期末复习专题07 正弦定理与余弦定理【7大题型+强化训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

专题07 正弦定理与余弦定理 考点一 利用正余弦定理解三角形 考点二 正弦定理的边角互化的问题 考点三 余弦定理的边角互化的问题 考点四 三角面积公式的应用 考点五 利用正弦定理判定三角形解的个数 考点六 正、余弦定理判定三角形形状 考点七 距离、高度、角度测量问题 考点一 利用正余弦定理解三角形 1．记的内角，，的对边分别是，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】中，由正弦定理，即，解得， 又，所以 ，所以为锐角，故． 2．在中，已知，，，则___________． 【答案】2 【分析】先利用三角形内角和定理求出角，再结合正弦定理求解的长度。 【详解】. 根据正弦定理，. 3．的内角的对边分别为．若，则（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】已知 由余弦定理：， 所以． 4．在中，，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】设，由余弦定理得： . 代入已知条件： . 化简计算，整理得. 解得或（边长为正，舍去负根），故. 考点二 正弦定理的边角互化的问题 5．已知的面积为，若，，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理及三角形面积公式求解即可. 【详解】由及正弦定理得，， 又，所以. 又，即， 所以. 6．在中，内角的对边分别为，，，且，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用正弦定理化边为角即可. 【详解】因为， 由正弦定理得， 又，所以， 又，所以或. 7．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则______． 【答案】 【详解】由正弦定理得， 所以， 因为，所以，所以． 8．在△中，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理边角互化后结合三角恒等变换计算即可. 【详解】因为在△中，， 由正弦定理可得， 因为，所以， 所以， 又，所以，可得， 所以，即， 因为，所以， 可得，即． 9．中，角、、的对边分别为、、，已知，，则________；________． 【答案】 【分析】由正弦边角关系、三角形内角的性质、和角正弦公式，将已知条件化为，进而得到，最后利用正弦边角关系、三角恒等变换求目标式的值. 【详解】因为，由正弦定理得， 由 ，， 所以 ， 所以， 因为，所以 所以，解得或， 因为，所以，故； 由正弦定理，原式化为 由，得，， , 所以. 10．已知锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】由正弦定理及三角恒等变形化简得，进而可得，即，再由边角互化得，结合即可求解． 【详解】由正弦定理， 整理可得：，即， 在锐角三角形中，，即，即， 又因为，得，所以， 所以， 因为，所以． 考点三 余弦定理的边角互化的问题 11．在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，且，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式，及余弦定理即可求解． 【详解】由， 则， 所以， 在中，有， 故． 12．内角，，的对边分别为，，，，且的面积，则（   ） A．2或 B．3或 C．4或 D．5或 【答案】A 【分析】先由三角形面积公式求出，再由同角三角函数关系得到，结合余弦定理构造关于的方程求解 【详解】由三角形面积公式，又，得，即，解得， 所以， 由余弦定理，又，整理得， 等式两边同除以得，设，则， 若，代入得，判别式，无实根，舍去； 若，代入得，即，解得或， 故或. 13．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．若，则____________；若，则____________． 【答案】 【分析】利用正弦定理和余弦定理化简计算即可得出结果. 【详解】因为，所以，所以． 因为，所以，所以． 所以． 14．记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且ab，则______. 【答案】1 【分析】利用余弦定理进行角化边，化简等式即可求得c. 【详解】根据余弦定理得：， 即，整理得， 即，因为，所以. 15．已知的内角的对边分别为，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角的三角函数关系及辅助角公式得到，即，结合正余弦定理得到，与联立解得，，结合余弦定理求解即可. 【详解】由，得 则，所以. 与联立，解得，. 所以. 又，所以. 16．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用正弦定理将已知边的关系转化为角的正弦平方的关系，再用余弦定理将已知边的关系转化为边的乘积，进而得到正弦乘积的方程，解出结果. 【详解】依题意，，由正弦定理得，， 所以，由余弦定理可得，， 即，所以， 即，又因为，所以. 考点四 三角面积公式的应用 17．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形面积建立等量关系，可得，再根据正弦定理，化简求值即可. 【详解】在中，由及的面积为，得， 即，解得， 由正弦定理，得， 因此，所以. 18．记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可求的正弦和余弦，再根据三角变换公式求得，从而可求三角形的面积. 【详解】在中，由正弦定理得， 即，解得，而为三角形内角，所以， ，， 所以。 则.故选：B. 19．在中，，，，则的面积为________． 【答案】 【分析】先由和求出，再结合正弦定理求出，由求解. 【详解】中，且 （1），（2）， （2）-（1）得，． 由正弦定理， ． . 20．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式及正弦定理列式求解. 【详解】在中，由及的面积为， 得，即，解得， 由正弦定理，得， 因此，所以. 21．在△中，，，，则△的面积为____ ． 【答案】 【分析】首先边化为角，结合三角恒等变换，再根据条件求，最后代入面积公式，即可求解. 【详解】在△中，，，且， 由正弦定理可得， 因为，可得，即， 可得，即， 再由，可得，可得， 所以． 22．在中，角为锐角，的面积为4，且，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换、正弦定理等知识判断出是直角三角形，利用基本不等式求得周长的最小值. 【详解】由，得，即. 而， 所以，即. 由于为锐角，所以，， 所以与异号或， 若，即， 又，，则，， 所以，即，此不等式组无解，所以不成立. 同理可得不成立. 所以， 即，所以，，即为直角三角形. 由题意知，，即，所以. 所以的周长， 当且仅当时，等号成立. 所以周长的最小值为. 考点五 利用正弦定理判定三角形解的个数 23．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，，满足条件的△ABC有两个，则b可能为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】已知边a与其对角A，求边b可利用正弦定理，建立边b与角B之间的关系，因为△ABC有两个，故角B有两个，根据正弦函数图象确定范围即可． 【详解】由正弦定理可得：，因为a＝2，， 故，故， 因为△ABC有两个，故存在两个不同的角B满足题意， 则（否则角B不满足有两个三角形的条件），（否则B只能有直角一个值）， 故且，则， 故，解得．故只有B选项符合题意． 24．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理得到边与角的关系，再结合三角形有两解的条件来确定b的取值范围. 【详解】在中，，， 由正弦定理可得： ， 因为，且时，时， 要使有两解， 则的取值有两个，一个锐角，一个钝角， 由于，且为三角形内角， 所以的取值范围是， 同时有两解时的取值要满足， 由，可得， 又因为，可得， 综上，的取值范围为. 25．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，满足条件的有两解，则边长a的可能取值为（   ） A．3 B． C． D．4 【答案】C 【详解】若有两解，则，即：，所以. 26．在中，，，，则的解的个数是（    ） A．0个 B．2个 C．1个 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据与的大小关系确定解的个数. 【详解】由于， 所以， 所以的解的个数是. 考点六 正、余弦定理判定三角形形状 27．已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】借助正弦定理、三角形内角和、诱导公式及两角和的正弦公式计算即可得. 【详解】由正弦定理将边化为角可得， 又， 故，故， 由，故，则，故， 即的形状为直角三角形. 28．（多选）在中，已知，则的形状可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】BD 【详解】将，（为外接圆的半径）代入已知条件， 得，则． 因为，所以， 所以，所以或， 所以或，故为等腰三角形或直角三角形． 29．（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的是（） A．若，则为钝角三角形 B．若，则为锐角三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则 【答案】AB 【详解】选项A，根据余弦定理 已知，则，因此. 又因为，所以为钝角，故为钝角三角形，A正确； 选项B，，说明三个余弦值全为正，或一正两负. 三角形中若有两个钝角，则内角和会超过，矛盾. 因此只能是三个余弦值全为正，即均为锐角，为锐角三角形，B正确； 选项C，，根据正弦函数性质或， 即或. 当时，为直角三角形，不一定是等腰三角形，C错误； 选项D，余弦函数在上单调递减. 若，且，则，而非，D错误. 30．（多选）的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，的三角形有两解，则的取值范围为 【答案】AD 【分析】对于ABC，由正弦定理边角互化结合题意可判断选项正误；对于D，由余弦定理可得，然后由关于c的方程有两个不同正根可判断选项正误. 【详解】对于A，若，则，由正弦定理可得：，故，故A正确； 对于B，由正弦定理边角互化可得：， 则C为锐角，但不能为锐角三角形，故B错误； 对于C，由正弦定理边角互化可得， 或，则为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，由余弦定理可得， 因这样的三角形有两个，则对应方程有两个正数解，则， 解得，故D正确. 31．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理及恒等变形化简得，再解三角形即可求解． 【详解】解：根据正弦定理得，． ，， ，解得， 所以为直角三角形． 32．在中，分别是内角的对边，若，且，则的形状是（） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角是的直角三角形 D．有一个角是的等腰三角形 【答案】B 【分析】由三角形面积公式和余弦定理化简可得，由正弦定理化简得，结合平面向量线性运算、数量积运算和平面几何知识可得，从而可得是等腰直角三角形. 【详解】根据余弦定理，则. 根据三角形面积公式，则， 化简得，即.因为是三角形内角，所以. 又，由，可得. 则. 如图所示，在边上分别取点，使， 以为邻边作平行四边形，则四边形为菱形， 连接，且，， . 又，且，，即. 又，所以，进而，所以是等腰直角三角形. 考点七 距离、高度、角度测量问题 33．海面上有一座小岛，一艘小船在观测点测得小岛在北偏西方向．小船从出发，沿北偏东方向匀速航行海里到达处，此时发现小岛正好在小船正西方向，则此时小船与小岛距离_________海里． 【答案】2 【分析】在中，有，求得角为，结合正弦定理可求解. 【详解】 由题意可得 小岛正好在小船正西方向， 由正弦定理可得：，即，解得. 34．如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．    【答案】 【分析】根据余弦定理结合几何关系求出，结合河宽至少12米进一步判断即可. 【详解】由题意知，平面，，，，. 因为平面，所以，. 在中，，所以. 在中，，所以. 在中，由余弦定理得，， 即，整理得， 即，解得或. 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故. 35．某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】设，用表示，再利用余弦定理，列式计算即得. 【详解】设，依题意，，，， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 由， 可得： 解得： 36．《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔”.该塔位于莲溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼格式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已余年，充分体现了中国传统建筑技术水平.某数学兴趣小组为了测得塔高，如下图，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为____________（结果精确到整数，参考数据：） 【答案】36 【分析】在中，应用正弦定理求得，根据且计算即可求解CD. 【详解】由题设，在中， ， 由正弦定理得， ， 则m， 在中，由， 则, 所以m. 37．已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距.为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向.从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【分析】先作出示意图，再利用正弦定理求出的长，在中，利用余弦定理求出的长，最后在中利用余弦定理求出即可. 【详解】根据题意作出如图所示的示意图，在中，，，，则， 由正弦定理得，所以. 在中，，由余弦定理得， 即， 整理得，解得或， 因为，所以 在中，，则， 因为，所以，则， 所以在处测得在它的南偏西方向上. 38．（多选）某货轮在处时，灯塔位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自处向正北方向航行到处时，灯塔位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（ ） A．处在灯塔的西偏北 B．处与处之间的距离是海里 C．灯塔与处之间的距离是海里 D．灯塔在处的西偏南 【答案】BCD 【分析】作出示意图，利用正弦定理、余弦定理解三角形，结合方向角的概念逐项判断即可. 【详解】作出示意图如下图所示： 对于A选项，由题意可知，故处在灯塔的西偏北，A错； 对于B选项，在中，，，，故， 由正弦定理得，故， 即处与处之间的距离是海里，B对； 对于C选项，在中，，，， 由余弦定理可得， 故，即灯塔与处之间的距离是海里，C对； 对于D选项，因为，则，故灯塔在处的西偏南，D对. 1．在中，若，则角等于（    ） A．60° B．45° C．30° D．15° 【答案】C 【详解】由正弦定理可得，即，解得， 所以或，又因，则不符合题意，故. 2．已知的三边长分别为，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的内角的对边分别为，不妨设， 由余弦定理可得，因为，所以， 由正弦定理得的外接圆直径，即， 所以的外接圆面积为． 3．在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，. 有两解的充要条件是： 得 ，即. 4．已知的内角、、的对边分别为、、，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理可得出的值，分析可知为锐角，再利用同角三角函数的基本关系可得出的值. 【详解】因为，，由正弦定理得，故， 由题意可知，则，故为锐角，所以. 5．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，的角平分线交于D，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式列出方程求解. 【详解】在中，由的角平分线交于D，得， 由，得， 所以. 6．在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 【答案】B 【分析】将已知条件中的半角余弦表达式转化为边长关系，通过代数运算推导出角为直角. 【详解】因为，所以， 即， 所以， 即， 整理得， 角为直角，为直角三角形. 7．（多选）对于，有如下判断，其中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则是等腰三角形 C．若是锐角三角形，则 D．若，则是锐角三角形 【答案】BD 【分析】根据大角对大边及正弦定理即可判断A；根据正弦定理及二倍角公式可得到或，即可判断B；结合锐角三角形的性质及正弦函数的单调性即可判断C；根据正弦定理及余弦定理即可判断D. 【详解】对于A：在中，因为，所以，由正弦定理得，A正确； 对于B：在中，由及正弦定理，得， 即，则或，整理得或， 则是等腰三角形或直角三角形，B错误； 对于C：若为锐角三角形，则，，所以. 又在单调递增，所以，即，C正确. 对于D：由及正弦定理，得， 又由余弦定理，得，即角C是钝角，因此是钝角三角形，D错误. 8．（多选）在中，、、的对边分别为、、，下列说法正确的是（    ） A．若的外接圆半径，且，则角 B．若，则为等腰三角形或直角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若有两解，，，则 【答案】BCD 【详解】由正弦定理，，故或，故A错误； 由正弦定理，代入得 ，即， 则或，即或， 为等腰三角形或直角三角形，故B正确； 若为锐角三角形，则，即, 则，由正弦函数性质知正弦函数在内单调递增， ，故C正确； 已知有两解，则， 已知，， 则, ，故D正确． 9．在三角形中，为边上的一点，若，，，，则__________. 【答案】2 【分析】根据同角三角函数关系求出，，利用两角差的正弦公式求出，结合三角形面积公式及代入求解即可. 【详解】在中，，所以. 在中，，所以. 所以 . 因为为边上的一点，所以， 即， 则， 整理得，解得. 10．在中，角，，所对的边分别是，，，且，，，则的面积为___________. 【答案】 【分析】首先根据正弦定理及二倍角公式求出的值，再求出，，的值，利用诱导公式及和角公式得到的值，最后根据的面积公式进行求解. 【详解】因为，，， 由正弦定理得， 即， 即， 因为， 所以， 即， 因为，所以， ， ， ， 所以的面积. 11．中，，则________． 【答案】 【分析】利用正弦定理边化角，再利用三角函数恒等变换得，从而得解. 【详解】根据题意，， 由正弦定理得， 即， 则， 因为，则， 所以，则， 因为，则. 12．在 中，角所对的边分别为，，，若的面积为，则______． 【答案】 【分析】由余弦定理先求得，根据求得，进而求得，再根据正弦定理得出，设，由三角形面积公式列出方程即可求解． 【详解】由和余弦定理，可得， 因，则， 又由可得， 因，则 ， 由正弦定理得，，设， 则，解得（负值舍去）， 所以． 13．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且的面积满足，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据题意，结合三角形面积公式及二倍角公式得到，然后利用正弦定理边化角以及角的取值范围即可求解. 【详解】由题意得，锐角的面积， 由于，所以，化简得， 利用二倍角公式，代入得，解得， 则，则， 由正弦定理， 由于，则，解得， 由于在上单调递增， 当时，，则； 当时，，则； 因此的取值范围为. 14．已知中，，，则满足三角形有两个解的的取值范围______． 【答案】 【分析】根据正弦定理，三角形有两个解，则满足，代入即可求得边的取值范围. 【详解】如图，，，垂线段， 由正弦定理知，三角形有两个解， 则满足，即， 所以的取值范围为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 正弦定理与余弦定理 考点一 利用正余弦定理解三角形 考点二 正弦定理的边角互化的问题 考点三 余弦定理的边角互化的问题 考点四 三角面积公式的应用 考点五 利用正弦定理判定三角形解的个数 考点六 正、余弦定理判定三角形形状 考点七 距离、高度、角度测量问题 考点一 利用正余弦定理解三角形 1．记的内角，，的对边分别是，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．在中，已知，，，则___________． 3．的内角的对边分别为．若，则（    ） A．6 B． C．4 D． 4．在中，，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 考点二 正弦定理的边角互化的问题 5．已知的面积为，若，，则（   ） A． B． C．3 D． 6．在中，内角的对边分别为，，，且，则（   ） A． B． C．或 D．或 7．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则______． 8．在△中，，则（　　） A． B． C． D． 9．中，角、、的对边分别为、、，已知，，则________；________． 10．已知锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围是______. 考点三 余弦定理的边角互化的问题 11．在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，且，则=（    ） A． B． C． D． 12．内角，，的对边分别为，，，，且的面积，则（   ） A．2或 B．3或 C．4或 D．5或 13．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．若，则____________；若，则____________． 14．记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且ab，则______. 15．已知的内角的对边分别为，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 16．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 考点四 三角面积公式的应用 17．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ） A． B． C． D． 18．记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 19．在中，，，，则的面积为________． 20．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 21．在△中，，，，则△的面积为____ ． 22．在中，角为锐角，的面积为4，且，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点五 利用正弦定理判定三角形解的个数 23．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，，满足条件的△ABC有两个，则b可能为（    ） A．2 B． C． D．3 24．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，满足条件的有两解，则边长a的可能取值为（   ） A．3 B． C． D．4 26．在中，，，，则的解的个数是（    ） A．0个 B．2个 C．1个 D．无法确定 考点六 正、余弦定理判定三角形形状 27．已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 28．（多选）在中，已知，则的形状可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 29．（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的是（） A．若，则为钝角三角形 B．若，则为锐角三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则 30．（多选）的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，的三角形有两解，则的取值范围为 31．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 32．在中，分别是内角的对边，若，且，则的形状是（） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角是的直角三角形 D．有一个角是的等腰三角形 考点七 距离、高度、角度测量问题 33．海面上有一座小岛，一艘小船在观测点测得小岛在北偏西方向．小船从出发，沿北偏东方向匀速航行海里到达处，此时发现小岛正好在小船正西方向，则此时小船与小岛距离_________海里． 34．如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．    35．某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 36．《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔”.该塔位于莲溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼格式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已余年，充分体现了中国传统建筑技术水平.某数学兴趣小组为了测得塔高，如下图，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为____________（结果精确到整数，参考数据：） 37．已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距.为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向.从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 38．（多选）某货轮在处时，灯塔位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自处向正北方向航行到处时，灯塔位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（ ） A．处在灯塔的西偏北 B．处与处之间的距离是海里 C．灯塔与处之间的距离是海里 D．灯塔在处的西偏南 1．在中，若，则角等于（    ） A．60° B．45° C．30° D．15° 2．已知的三边长分别为，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 3．在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知的内角、、的对边分别为、、，且，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，的角平分线交于D，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 7．（多选）对于，有如下判断，其中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则是等腰三角形 C．若是锐角三角形，则 D．若，则是锐角三角形 8．（多选）在中，、、的对边分别为、、，下列说法正确的是（    ） A．若的外接圆半径，且，则角 B．若，则为等腰三角形或直角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若有两解，，，则 9．在三角形中，为边上的一点，若，，，，则__________. 10．在中，角，，所对的边分别是，，，且，，，则的面积为___________. 11．中，，则________． 12．在 中，角所对的边分别为，，，若的面积为，则______． 13．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且的面积满足，则的取值范围为________． 14．已知中，，，则满足三角形有两个解的的取值范围______． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $