精品解析：江苏省梅村高级中学2025-2026学年高二下学期6月阶段练习数学试题

江苏省梅村高级中学2025－2026学年度第二学期阶段练习 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 2026.6 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意．） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以，所以. 2. “”是“”成立的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 既不充分也不必要 C. 充要 D. 必要不充分 【答案】D 【解析】 【分析】先求解分式不等式得到对应解集，再根据充分条件、必要条件的定义判断两者的逻辑关系即可. 【详解】对于，不等式等价于  ，解得或. 充分性：由“”不能推出“”（例如当时，前者成立，后者不成立）， 故“”不是“”的充分条件. 必要性：由“”可以推出“”，故“”是“”的必要条件. 因此“”是“”成立的必要不充分条件. 3. 为了研究性别与对乡村音乐态度（喜欢和不喜欢两种态度）的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则所得到的统计学结论是认为性别与喜欢乡村音乐有关系的把握至少为（ ） 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据观测值 ，对照临界值表即可得出结论. 【详解】因为，所以有的把握认为“性别与喜欢乡村音乐有关系”． 4. 某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布，全市共有10000名考生，据此估计，该市期中考试数学分数介于75到115之间的人数为（ ） 参考数据：若，则，，. A. 6636 B. 8186 C. 8400 D. 9759 【答案】C 【解析】 【详解】由已知， 所以， 故数学分数介于75到115之间的人数为. 5. 已知变量与变量的观测数据为，，…，，满足经验回归方程.若，则（ ） A. 9 B. 10.5 C. 133 D. 139 【答案】B 【解析】 【分析】利用经验回归直线必过样本中心点的性质，先求，再代入回归方程求，最后计算即可. 【详解】因为，所以，因为经验回归直线必过样本中心点，所以，，所以，所以. 6. 现有无锡某高中组织高二年级学生研学，全年级学生需从灵山大佛、三国城、鼋头渚、竹海、南禅寺、拈花湾、梅里古镇这个景点中随机选择个作为目的地．现从全年级中随机抽取两个班级进行调查，记事件“这两个班级选择的目的地中至少有一个选择鼋头渚”，事件“这两个班级选择的目的地不同”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用条件概率公式，分别计算事件和事件的概率后代入求解即可. 【详解】由题意得，事件的对立事件为“两个班级都不选择鼋头渚”，因此 ， 事件即“恰好一个班级选择鼋头渚，另一个选择其余个景点之一”，因此 ， 代入条件概率公式得 ，故D正确. 7. 若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先对函数求导，然后根据导数的性质分析函数的单调性，进而确定极值点的情况，从而求出实数a的取值范围. 【详解】因为只有1个极值点，所以，， 由，得，设，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且，，当时，，当时，， 当 时，直线 与 的图象仅在 区间有1个交点， 且该交点为变号零点（ 在 单调递减），则只有1个极值点， 当 时，直线 与 的图象有3个交点，则有3个极值点， 当 时，直线 与 的图象无交点，无极值点， 所以当时有唯一极值点， 综上，实数 的取值范围是. 故选：A． 8. 某商场有4种礼品，每次随机抽取一种（有放回），共抽4次． 记为被抽到次数最多的礼品的抽中次数（若并列，则取该次数），则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】确定随机变量的取值，分别计算每个取值的概率，再根据期望公式求解即可. 【详解】被抽到次数最多的礼品的抽中次数的可能取值为1，2，3，4. ：4次抽取中每个礼品都恰好被抽到1次，即4个礼品的排列， 故. ：4次都抽到同1个礼品，故. ：有1个礼品被抽到3次，另1个礼品被抽到1次，故. 所以. 故. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项符合题意．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 相关系数r的取值范围是，且r越大，线性相关程度越强 B. 在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 C. 相关系数表示两个变量正相关，表示负相关 D. 在独立性检验中，零假设可以是“分类变量X与Y独立”，也可以是“分类变量X与Y有关” 【答案】BC 【解析】 【分析】根据相关系数、残差分析、独立性检验等知识点逐项分析判断即可. 【详解】选项A，相关系数的取值范围是，且越接近1，线性相关程度越强，并非越大相关程度越强，A错误. 选项B，残差图中残差均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内时，带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高，拟合效果越好，B正确. 选项C，相关系数的符号对应变量的相关方向，表示两个变量正相关，表示两个变量负相关，C正确. 选项D，独立性检验的零假设只能为“分类变量与独立（即无关）”，不能设为“与有关”，D错误. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递减区间是 B. 曲线在处的切线与直线垂直 C. 若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D. 若过点可以作曲线的三条切线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用函数单调性与导数的关系可判断A选项；利用导数的几何意义可判断B选项；由导数的几何意义以及数形结合可判断C选项；设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，并将点的坐标代入切线方程得，令，利用导数分析该函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，， 由可得，故函数的单调递减区间是，A对； 对于B选项，因为，且， 故曲线在处的切线方程为，B错； 对于C选项，由可得，故函数的单调递增区间为， 故函数的极大值为，作出函数的图象如下图所示： 由于，故当点与原点重合时，点P到直线距离取最小值， 且最小值为，C对； 对于D选项，设切点为，则切线斜率为， 故曲线在点处的切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得，可得， 令，其中，则， 由可得或，由可得， 所以函数的单调递减区间为、，单调递增区间为， 故函数的极小值为，极大值为，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，D对. 11. 1990年9月，美国《Parade》杂志首次公开讨论了源自美国电视节目《Let’s Make a Deal》的蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem）：主持人事先在编号为1，2，3的三个外观相同的三扇门后随机选择一个放入豪车，其余两扇门后放入山羊，再将三个门关闭．当游戏参与者在三扇门中选择一个门后，在门打开之前主持人先打开了另外两个门中的一个门，按游戏规定，主持人只打开游戏参与者的选择之外的门后是山羊的门，当两个都是山羊时，他随机选择其中一个打开，并问参与者是否愿意更改选择以便更大概率获得豪车．用表示号门后有豪车，用表示主持人打开号门，已知甲选择了1号门，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 主持人打开的是2号门，要使获得豪车概率更大，甲应该坚持选择1号门 D. 主持人打开的是2号门，要使获得豪车概率更大，甲应该改选3号门 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，全概率公式及贝叶斯公式逐个判断即可. 【详解】A选项，由题意，故A正确， B选项，甲选择1号箱，奖品在3号箱里，主持人打开2号箱的概率为1， 即，故B正确， CD选项，在选择了1号门的前提下，主持人打开2号门有以下几种可能的情况： 豪车在1号门里，主持人打开2号门，故， 豪车在2号门里，主持人打开2号门，故， 豪车在3号门里，主持人只能打开2号门，故， 由全概率公式， 由贝叶斯公式，在2号门打开的条件下，1号门和3号门里有豪车的条件概率为 ， 故选3号门会使获得豪车的概率更大，即错误，正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每空5分，共15分．） 12. 若随机变量服从两点分布，其中，则______． 【答案】 【解析】 【详解】随机变量服从两点分布，，则， ，. 13. 已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用函数导数与函数在某点处的切线方程，以及基本不等式求解即可. 【详解】由直线与曲线相切， 设切点为，由，且切线的斜率为， 所以， 代入曲线方程中得：， 所以切点为，代入直线方程中得：， 因为，所以. 当时取等号，所以的最大值为.则的最大值为. 14. 盒子中有4个红球，6个白球，从盒中每次取1个球，取出后将原球放回，再加入2个同色球，所有的球除颜色外其它均相同，则第2次取到红球的概率为_____；在第2次取到红球的前提下，第3次取到白球的概率为_____. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据条件概率及全概率公式即可求解. 【详解】记事件“第次取到红球”， 则， ， 所以， 即第2次取到红球的概率为； ， 所以， 即在第2次取到红球的前提下，第3次取到白球的概率为. 故答案为：；. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设全集为，已知集合或，. （1）若，求和及图中阴影部分表示的集合C； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1）或； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得集合，结合集合间的运算求解即可； （2）分和两种情况讨论，结合交集运算列式求解即可. 【小问1详解】 若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. 【小问2详解】 因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 16. 解答以下问题： （1）已知（），求． （2）已知对任意给定的实数，都有．求：； （3）本不同的书，分给甲、乙、丙个同学，每个同学至少得本，则共有多少种不同的分法？ 【答案】（1） 或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用组合数相等的性质列方程求解，验证组合数下标取值合理性； （2）用赋值法求二项展开式的系数和； （3）先按要求分组（平均分组需去重）再分配给人计算总方法数. 【小问1详解】 根据组合数性质，由可得： 要么，解得； 要么，即，解得， 验证得、均满足组合数上下标取值要求，故的值为或， 【小问2详解】 令，代入等式得，即； 再令，代入得，即， 两式作差得. 【小问3详解】 先将本不同的书分成组，每组至少本，分两类： ①分组为：分组数为； ②分组为：分组数为， 再将分好的组分配给名同学，有种分配方法， 总方法数为种. 17. 已知函数，. （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义得，再结合条件得，即可求解； （2）由，分和两种情况，利用导数与函数的单调性间的关系，即可求解. 【小问1详解】 因为，则， 又曲线在处的切线与直线垂直，则，解得. 【小问2详解】 易知，又， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，得到（舍）或， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 18. 某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有：，． （1）若从样本中喜欢春节联欢晚会的人里随机挑选2人，求这两人恰好都是男生的概率． （2）现从这100名女生中，按喜欢联欢晚会与不喜欢联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为X．求X的概率分布列和方差； （3）将样本的频率视为概率．现从全校的学生中随机抽取n名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为Y，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数n． 【答案】（1） （2）X的概率分布列为： 0 1 2 方差为 （3）39或40或41 【解析】 【分析】（1）根据题意求出男生中喜欢春节联欢晚会的人数，结合古典概型的概率公式求解即可. （2）根据，求出10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数，得到的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，根据分布列求出期望和方差. （3）求出从全校的学生中随机抽取1名学生喜欢春节联欢晚会的概率，从而得到随机变量，求出，由当时，取得最大值，得到，列出关于的不等式组，计算求解即可. 【小问1详解】 由，得女生中喜欢春节联欢晚会的人数为60人， 由，得喜欢春节联欢晚会的人数为人，则男生中喜欢春节联欢晚会的人数为30人， 故男生中不喜欢春节联欢晚会的人数为70人，女生中不喜欢春节联欢晚会的人数为40人. 所以从样本中喜欢春节联欢晚会的人里随机挑选2人，则这两人恰好都是男生的概率为： . 【小问2详解】 由，得10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为6人和4人， 故的取值为0，1，2， 则，，， 所以X的概率分布列为： 0 1 2 故的期望为， 所以的方差为. 【小问3详解】 由（1）得，喜欢春节联欢晚会的人数为90人，由频率估计概率，从全校的学生中随机抽取1名学生，他喜欢春节联欢晚会的概率为， 则随机变量，. 因为当时，取得最大值， 所以，即， 整理得，即，解得， 因为，所以或40或41. 故全校学生中抽取的学生可能的人数为39或40或41. 19. 用表示函数的导函数，若对定义域内任意不相等的两个数，都有成立，则称函数为函数；若对定义域内任意不相等的两个数，都有不等式（或都有不等式）成立，则称函数为函数. （1）证明：若，则为函数； （2）若（为自然对数的底数），问是函数还是函数？证明你的结论. （3）若有两个不同的零点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明. 【答案】（1）证明见解析 （2）是函数，证明见解析 （3）（i）（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出、根据函数定义可得答案； （2）根据可证明是函数； （3）法1，（i）转化为有两个不同的解等价于直线与函数的图象有两个不同交点，利用导数判断出的单调性结合图象可得答案；（ii）由题意，由（2）知，得且两式相乘得证.法2（i）利用导数判断出的单调性求出最小值可得答案；（ii）不妨设，即证，根据在上单调递减只需证，构造，再利用导数判断出的单调性求出最值可得答案. 【小问1详解】 由可得， 因，而， 即成立， 故为函数； 【小问2详解】 是函数.证明如下： 因.要证明，即证. 不妨设，只需证， 令，则需证. 考虑函数， ， 则函数为上的增函数， 当时，，即 ∴函数是函数； 【小问3详解】 法1， （i）有两个不同的零点等价于 方程有两个不同的解. 又.令，则. 因为函数是上的增函数， 所以有两个不同的解等价于直线与函数的图象有两个不同交点. ，当时，；当时，. 则在上单调递减，在上单调递增.故. 当时，时，. 故若直线与函数的图象有两个不同交点， 则. 又因为，是上的增函数， 故得，故实数的取值范围为. （ii）由题意，则. 由（2）知， 故且两式相乘得： ，故得证. 法2 （i）函数的定义域为. 对求导得. 令，即，解得. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 由上述单调性可知，在处取得极小值，也是最小值为. 当时，，当时，. 因为函数有两个零点，故只需，解得. 故的取值范围是. （ii）不妨设，要证，即证. 因为在上单调递减，所以只需证. 又因为，所以只需证， 即证，令， 对求导，得 令，， 对求导得， 所以在上单调递增. ，故. 故在上单调递增，. 即，所以，所以， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省梅村高级中学2025－2026学年度第二学期阶段练习 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 2026.6 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意．） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”成立的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 既不充分也不必要 C. 充要 D. 必要不充分 3. 为了研究性别与对乡村音乐态度（喜欢和不喜欢两种态度）的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则所得到的统计学结论是认为性别与喜欢乡村音乐有关系的把握至少为（ ） 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 A. B. C. D. 4. 某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布，全市共有10000名考生，据此估计，该市期中考试数学分数介于75到115之间的人数为（ ） 参考数据：若，则，，. A. 6636 B. 8186 C. 8400 D. 9759 5. 已知变量与变量的观测数据为，，…，，满足经验回归方程.若，则（ ） A. 9 B. 10.5 C. 133 D. 139 6. 现有无锡某高中组织高二年级学生研学，全年级学生需从灵山大佛、三国城、鼋头渚、竹海、南禅寺、拈花湾、梅里古镇这个景点中随机选择个作为目的地．现从全年级中随机抽取两个班级进行调查，记事件“这两个班级选择的目的地中至少有一个选择鼋头渚”，事件“这两个班级选择的目的地不同”，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某商场有4种礼品，每次随机抽取一种（有放回），共抽4次． 记为被抽到次数最多的礼品的抽中次数（若并列，则取该次数），则（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项符合题意．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 相关系数r的取值范围是，且r越大，线性相关程度越强 B. 在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 C. 相关系数表示两个变量正相关，表示负相关 D. 在独立性检验中，零假设可以是“分类变量X与Y独立”，也可以是“分类变量X与Y有关” 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递减区间是 B. 曲线在处的切线与直线垂直 C. 若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D. 若过点可以作曲线的三条切线，则 11. 1990年9月，美国《Parade》杂志首次公开讨论了源自美国电视节目《Let’s Make a Deal》的蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem）：主持人事先在编号为1，2，3的三个外观相同的三扇门后随机选择一个放入豪车，其余两扇门后放入山羊，再将三个门关闭．当游戏参与者在三扇门中选择一个门后，在门打开之前主持人先打开了另外两个门中的一个门，按游戏规定，主持人只打开游戏参与者的选择之外的门后是山羊的门，当两个都是山羊时，他随机选择其中一个打开，并问参与者是否愿意更改选择以便更大概率获得豪车．用表示号门后有豪车，用表示主持人打开号门，已知甲选择了1号门，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 主持人打开的是2号门，要使获得豪车概率更大，甲应该坚持选择1号门 D. 主持人打开的是2号门，要使获得豪车概率更大，甲应该改选3号门 三、填空题（本题共3小题，每空5分，共15分．） 12. 若随机变量服从两点分布，其中，则______． 13. 已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 14. 盒子中有4个红球，6个白球，从盒中每次取1个球，取出后将原球放回，再加入2个同色球，所有的球除颜色外其它均相同，则第2次取到红球的概率为_____；在第2次取到红球的前提下，第3次取到白球的概率为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设全集为，已知集合或，. （1）若，求和及图中阴影部分表示的集合C； （2）若，求实数m的取值范围． 16. 解答以下问题： （1）已知（），求． （2）已知对任意给定的实数，都有．求：； （3）本不同的书，分给甲、乙、丙个同学，每个同学至少得本，则共有多少种不同的分法？ 17. 已知函数，. （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； （2）讨论的单调性. 18. 某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有：，． （1）若从样本中喜欢春节联欢晚会的人里随机挑选2人，求这两人恰好都是男生的概率． （2）现从这100名女生中，按喜欢联欢晚会与不喜欢联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为X．求X的概率分布列和方差； （3）将样本的频率视为概率．现从全校的学生中随机抽取n名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为Y，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数n． 19. 用表示函数的导函数，若对定义域内任意不相等的两个数，都有成立，则称函数为函数；若对定义域内任意不相等的两个数，都有不等式（或都有不等式）成立，则称函数为函数. （1）证明：若，则为函数； （2）若（为自然对数的底数），问是函数还是函数？证明你的结论. （3）若有两个不同的零点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $