精品解析：2026年山东青岛市黄岛区黄岛初级中学等校中考数学模拟卷一

九年级数学试题 一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分） 1. 在下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了有理数的大小比较，用到的知识点是负数正数，两个负数，绝对值大的反而小，是一道基础题．根据有理数的大小比较方法，找出最小的数即可． 【详解】解：∵， ∴最小， 故选：C． 2. 如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，是轴对称图形，故符合题意； B、绕某一点旋转后，不能与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，是轴对称图形，故不符合题意． 3. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察几何体，从正面看到的是底层是一个矩形，上层的左边是一个小矩形． 【详解】解：从正面看易得底层是一个矩形，上层的左边是一个小矩形． 故选D． 【点睛】本题主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握由三视图判断出几何体的一般方法是解题的关键． 4. 在平面直角坐标系中，点先向上平移个单位长度，再向右平移6个单位长度得到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据坐标平移的规律，牢记规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，即可计算得出结果． 【详解】解：∵点向上平移个单位长度， ∴点的纵坐标为； 再向右平移个单位长度， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 5. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平角定义，利用平行线的性质得出，利用平角定义求出，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 某中学举行攀登一座高的山，第一小组的攀登速度是第二小组的倍．第一小组比第二小组早到达山顶，求两个小组的攀登速度各是多少，若设第二小组的速度为，则可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设第二小组的速度为，则第一小组的速度为，根据第一小组比第二小组早到达山顶，列出分式方程即可，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设第二小组的速度为，则第一小组的速度为， 由题意得：， 故选：C． 7. 某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的与的数据如表： 时间分钟 含药量毫克 则下列图象中，能表示与的函数关系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用表格中数据分别得出函数解析式，进而得出答案． 【详解】解：由表格中数据可得：，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：， 则将 代入得：， 解得：， 故函数解析式为：， 由表格中数据可得：，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：， 则将代入得：， 故函数解析式为：． 故函数图象D正确． 故选：． 【点睛】此题主要考查了正比例函数与反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 8. 如图，是的切线，B为切点，与交于点D，．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，根据得到，根据是的切线得到，即可得到，结合等腰三角形性质求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】首先由抛物线开口向上得到，然后由对称轴得到，然后由抛物线与y轴交于负半轴得到，即可判断①；由对称轴为直线得到，然后将代入抛物线得到，代入得到，然后根据得到，即可判断②；设抛物线对称轴与x轴交于点E，将代入抛物线得到，求出，然后求出，得到，得到，即可判断③；分别将和代入方程，整理求出和或6，进而求解即可． 【详解】∵抛物线开口向上 ∴ ∵对称轴为直线 ∴ ∵抛物线与y轴交于负半轴 ∴ ∴，故①正确； ∵对称轴为直线 ∴ ∵在抛物线上 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故②正确； 如图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点E， 将代入 将，代入得， ∴ ∵ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是钝角三角形，故③正确； ∵ ∴当时，， ∴方程转化为 解得； ∴当时，， ∴方程转化为 解得或6； ∵方程的两根为、 ∴，，故④正确． 综上所述，其中正确结论有4个． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 10. 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫作分母有理化．化简_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据提供的解题方法，解答即可． 本题考查了分母有理化，利用平方差公式正确找到有理化因式是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 2024年国庆黄金周七天长假期间，全国共接待国内游客约765000000人次，将数765000000用科学记数法表示是_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．据此即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 某校为了鼓励学生课外阅读，学校公布了“阅读奖励”方案，并设置了“赞成、反对、无所谓”三种意见．校学生会从学校所有2400名学生中，随机征求了200名学生的意见，其中持“反对”和“无所谓”意见的共有50名学生，则全校持“赞成”意见的学生人数约为________人． 【答案】1800 【解析】 【分析】本题考查统计，涉及由样本估计总体，根据题意，得到样本中持“赞成”意见的学生人数占比，再由全校总人数与之相乘即可得到答案．熟练掌握由样本估计总体的方法是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，全校持“赞成”意见的学生人数约为人， 故答案为：1800． 13. 如图，在四边形中，，平分．将四边形绕点A按逆时针方向旋转一个角度，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是______． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义 ，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据角平分线的定义和旋转的性质的度数即可． 【详解】解：，平分． ， 又旋转的性质，可得， ， 即四边形旋转的角度是． 故答案为：75． 14. 如图，在中，点A、B、C都在圆上，且，，，则阴影部分的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，连接并延长交于点，由对称性可得，是等腰的底边上的高，由等边对等角可得，求出，由圆周角定理可得，从而得出是等边三角形，则，解直角三角形得出，则，最后由三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、，连接并延长交于点， 由对称性可得，是等腰的底边上的高， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是． 三．解答题（共1小题，满分4分，每小题4分） 15. 如图，在中，．请用尺规作图法，在边上找一点P，使点P到边、边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查角平分线作图，以及角平分线性质，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交边、边于一点，分别以这两点为圆心，大于两点间距离的的线段长为半径画弧，交于一点，连接这点和点，并延长交边于点P，即点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求： 四．解答题（共9小题，满分71分） 16. （1）化简：； （2）解不等式组：，并求出它的所有整数解． 【答案】（1），（2），不等式组的整数解为，1，2，3． 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算以及解不等式组． （1）先进行括号内分式的加法运算，再计算乘法即可作答． （2）分别算出每个不等式的解集，再取它们公共部分解集，并根据整数解的定义进行作答． 【详解】解： （2） 由①得出， 由②得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为，1，2，3． 17. 南昌大学，拥有前湖校区与青山湖校区等多个教学区域，校方后勤部精心安排了A，B，C三条专用车线，服务于教职工的日常通勤需求，确保往返于工作地点与生活社区之间的便捷通行．现有甲、乙两名教师各自随机选择搭乘一辆校车返程回家． （1）“甲、乙两名老师同坐A车”是________（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两名教师刚好搭乘同一辆校车的概率是多少？ 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】（1）甲、乙两名老师可能同时坐A车，也可能不同时坐A车，因此“甲、乙两名老师同坐A车”是随机事件； （2）列表格表示出甲、乙两名老师搭乘校车的所有可能结果，找出甲、乙两名教师刚好搭乘同一辆校车的结果，再根据概率的计算公式计算即可． 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握用列表法或画树状图法求概率是解题的关键． 【小问1详解】 解： “甲、乙两名老师同坐A车”是随机事件； 故答案为：随机． 【小问2详解】 解：列表如下： 甲 乙 A B C A B C 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名教师刚好搭乘同一辆校车的结果有3种， ∴P（甲，乙两名教师刚好搭乘同一辆校车）． 18. 为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动.为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为小时，将它分为4个等级：、、、，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图： （1）本次共调查了________名学生； （2）在扇形统计图中，等级D所对应的圆心角为________度； （3）本次调查的每名学生每周课外阅读的总时间的众数落在的“组别”是________，中位数落在的“组别”是________； （4）全校有2400名学生，估计阅读时间少于2小时的学生有________名. 【答案】（1）50 （2） （3）C，C （4） 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键. （1）由B等级的人数以及占的百分比即可得到被调查的总人数； （2）用乘以D等级人数所占的百分比即可得到答案； （3）分别根据众数和中位数的定义解答即可； （4）用总人数乘以每周阅读时间少于2小时的学生占比即可. 【小问1详解】 解：（名）， 故答案为：50； 【小问2详解】 等级D所对应的圆心角为， 故答案为： 【小问3详解】 ∵C组人数为（名） 则本次调查的每名学生每周课外阅读的总时间的众数落在的“组别”是C组， ∵第25、26个数据都在C组， ∴中位数落在的“组别”是C组； 故答案为：C，C 【小问4详解】 （名）， 即估计阅读时间少于2小时的学生有名， 故答案为： 19. 如图，初三学生小李想测量他家楼下的一棵松树的高度，由于松树周边有花坛无法直接到达松树下面测量，他先通过查询资料得到这栋住宅楼的高度为，在楼顶端C处测得松树顶端A的俯角为，在某一时刻太阳光照射下，松树顶端A的影子落在地面上的点E处，楼顶端C的影子落在地面上的点F处，测得，，已知松树、住宅楼均垂直于地面，且点B，E，D，F在同一条直线上，求松树的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】松树的高度约为 【解析】 【分析】题目主要考查矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解三角形的应用，过点A作于点H，则四边形为矩形，设，则，再由相似三角形的判定和性质得出，利用正切函数求解即可，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 【详解】解：如图，过点A作于点H，则四边形为矩形， ∴， 设，则， 由题意知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在C处测得A的俯角为， ∴， 解得：． 答：松树的高度约为． 20. 解答： （1）如图①，等角六边形中，三组正对边与，与，与分别有什么位置关系？证明你的结论； （2）如图②，等角六边形中，如果有，则其余两组正对边与，与相等吗？证明你的结论； （3）如图③，等角六边形中，试判断与的大小，并证明你的结论． 【答案】（1），，，理由见解答过程； （2），，理由见解答过程； （3），理由见解答过程． 【解析】 【分析】（1）连接，由正六边形的性质可得，再证明，即可得出，同理，，从而得证； （2）连接、，先证明四边形是平行四边形，得出，，再证明，即可得证； （3）延长、相交于点P，延长、相交于点Q，延长、相交于点S，由正六边形的性质可得，再证明是等边三角形．得出，，同理证明是等边三角形，则，从而得证． 【小问1详解】 解：，，，理由如下： 连接，如图①， ∵六边形是等角六边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，； 【小问2详解】 解：，，理由如下： 连接、，如图②， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图③，延长、相交于点P，延长、相交于点Q，延长、相交于点S， ∵六边形是等角六边形， ∴， ∴， ∴是等边三角形． ∴，， 同理：，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 21. 为了让同学们走进中国神话传说，在体验中探索中国先进的科技力量，5月14日，我校八年级的全体师生走进鹰潭方特游乐园，开展以“绘东方神画，传华夏文明”为主题的实践活动，活动前，年级组准备租用A、B两种型号的客车（每种型号的客车至少租用5辆），A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元，若2辆A型和1辆B型车坐满后共载客140人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客335人． （1）每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？ （2）若年级组计划租用A型和B型两种客车共24辆，要求A型车的数量不超过B型车数量的3倍，请问有几种租车方案？直接写出一种租金费用最少的租车方案？ 【答案】（1）每辆型车坐满后载客45人，型车坐满后载客50人 （2）共有种方案，租型车辆，则租型车辆，租金最少，最少租金是元． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用， （1）设每辆型车坐满后载客人，型车坐满后载客人，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）设租型车辆，则租B型车辆，根据题意列出不等式组，解不等式组进而，即可求解． 【小问1详解】 解：设每辆型车坐满后载客人，型车坐满后载客人， 根据题意得， 解得， 每辆型车坐满后载客45人，型车坐满后载客50人； 【小问2详解】 解：设租型车辆，则租型车辆， ∵要求A型车的数量不超过B型车数量的3倍，每种型号的客车至少租用5辆， ∴， 解得：， ∵为正整数， ∴， 共有种方案， ∵A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元，， ∴当型车数量越多，则租金越少， ∴当时，租金最少，最少租金为， 即租型车辆，则租型车辆，租金最少，最少租金是元． 22. 如图，在中，点E，F分别在，上，，连接与对角线相交于点O． （1）求证：； （2）连接，G为的中点，连接．若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为4 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，再证明，即可得证； （2）由三角形中位线定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形，点E，F分别在，上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴O为的中点， ∵G为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴的长为4． 23. 如图，小飞训练推铅球，铅球的行进高度(单位：米)与水平距离(单位：米)之间的函数关系式是． （1）小飞第一次推铅球时，铅球行进到水平距离为米时，铅球行进的高度最大为米，求铅球推出的水平距离． （2）小飞第二次推铅球时，推出的水平距离刚好与第一次相同，且，求推出的铅球行进的最大高度． （3）小飞第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同，推出的水平距离超过第一次，但不足米，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）铅球推出的水平距离为10米 （2）推出铅球行进的最大高度为2.45米 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求得二次函数的解析式是解题的关键． （1）由铅球运行到水平距离为时，铅球行进的最大高度为，设，即可得，则，故，令解得的值即可； （2）由推出的水平距离刚好与第一次相同，且，可得是的解，进而可以得解； （3）根据小明第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同，知，而推出的水平距离超过第一次，但不足米，求得当时，，当时，，列出不等式，即可解得答案． 【小问1详解】 解：铅球运行到水平距离为时，铅球行进的最大高度为 抛物线顶点为， ， 铅球行进高度单位：与水平距离单位：之间的关系是， ， ， ， 令，则， 舍去或， 铅球推出的水平距离为米； 【小问2详解】 推出的水平距离刚好与第一次相同，且， 是的解， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大值为， 推出铅球行进的最大高度为米； 【小问3详解】 小明第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同， ， 推出的水平距离超过第一次，但不足米， 的一个根在到之间， 当时，，即，解得：， 时，，即，解得：， ， 的范围是． 24. 【教材呈现】如下，是华师版九年级上册数学教材第80页的部分内容： 如图①，在四边形中，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． （1）请将以下过程或理由补充完整： 证明：点分别是的中点， 是的中位线， ______，（依据是：______） 点分别是的中点， 是的中位线， ______， ， ______， ； （2）【类比迁移】如图②，在四边形中，，点分别为的中点，求的长． （3）【拓展延伸】如图③，在四边形中，，点分别在边上，，则______． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识； （1）如图①，利用中位线定理得到，，由得到，即可得到结论； （2）如图②，连接，取的中点，连接，，由三角形中位线定理得到，，，则，，进一步得到，根据勾股定理即可得到； （3）如图③，连接，在上取一点，使，则，证明，则，，则，同理可得，，，则，则，求得，过点作于，则，，则,即可得到，根据勾股定理得，即可得到． 【小问1详解】 证明：点分别是的中点， 是的中位线， ，（依据是：中位线的性质） 点分别是的中点， 是的中位线， ， ， ， ； 故答案为：；中位线的性质；；． 【小问2详解】 如图，连接，取的中点，连接， ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得是的中位线， ∴， ∵是的中位线， ∴ ∴， ∵是的中位线， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴； 在中，； 【小问3详解】 解：如图③， 连接，在上取一点，使，则， ， ， ， ， ， ，， ， 同理：， ，， ， ， ， ， 过点作于，则，， , ， 根据勾股定理得，， ， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分） 1. 在下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 3 2. 如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点先向上平移个单位长度，再向右平移6个单位长度得到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 某中学举行攀登一座高的山，第一小组的攀登速度是第二小组的倍．第一小组比第二小组早到达山顶，求两个小组的攀登速度各是多少，若设第二小组的速度为，则可列出方程为（ ） A. B. C. D. 7. 某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的与的数据如表： 时间分钟 含药量毫克 则下列图象中，能表示与的函数关系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的切线，B为切点，与交于点D，．若，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 10. 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫作分母有理化．化简_______． 11. 2024年国庆黄金周七天长假期间，全国共接待国内游客约765000000人次，将数765000000用科学记数法表示是_________． 12. 某校为了鼓励学生课外阅读，学校公布了“阅读奖励”方案，并设置了“赞成、反对、无所谓”三种意见．校学生会从学校所有2400名学生中，随机征求了200名学生的意见，其中持“反对”和“无所谓”意见的共有50名学生，则全校持“赞成”意见的学生人数约为________人． 13. 如图，在四边形中，，平分．将四边形绕点A按逆时针方向旋转一个角度，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是______． 14. 如图，在中，点A、B、C都在圆上，且，，，则阴影部分的面积是_______． 三．解答题（共1小题，满分4分，每小题4分） 15. 如图，在中，．请用尺规作图法，在边上找一点P，使点P到边、边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 四．解答题（共9小题，满分71分） 16. （1）化简：； （2）解不等式组：，并求出它的所有整数解． 17. 南昌大学，拥有前湖校区与青山湖校区等多个教学区域，校方后勤部精心安排了A，B，C三条专用车线，服务于教职工的日常通勤需求，确保往返于工作地点与生活社区之间的便捷通行．现有甲、乙两名教师各自随机选择搭乘一辆校车返程回家． （1）“甲、乙两名老师同坐A车”是________（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两名教师刚好搭乘同一辆校车的概率是多少？ 18. 为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动.为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为小时，将它分为4个等级：、、、，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图： （1）本次共调查了________名学生； （2）在扇形统计图中，等级D所对应的圆心角为________度； （3）本次调查的每名学生每周课外阅读的总时间的众数落在的“组别”是________，中位数落在的“组别”是________； （4）全校有2400名学生，估计阅读时间少于2小时的学生有________名. 19. 如图，初三学生小李想测量他家楼下的一棵松树的高度，由于松树周边有花坛无法直接到达松树下面测量，他先通过查询资料得到这栋住宅楼的高度为，在楼顶端C处测得松树顶端A的俯角为，在某一时刻太阳光照射下，松树顶端A的影子落在地面上的点E处，楼顶端C的影子落在地面上的点F处，测得，，已知松树、住宅楼均垂直于地面，且点B，E，D，F在同一条直线上，求松树的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 20. 解答： （1）如图①，等角六边形中，三组正对边与，与，与分别有什么位置关系？证明你的结论； （2）如图②，等角六边形中，如果有，则其余两组正对边与，与相等吗？证明你的结论； （3）如图③，等角六边形中，试判断与的大小，并证明你的结论． 21. 为了让同学们走进中国神话传说，在体验中探索中国先进的科技力量，5月14日，我校八年级的全体师生走进鹰潭方特游乐园，开展以“绘东方神画，传华夏文明”为主题的实践活动，活动前，年级组准备租用A、B两种型号的客车（每种型号的客车至少租用5辆），A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元，若2辆A型和1辆B型车坐满后共载客140人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客335人． （1）每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？ （2）若年级组计划租用A型和B型两种客车共24辆，要求A型车的数量不超过B型车数量的3倍，请问有几种租车方案？直接写出一种租金费用最少的租车方案？ 22. 如图，在中，点E，F分别在，上，，连接与对角线相交于点O． （1）求证：； （2）连接，G为的中点，连接．若，求的长． 23. 如图，小飞训练推铅球，铅球的行进高度(单位：米)与水平距离(单位：米)之间的函数关系式是． （1）小飞第一次推铅球时，铅球行进到水平距离为米时，铅球行进的高度最大为米，求铅球推出的水平距离． （2）小飞第二次推铅球时，推出的水平距离刚好与第一次相同，且，求推出的铅球行进的最大高度． （3）小飞第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同，推出的水平距离超过第一次，但不足米，请直接写出的取值范围． 24. 【教材呈现】如下，是华师版九年级上册数学教材第80页的部分内容： 如图①，在四边形中，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． （1）请将以下过程或理由补充完整： 证明：点分别是的中点， 是的中位线， ______，（依据是：______） 点分别是的中点， 是的中位线， ______， ， ______， ； （2）【类比迁移】如图②，在四边形中，，点分别为的中点，求的长． （3）【拓展延伸】如图③，在四边形中，，点分别在边上，，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $