期末复习专题06 三角恒等变换【8大题型+强化训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

**基本信息** 以三角恒等变换公式体系为核心，按"基础公式→应用类型→综合化简"逻辑递进，覆盖8大考点，聚焦运算能力与推理意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |两角和差公式逆用|6题|公式逆向变形求值|从公式直接应用到逆用思维转换| |二倍角公式简单应用|6题|已知单角求二倍角值|单角与倍角关系的直接转化| |给角求值型问题|6题|非特殊角通过公式转化为特殊角|角的拆分与公式组合应用| |给值求值型问题|6题|已知三角函数值求复合角值|角的配凑与符号判断推理| |给值求角型问题|6题|由函数值确定角的大小|值到角的转化及范围限定| |辅助角与降幂公式的应用|6题|函数式化简与性质分析|代数变形与三角公式融合| |积化和差等公式|6题|公式记忆与灵活变形|拓展公式的直接应用与推导| |三角恒等变换化简求值的问题|6题|综合运用公式化简复杂式|多公式联用的逻辑推理|

专题06 三角恒等变换 考点一 两角和差公式逆用 考点二 二倍角公式简单应用 考点三 给角求值型问题 考点四 给值求值型问题 考点五 给值求角型问题 考点六 辅助角与降幂公式的应用 考点七 积化和差、和差化积公式以及半角公式 考点八 三角恒等变换化简求值的问题 考点一 两角和差公式逆用 1．______. 【答案】/ 【分析】利用诱导公式和两角差的余弦公式进行计算得出结果； 【详解】. 故答案为： 2．的值为____. 【答案】/ 【分析】先运用诱导公式化简，再应用两角差余弦公式计算即可. 【详解】 . 故答案为：##. 3．_____. 【答案】 【分析】根据两角和的正切公式以及诱导公式求得正确答案. 【详解】， ， ， 所以， 所以 . 4．______． 【答案】 【分析】根据诱导公式化简代数式，利用正切函数的差角公式，可得答案. 【详解】， 故原式． 故答案为： 5．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用诱导公式化简然后用两角和的正弦公式合并，然后由特殊角的三角函数求其值，即可解答. 【详解】 . 故选：A. 6．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由诱导公式化简，再由两角和的正弦公式求解即可. 【详解】 . 故选：B. 考点二 二倍角公式简单应用 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过凑角的方法，将未知角转化为已知角，利用三角函数关系计算即可． 【详解】因为， 且， 所以． 8．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知． 9．已知，且，则__________. 【答案】/0.75 【详解】由，得， 所以. 10．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式及二倍角公式即可求得，然后由及求得的取值范围，从而求得答案. 【详解】， ， ∴，即，∴ 在中且，∴， ∴，∴，∴，即. 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，解得， 所以. 12．（多选）已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据可判断A；根据及即可判断B；根据两角和的正弦公式可判断C；代入可判断D. 【详解】， 解得，又，所以，故A正确； 联立及，解得， 所以，故B错误； 同理根据及，解得， 所以，故C正确； 因， 所以.故D错误. 考点三 给角求值型问题 13．求值：______． 【答案】1 【分析】根据同角三角函数的基本关系及降幂公式、诱导公式求解. 【详解】 ， 故答案为：1 14．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式 . 15．的值为________. 【答案】/0.5 【分析】利用和差角的正弦公式、诱导公式及二倍角的余弦公式化简求解. 【详解】. 故答案为： 16．计算：__________ 【答案】 【分析】根据两角差的余弦公式，展开化简，即可得答案. 【详解】原式 . 故答案为： 17．计算（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用诱导公式和倍角公式可得，分子、分母同乘，结合倍角公式运算求解. 【详解】因为 . 故选：D. 18．__________． 【答案】 【分析】利用二倍角公式及和差角公式计算可得. 【详解】 . 故答案为： 考点四 给值求值型问题 19．已知为锐角，. (1)求的值： (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角公式和同角三角函数基本关系式，化简求解； （2）利用同角三角函数基本关系求出和，再利用正切的差角公式求出的值，进而利用正切的和角公式求得的值. 【详解】（1）已知为锐角，，由同角三角函数关系可得：， 由，代入得： 解得（为锐角，舍去），故， 由二倍角公式：. （2）因为为锐角，所以，由得： ， 因此. 由，代入，： ，解得. 所以. 20．已知，都是锐角，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合同角三角函数关系，余弦的差角公式求解即可. 【详解】因为，都是锐角，所以, 因为，， 所以，， 所以. 21．已知角，满足，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换，将已知条件转化为关于的关系式，再结合，求出，最后用正切和角公式计算. 【详解】因为， 所以， 所以， 即， 化简可得：， 又因为，所以， 所以， 所以. 22．已知，且，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由进行求解； （2）由进行求解. 【详解】（1）由，得， 则， 所以． （2）， 因为， 所以 ， 则． 23．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，而，可得， 所以. 24．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合已知条件，利用两角和与差的正弦展开公式求解即可 【详解】由， 得， 所以． 考点五 给值求角型问题 25．已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用余弦函数与正弦函数的性质缩小与的取值范围，结合三角函数的基本关系式与倍角公式求得的正余弦值，从而利用正弦函数的和差公式即可得解. 【详解】因为所以则 所以 则， 因为，所以， 又则， 所以 故 因为所以 则. 故选：A. 26．已知角，满足，，且，. (1)求的值； (2)求的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意和同角三角函数基本关系式、二倍角公式分别求出，，，，再利用两角差的正弦公式计算即可； （2）先根据题意缩小角的范围到和，进而得出，再计算的值即可得到结果. 【详解】（1）因为，，所以， 所以，； 因为，所以； 所以. （2）因为，，所以； 因为，所以，故， 所以； 又因为，所以，； 所以， 又因为，所以. 27．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到，即，根据，得到，即. 【详解】， 所以， 则， 即． 因为，所以， 所以， 解得． 故选：B． 28．已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数关系可得，利用两角和与差的正弦公式化简，可得，根据角的范围，即可得到答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以，，所以． 由，得， 即， 所以，所以． 又，所以． 故选：D 29．已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用两角和的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式结合商数关系化弦为切即可得解； （2）先利用利用二倍角的余弦公式结合商数关系化弦为切求出，再利用两角差的正弦公式求出的正弦值，并求出的范围，即可得解. 【详解】（1）由， 解得， 所以； （2）， 由，，得， 所以 ， 因为，， 所以，所以， 又，， 所以，所以， 所以， 所以． 30．已知，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将转化为，然后由两角和与差的正弦公式展开化简，由，利用二倍角公式化简最后求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 化简得：， 所以， 又由，可得， 所以，即，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：A 考点六 辅助角与降幂公式的应用 31．已知函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用倍角公式和辅助角公式化简得出，令，将问题转化为方程在区间上有且仅有两个根，结合正弦函数的性质得出即可. 【详解】 设，因为，所以． 函数在区间上有且仅有两个零点， 即方程在区间上有且仅有两个根． 因为方程的正根从小到大排列分别是 所以，解得， 则实数的取值范围为． 32．函数的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】， 所以函数的最大值是5. 33．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， . 34．若函数的最小正周期为2，则正实数（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式得，最后根据周期公式即可得到答案. 【详解】， 其周期，解得． 故选：A． 35．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式求出，从而求出，再由降幂公式及和差角的余弦公式计算可得. 【详解】因为，， 即，可得 所以 . 故选：D. 36．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 考点七 积化和差、和差化积公式以及半角公式 37．（多选）下列等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据三角函数的诱导公式、和差化积、积化和差公式依次判断即可. 【详解】对于A，由三角函数的诱导公式得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，显然不恒成立，故D错误. 38．的值为______． 【答案】/ 【分析】利用降幂升角公式、积化和差、和差化积公式，即可求解. 【详解】因为 . 39．若且，则=__________． 【答案】/ 【分析】利用和差化积公式分别将两个等式中的，，再代回原等式，即可建立关系求出的值. 【详解】解：由和差化积公式可得，，分别代入到原式中， 则， 所以或， ， 所以或， 若，则且，无解， 因此，所以. 40．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助和差化积公式、同角三角函数基本关系、二倍角公式计算即可得. 【详解】由，故， 由，故， 则， 则 . 41．设，，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简 ，再比较它们所对应角度的正弦值大小. 【详解】已知 ，可得： 根据二倍角的正弦公式，对于 ，则有： ， 由半角公式，对于 ，这里 ，则有： ， 因为正弦函数 在 上单调递增，且 ，所以 ，即 . 42．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定角的范围，求出 值，利用正弦和余弦的差角公式求出 和 ，最后用半角公式即可求解. 【详解】已知 ，因此 ， 所以， 所以， 化简得①； 而， 化简得②； 联立①②，相加得： 相减得： ， 由 ，得 ， 根据半角公式 ，代入 得. 考点八 三角恒等变换化简求值的问题 43．化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ， ， ， ， ， . 44．（1）已知，求的值； （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二倍角、差角公式化简已知等式，约去非零项后得到的值，再平方求； （2）先将正切化为正弦、余弦，用辅助角公式化简分子，再用降幂公式化简分母，约分得到结果. 【详解】（1）由二倍角公式：， 由余弦差角公式：. 由于原式分母不为0，故，则， 化简得，两边平方得 ， 解得. （2）将代入得 ， 则分子 ， 由降幂公式可知分母， 从而原式. 45．化简的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先由同角关系将化为，通分后使用辅助角公式结合二倍角公式将原式化简为，再使用诱导公式化简为最终结果即可. 【详解】原式可化为 ， 故选：B. 46．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）逆用余弦的和角公式即可得解； （2）逆用正弦的和角公式即可得解； （3）逆用、正用正切的和角公式即可得解； （4）利用诱导公式及余弦差角公式的逆用即可得解. 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 47．（1）已知，且，求的值； （2）化简. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）确定得到，再根据三角恒等变换计算得到答案. （2）根据二倍角公式和同角三角函数关系结合正弦的和差公式化简即可. 【详解】（1）平方得，故， ，则，， . （2）原式 48．化简求值 (1) (2)已知，，，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助就公式，化简求值；（2）首先可根据题意得出，然后根据同角三角函数关系求出，最后根据二倍角公式以及两角和的正切公式即可得出结果. 【详解】（1） ； （2）因为，是锐角，所以， 因为，为锐角，所以，， 因为，所以，， 则，，故. 1．化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦的二倍角公式结合两角差的正弦公式化简. 【详解】原式． 故选：A 2．下列化简不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案. 【详解】A选项， ，所以A选项正确. B选项， ，B选项正确. C选项，，C选项正确. D选项，，D选项错误. 故选：D 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 则. 4．已知，则（   ） A．-4 B． C． D． 【答案】C 【分析】通过两角和与差的正余弦公式得出和的关系，再利用二倍角的正切公式即可得结果. 【详解】由，得， 即，所以， 所以，所以． 5．已知是第一象限角，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是第一象限角，且， 所以，则，, 所以. 6．若，，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】先求出的范围，确定象限，再求出，最后对已知角进行拆分求解即可. 【详解】因为，所以，故 且， 则. 7．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】,所以 ． 8．已知，都是锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用同角三角函数关系得出，再应用两角差正弦公式计算得出，求出角应用特殊角求解． 【详解】因为角α为锐角，且，所以． 因为，，所以． 又，所以， 所以， 所以，，； 9．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于，利用余弦的差角公式即可求解. 【详解】，，. 又， ， 则． 10．（多选）下列各式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】选项A： ，故A正确； 选项B： ，故B正确； 选项C： 原式整理为，故C正确； 选项D： 原式展开得， 和题干给出的结果不符，故D错误. 11．（多选）已知 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据两角和与差的余弦公式、诱导公式、以及同角三角函数关系式逐项分析即可. 【详解】由， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 12．（多选）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，因， 则，即，C正确； 对于D， ，D错误. 13．（多选）已知，其中为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】选项A，因为为锐角，所以，得，，A错误； 选项B，因为为锐角，所以，， 则， ，B错误； ， 选项C，由B选项可知，C正确； 选项D，由B选项可知，D正确 14．已知，，则______. 【答案】 【详解】因为，所以， 可得， 因为，所以，化简得． 15．已知，则的值为______． 【答案】 【详解】， ，． 16．已知点是角的终边上一点，则______. 【答案】 【详解】由三角函数的定义可得，， 所以. 17．已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平方关系得到，最后根据即可求解； （2）由平方关系得到，最后根据即可求解. 【详解】（1）因为，所以，故， 由，得， . （2）由，且，故，从而， 则. 18．（1）已知，，求的值； （2）已知角，，且，，求和的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）先对已知式子进行平方，再相加结合正弦差角公式求解； （2）根据题意，利用倍角公式及同角三角函数的关系求出、、，再由展开计算即可． 【详解】（1）， 得， 解得； （2），，，， ，， 又，， ． 19．已知. (1)若，求的值； (2)已知，，且、，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简函数的解析式，由可得出的值，再利用弦化切可得出所求代数式的值； （2）由结合两角和的正切公式求出的值，利用二倍角公式以及弦化切可求得的正弦值和余弦值，求出的值，进而可求出的值，求出的取值范围，即可得出的值. 【详解】（1）， 因为，所以， 所以 . （2）由，解得， 所以， ， 由，得， 所以 ， 因为，，所以，故， 又，，所以，故， 所以，故． 20．（1）已知．求的值． （2）已知，且，，求的值． （3）已知，，且．求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）由两角和的正切公式先得，利用诱导公式结合齐次式可得； （2）由同角三角函数关系得，，再由可得； （3）利用同角三角函数关系和倍角公式可得，利用可得，进而可得. 【详解】（1）由题意得， ； （2）因且，故， 因，故，故， . （3）因，故，又，故，故， ， 故，故， 故， 又，故. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角恒等变换 考点一 两角和差公式逆用 考点二 二倍角公式简单应用 考点三 给角求值型问题 考点四 给值求值型问题 考点五 给值求角型问题 考点六 辅助角与降幂公式的应用 考点七 积化和差、和差化积公式以及半角公式 考点八 三角恒等变换化简求值的问题 考点一 两角和差公式逆用 1．______. 2．的值为____. 3．_____. 4．______． 5．（   ） A． B． C． D． 6．（    ） A． B． C． D． 考点二 二倍角公式简单应用 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，则（   ） A． B． C． D． 9．已知，且，则__________. 10．已知，，则（     ） A． B． C． D． 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 12．（多选）已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 考点三 给角求值型问题 13．求值：______． 14．（    ） A． B． C． D． 15．的值为________. 16．计算：__________ 17．计算（   ） A．2 B． C． D． 18．__________． 考点四 给值求值型问题 19．已知为锐角，. (1)求的值： (2)求的值. 20．已知，都是锐角，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 21．已知角，满足，，则（    ） A． B． C． D．2 22．已知，且，求： (1)的值； (2)的值． 23．已知，则（    ） A． B． C． D． 24．已知，则（    ） A． B． C． D． 考点五 给值求角型问题 25．已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 26．已知角，满足，，且，. (1)求的值； (2)求的大小. 27．已知，，则（    ） A． B． C． D． 28．已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 29．已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值． 30．已知，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点六 辅助角与降幂公式的应用 31．已知函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为___________． 32．函数的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 33．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 34．若函数的最小正周期为2，则正实数（　　） A． B． C． D． 35．已知，则（   ） A． B． C． D． 36．（   ） A． B． C． D． 考点七 积化和差、和差化积公式以及半角公式 37．（多选）下列等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 38．的值为______． 39．若且，则=__________． 40．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 41．设，，，则有（   ） A． B． C． D． 42．已知，则（   ） A． B． C． D． 考点八 三角恒等变换化简求值的问题 43．化简（    ） A． B． C． D． 44．（1）已知，求的值； （2）化简：. 45．化简的值为（   ） A． B．1 C． D．2 46．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 47．（1）已知，且，求的值； （2）化简. 48．化简求值 (1) (2)已知，，，，求. 1．化简：（   ） A． B． C． D． 2．下列化简不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A．-4 B． C． D． 5．已知是第一象限角，且，则（　　） A． B． C． D． 6．若，，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 7．（   ） A． B． C． D． 8．已知，都是锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 9．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（多选）下列各式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）已知 ，则（    ） A． B． C． D． 12．（多选）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 13．（多选）已知，其中为锐角，则（    ） A． B． C． D． 14．已知，，则______. 15．已知，则的值为______． 16．已知点是角的终边上一点，则______. 17．已知，. (1)求的值； (2)求的值. 18．（1）已知，，求的值； （2）已知角，，且，，求和的值． 19．已知. (1)若，求的值； (2)已知，，且、，求的值． 20．（1）已知．求的值． （2）已知，且，，求的值． （3）已知，，且．求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $