专题21.5《正方形》10大题型专项突破（期末复习）2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 以10大题型系统覆盖正方形性质理解、计算、证明及综合应用，构建从概念辨析到复杂情境的递进训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质理解|4题/对比辨析题|辨析正方形与平行四边形、菱形、矩形性质差异|从概念本质出发，建立特殊四边形性质联系| |性质应用|16题/角度、长度、面积计算题|结合图形变换（含等边三角形、中点）考查边、角、对角线性质|性质→计算方法→变式应用的逻辑链| |特殊情境|12题/折叠、重叠面积题|涉及图形翻折、多正方形组合，需空间想象与方程思想|静态性质→动态变换→面积关系推导| |判定与证明|12题/条件添加、证明题|从平行四边形、菱形等基础上添加判定条件，综合运用性质与判定|定义→判定定理→多条件推理| |综合应用|4题/坐标系、动态问题|结合坐标系、动点探究，融合性质与判定综合解决问题|单一知识→多知识点关联→复杂问题解决|

专题21.5 正方形 【10大题型专项突破】 【题型1 正方形性质理解】......................................................................................................................... 【题型2 利用正方形的性质求角度】......................................................................................................... 【题型3 利用正方形的性质求长度】......................................................................................................... 【题型4 利用正方形的性质求面积】......................................................................................................... 【题型5 正方形折叠问题】......................................................................................................................... 【题型6 求正方形重叠部分面积】............................................................................................................. 【题型7 利用正方形的性质证明】............................................................................................................. 【题型8 添一个条件使四边形是正方形】................................................................................................. 【题型9 证明四边形是正方形】................................................................................................................. 【题型10 正方形的性质与判定综合应用】....................................................................................... 题型1 正方形性质理解 1．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查正方形与平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 平行四边形的通用性质为：对边平行，对角相等，对角线互相平分，通过对比性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A.对边平行，正方形和平行四边形都具有，不符合题意； B.对角相等，正方形和平行四边形都具有，不符合题意； C.对角线互相平分，正方形和平行四边形都具有，不符合题意； D.正方形的对角线互相垂直平分，而一般平行四边形的对角线仅互相平分，不一定垂直，则对角线互相垂直是正方形具有而平行四边形不一定具有的性质，符合题意． 2．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）正方形具有，而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线垂直 B．对角线平分一组对角 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】本题考查正方形与菱形的性质，解题关键是熟记两种图形的性质，对比即可找出正方形有而菱形不具有的性质． 【详解】解：∵ 正方形的性质为：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； 又∵ 菱形的性质为：四条边都相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角，菱形的对角线不一定相等； ∴ 正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（  ） A．对角相等 B．对角线相等 C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】对比正方形和矩形的性质，逐一分析选项，即可得到答案． 【详解】解：由于对角相等、对角线相等、邻边互相垂直均为矩形的性质， ∵正方形是特殊的矩形，正方形也具有这些性质， ∴选项不符合题意， ∵正方形的对角线互相垂直，矩形只有是正方形时对角线才互相垂直，普通矩形对角线不互相垂直， ∴对角线互相垂直是正方形具有而矩形不一定具有的性质， ∴选项符合题意． 4．（25-26八年级下·重庆长寿·期中）平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且相等 C．对角线互相垂直平分且相等 D．四条边相等，四个角相等 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形，菱形，矩形，正方形的基本性质，只需对比各图形的性质，找出四个图形共同具备的性质即可. 【详解】解：∵ 平行四边形的对角线互相平分，对角线不相等也不垂直，四条边不都相等； 菱形的对角线互相垂直平分，对角线不相等，四个角不都相等； 矩形的对角线相等且互相平分，对角线不垂直，四条边不都相等； 正方形的对角线互相垂直平分且相等，四条边相等，四个角相等； ∴ 四个图形都具有的性质只有对角线互相平分，因此选项A正确. 题型2 利用正方形的性质求角度 1．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，在正方形的外侧，作等边，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方形、等边三角形的性质，得出，结合三角形内角和，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，若则 =________． 【答案】 【分析】由于四边形是正方形、是正三角形，由此可以得到，接着利用正方形和正三角形的内角的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵是正三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．则为________度． 【答案】 【分析】根据题意利用证明即可． 【详解】解：在正方形中，，， ∴在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，分别为，上的一点，且，连接，，，若，则的度数为_________． 【答案】/度 【分析】根据正方形的性质得到为等腰直角三角形，进而得到，，通过证明，得到，进而得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 题型3 利用正方形的性质求长度 1．（25-26八年级下·重庆石柱·期中）如图，正方形中，点是边上一点，连接，若，，则_________．若点是边上一点，连接，，则_________． 【答案】 【分析】①根据勾股定理即可求解； ②延长到点，使，连接，通过论证， ，得到，设，则，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】①解：∵正方形中，， ∴， ∴， ②解：延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴解得：， ∴. 2．（2026·甘肃天水·模拟预测）如图，在正方形中，，分别为，上的点，连接，，若于点，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得，，根据垂直的定义及同角的余角相等可得，利用证明，根据全等三角形的对应边相等即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ． ， ， ， ． 在和中，， ， ． ， ． 3．（2026·河南驻马店·二模）如图，在边长为的正方形中，E，F分别是边的中点，连接，，P，Q分别是，的中点，连接，则______． 【答案】2 【分析】连接并延长，交于点M，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接并延长，交于点M，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵E，F分别是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵Q是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∵P，Q分别是的中点， ∴． 4．（25-26八年级下·陕西延安·期中）如图，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，，分别为，的中点，若，，则的值为_____． 【答案】 / 【分析】先通过赋值法确定正方形边长及相关线段长度，再利用中位线定理得到线段的平行关系与长度，结合正方形的性质构造等腰直角三角形，最后用勾股定理求出的长度，进而得到的值． 【详解】解：如图，取中点为，连接、， 设， ，，四边形是正方形， ，， ， ， 、分别是、的中点， 且， ， 又、分别是、的中点， 且， ∵在正方形中，， ， ， 过点作交延长线于点， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 在中，， ． 题型4 利用正方形的性质求面积 1．（2026·广东广州·一模）如图，正方形的边长为，以为边在正方形外作等边三角形，连接，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，延长交于点，容易证明四边形是矩形，则，由等边三角形的性质可得，，由勾股定理可得，则，利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 由勾股定理可得，， ∴， ∴． 2．（2026·广东珠海·模拟预测）如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为20，小正方形的面积为12，则阴影部分的面积为_________． 【答案】10 【分析】连接，根据正方形的性质推出，则和等底等高，所以，，，即阴影部分的面积等于大正方形的面积的一半． 【详解】解：如图，连接， ∵、为正方形的对角线， ∴， ∴， ∴和等底等高， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵大正方形的面积为20， ∴． 即阴影部分的面积为10． 3．（25-26八年级下·重庆巴南·期中）如图，一个大正方形由四个全等的直角三角形和正方形组成．若，，则正方形的面积为______． 【答案】9 【分析】根据勾股定理求出，即可得到小正方形的边长，即可求出面积． 【详解】解：大正方形由四个全等的直角三角形和正方形组成，，， ，， ， ． 4．（2026·辽宁葫芦岛·二模）如图，在正方形中，点E在边上，连接，过点C作垂足为点F，连接．若，，则的面积为________． 【答案】 【分析】过点作于点，根据正方形的性质得出相等的边和直角，利用含角的直角三角形的性质求出相关边长，证明，得出对应边相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 题型5 正方形折叠问题 1．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，把一块边长为6的正方形纸片沿着翻折，使顶点A恰好与边上的点E重合，若，则折痕________． 【答案】 【分析】过点作于点，利用正方形的性质和折叠的性质及三角形全等的判定得到，从而求出然后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：连接交于点O， 由折叠得到， ， 过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ， 在和中， ， ， ∴， 在中，，， ． 2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为16，边分别在x轴、y轴上，点D在上．连接，将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上，则点D的坐标为________． 【答案】 【分析】连接，求出正方形的边长为4，由正方形的性质可得，则，由折叠的性质可得，，可证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为16， ∴； 如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．①②④ B．①②③ C．④③② D．①③④ 【答案】B 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；根据勾股定理可知；通过等腰三角形中角度关系可知，即可证明；通过等高的三角形底边之比即可计算面积求解． 【详解】解：根据折叠可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴①正确； ∵，， ∴，， 设， 根据勾股定理可得，， 解得：， ∴， ∴②正确； ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴③正确； ∵，且，，和等高， ∴， ∴， ∴④错误， ∴①②③正确． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，则的长是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，结合正方形的性质和折叠的性质证明，即可解题； （2）设，则，结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 题型6 求正方形重叠部分面积 1．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为6，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据题意可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 正方形、正方形， ， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积为：． 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）将个面积均为的正方形按如图所示摆放，点，分别是左侧正方形，中间正方形对角线的交点，也是中间正方形，右侧正方形的顶点，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵由正方形性质可得：， ∴， ∴， ∴， 同理，右边空白四边形的面积也是， ∴图中阴影部分的面积是：． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，将面积为2和8的两个小正方形放到一个面积为16的大正方形中，两个小正方形的重叠部分（阴影部分）面积为______． 【答案】/ 【分析】先求出三个正方形的边长，再将面积为2的小正方形分成阴影部分和剩余空白部分的面积，据此求解即可． 【详解】解：由题意可知，大正方形的边长为， 面积为8的小正方形边长为，面积为2的小正方形边长为， ． 4．（25-26八年级下·山东泰安·期中）如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 【答案】 【分析】如图，连接，，证明出，得到，推出每一个阴影部分的面积等于正方形的，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，， 由正方形的性质得，，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴每一个阴影部分的面积等于正方形的， ∴正方形重叠的部分（阴影部分）面积和． 题型7 利用正方形的性质证明 1．（2026年福建宁德市初中毕业班适应性练习数学试题（二模））如图，在正方形中，点，分别在边，上，．求证：． 【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴． 【分析】根据正方形的性质得，，结合证明便可得结论． 【详解】略 2．（2026·吉林长春·二模）如图，是正方形的对角线上一点，且，过点且与垂直的直线交于点，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质可知，可得出是等腰直角三角形，再利用可得出，即可求证． 【详解】证明：在正方形中，，， ． ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 3．（2026·甘肃兰州·二模）如图，在正方形中，点、分别在、上，且，垂足为． (1)求证：； (2)若点是的中点，连接，请你判断线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质，结合同角的余角相等，证明，即可证得结论； （2）延长、，交于点，由三角形全等的性质，可得，证明，可得点是的中点，由直角三角形斜边中线的性质，即可得线段与之间的关系． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∴， ∵，垂足为， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：，理由： 在正方形中，，， 延长、，交于点，则， ∴， 由（1）得， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点， 又∵， ∴． 4．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意得，，，由互余得，故； （2）由（1）得，，故． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ，， ， ． 题型8 添一个条件使四边形是正方形 1．（25-26八年级下·广东江门·期中）已知四边形中，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得四边形是矩形，结合正方形的判定即可求解． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是矩形， 若添加条件，则四边形是正方形， 若添加条件或或，无法推出四边形是正方形， ∴只有B选项符合题意． 2．（25-26八年级下·陕西安康·期中）在平行四边形中，．添加下列一个条件，使得四边形为正方形，则添加的条件可以是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】先根据已知条件得出平行四边形是菱形，再结合正方形的判定定理，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵在平行四边形中， ∴四边形是菱形． A选项，菱形本身对角线互相垂直，因此添加不能判定四边形是正方形，不符合要求． B选项，对角线相等的菱形是正方形，因此添加可判定菱形是正方形，符合要求． C选项，平行四边形本身对角相等，因此添加不能判定四边形是正方形，不符合要求． D选项，菱形本身对角线平分内角，因此添加平分不能判定四边形是正方形，不符合要求． 3．（2026·江苏扬州·一模）如图是小华同学在中考一轮复习四边形时整理的平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系的思维导图，其中对应序号的条件填写错误的是（   ） A．① B．② C．③平分 D．④ 【答案】D 【分析】根据矩形，菱形，正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是平行四边形，则①处的条件正确，故此选项不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则②处的条件正确，故此选项不符合题意； C、由角平分线的性质得到，有一组邻边相等的矩形是正方形，则③处的条件正确，故此选项不符合题意； D、菱形的邻边本就相等，则④处的条件错误，故此选项符合题意． 4．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，已知平行四边形的对角线，相交于点，．如果_____，那么四边形为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意可得四边形是矩形，所以添加，进而可得四边形为正方形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 所以添加条件：，则四边形是正方形． 题型9 证明四边形是正方形 1．（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，在中，的平分线相交于点D，于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：四边形是正方形． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形． (2)证明：过点D作于点H，如图所示： ∵分别平分，且，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）根据“有三个角是直角的四边形是矩形”进行求证即可； （2）过点D作于点H，根据角平分线的性质定理可得，则有，然后问题可求证． 【详解】（1）略 （2）略 2．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，，连接，，，．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】由菱形的性质得，，，结合，得出，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，再根据对角线相等且垂直，可得四边形是正方形． 【详解】证明：四边形是菱形， ，，， ， ，即， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形． 3．（2026·山西吕梁·二模）如图，四边形是平行四边形，，分别过点，作，的垂线，分别交和的延长线于点，．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】先根据平行四边形的性质结合垂线的定义证明四边形是矩形，再根据直角三角形的两锐角互余结合等角对等边证明，即可得证． 【详解】证明：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形． ， ， ， 矩形是正方形． 题型10 正方形的性质与判定综合应用 1．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，对角线，交于点．若，，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】过点，分别作轴的垂线段，垂足分别为，证明得出四边形是正方形，进而根据，，得出,即可求解． 【详解】解：如图，过点，分别作轴的垂线段，垂足分别为， ∴，则四边形是矩形 ∵四边形是正方形，对角线，交于点． ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴四边形是正方形 ∴ 设 ∴， 解得： ∴ ∴ 2．（2026·辽宁营口·一模）如图，正方形中，，是对角线，E是上一点，过点E作，垂足为F，连接，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】过点E作于点M，根据正方形的性质先求得以及证明四边形为正方形，得到，结合，从而求得，进而求得和，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，过点E作于点M，则， ∵正方形中，，， ∴，，，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·广东茂名·一模）如图，将一个矩形纸片三次折叠：第一次沿折线折叠，使角落在边的点；第二次展开后沿折线折叠，使角落在折痕的点；第三次沿折线折叠，使角恰好落在折痕的点．已知折叠后，纸片无拉伸，则______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质，推出四边形为正方形，是等腰直角三角形，求出的长，证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵矩形纸片， ∴， ∵折叠， ∴，，，， ∴，四边形为正方形，， ∴，，，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·广东汕头·期中）四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接． (1)如图1，当点E是线段的中点时，以，为邻边作矩形，求证：矩形是正方形； (2)如图2或图3，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段或的延长线于点F，以，为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，任选一种情况证明你的结论，如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，连接．试探究，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形即可得到四边形是正方形； （2）当点在边上时，作于，于，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； 当点在的延长线上时，过点分别作于点，于点，同样根据正方形的判定即可得证； （3）结合正方形的性质可证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出结论. 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，点为对角线中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； （2）证明：当点在边上时， 过点作于，于，如图1， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴，． ∴四边形为正方形， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； 当点在的延长线上时， 如图，过点分别作于点，于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （3）解：     理由如下： 由（2）可知，矩形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.5 正方形 【10大题型专项突破】 【题型1 正方形性质理解】......................................................................................................................... 【题型2 利用正方形的性质求角度】......................................................................................................... 【题型3 利用正方形的性质求长度】......................................................................................................... 【题型4 利用正方形的性质求面积】......................................................................................................... 【题型5 正方形折叠问题】......................................................................................................................... 【题型6 求正方形重叠部分面积】............................................................................................................. 【题型7 利用正方形的性质证明】............................................................................................................. 【题型8 添一个条件使四边形是正方形】................................................................................................. 【题型9 证明四边形是正方形】................................................................................................................. 【题型10 正方形的性质与判定综合应用】............................................................................................... 题型1 正方形性质理解 1．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 2．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）正方形具有，而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线垂直 B．对角线平分一组对角 C．对角线相等 D．对角线互相平分 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（  ） A．对角相等 B．对角线相等 C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直 4．（25-26八年级下·重庆长寿·期中）平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且相等 C．对角线互相垂直平分且相等 D．四条边相等，四个角相等 题型2 利用正方形的性质求角度 1．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，在正方形的外侧，作等边，则为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，若则 =________． 3．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．则为________度． 4．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，分别为，上的一点，且，连接，，，若，则的度数为_________． 题型3 利用正方形的性质求长度 1．（25-26八年级下·重庆石柱·期中）如图，正方形中，点是边上一点，连接，若，，则_________．若点是边上一点，连接，，则_________． 2．（2026·甘肃天水·模拟预测）如图，在正方形中，，分别为，上的点，连接，，若于点，，则的长为________． 3．（2026·河南驻马店·二模）如图，在边长为的正方形中，E，F分别是边的中点，连接，，P，Q分别是，的中点，连接，则______． 4．（25-26八年级下·陕西延安·期中）如图，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，，分别为，的中点，若，，则的值为_____． 题型4 利用正方形的性质求面积 1．（2026·广东广州·一模）如图，正方形的边长为，以为边在正方形外作等边三角形，连接，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广东珠海·模拟预测）如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为20，小正方形的面积为12，则阴影部分的面积为_________． 3．（25-26八年级下·重庆巴南·期中）如图，一个大正方形由四个全等的直角三角形和正方形组成．若，，则正方形的面积为______． 4．（2026·辽宁葫芦岛·二模）如图，在正方形中，点E在边上，连接，过点C作垂足为点F，连接．若，，则的面积为________． 题型5 正方形折叠问题 1．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，把一块边长为6的正方形纸片沿着翻折，使顶点A恰好与边上的点E重合，若，则折痕________． 2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为16，边分别在x轴、y轴上，点D在上．连接，将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上，则点D的坐标为________． 3．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．①②④ B．①②③ C．④③② D．①③④ 4．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，则的长是______． 题型6 求正方形重叠部分面积 1．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为6，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）将个面积均为的正方形按如图所示摆放，点，分别是左侧正方形，中间正方形对角线的交点，也是中间正方形，右侧正方形的顶点，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，将面积为2和8的两个小正方形放到一个面积为16的大正方形中，两个小正方形的重叠部分（阴影部分）面积为______． 4．（25-26八年级下·山东泰安·期中）如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 题型7 利用正方形的性质证明 1．（2026年福建宁德市初中毕业班适应性练习数学试题（二模））如图，在正方形中，点，分别在边，上，．求证：． 2．（2026·吉林长春·二模）如图，是正方形的对角线上一点，且，过点且与垂直的直线交于点，连接，求证：． 3．（2026·甘肃兰州·二模）如图，在正方形中，点、分别在、上，且，垂足为． (1)求证：； (2)若点是的中点，连接，请你判断线段与之间的数量关系，并说明理由． 4．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． (1)求证：； (2)求证：． 题型8 添一个条件使四边形是正方形 1．（25-26八年级下·广东江门·期中）已知四边形中，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西安康·期中）在平行四边形中，．添加下列一个条件，使得四边形为正方形，则添加的条件可以是（    ） A． B． C． D．平分 3．（2026·江苏扬州·一模）如图是小华同学在中考一轮复习四边形时整理的平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系的思维导图，其中对应序号的条件填写错误的是（   ） A．① B．② C．③平分 D．④ 4．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，已知平行四边形的对角线，相交于点，．如果_____，那么四边形为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）． 题型9 证明四边形是正方形 1．（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，在中，的平分线相交于点D，于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：四边形是正方形． 2．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，，连接，，，．求证：四边形是正方形． 3．（2026·山西吕梁·二模）如图，四边形是平行四边形，，分别过点，作，的垂线，分别交和的延长线于点，．求证：四边形是正方形． 题型10 正方形的性质与判定综合应用 1．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，对角线，交于点．若，，则点的坐标为________． 2．（2026·辽宁营口·一模）如图，正方形中，，是对角线，E是上一点，过点E作，垂足为F，连接，若，则的长为__________． 3．（2026·广东茂名·一模）如图，将一个矩形纸片三次折叠：第一次沿折线折叠，使角落在边的点；第二次展开后沿折线折叠，使角落在折痕的点；第三次沿折线折叠，使角恰好落在折痕的点．已知折叠后，纸片无拉伸，则______． 4．（25-26八年级下·广东汕头·期中）四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接． (1)如图1，当点E是线段的中点时，以，为邻边作矩形，求证：矩形是正方形； (2)如图2或图3，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段或的延长线于点F，以，为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，任选一种情况证明你的结论，如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，连接．试探究，，的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $