19.2二次根式的乘法与除法暑假巩固作业2026-2027学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦二次根式乘除运算，通过基础计算、规律归纳、代数变形及实际应用，系统构建“概念-运算-性质-应用”逻辑链条，提炼分母有理化、作差法等实用技巧，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|选择1/3/13、填空13|二次根式乘除法则|从具体运算到符号化表达，强化运算能力| |概念辨析|选择2/4、填空11|最简二次根式判断标准|概念生成→特征辨析→应用判断，构建抽象能力| |规律归纳|解答19|归纳法（a≥0,b≥0时√a×√b=√(ab)）|特殊到一般推理，培养推理意识| |实际应用|解答18|公式应用与倍数关系计算|数学建模解决实际问题，发展应用意识| |代数变形|解答21/23|分母有理化、整体代入|运算技巧→代数式转化，提升运算灵活性| |比较大小|解答22|作差法、分子有理化|通过代数变形突破大小比较，强化逻辑思维|

19.2二次根式的乘法与除法暑假巩固作业 详解详析 一、选择题 1.D 【解析】 × ＝ . 2.B　 【解析】A选项， 是最简二次根式；B选项， ＝2 ，C选项， 是最简二次根式；D选项， 是最简二次根式，故选B. 3.C 【解析】 =  ×  =3  ． 4.D 【解析】A.被开方数是小数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；B.被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；C.被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；D.是最简二次根式，故此选项符合题意；故选：D． 5.A 【解析】由题意得， ． 6.B 【解析】第一次：  ，第二次：   ，第三次：  ，第四次：  ，故对300只需进行4次操作后即可变为1. 7.B 【解析】∵  ，∴x≥0，x−3≥0，解得x≥3． 8.C 【解析】A.  ，故此选项不符合题意；B.  ，故此选项不符合题意；C.  ，故此选项符合题意；D.  2，故此选项不符合题意． 9.B 【解析】A．∵  ，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；B．∵  ，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；C．∵  ，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；D．∵  ，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意． 10.B 【解析】∵mn＞0，m+n＜0，∴m＜0，n＜0，  0，∴原式 ＝|m|＝﹣m． 二、填空题 11.1（答案不唯一） 【解析】当n＝1时，  ，  是最简二次根式（答案不唯一）. 12. (答案不唯一)　 【解析】∵ ＝3 ，∴ ×m＝3m· ，若 ×m的结果为正整数，则m为 的正整数倍即可，∴m＝ 满足题意.(答案不唯一)　 13. 【解析】原式＝3﹣2   2＝5﹣2   ． 14. （答案不唯一） 【解析】 2． 15. 【解析】∵数对（a，b）的一个“对称数对”是  ，∴  或  ，解得  或  ，∴ab＝6或 ． 三、解答题 16.解：（1）原式  ； （2）原式  ； （3）原式        ； （4）原式  ． 17.解：（1）原式＝7＋ ； （2）原式＝1＋2＝3. 18.解：（1）当h＝50时，t1＝ ＝ (秒)； ∴从50米高空抛物到落地所需时间t1的值为 秒； （2）当h＝100时，t2＝ ＝2 (秒)； ∴从100米高空抛物到落地所需时间t2的值为2 秒； （3）∵ ＝ ＝ ， ∴t2是t1的 倍． 19.解：（1）6，6，20，20； 【解法提示】 2×3＝6， 6， 4×5＝20， 20． （2）观察以上计算结果，尝试用含有字母a，b（其中，a≥0，b≥0）的式子表示发现的规律为 （a≥0，b≥0）； ① ； ② 3． 20.解：(1) 因为  ，  ，  ，  ，…， 所以第n个式子是  ； (2) 当n＝8时，  ，它与前面所有的二次根式的积为       ＝1×2×3×4×…×8×3 ＝120960. 21.解：（1） ； 【解法提示】 ． （2）原式     ＝10－1 ＝9； （3） ， ∴ ， ∴4a2－8a＋1＝4(a－1)2－3＝5． 22.解：（1）∵x2﹣（2x﹣1）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0， ∴x2≥（2x﹣1）； （2）  ， ∵x＞0， ∴  0， ∴  0， ∴  ； （3）∵  （  ）﹣（  ）  0， ∴  ． 23.解：（1）     ； （2）∵ ， ∴4a2﹣12a+5＝（2a﹣1）（2a﹣5）       ＝7﹣4 ＝3． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.2二次根式的乘法与除法暑假巩固作业 一、选择题 1.计算   × 的结果是(　　) A.2    B.7    C.14   D. 2.下列根式中，不是最简二次根式的是（      ） A. B. C. D. 3.化简  的结果为（          ） A. B.2 C.3 D.9 4.下列各式中，是最简二次根式的是（      ） A. B. C. D. 5.化简 （      ） A． B． C． D． 6.对于实数x，我们规定  表示不大于x的最大整数，如  ，  ，  ．现对82进行如下操作：82第一次  ，第二次  ，第三次  ，这样对82只需进行3次操作后即可变为1，类似地，对300只需进行多少次操作后即可变为1（      ） A．3 B．4 C．5 D．6 7.如果  ，那么（      ） A．x≥0 B．x≥3 C．0≤x≤3 D．x为任意实数 8.下列运算中，错误的是（          ） A. B. C. D. 9.下列计算正确的是（          ） A． B． C． D． 10.若mn＞0，m+n＜0，则化简 （      ） A．m B．﹣m C．n D．﹣n 二、填空题 11.写出一个正整数n，使  是最简二次根式，则n可以是____________． 12.若计算 ×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是________.(写出一个符合条件的即可) 13.计算：  ________． 14.一个二次根式与  的乘积是有理数，这个二次根式可以是______.（只需写出一个即可） 15.我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记  ，其中（a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”．若数对（a，b）的一个“对称数对”是  ，则ab的值是____________． 三、解答题 16.把下列二次根式化为最简二次根式： （1）  ； （2）  ； （3）  ； （4）  ． 17.计算： （1） （ ＋1）； （2） （ ＋ ）. 18.据研究，从高空抛物时间t(秒)和高度h(米)近似满足公式t＝ (不考虑风速影响)． （1）从50米高空抛物到落地所需时间t1的值是多少？ （2）从100米高空抛物到落地所需时间t2的值是多少？ （3）t2是t1的多少倍？ 19.【计算下列各式】 （1） ______， ______， ______， ______； 【归纳发现】 （2）观察以上计算结果，尝试用含有字母a，b（其中，a≥0，b≥0）的式子表示发现的规律； 【实践应用】 （3）运用发现的规律进行计算： ① ； ② ． 20.已知按规律排列的一列二次根式如下：  ，  ，  ，  ，… (1) 根据你发现的规律猜想第n个式子是多少； (2) 当n＝8时，求它与前面所有的二次根式的积. 21.代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟新径，事半功倍．阅读下列短文：已知 ，求2a2－8a＋1的值．分析与解答； ∵将a分母有理化 ， ∴ ， ∴(a－2)2＝3，即a2－4a＋4＝3， ∴a2－4a＝－1， ∴2a2－8a＋1＝2(a2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1． 请你根据上面的分析过程，解决如下问题： （1）计算 ______； （2）计算 的值； （3）若 ，求4a2－8a＋1值． 22.小云同学在解决两个代数式比大小时想起课上曾讲过可以利用作差法进行比较，但她记不清了，于是通过豆包进行询问，如下： 豆包内容由AI生成 作差法比大小 作差法比大小是通过计算两个数（或代数式）的差值，再与0比较，从而判断两者大小的方法，核心逻辑是“差值定大小”． 具体步骤可分为3步． 1．作差：计算两个比较对象的差值，即设比较对象为A和B，计算A﹣B． 2．变形：对差值进行化简、因式分解或配方等，方便判断其与0的关系（若差值为常数，此步可省略）． 3．判断：根据差值与0的大小关系，得出结论： 若A﹣B＞0，则A＞B； 若A﹣B＝0，则A＝B； 若A﹣B＜0，则A＜B； 比如比较“10”和“7”，作差得10﹣7＝3＞0，因此10＞7； 比较“x2+1”和“x2”作差得1＞0，因此x2+1＞x2．  通过学习，小云同学尝试解决下面三个问题： （1）比较x2和2x﹣1的大小； （2）已知x＞0，比较  与  的大小； （3）比较  与  ． 利用作差法，小云成功解决了前两个问题，请你尝试并给出比较结果： 1）x2____________2x﹣1； 2）x＞0时，  ____________  ． 第三个问题，作差后并不能直接判断差的正负，小云试着寻找新的方法，由于每个数都有根号，而且是减法，能不能去掉根号或者转化为加法呢，聪明的小云联想到分母有理化，创造了“分子有理化”，以  为例， ， 请结合小云的思考完成第3个问题，并写出比较的过程：  ． 23.我们知道 ，因此在计算 时，分子和分母同时乘以 ，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化． （1）化简： ； （2）若 ，求4a2﹣12a+5的值． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.2二次根式的乘法与除法暑假巩固作业 一、选择题 1.计算   × 的结果是(　　) A.2    B.7    C.14   D. 1.D 【解析】 × ＝ . 2.下列根式中，不是最简二次根式的是（      ） A. B. C. D. 2.B　 【解析】A选项， 是最简二次根式；B选项， ＝2 ，C选项， 是最简二次根式；D选项， 是最简二次根式，故选B. 3.化简  的结果为（          ） A. B.2 C.3 D.9 3.C 【解析】 =  ×  =3  ． 4.下列各式中，是最简二次根式的是（      ） A. B. C. D. 4.D 【解析】A.被开方数是小数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；B.被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；C.被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；D.是最简二次根式，故此选项符合题意；故选：D． 5.化简 （      ） A． B． C． D． 5.A 【解析】由题意得， ． 6.对于实数x，我们规定  表示不大于x的最大整数，如  ，  ，  ．现对82进行如下操作：82第一次  ，第二次  ，第三次  ，这样对82只需进行3次操作后即可变为1，类似地，对300只需进行多少次操作后即可变为1（      ） A．3 B．4 C．5 D．6 6.B 【解析】第一次：  ，第二次：   ，第三次：  ，第四次：  ，故对300只需进行4次操作后即可变为1. 7.如果  ，那么（      ） A．x≥0 B．x≥3 C．0≤x≤3 D．x为任意实数 7.B 【解析】∵  ，∴x≥0，x−3≥0，解得x≥3． 8.下列运算中，错误的是（          ） A. B. C. D. 8.C 【解析】A.  ，故此选项不符合题意；B.  ，故此选项不符合题意；C.  ，故此选项符合题意；D.  2，故此选项不符合题意． 9.下列计算正确的是（          ） A． B． C． D． 9.B 【解析】A．∵  ，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；B．∵  ，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；C．∵  ，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；D．∵  ，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意． 10.若mn＞0，m+n＜0，则化简 （      ） A．m B．﹣m C．n D．﹣n 10.B 【解析】∵mn＞0，m+n＜0，∴m＜0，n＜0，  0，∴原式 ＝|m|＝﹣m． 二、填空题 11.写出一个正整数n，使  是最简二次根式，则n可以是____________． 11.1（答案不唯一） 【解析】当n＝1时，  ，  是最简二次根式（答案不唯一）. 12.若计算 ×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是________.(写出一个符合条件的即可) 12. (答案不唯一)　 【解析】∵ ＝3 ，∴ ×m＝3m· ，若 ×m的结果为正整数，则m为 的正整数倍即可，∴m＝ 满足题意.(答案不唯一)　 13.计算：  ________． 13. 【解析】原式＝3﹣2   2＝5﹣2   ． 14.一个二次根式与  的乘积是有理数，这个二次根式可以是______.（只需写出一个即可） 14. （答案不唯一） 【解析】 2． 15.我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记  ，其中（a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”．若数对（a，b）的一个“对称数对”是  ，则ab的值是____________． 15. 【解析】∵数对（a，b）的一个“对称数对”是  ，∴  或  ，解得  或  ，∴ab＝6或 ． 三、解答题 16.把下列二次根式化为最简二次根式： （1）  ； （2）  ； （3）  ； （4）  ． 16.解：（1）原式  ； （2）原式  ； （3）原式        ； （4）原式  ． 17.计算： （1） （ ＋1）； （2） （ ＋ ）. 17.解：（1）原式＝7＋ ； （2）原式＝1＋2＝3. 18.据研究，从高空抛物时间t(秒)和高度h(米)近似满足公式t＝ (不考虑风速影响)． （1）从50米高空抛物到落地所需时间t1的值是多少？ （2）从100米高空抛物到落地所需时间t2的值是多少？ （3）t2是t1的多少倍？ 18.解：（1）当h＝50时，t1＝ ＝ (秒)； ∴从50米高空抛物到落地所需时间t1的值为 秒； （2）当h＝100时，t2＝ ＝2 (秒)； ∴从100米高空抛物到落地所需时间t2的值为2 秒； （3）∵ ＝ ＝ ， ∴t2是t1的 倍． 19.【计算下列各式】 （1） ______， ______， ______， ______； 【归纳发现】 （2）观察以上计算结果，尝试用含有字母a，b（其中，a≥0，b≥0）的式子表示发现的规律； 【实践应用】 （3）运用发现的规律进行计算： ① ； ② ． 19.解：（1）6，6，20，20； 【解法提示】 2×3＝6， 6， 4×5＝20， 20． （2）观察以上计算结果，尝试用含有字母a，b（其中，a≥0，b≥0）的式子表示发现的规律为 （a≥0，b≥0）； ① ； ② 3． 20.已知按规律排列的一列二次根式如下：  ，  ，  ，  ，… (1) 根据你发现的规律猜想第n个式子是多少； (2) 当n＝8时，求它与前面所有的二次根式的积. 20.解：(1) 因为  ，  ，  ，  ，…， 所以第n个式子是  ； (2) 当n＝8时，  ，它与前面所有的二次根式的积为       ＝1×2×3×4×…×8×3 ＝120960. 21.代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟新径，事半功倍．阅读下列短文：已知 ，求2a2－8a＋1的值．分析与解答； ∵将a分母有理化 ， ∴ ， ∴(a－2)2＝3，即a2－4a＋4＝3， ∴a2－4a＝－1， ∴2a2－8a＋1＝2(a2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1． 请你根据上面的分析过程，解决如下问题： （1）计算 ______； （2）计算 的值； （3）若 ，求4a2－8a＋1值． 21.解：（1） ； 【解法提示】 ． （2）原式     ＝10－1 ＝9； （3） ， ∴ ， ∴4a2－8a＋1＝4(a－1)2－3＝5． 22.小云同学在解决两个代数式比大小时想起课上曾讲过可以利用作差法进行比较，但她记不清了，于是通过豆包进行询问，如下： 豆包内容由AI生成 作差法比大小 作差法比大小是通过计算两个数（或代数式）的差值，再与0比较，从而判断两者大小的方法，核心逻辑是“差值定大小”． 具体步骤可分为3步． 1．作差：计算两个比较对象的差值，即设比较对象为A和B，计算A﹣B． 2．变形：对差值进行化简、因式分解或配方等，方便判断其与0的关系（若差值为常数，此步可省略）． 3．判断：根据差值与0的大小关系，得出结论： 若A﹣B＞0，则A＞B； 若A﹣B＝0，则A＝B； 若A﹣B＜0，则A＜B； 比如比较“10”和“7”，作差得10﹣7＝3＞0，因此10＞7； 比较“x2+1”和“x2”作差得1＞0，因此x2+1＞x2．  通过学习，小云同学尝试解决下面三个问题： （1）比较x2和2x﹣1的大小； （2）已知x＞0，比较  与  的大小； （3）比较  与  ． 利用作差法，小云成功解决了前两个问题，请你尝试并给出比较结果： 1）x2____________2x﹣1； 2）x＞0时，  ____________  ． 第三个问题，作差后并不能直接判断差的正负，小云试着寻找新的方法，由于每个数都有根号，而且是减法，能不能去掉根号或者转化为加法呢，聪明的小云联想到分母有理化，创造了“分子有理化”，以  为例， ， 请结合小云的思考完成第3个问题，并写出比较的过程：  ． 22.解：（1）∵x2﹣（2x﹣1）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0， ∴x2≥（2x﹣1）； （2）  ， ∵x＞0， ∴  0， ∴  0， ∴  ； （3）∵  （  ）﹣（  ）  0， ∴  ． 23.我们知道 ，因此在计算 时，分子和分母同时乘以 ，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化． （1）化简： ； （2）若 ，求4a2﹣12a+5的值． 23.解：（1）     ； （2）∵ ， ∴4a2﹣12a+5＝（2a﹣1）（2a﹣5）       ＝7﹣4 ＝3． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $