精品解析：北京市东直门中学2025-2026学年度第二学期阶段考试高一数学试题

北京市东直门中学2025～2026学年度第二学期阶段考试 高一数学 2026.03 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：（本题有12道小题，每小题4分，共48分） 1. 已知点，，则与向量的方向相反的单位向量是（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于(　　) A. (－2，－4) B. (－3，－6) C. (－4，－8) D. (－5，－10) 3. 单位圆上一点从出发，逆时针方向运动弧长到达点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，以为周期的函数有（ ） A. B. C. D. 6. 若点关于y轴的对称点为，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 7. 已知单位向量夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图像，保持纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度后得到的解析式为（ ）. A. B. C. D. 9. 已知平面向量，，，是单位向量，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 在△中，只需添加一个条件，即可使△存在且唯一.条件：①； ②；③中，所有可以选择的条件的序号为（ ） A ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 11. 若，且，那么是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 12. 在菱形ABCD中，，，E是BC的中点，F是CD上一点（不与C，D重合），DE与AF交于G，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题有8道小题，每小题4分，共32分） 13. 已知，，则______． 14. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示. 若网格纸上小正方形的边长为1，则__________；__________. 15. 已知在中，，，，则______． 16. 已知函数的部分图像如图所示，其中M，N是直线与曲线的两个相邻交点.若，则______，______. 17. 已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________． 18. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m. 19. 如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为__________. 20. 已知向量，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，则称有序实数对为点的广义坐标，若点、的广义坐标分别为、，对于下列命题: ① 线段的中点的广义坐标为 ② 向量平行于向量的充要条件是 ③ 向量垂直于向量的充要条件是 其中，真命题是________.（请写出所有真命题的序号） 三、解答题：（本题有6小题，共70分） 21. 已知向量，． （1）求； （2）设与的夹角为，求的值； （3）若向量与互相垂直，求k值． 22 已知向量，，设函数． （1）若，求； （2）若，求的最大值和最小值． 23. 在中，. （1）求的大小； （2）若点在边上，且，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，并求的长. 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 24. 已知平面四边形中，，，. （1）若，求的长； （2）设，记四边形的周长，求的最大值. 25. 已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使唯一确定，求： （1）的值及的单调递增区间； （2）在区间上最大值和最小值. 条件①：函数图象的相邻两个对称中心间的距离为； 条件②：函数的图象可以由函数的图象平移得到； 条件③：直线为函数图象的一条对称轴. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 26. 设为正整数，集合，对于集合中2个元素，若，则称具有性质．记为中的最小值． （1）当时，若，判断是否具有性质．如果是，求出；如果不是，说明理由； （2）当时，若具有性质，求的最大值； （3）给定不小于3的奇数，对于集合中任意2个具有性质的元素，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市东直门中学2025～2026学年度第二学期阶段考试 高一数学 2026.03 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：（本题有12道小题，每小题4分，共48分） 1. 已知点，，则与向量的方向相反的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量坐标运算可得和，由此可知所求向量为. 【详解】，， 与向量的方向相反的单位向量为. 故选：A. 2. 已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于(　　) A. (－2，－4) B. (－3，－6) C. (－4，－8) D. (－5，－10) 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据平行向量的坐标表示，先求出m，再利用向量加法的坐标表示计算即可． 解答：解：平面向量=（1，2），=（-2，m）且∥， 所以1×m=2×（-2），即m=-4 则2+3=2（1，2）+3（-2，-4）=（-4，-8） 故选C． 点评：本题考查平行向量，向量加法的坐标表示，属于基础题． 3. 单位圆上一点从出发，逆时针方向运动弧长到达点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，从而得到，结合诱导公式求出答案. 【详解】点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点， 所以， 所以，  其中，， 即点的坐标为：． 故选：D． 4. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式、正弦定理来求得正确答案. 【详解】由于，所以为钝角，所以， 由正弦定理得. 故选：D 5. 下列函数中，以为周期的函数有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用三角函数的性质以及周期公式逐一判断即可. 【详解】A，，则， A正确； B，函数的最小正周期为，因此B不正确； C，函数不是周期函数，故C不正确； D，，最小正周期为，所以也是它的一个周期，故D正确. 故选：AD 6. 若点关于y轴的对称点为，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于y轴的对称点的特征，得，利用特殊角的三角函数值逐项判断即可. 【详解】因为点关于y轴的对称点为， 所以. 若，，，所以A错误； 若，，，所以B错误； 若，，， ，，所以C正确； 若，，，所以D错误. 7. 已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合数量积定义计算即可得到，再由向量夹角取值范围即可得解. 【详解】由题可得， 又，所以. 故选：B 8. 函数的图像，保持纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度后得到的解析式为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数图像变换求解即可. 【详解】将函数的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来 的得到，再向右平移个单位长度后 得到，， 故选:C. 9. 已知平面向量，，，是单位向量，且，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意不妨设，举反例结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为平面向量，，，是单位向量，且， 不妨设， 若，例如， 满足，但，即充分性不成立； 若，例如， 满足，但，即，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”既不充分也不必要条件. 故选：D. 10. 在△中，只需添加一个条件，即可使△存在且唯一.条件：①； ②；③中，所有可以选择的条件的序号为（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦和余弦定理，以及三角形边与角的性质，直接计算即可判断求解. 【详解】对于①，，所以，，得，所以，此时，△存在且唯一，符合题意； 对于②，，所以，，解得，因为，所以，，所以为锐角，此时，△存在且唯一，符合题意； 对于③，，所以，，得，进而， 可得，明显可见，，与矛盾，故③不符题意. 故可以选择的条件序号为：①② 故选：B 11. 若，且，那么是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由给定边的关系式结合余弦定理求出角A，再由正弦定理角化边，结合边的关系式可得c=b即可推理作答. 【详解】由，得， 化简得， 所以，由余弦定理得， 因为，所以， 因为， 所以，由正余弦定理角化边得，化简得， 所以，即为等边三角形． 故选：B 12. 在菱形ABCD中，，，E是BC的中点，F是CD上一点（不与C，D重合），DE与AF交于G，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，并用表示，根据数量积的运算律及定义将表示成的函数，可求得其取值范围. 【详解】设， 则， . 所以 . 当点沿向量方向运动时，逐渐增大，当点与重合时，，此时. 所以，所以. 故的取值范围是. 二、填空题：（本题有8道小题，每小题4分，共32分） 13. 已知，，则______． 【答案】## 【解析】 【详解】因为，，所以，故. 14. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示. 若网格纸上小正方形的边长为1，则__________；__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据网格，利用平面向量的数量积运算求解. 【详解】由网格知：， 所以， 又， 所以， 所以， 故答案为：0，-2 15. 已知在中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理求解，即可得答案. 【详解】由在中，，，， 可得，则， 由于，，故，则. 16. 已知函数的部分图像如图所示，其中M，N是直线与曲线的两个相邻交点.若，则______，______. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】先根据|MN|与周期的关系求出；再利用图象过的点求出；最后将代入函数求. 【详解】已知，是直线与曲线的两个相邻交点，且. 设则，且， 则，则，同理， 因此，解得， 因为函数的图象过点，可得， 所以，，则，， 由于，则，那么， 将代入可得：. 故答案为：2； . 17. 已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值. 【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、、、， ， 则点，，， 因此，，. 故答案为：；. 【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题. 18. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m. 【答案】 【解析】 【分析】在中由正弦定理可求得，进而即可求解树的高度. 【详解】在中，，，， ， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以树高度为. 故答案为：. 19. 如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，将表示为，继而化为，利用三点共线求得，即可求得答案. 【详解】设，由得， 故 ， 由得， 故, 由于三点共线，故，则， 又，故， 所以， 故答案为： 20. 已知向量，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，则称有序实数对为点的广义坐标，若点、的广义坐标分别为、，对于下列命题: ① 线段的中点的广义坐标为 ② 向量平行于向量的充要条件是 ③ 向量垂直于向量的充要条件是 其中，真命题是________.（请写出所有真命题的序号） 【答案】①② 【解析】 【分析】 根据定义，分别写出中点的广义坐标，根据向量平行的坐标表示和向量垂直的坐标表示进行判断，得到答案. 【详解】点、的广义坐标分别为、 可得， 设为中点，则 所以线段的中点的广义坐标为，故命题①正确 向量平行于向量，则 即， 所以，故命题②正确， 向量垂直于向量，则 即 ，故命题③不一定正确. 故答案为：①②. 【点睛】本题考查向量的新定义运算，向量平行和垂直的表示，向量的数量积的运算，考查理解推理能力，属于中档题. 三、解答题：（本题有6小题，共70分） 21. 已知向量，． （1）求； （2）设与的夹角为，求的值； （3）若向量与互相垂直，求k的值． 【答案】（1）7 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标运算求出的坐标，根据向量的模的计算可得解； （2）利用向量的夹角公式直接可得解； （3）根据向量垂直可得数量积，进而可得参数值 【小问1详解】 由已知，， 则，故； 【小问2详解】 由已知可得，，， 则； 【小问3详解】 由向量与互相垂直， 则， 解得. 22. 已知向量，，设函数． （1）若，求； （2）若，求的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）, 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标公式求出，将整理得到，代入计算得解； （2）利用还原法，设，则求的最值转化为二次函数求最值. 【小问1详解】 ，，， ， ，； 【小问2详解】 设，，， 转化为， 对称轴为， 当时，取最大值，且最大值为，即的最大值为； 当时，取最小值，且最小值为，即的最小值为; 综上可知，的最大值为，最小值为. 23. 在中，. （1）求的大小； （2）若点在边上，且，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，并求的长. 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）若选①，在中利用正弦定理求出，从而求出，即可判断；若选②，利用两角和的正弦公式求出，即可求出，在中，利用正弦定理求出，再由锐角三角函数求出，即可得解；若选③由面积公式求出，再由余弦定理求出、，再由锐角三角函数求出，即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 又，所以，所以，则， 又，所以. 小问2详解】 若选①：， 在中，由正弦定理， 即，所以，因为， 所以，所以， 此时，则，则不满足三角形内角和定理，故不存在； 若选②：因为，又， 所以， 所以 ，显然， 所以， 所以， 在中，由正弦定理， 即，解得，在中，所以， 所以， 此时， 在中由余弦定理，即，解得（负值已舍去）， 所以存在，且； 若选③：因为的面积为， 所以，所以， 在中由余弦定理 ， 所以， 又， 所以， 在中，所以， 所以， 此时，所以存在，且. 24. 已知平面四边形中，，，. （1）若，求的长； （2）设，记四边形的周长，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，在中，由余弦定理可解； （2）在中，由正弦定理可得，再利用两角和与差的正弦公式可得最大值. 【小问1详解】 连接， 因为，，， 所以为正三角形，， 在中，由余弦定理可得， 代入数值可得，解得. 【小问2详解】 在中，由正弦定理可得， 所以， 所以四边形的周长 ， 所以当时，的最大值为. 25. 已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使唯一确定，求： （1）的值及的单调递增区间； （2）在区间上的最大值和最小值. 条件①：函数图象的相邻两个对称中心间的距离为； 条件②：函数的图象可以由函数的图象平移得到； 条件③：直线为函数图象的一条对称轴. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）2， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先由三角变换公式得到，若选条件①，则可利用周期公式得到，从而求得解析式；若选条件②，则由图像平移得到解析式；若条件③，则解析式不唯一.最后根据整体法可求单调区间； （2）利用整体法可求函数的最值. 【小问1详解】 . 选择条件①： 因为函数图象的相邻两个对称中心间的距离为，所以，故. 因为，所以. 因为，令， 即，所以的单调递增区间为. 选择条件②： 因为函数的图象可以由函数的图象平移得到， 所以函数与函数的周期相同，故. 因为，所以.所以. 以下解答过程同选择条件①. 选择条件③：因为为图象的对称轴， 所以，即， 故，其中，此时不唯一，故不选③. 【小问2详解】 选择条件①或②时， 因为，所以， 当，即时，取最大值，最大值为1； 当，即时，取最小值，最小值为. 26. 设为正整数，集合，对于集合中2个元素，若，则称具有性质．记为中的最小值． （1）当时，若，判断是否具有性质．如果是，求出；如果不是，说明理由； （2）当时，若具有性质，求的最大值； （3）给定不小于3的奇数，对于集合中任意2个具有性质的元素，求的最大值． 【答案】（1）具有性质，； （2）1； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据定义，计算，即可判断具有性质；在分别计算出，即可求得； （2）方法1：由已知得出，结合，得出，进而得出，并取验证的最大值可以取到；方法2：用反证法假设，由已知得出与题设矛盾，即可说明； （3）由性质可得，①，且②，①中不妨设，②中不妨设，由对称性可以设，得出，进而得出，再验证可以取到最大值即可． 【小问1详解】 因为，所以具有性质； 因为， 所以． 【小问2详解】 方法：1： 由性质得，所以， 因为， 所以， 则，，， 所以， 所以， 又因为当时， 具有性质， 且， 所以的最大值为1． 方法2： 先用反证法证明， 假设， 由，则， 所以，同理， 所以， 由， 所以， 与已知矛盾，假设不成立， 所以， 当时，， 此时， 所以的最大值为1． 【小问3详解】 由性质可得， 所以①，且②， 在①中不妨设， 在②中不妨设， 由对称性可以设， 所以， 所以 ，即， 因为存在，（其中有个个）， （其中有个，个）具有性质， 并且， ， ， 所以， 综上最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $