精品解析：北京市第二十中学2025-2026学年度第二学期5月月考高一（启承） 数学试卷

北京市第二十中学2025-2026学年度第二学期5月月考试卷 高一（启承）数学 （时间：120分钟 满分：150分） 班级______ 姓名______ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知为4与9的等比中项，则的值为（ ） A. 6 B. -6 C. D. 36 2. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 3. 关于以下这组数据：22，24，26，26，28，30，下列说法错误的是（    ） A. 极差为8 B. 平均数为26 C. 众数为26 D. 分位数为27 4. 已知函数则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列中，，，则（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2048 D. 4052 6. 已知等比数列的各项均为正数，的前项和为，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 等差数列的前n项和为，若当且仅当时最大，则下面结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 以下不等式不成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ） A. 存在，使得是偶函数 B. 存在，使得在上单调递减 C. 存在，使得在处取极大值 D. 存在，使得的最小值是 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则至少有一个红球的概率为_______ 12. 在某次摸底考试中，随机抽取100个人的成绩频率分布直方图如图，若参加考试的共有4000人，那么分数在90分以上的人数约为______人，根据频率分布直方图估计此次考试成绩的中位数为______. 13. 关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是__________． 14. 已知函数，若的单调递减区间为，则实数a的值为______；若在区间内单调递减，则实数a的取值范围为______. 15. 已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有最小值； ②，使得函数在区间上单调递增； ③，使得函数没有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于. 其中所有正确结论的序号是___________. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出相应文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知等差数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得数列为等比数列，并求此时数列的前项和. 条件①：； 条件②：； 条件③：，. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 17. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）求的极值． 18. 某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）． （1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数； （2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体有成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在的概率； （3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在，，三组中，其中a，b，．当数据a，b，c的方差最小时，写出a，b，c的值（结论不要求证明） 19. 已知函数，（）， （1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a,b的值 （2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间（-∞，-1]上的最大值． 20. 函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数在上的最小值； （3）直接写出的一个值，使恒成立，并证明. 21. 已知数列，如果对任意的且，都有，则称为凸数列． （1）直接判断数列和是否为凸数列； （2）若是一个凸数列，证明：当，且时，有； （3）已知项数为的数列是一个凸数列，，且的所有项的和等于，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第二十中学2025-2026学年度第二学期5月月考试卷 高一（启承）数学 （时间：120分钟 满分：150分） 班级______ 姓名______ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知为4与9的等比中项，则的值为（ ） A. 6 B. -6 C. D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列中项性质求解即可. 【详解】因为4与9的等比中项，即，解得. 2. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 【详解】在等差数列中，， 所以. 3. 关于以下这组数据：22，24，26，26，28，30，下列说法错误的是（    ） A. 极差为8 B. 平均数为26 C. 众数为26 D. 分位数为27 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中数据结合极差、平均数、众数和百分位数的定义运算求解. 【详解】因为数据：22，24，26，26，28，30， 对于选项A：极差为，故A正确； 对于选项B：平均数为，故B正确； 对于选项C：众数为26，故C正确； 对于选项D：因为，所以分位数为第五个数28，故D错误； 故选：D. 4. 已知函数则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，然后将代入导函数中计算即可. 【详解】由得， 所以. 故选：B 5. 已知等差数列中，，，则（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2048 D. 4052 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列通项公式列出等式，求得首项和公差，即可求解. 【详解】设等差数列的首项为​，公差为，通项公式为， 由得：； 由代入通项公式展开： ， 整理后消去同类项得：， 将代入，解得， 因此通项公式为： 代入得： . 6. 已知等比数列的各项均为正数，的前项和为，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件列方程组来求得. 【详解】设等比数列的公比为， 则，，， 两式相除得，解得（负根舍去）， 所以. 故选：C 7. 等差数列的前n项和为，若当且仅当时最大，则下面结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由仅在取最大值，推得数列递减且，再利用等差数列下标和性质，将选项转化为单一项，最后结合项的正负直接判断即可. 【详解】因为等差数列的前项和，当且仅当时取得最大值， 所以数列是递减等差数列，公差， ，（若，则，不满足“仅当时最大”） 选项A：数列递减，，故，A错误； 选项B：，由，，无法直接判断是否为0，不一定成立，B错误； 选项C：由等差数列性质：，而，故，C正确； 选项D：由等差数列性质：，D错误； 8. 以下不等式不成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】 针对ABC选项中的不等式构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，由此判断出不等式成立，利用特殊值判断出D选项不等式不成立. 【详解】A.令，，由，则在单调递增， 则，不等式成立 B.令，，由，当，，单调递减，当，，单调递增，则 ，不等式成立 C.令，，由，当，，单调递减，当，，单调递增， 则，不等式成立 D.令，，当时，，所以不等式不成立. 故选：D 【点睛】本小题主要考查利用导数证明不等式，属于中档题. 9. 函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得. 【详解】由，且为偶函数，故， 由导数性质结合图象可得当时，， 当时，，当时，即， 则由，有，解得， 亦可得，或，或，或， 由可得或，即， 由可得，即， 由，可得，即或（舍去，不在定义域内）， 由，可得， 综上所述，关于x的不等式的解集为. 故选：D. 10. 已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ） A. 存在，使得是偶函数 B. 存在，使得在上单调递减 C. 存在，使得在处取极大值 D. 存在，使得的最小值是 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的定义对选项进行分析，利用排除法、举例法来确定正确答案. 【详解】依题意，. A选项，若是偶函数，则， 则当，时，不满足，A选项错误. B选项，若在上单调递减，则，与题意矛盾，B选项错误. C选项，若在处取极大值，则存在，使得在区间上，单调递增， 与“”矛盾，所以C选项错误. D选项，设，画出图象如下图所示， 由图可知，满足，且是的最小值，所以D选项正确. 故选：D 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则至少有一个红球的概率为_______ 【答案】 【解析】 【详解】记从甲袋中摸出红球为事件，从乙袋中摸出红球为事件，从两袋中各摸出1个球，则至少有一个红球为事件， 易知事件发生与否对事件发生的概率没有影响，所以相互独立， 所以． 12. 在某次摸底考试中，随机抽取100个人的成绩频率分布直方图如图，若参加考试的共有4000人，那么分数在90分以上的人数约为______人，根据频率分布直方图估计此次考试成绩的中位数为______. 【答案】 ①. 2600 ②. 97.5 【解析】 【分析】计算数在90分以上的频率为，计算得的人数，分数在的频率为，计算中位数得到答案. 【详解】由频率分布直方图的性质得分数在90分以上的频率为：， ∴分数在90分以上的人数约为：. 由频率分布直方图知分数在90分以下的频率为， 分数在的频率为：， ∴根据频率分布直方图估计此次考试成绩的中位数为：. 故答案为：2600；97.5. 【点睛】本题考查了频率分布直方图，意在考查学生的计算能力和应用能力. 13. 关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是__________． 【答案】(—4，0). 【解析】 【详解】试题分析：，因为关于x的方程有三个不同的实数解，所以有三个不同的实数解，，，令，则；令，则；，所以. 考点：三次函数的零点问题. 14. 已知函数，若的单调递减区间为，则实数a的值为______；若在区间内单调递减，则实数a的取值范围为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将问题转化为是方程的两根可求；将问题转化为在上恒成立，利用参变分离求出范围. 【详解】易得，， 若的单调递减区间为，则是方程的两根， 则，得，则， 令，得，故的单调递减区间为， 则符合题意； 若在区间内单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 则，得， 故实数a的取值范围为. 15. 已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有最小值； ②，使得函数在区间上单调递增； ③，使得函数没有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用函数的最值与单调性的关系可判断①③的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断②的正误；取，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误. 【详解】对于①，当时，，则， 由可得，由可得或， 此时，函数的增区间为、，减区间为， 当或时，，当时，， 故函数在处取得最小值，①对； 对于②，， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增，所以，， 则， 由可得， 构造函数，其中， 则， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递减， 故当时，，则，即在上单调递减， ，则，解得，②对； 对于③，，， 因为函数在上单调递增， ，，所以，存在，使得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，对任意的实数，函数有最小值，③错； 对于④， 令，不妨令，即取， 由③可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，则，， 所以，存在，使得， 此时函数的零点之和为，④对. 故答案为：①②④. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出相应文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知等差数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得数列为等比数列，并求此时数列的前项和. 条件①：； 条件②：； 条件③：，. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）选条件①：；选条件②：数列不是等比数列；选条件③：不能判断数列是等比数列. 【解析】 【分析】（1）直接求出等差数列的基本量，进而可得等差数列的通项公式； （2）根据（1）中的通项公式首先判断：选①可得等比数列通项公式进而可其前项和；选②则数列不是等比数列，不符合题意；选③不能判断数列为等比数列，故不符合要求. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，首项为. 由等差数列性质得：，解得. 又，解得. 因此通项公式为： ,即. 【小问2详解】 选条件②：，所以​不是常数，不是等比数列，不符合要求. 选条件①：，代入得，则， 因此是首项，公比的等比数列. 由等比数列前项和公式： ，符合要求. 选条件③：，即，则不能判断数列是等比数列，故不符合要求. 综上所述，选条件①：；选条件②：数列不是等比数列； 选条件③：不能判断数列是等比数列. 17. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）求的极值． 【答案】（1） （2） 极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）对求导，代入得斜率和切点，代入点斜式得切线方程； （2）对求二阶导，根据的单调性判断和计算的极值. 【小问1详解】 函数 的定义域为，  ，代入得 ， 即切点为，切线斜率 ， 由点斜式得切线方程为. 【小问2详解】 对求导得， 定义域，， ，故恒成立， 因此在上单调递增. 又，因此 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。 因此只有极小值，无极大值，极小值为， 即的极小值为，无极大值. 18. 某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）． （1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数； （2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体有成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在的概率； （3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在，，三组中，其中a，b，．当数据a，b，c的方差最小时，写出a，b，c的值（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3）79，84，90或79，85，90 【解析】 【分析】（1）根据折线图求出样本中体育成绩大于或等于70分的学生数，从而得到相应的比例，估计出高一全年级中“体育良好”的学生人数； （2）利用列举法求出古典概型的概率； （3）先分析出，再列出方差，由二次函数的对称轴得到当或85时，取得最小值. 【小问1详解】 由折线图，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有人， 所以该校高一年级学生中“体育良好”的学生人数大约为人； 【小问2详解】 成绩在有2名学生，设为；有2名学生，设为， 故抽取2名学生的情况有：，共6种情况， 其中恰有1人体育成绩在的情况有：，共4种情况， 故在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在的概率为； 【小问3详解】 甲､乙､丙三人的体育成绩分别为，且分别在，三组中，其中， 要想数据的方差最小，则三个数据的差的绝对值越小越好，故， 则甲､乙､丙三人的体育成绩平均值为， 故方差， 对称轴为， 故当或85时，取得最小值， 的值为79，84，90或79，85，90. 19. 已知函数，（）， （1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a,b的值 （2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间（-∞，-1]上的最大值． 【答案】（1）（2）见解析 【解析】 【详解】（1）， ∵曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线 ∴， ∴ （2）令，当时， 令，得 时，的情况如下： x + 0 - 0 + 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为 当，即时，函数在区间上单调递增，在区间上的最大值为， 当即时，函数在区间内单调递增，在区间上单调递减，在区间上的最大值为 当，即a>6时，函数在区间内单调递赠，在区间内单调递减，在区间上单调递增．又因为 所以在区间上的最大值为． 20. 函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数在上的最小值； （3）直接写出的一个值，使恒成立，并证明. 【答案】（1） （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义直接求解； （2）利用导数研究函数的单调性，进而求得最小值； （3）取，构造函数，即证恒成立，利用导数研究函数的单调性及最值即可证得结论. 【小问1详解】 由，知，切点为 求导，则切线斜率 所以切线方程为：，即 【小问2详解】 求导， ，，，所以函数在上单调递增， ，即函数在上的最小值为. 【小问3详解】 取，下面证明恒成立，即证恒成立， 令，即证恒成立 求导， （i）当时，，，此时 所以函数在上单调递减，，即成立 （ii）当时，令，， 因为，，所以，所以函数在上单调递增， ，所以函数在上单调递增，， 综上可知，恒成立，即恒成立 21. 已知数列，如果对任意的且，都有，则称为凸数列． （1）直接判断数列和是否为凸数列； （2）若是一个凸数列，证明：当，且时，有； （3）已知项数为的数列是一个凸数列，，且的所有项的和等于，求的最大值． 【答案】（1）为凸数列；不是凸数列 （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）根据凸数列的定义和通项公式进行验证即可判断结果； （2）利用凸数列可得，累加求和，结合中间值可比较大小； （3）先判断为凸数列，结合凸数列的特点得出，根据的为，放缩可求答案. 【小问1详解】 ，所以，. ，而， 因为，即，所以为凸数列. ，则，所以， 而，因为，即，所以不是凸数列. 【小问2详解】 因为是一个凸数列，所以对任意的且，都有，即， 当时，有， 所以，故. 又，故. 因为，所以. 【小问3详解】 因为数列是凸数列，所以， ，当且仅当时，等号成立， 即为凸数列，所以，所以， 所以； 因为的所有项的和等于，所以， 所以，当且仅当时取等号，此时数列为等差数列；而中等号成立要求为常数列. 设，则，由所有项的和为得，解得；故当时，取最大值2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $