19.2 二次根式的乘法与除法（讲本）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）重庆专版

讲本答案 第十九章二次根式 19.1二次根式及其性质 第1课时二次根式的概念 知识梳理 1.a(a≥0)2.a≥0 例题导学 【例1】解：(2)(3)(5)(6)是二次根式；(1)(4)(7)不是二次 根式.【例2】解：(1)·√x+3有意义，∴.x十3≥0，解得 x≥-3.(2)√一x有意义，.-x2≥0，解得x=0. （3:V产有意义己>0，且1-≠0解得<1. (4)√十2x十I=√(x+1)有意义，.x可取全体实 数.(5)：√x十2与√4-x有意义，∴.x十2≥0且4-x≥0， 解得-2≤x≤4.(6)：√3-x十(x-2)°有意义，.3-x≥ 0且x-2≠0，解得x≤3且x≠2. 变式练习 1.C2.C3.(1)x=4(2)全体实数(3)x2且x≠ -2 第2课时二次根式的性质 知识梳理 a(a≥0)， 2.(1)a(2)a= -a(a0) 例题导学 【例】-1【例21解：(-6=5.2(3√号)=3× (√)=9×号=6(3)(a)=。+1 (4)(√a-1)2=a-1.【例3】解：√4=4；√-5)=5； √（行）=-子：个=0,1)不-定：当≥0时，石 =a;当a<0时，√/a=-.(2)①2-x②π-3.14 变式练习 1.A2.-13.±44.解：(x+y-1)2与√2x-y+4 互为相反数..(x十y-1)2十√/2x-y十4=0.又(x十y -1)P≥0,2x-y+4≥0.2+y-1=0, 解得 2x-y十4=0， y=2. 1y=2=分y的倒数是2.5.1)-10 x=一1 (2)3x-26.D7.(1)-3.7(2)3-58.-2 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时二次根式的乘法 知识梳理 1.√ab2.a√b 例题导学 【例1】解：(1)原式=√2×6=√/2X3=2√5.(2)原式= 参考答案第 √/15X5=-√5X3=-5√5.(3)原式=2×3 √写×号=6瓜(0原式=2V·活=2后， 7 【例2】解：(1)原式=√25×√64=5×8=40.(2)原式 √/20X5=√20X√5=20√5.(3)原式=√/4X9=√4×√9 =2X3=6.(4)原式=√72xy·x=√7xy·√= 7x2y2√E. 变式练习 1.D2.解：(1)原式=-√6X15=-3√10.(2)原式=3× 2V6x3=6厄.(3)原式=2×(）)×√号×3X10= -6.(4)原式=2√5a·吉ab=2a瓜.(6)原式 √2xy·8x=√16xy=4xy.(6)原式= 是3y…=2r=-号3.c 3 4.B5.解：(1)原式=√/25×√36=5×6=30.(2)原式= √6X16=√16×√6=4√6.(3)原式=√4×2mn=√4× √2X√mn=2√2mn. 第2课时二次根式的除法 知识梳理 %2. 1.N6 3.不含分母能开得尽平方的因数或因 式4.最简二次根式 例题导学 【例1】解：1)原式=√==36.（2)原式 √×号=-6.(3)原式=15√-15×3=45. (4)原式=√21ab,严-√2Ia=21a.【创2】解： 0照式-V停-罗-合2原式-V儒-震 号3)原式=--5(4原式=亚 √9a23a /9x 3x 【例3】解：瓜V瓜于可，品是最简三次根式， 瓜V后后可不是 最简二次根式. 变式练习 1.C2.-1≤x<13.(15(2)-√2(3)3(4)-2√ab 4新0原式-清-空-子》原式需 64x =验瓜5.解：(1)原式=(9x号×)× √45x5x =-3×10√6=-30√6.(2)原式= 页（共55页） 古·aG瓜=-abv瓜.6.①⑥7d 8解：原式=√=四②原式-√- =30 6 19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加减 知识梳理 2.(1)最简二次根式被开方数 例题导学 【例1】Vs和√分【例2】解：1原式=45+3-E -2)原式-后+5-4v万--4反 2 3 变式练习 1D2-13解：1原式=号+5+25-号-号+ 82)原式=45-反-万+2万=85+厄 4解W4-√号+尽=2-昌万+E=2-E “-√4号十号压=a十b厄，a,6为有理数，a=2,b 是6-6=厄-√日=E-9-9 第2课时二次根式的混合运算 知识梳理 2.a-ba±2/ab+b 例题导学 【例1】解：(1)原式=3√-32-35=-3√2.(2)原式 (6-3压+)×顶=4-3v丽+85-0 3 3 -3√30.(3)原式=(60√6-16√6+2√6)÷2√6=46√6 ÷2V6=23.【例2】(1)√3+√E(2)√1T-2 【例3】解：(1)原式=8-4√6+3=11-4√6.(2)原式=5 3=2.(3)原式=(5-2√6)(5+2√6)=25-24=1.(4)原式 =[(W2+1)-√3][(W2+1)+√3=(W2+1)2-3=2+2√2 +1-3=2√2. 变式练习 1.C2.解：1)原式=(25-5)×6=号后×6 号×6=-5(2)原式=65-45)÷万-32= (-3√5)÷√3-3√2=-3-3√2.3.解：(1)原式= √1+2√3+3=√12+23+(W3)2=√(1+√3)2=1+ √5.(2)原式=√1-2√2+2=12-2√2+(W2)2= 参考答案第 √/(1-√2)2=2-1.4.解：(1)原式=1-12+3-2√5+ 1=-7-2.(2)原式=V27X3+√27×号+12-1=9 +3+12-1=23.(3)原式=(-6+3√2)（√3-√6 3√2)=(W5-√6)2-(3√2)2=3-6√2+6-18=-9 6√2.(4)原式=[(10-√T)(√0+√T)]·(√10 √)=(10-11)22（√0-√）=√0-√.5.解：x =3+√7，y=3-√7，∴x十y=6,xy=2.(1)原式=(x十y)2- 2y=60-2X2=32.(2原式=Y+工=2=16. xy 2 专题突破二次根式中常见的化简求值技巧 例题导学 【例1】解：原式=(x+1)2=(√5-1+1)2=（√3）2=3. 【例2】解：原式=a)十六x市=-1)(x+· 士-六当x=+1时，原式=后 1 3 √5+1-131 【例3】解：由题可知，号≥0且一}>0，解得x=之 将x=号代入求得>1，则1x-11--1) 亞-1x-1川-1x-1川-亚=-y= y-1 y1 3y-1 变式练习 1.14√22.解：：x=√2-√3，y=2+3,∴.x十y=(W2-√5) 十W2+3)=2√2，x-y=W2-5)-(W2+3)=-23.原式 =√(x+y)+(x-y)-4=√/(2W2)2+(-2W3)-4= √4-2√5=√3-1.3.解：由题意可知：4x-1≥0,1-4x≥ 0x=子y=3.原式=(2xE+2网）-(x匠+ 5√y)=2x反+2√y-x匠-5√y=xE-3√y =√F-3V√X8-号-3y9.4解：由题意，得 2 (x-2)2+√y-3=0.:(x-2)2≥0，√y-3≥0，∴.(x 2)2=0,√y-3=0.∴x-2=0,y-3=0.解得x=2,y=3. .(3x十y)2-3(3x-y)(x+y)-(x-3y)(x+3y)=9.x2+6.xy +y-3(3x2+2xy-y)-(x2-9y2)=9x2+6xy+y2-9x -6xy十3y2-x2+9y2=-x2十13y2.当x=2,y=3时，原 式=-22+13×32=-4+117=113. 第十九章整合与提升 考点突破 【例1】(1)A(2)a≥-1且a≠2(3)2【例2】解：(1)原 式=(65-25+4月)÷25=28÷25=兰(2)原 式=5-53+(15-12)=5-5√3+3=8-5√5.(3)原式 =(8√元-2√元)÷3√元=6√元÷3√(=2.【例3】解： 页（共55页）(2)利用你总结的规律进行计算： 【变式练习】 ①若x<2,则√(x-2)2= 6.若√(a-2)2=2-a,则a的取值范 ②√(3.14-π)7= 围是 【方法点拨】计算√a2一般有两步：(1)去掉根 A.a>2 B.a≥2 号及被开方数的指数，写成绝对值的形式； C.a<2 D.a≤2 7.计算： (2)根据绝对值的意义进行简化.即√a a(a≥0)， (1)-√-3.7)7= al= 1-a(a<0). (2)√(5-3)2= 8.实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简 √(a+1)严+√(b-1)-√(a-b)的结果 是 b -10123 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时二次根式的乘法 A知识梳理 (3) 2√2写×(-3号)： 1.二次根式的乘法法则 √a·√b= (a≥0，b≥0)，即二次根 式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，该 【方法点拨】二次根式的乘法计算，将系数相 性质还可以推广到多个非负数的情 乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被 况.如： 开方数，能开方的应开方后移到根号外，同 (1)a·√b·√c=√Jabc(a≥0，b≥0，c≥0)； 时也要注意运算的灵活性，含有字母的要注 (2)m√a·nb=mn√ab(a≥0，b≥0. 意字母的符号. 2.二次根式的乘法法则的逆用 √ab= (a≥0，b≥0)，即积的算 术平方根等于积中各因式的算术平方根 的积. B例题导学 知识点1 二次根式的乘法 【例1】计算： 【变式练习】 (1)2×√6： 1.计算√3×√2的结果是 (2)-√/15×√5； A.3 B.3√2 C.23 D.√6 3· 2.计算与化简： 知识点2 积的算术平方根的性质 (1)√6×(-√15)； 【例2】化简： (1)√J25×64; (2)√/2000； (3)√(-4)×(-9)； (2)3√6×2 (4)√/49x5y(x>0,y>0) 【方法点拨】(1)直接用积的算术平方根的性 质计算；(2)先把被开方数化成一个数的平 方与另一个数的积，再用积的算术平方根的 性质计算；(3)把两个负数的积转化为两个 (8)1号×2Ex(-2o): 正数的积，再用积的算术平方根的性质计 算；(4)因为x>0,y>0,所以x5y6可转化为 xy·x,再进行化简. (4)2√5a ab; 【变式练习】 3.化简√18的结果是 ( A.4√3 B.2√3 C.3√2 D.2√6 4.化简√（一7）×7的结果是 (5)W2xy·√8x(y>0); A.-77 B.7√7 C.±77 D.√343 5.化简： (1)√25X36; 6网·（是可列·月 (2)√/(-6)×(-16)； (3)√8mn(m>0,n>0). 4· 第2课时 二次根式的除法 A知识梳理 【方法点拨】利用二次根式的除法法则进行计 1.二次根式的除法法则 算时，被开方数相除可用“除以一个不为零的 数等于乘这个数的倒数”进行约分、化简.相除 a (a≥0，b>0),即两个二次根 时，可类比单项式除以单项进行计算。 式相除，把被开方数相除，根指数不变， 【变式练习】 2.二次根式的除法法则的逆用 1.下列计算结果正确的是 A.√/48÷√12=4 B.3√2÷2√2=1 (a≥0，b>0),即商的算术 平方根等于分子的算术平方根除以分母 C.√24÷6=2 D层÷6=2 的算术平方根 2.若 √x+1 x+1 3.最简二次根式 1 成立，则x的取值范围 如果一个二次根式满足以下两个条件： 是 (1)被开方数 ;(2)被开方数中 3.计算： 不含 我们称 (1)2√6：22= 这样的二次根式为最简二次根式 (2)-√24÷√12= 4.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化 (3)-3√12÷(-2√/3)=： 简，使其中的二次根式为 并且分母中不含二次根式 (4)6√a3b÷(-3√a2b)= B例题导学 知识点2 商的算术平方根的性质 知识点1 二次根式的除法 【例2】化简： 【例1】计算： (2) -16 -25 (1)08 √2 √9a(a>0)(4, (3) 46 11y (x>0,y<0) (2)- 【方法点拨】利用商的算术平方根的性质进行 化简时，若被开方数是带分数，先化成假分数， (3)-5√72÷(-38)： 再化简；若被开方数含有字母，一定要根据字 4)V2i÷、品aa>0.b>0》, 母的取值范围来确定化简结果的符号. 5· 【变式练习】 知识点3最简二次根式 4.化简： 【例3】下列二次根式中，哪些是最简二次根 36×9 (1)144 式？哪些不是最简二次根式？ ,1,0.a,小8a:√，a, 是+- 【方法点拨】按照最简二次根式必须满足的 两个条件逐一判断即可. (2)gx>0,a>0.b>0 【变式练习】 5.计算与化简： 6.有下列二次根式：①：@②0：@、√2行 19雨后×(-2写： ④√50：⑤√54；⑥√/13(x+y).其中，是 最简二次根式的有 .(填序号) 7.化简-2a一 的结果是 8.将下列各式化简成最简二次根式： (2号a丽·(-a0÷3√原 2+ ·6·