19.1二次根式及其性质暑假巩固作业2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦二次根式定义、性质及运算，通过基础巩固-能力提升-综合应用三层设计，实现从概念理解到推理应用的暑假知识巩固，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二次根式定义、有意义条件、(√a)²=a|选择1-8、填空11-13，直接考查概念辨析与简单计算| |能力提升|√a²=|a|化简、性质综合应用|选择9-10、填空14-15、解答16-18，结合字母取值分类讨论| |综合应用|跨情境性质迁移、阅读探究|解答19-21，通过材料分析拓展性质应用，培养数学思维与表达|

19.1二次根式及其性质暑假巩固作业 详解详析 一、选择题 1.A 2.A 【解析】（  ）2＝3． 3.B 【解析】∵x＝−3，∴  3． 4.D 【解析】对于二次根式 ，x≥0，故选D． 5.D 【解析】依题意有4x+1≥0，解得x ，故x能取的最小整数是0． 6.D 【解析】根据题意可得6n+4≥0，解得 ，∴A，B，C不符合题意；当n＝0时， ，是整数，故D符合题意． 7.D 【解析】原式 ． 8.D 【解析】∵二次根式  有意义，∴可得x﹣1≥0，解得x≥1． 9.A 【解析】A.  ，原计算正确，故符合题意；B.（﹣3）2＝9，原计算错误，故不符合题意；C.  ，原计算错误，故不符合题意；D.  ，原计算错误，故不符合题意；故选：A． 10.A 二、填空题 11.π﹣3 【解析】 |3﹣π|＝π﹣3. 12.1(或2)　 【解析】根据题意，得2-x≥0，∴x≤2，则x可取的正整数为1或2. 13.3 【解析】根据题意可知，x﹣3≤0，又x﹣3≥0，解得x＝3． 14.2﹣x 【解析】∵x＜2，∴x﹣2＜0，∴  |x﹣2|＝2﹣x． 15.2（答案不唯一） 【解析】∵a﹣1≥0，∴a≥1，∴a＝2（答案不唯一）． 三、解答题 16.解：(1)由-x≥0，得x≤0. (2)由2x-6≥0，得x≥3. (3)由3-x>0，得x<3. (4)x为任意实数. 17.解：（1）  5，  ，  3，  ， （2）不一定；  |a|； （3）  |3﹣π|＝π﹣3． 18.解：由题意得4m﹣1≥0，1﹣4m≥0， 所以4m﹣1＝0， 解得  ， 所以  ， 所以  ， 所以  的算术平方根是  . 19.解：要使该二次根式有意义，需  ≥0， 由除法法则得  或  ， 解得x≥1或x＜－2， 当x≥1或x＜－2时，  有意义． 20.解：(1) 3  (2)由题意，可知 .当 时，原等式可化为 ，解得 .当 时，原等式可化为 ，恒成立.当 时，原等式可化为 ，解得 .综上所述， 的取值范围是 . 21.解：(1)原式=  ； ； (2)原式=  ； . 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.1二次根式及其性质暑假巩固作业 一、选择题 1.下列各式一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 1.A 2.计算（  ）2的结果为(          ) A．3 B．3 C．6 D．9 2.A 【解析】（  ）2＝3． 3.当x＝−3时，  的值是（      ） A. 3 B．3 C．−3 D．9 3.B 【解析】∵x＝−3，∴  3． 4.二次根式 中，x的值不能是（      ） A．π B．1 C．0 D．﹣1 4.D 【解析】对于二次根式 ，x≥0，故选D． 5.若 有意义，则x能取的最小整数是（      ） A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．0 5.D 【解析】依题意有4x+1≥0，解得x ，故x能取的最小整数是0． 6.已知 是整数，则整数n的值可以是（      ） A．﹣7 B．﹣6 C．﹣2 D．0 6.D 【解析】根据题意可得6n+4≥0，解得 ，∴A，B，C不符合题意；当n＝0时， ，是整数，故D符合题意． 7.计算 （      ） A． B．2 C．﹣2 D． 7.D 【解析】原式 ． 8.使二次根式  有意义的x的取值范围是（      ） A．x＝1 B．x≠1 C．x＞1 D．x≥1 8.D 【解析】∵二次根式  有意义，∴可得x﹣1≥0，解得x≥1． 9.下列各式正确的是（      ） A. B．（﹣3）2＝﹣9 C. D. 9.A 【解析】A.  ，原计算正确，故符合题意；B.（﹣3）2＝9，原计算错误，故不符合题意；C.  ，原计算错误，故不符合题意；D.  ，原计算错误，故不符合题意；故选：A． 10.代数式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为(　　) 10.A 二、填空题 11.计算  的结果是______． 11.π﹣3 【解析】 |3﹣π|＝π﹣3. 12.若 在实数范围内有意义，写出一个满足条件的x的正整数值为______. 12.1(或2)　 【解析】根据题意，得2-x≥0，∴x≤2，则x可取的正整数为1或2. 13.若  ，则x的值为______． 13.3 【解析】根据题意可知，x﹣3≤0，又x﹣3≥0，解得x＝3． 14.已知x＜2，化简：  ______． 14.2﹣x 【解析】∵x＜2，∴x﹣2＜0，∴  |x﹣2|＝2﹣x． 15. 有意义，任意写出一个符合条件的a＝ ______． 15.2（答案不唯一） 【解析】∵a﹣1≥0，∴a≥1，∴a＝2（答案不唯一）． 三、解答题 16.当x满足什么条件时，下列二次根式有意义? （1）           （2） （3）   （4） 16.解：(1)由-x≥0，得x≤0. (2)由2x-6≥0，得x≥3. (3)由3-x>0，得x<3. (4)x为任意实数. 17.归纳与探究 （1）计算：  分别等于多少呢？ （2）猜想：对于任意实数a，  一定等于a吗？利用（1）中的计算，你发现  的值等于多少呢？ （3）应用：根据上面发现的规律，求（3﹣π）2的算术平方根． 17.解：（1）  5，  ，  3，  ， （2）不一定；  |a|； （3）  |3﹣π|＝π﹣3． 18.若m，n是实数，且  ，求  的算术平方根. 18.解：由题意得4m﹣1≥0，1﹣4m≥0， 所以4m﹣1＝0， 解得  ， 所以  ， 所以  ， 所以  的算术平方根是  . 19.先阅读，后回答问题：x为何值时，  有意义？ 解：要使该二次根式有意义，需x(x－3)≥0，由乘法法则得  或  ． 解得x≥3或x≤0， ∴当x≥3或x≤0，  有意义， 体会解题思想后，请你解答：x为何值时，  有意义？ 19.解：要使该二次根式有意义，需  ≥0， 由除法法则得  或  ， 解得x≥1或x＜－2， 当x≥1或x＜－2时，  有意义． 20.阅读下面的解题过程： 若代数式  的值是2，求a的取值范围. 解：原式=  . 当a<1时，原式=  ， 令  ，解得a=1(（不合题意，舍去）， 当1≤a<3时，原式=  ，恒成立， 当a≥3时，原式=  ，令  ，解得a=3， 综上所述，a的取值范围是1≤a≤3. 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据以上解题过程，解答问题. (1)当2≤a<5时，化简：  ____________； (2)若等式  成立，求a的取值范围. 20.解：(1) 3  (2)由题意，可知 .当 时，原等式可化为 ，解得 .当 时，原等式可化为 ，恒成立.当 时，原等式可化为 ，解得 .综上所述， 的取值范围是 . 21.阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 化简：  . 解：因为3=1+2且2=1×2，所以  =  ，所以  =  . 仿照上述方法化简： (1)  ； (2)  . 21.解：(1)原式=  ； ； (2)原式=  ； . 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.1二次根式及其性质暑假巩固作业 一、选择题 1.下列各式一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2.计算（  ）2的结果为(          ) A．3 B．3 C．6 D．9 3.当x＝−3时，  的值是（      ） A. 3 B．3 C．−3 D．9 4.二次根式 中，x的值不能是（      ） A．π B．1 C．0 D．﹣1 5.若 有意义，则x能取的最小整数是（      ） A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．0 6.已知 是整数，则整数n的值可以是（      ） A．﹣7 B．﹣6 C．﹣2 D．0 7.计算 （      ） A． B．2 C．﹣2 D． 8.使二次根式  有意义的x的取值范围是（      ） A．x＝1 B．x≠1 C．x＞1 D．x≥1 9.下列各式正确的是（      ） A. B．（﹣3）2＝﹣9 C. D. 10.代数式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为(　　) 二、填空题 11.计算  的结果是______． 12.若 在实数范围内有意义，写出一个满足条件的x的正整数值为______. 13.若  ，则x的值为______． 14.已知x＜2，化简：  ______． 15. 有意义，任意写出一个符合条件的a＝ ______． 三、解答题 16.当x满足什么条件时，下列二次根式有意义? （1）           （2） （3）   （4） 17.归纳与探究 （1）计算：  分别等于多少呢？ （2）猜想：对于任意实数a，  一定等于a吗？利用（1）中的计算，你发现  的值等于多少呢？ （3）应用：根据上面发现的规律，求（3﹣π）2的算术平方根． 18.若m，n是实数，且  ，求  的算术平方根. 19.先阅读，后回答问题：x为何值时，  有意义？ 解：要使该二次根式有意义，需x(x－3)≥0，由乘法法则得  或  ． 解得x≥3或x≤0， ∴当x≥3或x≤0，  有意义， 体会解题思想后，请你解答：x为何值时，  有意义？ 20.阅读下面的解题过程： 若代数式  的值是2，求a的取值范围. 解：原式=  . 当a<1时，原式=  ， 令  ，解得a=1(（不合题意，舍去）， 当1≤a<3时，原式=  ，恒成立， 当a≥3时，原式=  ，令  ，解得a=3， 综上所述，a的取值范围是1≤a≤3. 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据以上解题过程，解答问题. (1)当2≤a<5时，化简：  ____________； (2)若等式  成立，求a的取值范围. 21.阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 化简：  . 解：因为3=1+2且2=1×2，所以  =  ，所以  =  . 仿照上述方法化简： (1)  ； (2)  . 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $