2025-2026学年沪科版八年级数学下册期末必刷测试卷

**基本信息** 沪科版八年级数学下册期末卷，以AI软件评分、运动鞋销售等时代情境为载体，通过基础运算、几何探究、综合应用梯度设计，考查抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|实数运算、一元二次方程概念、统计分组|结合符号运算考查运算能力，如第4题运算符号选择| |填空题|6/18|加权平均数、方程根与系数、图形翻折|融入数学文化，如第16题最短路径呼应华罗庚数形结合思想| |解答题|8/72|勾股定理应用、利润函数、新定义四边形|设计AI软件评分统计分析（数据意识）、机器人路径计算（几何直观）、“忧乐四边形”探究（创新意识）|

2025-2026学年沪科版八年级数学下册期末必刷测试卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．在实数范围内，下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、在实数范围内，二次根式中被开方数须是非负数，无意义，错误，不符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 2．下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义逐个判断方程，统计符合条件的个数即可得到结果，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解： ∵①满足所有条件， ∴①是一元二次方程 ∵②未说明，当时不是一元二次方程， ∴②不符合要求 ∵③是分式方程，不是整式方程， ∴③不符合要求 ∵④满足所有条件， ∴④是一元二次方程 ∵⑤含有x，y两个未知数， ∴⑤不符合要求 ∵⑥展开整理原方程得，化简得，未知数最高次数为1， ∴⑥不是一元二次方程； 综上，一元二次方程共有2个． 3．已知个数据，其中最大值为，最小值为，将数据分组，取每组终点值与起点值的差为，则可以将数据分成（   ）． A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】A 【分析】本题考查了频数分布直方图中组数的确定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据组数（最大值最小值）组距计算． 【详解】解：在样本数据中最大值为，最小值为，它们的差是， 已知组距为，则， 故可以分成组， 故选：A． 4．若x为实数，在“ ”的“”中添上一种运算符号（在“”中选择任一种）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对每个的分别代入四种运算，判断是否存在运算结果为有理数，若不存在则为所求． 【详解】解：A．当时，添上运算，得： ，结果为有理数，该项不符合题意； B．当时，添上运算，得： ，结果为有理数，该项不符合题意； C．当时，分别计算四种运算：添： ，是无理数；添：，是无理数；添：，是无理数；添：，是无理数；四种运算结果均为无理数，该项符合题意； D．当时，添上运算，得： ，结果为有理数，该项不符合题意． 5．用配方法解一元二次方程，得，则的值是（    ） A．11 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】按照配方法的步骤将原方程化为题目要求的形式，得到m和n的值，再计算即可． 【详解】解：， 方程两边同除以2，得， 移项得 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方16，得 ， 整理得，即 对比，得 ∴． 6．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（  ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于D，根据勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式求出中边上的高即可． 【详解】解：过点A作于D，如图所示： ∵小正方形的边长为1， ∴， ∵， ∴， 解得． 7．如图1，正六边形的边长为2，保持，不动，将点，，共线，，，共线，得到如图2所示的四边形，则四边形的面积为（   ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正六边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 连接，作，连接，根据题意可得，，，，则，，则，根据直角三角形的性质可得，，由勾股定理可得，，则，根据面积公式求解即可． 【详解】解：连接，作，连接，如图， 在正六边形中，，， 由题意可得，， 则，， ∴， 由含角直角三角形的性质可得，， 由勾股定理可得，，， ∴，， ∴，D选项符合题意． 8．若的三边长，，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据平方和为零的性质，每一项必须为零，从而得出边的关系和角的关系． 本题考查等腰三角形的判定以及勾股定理的逆定理，正确根据题目已知条件找到、、之间的关系即可判断三角形的形状，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理和等腰三角形的性质． 【详解】解：∵ ， ∴ 且 ， ∴ 即 ， 且 即 ， ∴ △ABC 是等腰三角形（）且直角三角形（）， 故为等腰直角三角形． 故选：D． 9．如图，在中，，平分分别交于点，若，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】的中点，的中点，连接，三角形的中位线定理，得到，证明，推出，角平分线的定义，平行线的性质，推出，在中，勾股定理求出的长，进而得到的长，的长，再根据线段的和差关系即可得出结果. 【详解】解：取的中点，的中点，连接，则，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分分别交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴. 10．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． ⑤存在实数，使得 其中正确的是（） A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④⑤ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，正确的变形是解题的关键．根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题． 【详解】解：∵若，则是方程的根，此时判别式，当方程有两个相等的实数根时，；当方程有两个不同的实根时，， ∴判别式，故①正确； ∵方程有两个不等实根，则其判别式，即， ∴方程的判别式，故②正确； ∵若c是方程的根，则，即，当时，不一定为0，故③错误； ∵是方程的根，则，， ，故④正确； ∵存在实数使，如取，则需，取即可(若，取，)，故⑤正确． 综上，正确的是①②④⑤． 故选：B． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．方方参加“校园之声”歌唱比赛，其音准与节奏、音色与音质、表现力与情感表达的分数分别是90分、80分、80分．若将三项得分依次按2：5：3的权重确定最终成绩，则方方的最终成绩为_______分． 【答案】82 【分析】本题主要考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 根据加权平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：方方的最终成绩（分）． 故答案为：82． 12．一元二次方程的两根为，，则______． 【答案】1 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴， ∴． 13．如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、．则线段的长为 _______． 【答案】/ 【分析】根据翻折的性质可知，根据勾股定理得，再根据等角对等边得，然后利用三角形的面积即可求解． 【详解】解：根据两次翻折可知：，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．若（其中，为有理数），______． 【答案】 【分析】先对等式左边的分式进行分母有理化，整理等式后分离有理数部分与无理数部分，根据对应系数相等得到关系，计算得出的值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 15．如图，是正方形的对角线，点E，F分别是上的点，且，连接与交于点G，连接． （1）的长为________； （2）若点M，N分别是的中点，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】（1）证明四边形、四边形是矩形，可得，，，然后根据求解即可； （2）连接、，先证明四边形和都是矩形，得出点F、N、C三点共线，证明是等腰直角三角形，由三线合一得，利用勾股定理求出，然后利用直角三角形斜线中线的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ，． ∵， ∴，， 四边形、四边形是矩形， ，，， ． （2）如图，连接、， ∵四边形和都是矩形， ∴， ， ∵N是的中点， ∴点F、N、C三点共线， ∵四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形． ∵M是的中点， ， ． ∵四边形是矩形， ． 又∵N是的中点， ∴N是的中点， ． 16．我国数学家华罗庚曾言：“数形结合百般好，隔离分家万事休”．请运用数形结合与最短路径思想，解决下列问题：如图，在平面直角坐标系中，点，在轴上，，点的坐标为，点的坐标为，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】由于的长为定值，求的最小值转化为求的最小值，通过平移变换，将线段平移至，使得转化为，利用两点之间线段最短结合勾股定理即可求解． 【详解】解：为定值， 求的最小值，即求的最小值， 如图，将点向右平移个单位长度得到点，连接， 点的坐标为， 点的坐标为， 由平移的性质可知，且， 四边形是平行四边形， ， ， 当点、、三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长度， 过点作交的延长线于点， 在中， 水平直角边长为， 竖直直角边长为， 根据勾股定理得： 的最小值为， 的最小值为． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度，最后测量放风筝的小康同学的身高米． 【数据应用】已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． (1)若米，求此时风筝的垂直高度． (2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升到点的位置，此时测得米，且，求风筝上升的高度多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为米 (2)风筝上升的高度米 【分析】（1）根据题意可得米，，再由勾股定理求出的长即可得到答案； （2）设米，则米，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，米，， 在中，由勾股定理得米， 米， 此时风筝的垂直高度为米； （2）解：设米，则米， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 风筝上升的高度米． 19．从文本生成到语音识别、从绘画到编程，AI的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款AI软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取8名，记录使用者对两款软件的评分(10分为满分，8分或8分以上为优秀)，并进行整理、描述和分析． 评分统计表 AI软件 平均数 方差 优秀率 甲 m n 乙 9 根据以上信息，解答下列问题． (1)表格中，______，_____ (填“>”“=”或“<”)， ； (2)你认为哪款AI软件的使用效果更好？请说明理由． 【答案】(1)； ； (2)乙款AI软件的使用效果更好，见解析 【详解】（1）解：， 由折线统计图可知，乙的评分波动程度更小，则， ， 故答案为：； ；； （2）解：乙款AI软件的使用效果更好； 理由：方差较小，优秀率更高． 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，所以方程总有两个实数根； （2）因为等腰三角形有两边的长是方程的两个根，分为腰和为底边两种情况分别求出的值，当为底边时，可得：等腰三角形的三边分别为，，，不满足三边关系，所以的值只能为． 【详解】（1）证明：一元二次方程中，，，， ， 方程总有两个实数根； （2）解：解法一： ①若腰长为时， 则， 解得：， 方程为， 解得：，， 三角形三边长为，，， ， 满足三边关系，符合条件； ②若底边长为时， 可得：， 解得：， 此时三边为，，，不满足三边关系，舍去； ； 解法二：原方程因式分解得， ，， 是等腰三角形，，分两种情况： 若，即，三边为，，，不满足三边关系，舍去； 若，即，三边为，，，满足三边关系，符合条件； ． 21．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元/双时，每天能售出200双．经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格x（元）间存在如图所示的函数关系． (1)求出与的函数关系式； (2)公司希望平均每天获得的利润达到8960元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价多少？ (3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的，公司每天能否获得9000元的利润．若能，求出定价：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)88元 (3)公司每天能获得9000元的利润，此时定价为90元 【分析】（1）由题意，设y与x的函数关系式为，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案； （2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解； （3）由题意，列一元二次方程，求出x的值，然后列出一元一次不等式，求出不等式的解集，即可求出答案． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 将，代入得：， 解得， 与的函数关系式为． （2）解：根据题意得， 整理得：， 解得：， ∵要求优惠力度最大， 取， ． 答：每双运动鞋的售价应该定为88元； （3）解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下： 根据题意得， 整理得， 解得． ∵每双运动鞋的利润不低于成本价的， ， 解得：符合题意， 公司每天能获得9000元的利润，此时每双运动鞋的定价为元． 22．国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的具身智能新时代．如图，两江新区某湿地公园的一角，江江同学和机器人正准备从点处同时出发前往处．江江打算沿的路线前往，机器人打算沿的路线前往，已知点在点的南偏西方向上，且米，米，米． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若江江的速度是2.5米/秒，机器人的速度是3米/秒，请通过计算说明，谁先到达处？（结果保留整数，参考数据：） 【答案】(1)的长度为米 (2)机器人先到达处 【分析】（1）过点作于点，分别求出米，米，从而可求出的长； （2）先由勾股定理求出米，再求出江江的总路程和机器人的总路程，根据“时间=路程÷速度”求解各自所需时间，再进行比较即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意得，在中，，米， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 在中，米，米， ∴（米）， ∴米， 答：的长度为米； （2）解：在中，米，米， ∴（米）， 江江的路程：（米）； 机器人的路程：（米）； 江江所需时间：（秒）； 机器人所需时间：（秒）； ∵， ∴机器人先到达处． 答：机器人先到达处． 23．如图，矩形中，垂直平分对角线，垂足为，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)取边中点，连接，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用对角线垂直的平行四边形是菱形进行论证即可； （2）先利用三角形中位线定理得出，设，利用勾股定理列方程求出的值，则面积可求. 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴，， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； （2）解：设， ∵是菱形， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴即：， 解得：， ∴， ∴. 24．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_________． A．平行四边形  B．菱形  C．矩形  D．正方形 (2)如图2，在平行四边形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．①求证：四边形是“忧乐四边形”．②若；当是直角三角形时，请求出线段的长． (3)如图1，在四边形中，，线段、之间存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)B、D (2)①见解析；②或 (3)． 【分析】（1）根据“忧乐四边形”的定义对几个四边形进行逐一判定即可解决问题； （2）①连接、，根据折叠的性质、平行四边形的性质证明，即可解答；②分两种情况，由折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理可得出答案． （3）由四边形沿对折重合，得、，且平分、．结合，证得、均为等边三角形，进而得到，判定四边形为菱形．由菱形对角线互相垂直平分，得，且．在中，利用角对边是斜边一半，结合勾股定理，算出，最终推出． 【详解】（1）解：①平行四边形，③矩形，沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；②菱形，④正方形，沿着它的一条对角线对折后能完全重合． ②菱形，④正方形一定是忧乐四边形； ∴一定是“忧乐四边形”的有②④； （2）①证明：如图：连接、， 是的中点， ， 将沿折叠后得到， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，且， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形沿折叠完全重合， 四边形是“忧乐四边形”． ②解：∵， ∴四边形是平行四边形， 若，连接，则四边形是矩形， ， 由题意及①知，， 设，则，， ， ， ， ； 若，连接，过点作于点，，交的延长线于点，如图， 由题意得，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵ ， ，， ∴平分，即； ，即， ， ， ， 设，则，， ∵， ∴， ， （负值舍）， ． 综上所述，的长为或． （3）解：连接，交于点O， ∵凸四边形沿对角线对折完全重合， ，，平分，平分， ∵，， 为等边三角形，为等边三角形，，， ，， ， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， 在中，， ， 设，则， 由勾股定理得： ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年沪科版八年级数学下册期末必刷测试卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．在实数范围内，下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知个数据，其中最大值为，最小值为，将数据分组，取每组终点值与起点值的差为，则可以将数据分成（   ）． A．组 B．组 C．组 D．组 4．若x为实数，在“ ”的“”中添上一种运算符号（在“”中选择任一种）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（   ） A． B． C． D． 5．用配方法解一元二次方程，得，则的值是（    ） A．11 B．3 C． D． 6．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（  ） A．2 B． C． D． 7．如图1，正六边形的边长为2，保持，不动，将点，，共线，，，共线，得到如图2所示的四边形，则四边形的面积为（   ） A． B．8 C． D． 8．若的三边长，，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 9．如图，在中，，平分分别交于点，若，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 10．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． ⑤存在实数，使得 其中正确的是（） A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④⑤ D．①②③ 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．方方参加“校园之声”歌唱比赛，其音准与节奏、音色与音质、表现力与情感表达的分数分别是90分、80分、80分．若将三项得分依次按2：5：3的权重确定最终成绩，则方方的最终成绩为_______分． 12．一元二次方程的两根为，，则______． 13．如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、．则线段的长为 _______． 14．若（其中，为有理数），______． 15．如图，是正方形的对角线，点E，F分别是上的点，且，连接与交于点G，连接． （1）的长为________； （2）若点M，N分别是的中点，连接，则的长为________． 16．我国数学家华罗庚曾言：“数形结合百般好，隔离分家万事休”．请运用数形结合与最短路径思想，解决下列问题：如图，在平面直角坐标系中，点，在轴上，，点的坐标为，点的坐标为，则的最小值为__________． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度，最后测量放风筝的小康同学的身高米． 【数据应用】已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． (1)若米，求此时风筝的垂直高度． (2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升到点的位置，此时测得米，且，求风筝上升的高度多少米？ 19．从文本生成到语音识别、从绘画到编程，AI的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款AI软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取8名，记录使用者对两款软件的评分(10分为满分，8分或8分以上为优秀)，并进行整理、描述和分析． 评分统计表 AI软件 平均数 方差 优秀率 甲 m n 乙 9 根据以上信息，解答下列问题． (1)表格中，______，_____ (填“>”“=”或“<”)， ； (2)你认为哪款AI软件的使用效果更好？请说明理由． 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 21．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元/双时，每天能售出200双．经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格x（元）间存在如图所示的函数关系． (1)求出与的函数关系式； (2)公司希望平均每天获得的利润达到8960元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价多少？ (3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的，公司每天能否获得9000元的利润．若能，求出定价：若不能，请说明理由． 22．国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的具身智能新时代．如图，两江新区某湿地公园的一角，江江同学和机器人正准备从点处同时出发前往处．江江打算沿的路线前往，机器人打算沿的路线前往，已知点在点的南偏西方向上，且米，米，米． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若江江的速度是2.5米/秒，机器人的速度是3米/秒，请通过计算说明，谁先到达处？（结果保留整数，参考数据：） 23．如图，矩形中，垂直平分对角线，垂足为，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)取边中点，连接，若，求四边形的面积． 24．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_________． A．平行四边形  B．菱形  C．矩形  D．正方形 (2)如图2，在平行四边形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．①求证：四边形是“忧乐四边形”．②若；当是直角三角形时，请求出线段的长． (3)如图1，在四边形中，，线段、之间存在怎样的数量关系？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $