可. 【详解】依据题意分两类：第一类为：只有一个选中， 则不同演出顺序有种情况； 第二类为：同时选中，则不同演出顺序有种情况， 故不同演出顺序的种数为， 故选：D． 6．经统计，我市每年四月份降雨的概率为，出现四级以上大风天气的概率为，在出现四级以上大风天气条件下，降雨的概率为，则在已知降雨的条件下，出现四级以上大风天气的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设为“每年四月份降雨”，为“四级以上大风天气”，则可由求出，从而可求. 【详解】设为“每年四月份降雨”，为“四级以上大风天气”， 则，， 故， 故. 故选：C. 7．已知定义在上的函数的导函数为.若对任意，都有，且，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，利用导数法判断其单调性，再利用其单调性解不等式. 【详解】解：令， 则， 所以在R上递增， 又， 则不等式等价于， 所以， 即不等式的解集为. 8．下列结论不正确的是（    ） A．随机变量X 服从二项分布，，则 B．相关系数r的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C．在线性回归分析中，若值越小则模型的拟合效果越好 D．随机变量X服从正态分布 ，且，则 【答案】C 【详解】对于A，，A正确； 对于B，相关系数r的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱，B正确； 对于C，在线性回归分析中，若值越大则模型的拟合效果越好，C错误； 对于D，正态曲线关于直线对称，所以， 又，所以，D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式的项数为6 B．二项式系数和为64 C．所有项的系数之和为2 D．展开式中第3项为 【答案】BD 【分析】由二项式展开的项数为，可判断A；求出二项式系数和为，可判断B；利用赋值法求出所有项的系数和，可判断C；求出第3项，可判断D. 【详解】对于A，因为，所以展开后共有7项，故A错误； 对于B，由题意可知二项式系数和为，故B正确； 对于C，令，则所有项的系数和，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 故选：BD. 10．已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．的极大值点是 C．的图象关于对称 D．方程有1个实数根 【答案】AC 【分析】求导确定函数单调性区间，可判断ABD，由对称性概念可判断C. 【详解】由， 得， 由得或， 由得， 所以在单调递增，在单调递减， 故为的极小值点，故A对，B错， 又为的极大值点，且，    由图像可知方程有2个实数根，故D错误， 由， ，且 所以 即的图象关于对称，故C正确， 故选：AC 11．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，则下列说法正确的是（   ） A．当点为的中点时， B．对于任意点，都有 C．三棱锥体积的最小值为 D．点到直线的距离的最小值为 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间的距离公式即可判断A，设，利用数量积即可判断B，设点到平面的距离为，得，求的范围即可判断C，利用向量法求点到直线的距离即可判断D. 【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由棱长为2， 所以， 由点为的中点，所以， 所以，故A错误； 由，设， 所以， ，所以， 所以对于任意点，都有，故B正确； 设点到平面的距离为， 所以， 又点在线段上运动，所以， 所以，所以三棱锥体积的最小值为，故C正确； 由，所以， 所以点到直线的距离为 当且仅当时，等号成立，故点到直线的最短距离为, 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知是等差数列，若，，则________. 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，求得，结合等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为，，可得， 所以. 13．某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为__________． 【答案】/ 【分析】依题意可知日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110，根据超几何分布的概率公式求出对应的概率； 【详解】由题意可得日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110， 则可知. 故答案为： 14．曲线与在交点处存在公切线，则______． 【答案】2 【分析】运用导数几何意义，结合导数运算来判定单调性和求最值，计算即可， 【详解】设两曲线的公切点为，因为，， 依题意得，， 由，解得，将代入， 整理得，令，则，令， 则，令，解得（舍负）， 当时，；当时，， 所以有最小值，所以方程有唯一解，此时，解得． 故答案为：2. 四、解答题 15．（13分）已知函数的图像经过点. (1)求； (2)求在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)2 (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）把点代入解析式可求； （2）求导，利用导数分析函数的单调性，进而可求函数的最大值与最小值. 【详解】（1）函数的图像过点， ，即， ，. （2）由（1）得，， ， 由，得或， 当时，，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， ，，，， 且， 在上的最大值为，最小值为. 16．（15分）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（1）方法一：根据抛物线定义得，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线的方程； （2）方法一：先求AB中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程. 【详解】（1）［方法一］：【通性通法】焦点弦的弦长公式的应用 由题意得，设直线l的方程为． 设，由得． ，故． 所以． 由题设知，解得（舍去）或．因此l的方程为． ［方法二］：弦长公式的应用 由题意得，设直线l的方程为． 设，则由得． ，由，解得（舍去）或．因此直线l的方程为． ［方法三］：【最优解】焦点弦的弦长公式的应用 设直线l的倾斜角为，则焦点弦，解得，即．因为斜率，所以． 而抛物线焦点为，故直线l的方程为． ［方法四］：直线参数方程中的弦长公式应用 由题意知，可设直线l的参数方程为（t为参数）． 代入整理得． 设两根为，则． 由，解得． 因为，所以，因此直线l的参数方程为 故直线l的普通方程为． ［方法五］：【最优解】极坐标方程的应用 以点F为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，此时抛物线的极坐标方程为． 设，由题意得，解得，即． 所以直线l的方程为． （2）［方法一］：【最优解】利用圆的几何性质求方程 由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为 ，即． 设所求圆的圆心坐标为，则 解得或， 因此所求圆的方程为或． ［方法二］：硬算求解 由题意可知，抛物线C的准线为，所求圆与准线相切． 设圆心为，则所求圆的半径为． 由得． 所以， 解得或， 所以，所求圆的方程为或． 【整体点评】（1）方法一：根据弦过焦点，选择焦点弦长公式运算，属于通性通法； 方法二：直接根据一般的弦长公式硬算，是解决弦长问题的一般解法； 方法三：根据弦过焦点，选择含直线倾斜角的焦点弦长公式，计算简单，属于最优解； 方法四：根据直线参数方程中的弦长公式，利用参数的几何意义运算； 方法五：根据抛物线的极坐标方程，利用极径的意义求解，计算简单，也是该题的最优解． （2）方法一：根据圆的几何性质确定圆心位置，再根据直线与圆的位置关系算出，是求圆的方程的最优解； 方法二：直接根据圆经过两点，硬算，思想简单，运算相对复杂． 17．（15分）如图，在四棱锥中，，，平面平面，，M，N分别是，的中点.    (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得平面，进而由线面锤子的性质定理得线线垂直. （2）取的中点E，先求得是正三角形，然后建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，最后利用向量法求得线面角的正弦值即可. 【详解】（1）∵，是的中点，∴， 又∵平面平面且交于，平面， ∴平面， 又平面，∴. （2）取的中点E，∵， ∴，，且，， ∴四边形是矩形，∴， 因此是正三角形，∴，，. 如图所示，建立空间直角坐标系   ，，，，， ∴，，， 设平面的法向量， 则有， 令，则，， 故为平面的一个法向量. 由 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18．（17分）已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下： (1)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差s近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，记质量差服从正态分布，求该企业生产的产品为正品的概率P；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． (2)假如企业包装时要求把2件优等品和n（，且）件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B． ①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p； ②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为，求当n为何值时，取得最大值． 【答案】(1)0.8186； (2)①；② 3 【分析】（1）由频率分布直方图求得，得，判断产品为正品的质量差在内，利用正态曲线的对称性和相应的额概率值计算即得. （2）① 依题意，利用古典概型概率公式计算即得； ②依题，运用二项分布概率公式可得，利用求导得到当时即时，取得最大值. 【详解】（1）由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为： ， 依题得，，，所以， 则优等品的质量差在即内，一等品的质量差在即内， 所以正品的质量差在和内，即内， 故该企业生产的产品为正品的概率： ； （2）①从件正品中任选两个，有种选法，其中等级不同有种选法， 故某箱产品抽检被记为B的概率为：． ②由题意，一箱产品抽检被记为的概率为，则5箱产品恰有3箱被记为的概率为 ， 由， 所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为． 此时由，可解得：（舍去）， ∴时，5箱产品恰有3箱被记为的概率最大，最大值为． 19．（17分）已知数列 的前n项和为 且 为等差数列． (1)求数列 的通项公式； (2)若从数列的前项中任取两项，记这两项中至少有一项能被3整除的概率为，证明： 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）设，利用等差数列的概念求出，进而得到，再根据与的关系求通项即可； （2）先确定数列的前项中能被3整除的项数，再结合组合计算出，然后由单调性得到范围即可证明． 【详解】（1）解：设，则，又为等差数列， 则数列是首项为1，公差为2的等差数列， ，则， 时，， 时，， 综上，； （2）证明：，， ， 又，， 则数列的前项中有项能被3整除， ， 又函数在单调递减，且， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $