精品解析：山东省临沂市蒙阴县2026年九年级二轮模拟考试数学试题

九年级二轮复习验收考试试题 数学 2026.5 注意事项： 1．本试卷分试题和答题卡两部分，考生必须用0.5毫米黑色签字笔将答案全部写在答题卡的相应位置上，写在试题卷上的一律无效． 2．试题4页，答题卡2页，共6页．总分120分，考试时间120分钟． 3．答卷前请将答题卡前端的考生信息填写完整清楚． 4．考试结束，请将答题卡交回． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 如图，数轴上表示的相反数的点是（ ） A. B. C. D. 2. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. “阳马”是由长方体截得的一种几何体，如图水平放置的“阳马”的主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积不一定相等； ②与的面积不可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ②④ B. ①④ C. ②③ D. ④③ 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 12. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点，，，在同一条直线上，当时，的大小为___________． 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为________． 14. 对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0，则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3．对正整数10进行三次变换，得到的数为______． 15. 如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 计算下列各题： （1）求不等式组的解集，并在数轴上表示； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1． （1）求线段的长； （2）求点的坐标； （3）直接写出一次函数的值小于反比例函数的值时，自变量取值范围． 18. 某新能源电池厂准备安装甲、乙两种型号的生产线．已知，同时开启一条甲型和一条乙型生产线每月可生产电池共200吨；同时开启一条甲型和两条乙型生产线每月可生产电池共280吨． （1）求一条甲型生产线和一条乙型生产线每月各生产电池多少吨？ （2）为扩大生产规模，工厂计划安装相同型号的甲、乙两种生产线共5条，现接到一个订单，要求4个月生产电池不少于2000吨，问至少需要安装多少条甲型生产线？ 19. 如图，是的切线，点A为切点．点B为上一点，射线交于点C，连接，点D在上，过点D作，，交于点F，作，垂足为点E．． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 20. 某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下： a.16名学生的身高： 161，162，162，164，165，165，165，166， 166，167，168，168，170，172，172，175 b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 166.75 m n （1）写出表中m，n的值； （2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 162 165 165 166 166 乙组学生的身高 161 162 164 165 175 （3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______． 21. 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷． 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成夹角？ 【数据收集】 两根竹竿长度均为米，插入地下的部分为米，竹竿与地面接触点间距为米且与地面所形成的夹角均为． 【数学抽象】 （1）如图：已知线段与交于点，，与直线分别交于点，，，，，，求的长度．（结果精确到，参考数据：，，） （2）【解决问题】交叉点距顶端的长度即为___________时，支架与地面形成夹角，这样更贴合作物的生长规律． 22. 如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为． （1）______； （2）求点C的坐标； （3）已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围． 23. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当，时，求的长； （3）如图3，延长至点，使，连接，与交于点．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级二轮复习验收考试试题 数学 2026.5 注意事项： 1．本试卷分试题和答题卡两部分，考生必须用0.5毫米黑色签字笔将答案全部写在答题卡的相应位置上，写在试题卷上的一律无效． 2．试题4页，答题卡2页，共6页．总分120分，考试时间120分钟． 3．答卷前请将答题卡前端的考生信息填写完整清楚． 4．考试结束，请将答题卡交回． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 如图，数轴上表示的相反数的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵的相反数为3， ∴对应数轴上的点． 2. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 3. “阳马”是由长方体截得的一种几何体，如图水平放置的“阳马”的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的主视图，熟练掌握主视图的定义（从物体正面观察得到的平面图形）是解题的关键．主视图是从几何体正面观察得到的平面图形，据此分析该“阳马”正面看到的形状 ． 【详解】解：主视图是从物体正面看所得到的图形．观察水平放置的“阳马”，从正面看，看到的是一个三角形．对比四个选项，只有选项符合从正面看到的图形特征，其他三项都不符合题意． 故选：． 4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【详解】解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方．根据合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方运算法则逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、与不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种， ∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 8. 如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得． 【详解】解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意； ∴，，故B、C结论都正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 9. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积不一定相等； ②与的面积不可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ②④ B. ①④ C. ②③ D. ④③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①； 设点的坐标为，点的坐标为，表示出相关线段的长度，表示出两个三角形的面积进行比较即可判断②； 根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④； 根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：①∵四边形是矩形， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 即， 故①错误； ②设点的坐标为，点的坐标为， 则， ， ， 当与的面积相等时，，即， 当时，点重合，与题意不符， ∴与的面积不可能相等， 故②正确； ③如图所示， 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误； ④如图所示， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形， ∴当且对称轴都为直线，可能是等边三角形， 故④正确； 综上，正确的选项为②④． 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用．先提取公因式，再利用完全平方公式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点，，，在同一条直线上，当时，的大小为___________． 【答案】##15度 【解析】 【分析】根据平行线的性质以及三角形外角定理求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次方程根与判别式的关系，解题的关键是列出方程求解即可．根据方程有两个相等的实数根时列出方程，解之可得答案． 【详解】由题意可知，， 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得，，即实数的值为． 故答案为：． 14. 对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0，则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3．对正整数10进行三次变换，得到的数为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义．根据10除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数． 【详解】解：∵， ∴10进行一次变换后得到的数为； ∵， ∴10进行二次变换后得到的数为； ∵， ∴10进行三次变换后得到的数为7， 故答案为：7． 15. 如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】如图，在中，得出，根据是等边三角形，得出，连接，证明，得出，则，作的平分线交于点，证明是等边三角形，得出，根据，得出直线和直线重合，确定点在上运动，根据的面积，得出最大时，的面积最大，当点与点重合时，的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得，则，得出． 【详解】解：如图，在中，，，， 则， ∵是等边三角形， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的平分线交于点， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴直线和直线重合， 即点在上运动， ∵的面积， 则最大时，的面积最大， 根据题意可得当点与点重合时，最大，即的面积最大， 此时，如图， 则， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】该题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形等知识点，确定点的轨迹是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 计算下列各题： （1）求不等式组的解集，并在数轴上表示； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1），见解析 （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 在数轴上表示如下： ； 【小问2详解】 解： ， 当，即时， 原式． 17. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1． （1）求线段的长； （2）求点的坐标； （3）直接写出一次函数的值小于反比例函数的值时，自变量取值范围． 【答案】（1）8 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数解析式求出点的坐标，然后根据坐标求出线段长度； （2）联立解析式求交点坐标； （3）根据函数图象以及交点坐标求自变量取值范围． 【小问1详解】 解：已知点A的横坐标为1， 代入反比例函数，得， ， 代入一次函数，得， ， ； 【小问2详解】 解：联立解析式， 解得，即， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：一次函数值小于反比例函数值，即， 结合图像：当时，的图像在下方． 18. 某新能源电池厂准备安装甲、乙两种型号的生产线．已知，同时开启一条甲型和一条乙型生产线每月可生产电池共200吨；同时开启一条甲型和两条乙型生产线每月可生产电池共280吨． （1）求一条甲型生产线和一条乙型生产线每月各生产电池多少吨？ （2）为扩大生产规模，工厂计划安装相同型号的甲、乙两种生产线共5条，现接到一个订单，要求4个月生产电池不少于2000吨，问至少需要安装多少条甲型生产线？ 【答案】（1）甲型生产线每月生产电池120吨，乙型生产线每月生产电池80吨 （2）3条 【解析】 【分析】（1）列二元一次方程组解决实际问题； （2）根据题意列出不等式解决实际问题． 【小问1详解】 解：设一条甲型生产线每月生产x吨，一条乙型生产线每月生产y吨．由题意得， 解得 答：一条甲型生产线每月生产120吨，一条乙型生产线每月生产80吨； 【小问2详解】 解：设安装甲型生产线m条，则乙型生产线条， 根据4个月总产量不少于2000吨，列不等式， ， 解得， 又∵m为整数， ∴m最小取3． 答：至少需要安装3条甲型生产线． 19. 如图，是的切线，点A为切点．点B为上一点，射线交于点C，连接，点D在上，过点D作，，交于点F，作，垂足为点E．． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的综合题，涉及圆的切线的性质与判定，切线长定理，解直角三角形，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，证明，则，而，则，由于是的切线，则，再由等式的性质即可证明； （2）可得，设，则，，由切线长定理得到，则，求出，即可求解半径． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的切线， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 即， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 设， ∴，， ∵是的切线，是的切线， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴半径为． 20. 某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下： a.16名学生的身高： 161，162，162，164，165，165，165，166， 166，167，168，168，170，172，172，175 b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 166.75 m n （1）写出表中m，n的值； （2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 162 165 165 166 166 乙组学生的身高 161 162 164 165 175 （3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______． 【答案】（1），； （2）甲组 （3）170， 172 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可； （3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于，结合其余学生的身高即可做出选择． 【小问1详解】 解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175， 出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数， 16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166， ∴中位数， ∴，； 【小问2详解】 解：甲组身高的平均数为， 甲组身高的方差为 乙组身高的平均数为， 乙组身高的方差为， ∵ ∴舞台呈现效果更好的是甲组， 故答案为：甲组； 【小问3详解】 解：168，168，172的平均数为 ∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于， ∴数据的差别较小，数据才稳定， 可供选择的有：170， 172， 且选择170， 172时，平均数会增大， 故答案为：170， 172． 【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义：方差越小数据越稳定是解题的关键． 21. 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷． 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成夹角？ 【数据收集】 两根竹竿长度均为米，插入地下的部分为米，竹竿与地面接触点间距为米且与地面所形成的夹角均为． 【数学抽象】 （1）如图：已知线段与交于点，，与直线分别交于点，，，，，，求的长度．（结果精确到，参考数据：，，） （2）【解决问题】交叉点距顶端的长度即为___________时，支架与地面形成夹角，这样更贴合作物的生长规律． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点O作垂直直线l于G，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解； （2）利用线段的和差求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点O作垂直直线l于G， ∵ ∴为等腰三角形，， 在中，， ∴； 【小问2详解】 解：． 22. 如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为． （1）______； （2）求点C的坐标； （3）已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）3 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，正确的求出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像和性质，是解题的关键． （1）求出时，函数的函数值，得到点坐标，即可得出结果； （2）根据点落在x轴正半轴上，得到点向下平移了个单位，进而得到点向下平移个单位后，与的纵坐标相同，进而求出的纵坐标，代入函数解析式，求出点坐标即可； （3）待定系数法求出二次函数的解析式，设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，得到新的抛物线的解析式为：，把点坐标代入，求出解析式，进而根据二次函数的图像和性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，， ∴， ∴； 故答案为：3； 【小问2详解】 解：∵，点的对应点落在x轴正半轴上， ∴点向下平移个单位， ∴点向下平移个单位后，与的纵坐标相同， ∵点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为； ∵点在线段上，即点在直线上， ∴当时，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C． ∴，把代入，得：， ∴， ∴， ∵平移后点的对应点落在x轴正半轴上， ∴设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线， ∴新的抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点关于对称轴的对称点为， ∵对于满足的任意实数，总成立， ∴或， ∴或． 23. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当，时，求的长； （3）如图3，延长至点，使，连接，与交于点．求证：． 【答案】（1）证明：由旋转性质得：， ∴​， ∵由旋转性质得知，， ∴， ∴； （2） （3）证明：由旋转得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得出相等的边和角，然后利用相似三角形的判定定理进行证明； （2）根据勾股定理求出直角三角形斜边长度，利用相似三角形的性质得出线段之间的数量关系，设为，则，，根据勾股定理列出方程求解； （3）根据旋转的性质得出相等的边和角，证明，得出相等的角，然后利用邻补角的定义得出，即可得出平行线． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∵， ∴， 由，得，， 即， ∵， ∴， 设为，则，， 在中， ， 即，​ 解得或(舍去)， ∴； 【小问3详解】 证明：略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $