精品解析：2026年湖南省益阳市沅江市二模数学试题

2026年5月初中学业水平模拟检测数学 （本试卷共6页，24题，考试用时120分钟，全卷满分120分） 注意事项： 1．答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，将答题卡上交． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数和有理数的定义判断各选项即可． 【详解】解：、是有限小数，属于有理数，该选项不符合题意； 、是分数，属于有理数，该选项不符合题意； 、是有限小数，属于有理数，该选项不符合题意； 、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，该选项符合题意． 2. 厨房纸巾是家庭清洁的常用物品．如图放置的厨房纸巾卷，箭头方向为其主视方向，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵从前面看纸巾卷里面有2条看不见的线， ∴它的主视图是． 3. 2025年，我国在单原子催化领域取得飞跃性突破．催化剂中单个活性金属原子的直径约米，将数据用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，不能直接合并相加，∴A错误； 选项B：根据完全平方公式展开得，，∴B错误； 选项C：根据积的乘方法则计算得，，∴C错误； 选项D：根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，指数相减，得，运算正确，∴D正确． 5. 某市编程赛成绩按如下权重计算：代码质量占，功能实现占，文档编写占．小明在大赛中，代码质量、功能实现、文档编写三项成绩分别为：80分、70分、90分，则小明的编程赛成绩为（ ） A. 70分 B. 78分 C. 83分 D. 85分 【答案】B 【解析】 【详解】解： （分）． 6. 将关于x的分式方程去分母可得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵方程的两个分母分别为和， ∴最简公分母为， 方程两边同时乘去分母：得． 7. 如图，一质量均匀的小球静止悬挂在光滑的竖直墙面上，O为小球的球心，小球受到重力G、拉力F和支持力N的作用．若拉力F与重力G的夹角，则拉力F与墙面的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线平行，同旁内角互补求解． 【详解】解：∵与墙面平行， ∴， ∵， ∴． 8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设总人数为，根据车的总数不变建立等量关系即可列出方程． 【详解】解：设共有人，总车数不变， ∵每3人共乘一车，最终剩余2辆车空，可得总车数为；每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘，可得总车数为， ∴由总车数相等，可得方程． 9. 如图，在正方形网格上，点A，B，C，D，E均在格点上，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明是等腰直角三角形，求得，得到，根据即可求解． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 在平面直角坐标系中，我们约定：不重合的两点与为一对负换点；若函数图象上至少存在一对负换点，则称该函数为负换函数．下列函数中，是负换函数且仅有一对负换点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】假设图象上一点存在负换点，为，同时代入解析式得到两个等式，一一进行验证是否符合负换函数的条件即可求解． 【详解】解：选项A：，假设图象上一点存在负换点，为，同时代入解析式得：，， 解得， 此时重合，不符合要求，排除A； 对选项B：，假设图象上一点存在负换点，为， 同时代入解析式得：，， 此时存在无数组不重合解，即无数对负换点，排除B； 对选项C：，假设图象上一点存在负换点，为， 同时代入解析式得：，， 化简得，存在无数组不重合解，即无数对负换点，排除C； 对选项D：，假设图象上一点存在负换点，为， 同时代入解析式得：，， 将第一个式子代入第二个得： ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解为， 当时，，得 ，两点不重合，都在函数图象上，是一对负换点； 当时，，得 ，与上述为同一对； 当时，，故 ，此时 ，两点重合，不符合要求， 因此D是负换函数且仅有一对负换点，符合要求． 【点睛】本题考查了函数解析式与点的坐标之间的关系以及运算，解题关键是理解题意，合理变换与计算． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 单项式x2y的次数是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据单项式次数的定义即可求解． 【详解】解：单项式x2y的次数为2+1=3， 故答案为3． 【点睛】本题考查单项式的次数，单项式的次数是这个单项式中所有字母指数的和，掌握单项式次数的定义是解题的关键． 12. 某化学实验室有4瓶外观完全相同的溶液，标签分别为：盐酸、硫酸、氢氧化钠、蒸馏水．实验员随机从中抽取1瓶进行检测，抽到酸溶液的概率为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意可知，所有等可能出现的结果总数为，其中酸溶液为盐酸和硫酸，符合抽到酸溶液条件的结果数为， ∴抽到酸溶液的概率为． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的取值是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵关于的一元二次方程 有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 14. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据y轴上点的坐标特征，y轴上的点横坐标为，据此列方程求解即可． 【详解】解：点在轴上， ， 解得． 15. 如图，，，，，五点在上，连接，，，．若，，则的度数是______． 【答案】##63度 【解析】 【分析】首先根据求出，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 16. 如图，在中，是的角平分线，过点作，交于点，点在线段上，且，连接，． （1）若，，则______； （2）下列结论正确的是_______．（写出所有正确答案的序号） ①若，则； ②若，则； ③若，，则． 【答案】 ①. ②. ①② 【解析】 【分析】（1）证明，推出，据此计算即可； （2）①先证明，据此计算即可求解；②利用平行线分线段成比例求解即可；③设，证明是等腰直角三角形，求得，，，证明，据此计算即可判断． 【详解】解：（1）记与交于点， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ①∵， ∴， ∵， ∴，故①说法正确； ②∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故②说法正确； ③∵，，， 设， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，故③说法错误； 综上，正确的有①②． 三、解答题：本题共8小题，第17题6分，第17题8分，第题，每小题9分，第题，每小题11分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的乘法以及绝对值，分别计算出各项的值，再按照实数的运算法则进行计算． 【详解】解： 18. 解不等式组：，并求所有整数解的和． 【答案】 不等式组的解集为，所有整数解的和为. 【解析】 【详解】解： 解不等式①  得 解不等式②  得  因此不等式组的解集为 所以该不等式组的整数解为  所以所有整数解的和为． 19. 某学校在八、九年级学生中各随机抽取10名学生，对这些学生4月份课外阅读打卡次数（用表示）进行整理、描述和分析，共分成四组：A：；B：；C：；D：．以下是部分信息： 八年级10名学生4月课外阅读打卡次数分别为：5，7，10，12，20，24，25，28，28，31． 九年级10名学生4月课外阅读打卡次数在C组中的数据是：21，22，24，28． 八、九年级抽取的学生4月打卡次数统计表 年级 八年级 九年级 平均数 19 19 中位数 众数 33 九年级10名学生4月份打卡次数扇形统计图 请根据题中信息，解答下列问题： （1）________，________，________，________； （2）你认为该校八、九年级中，哪个年级学生4月份课外阅读情况更好？请说明理由； （3）若该校八、九年级学生共有2000名，请你根据样本数据，估计该校八、九年级学生4月份课外阅读打卡不少于20次的学生人数． 【答案】（1）22，23，28，40 （2）九年级学生4月份课外阅读情况更好，理由见解析 （3）1300人 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的定义，以及扇形统计图求解即可； （2）可从中位数、众数等角度比较分析即可； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：10个数据，则中位数是第5，6个数据的平均数， 从八年级的10个数据可得，第5，6个数据是20，24，则中位数； 而出现的次数最多，则众数； ，故， 那么九年级B组中有个数据；D组中有个数据；A组有个数据， 而中位数是第5，6个数据的平均数，A组和B组共3个数据， 则第5，6个数据在C组，为22，24，故中位数； 【小问2详解】 解：九年级学生4月份课外阅读情况更好，理由如下： 两个年级的平均数相同(均为19)，但九年级的中位数(23)高于八年级(22)，说明九年级一半以上学生的打卡次数多于八年级一半以上学生；九年级的众数(33)高于八年级(28)，说明九年级打卡次数最多的数值更大；九年级打卡不少于20次的学生有7人(占)，八年级有6人(占)，九年级高分段学生比例更高． 【小问3详解】 解：估计打卡不少于20次的学生人数样本中，八年级10人有6人打卡不少于20 次，九年级10人有7人打卡不少于20次， ∴（人） 答：该校八、九年级学生4月份课外阅读打卡不少于20次的学生人数有1300人． 20. 为推进智慧校园建设，某科技公司为学校提供两种型号的门禁读卡器：A型刷卡门禁和B型人脸识别门禁．已知2套A型门禁和3套B型门禁的采购总价为10500元；4套A型门禁和5套B型门禁的采购总价为18500元． （1）求A，B两种型号门禁每套的采购单价； （2）学校预采购A型、B型两种门禁共12套，若采购两种门禁的费用不高于22000元，至少可采购A型门禁多少套？ 【答案】（1）A型门禁每套采购单价为1500元，B型门禁每套采购单价为2500元 （2）至少可采购A型门禁8套 【解析】 【分析】（1）根据两种采购方案的总价关系列方程组求解； （2）根据总费用限制列不等式，结合套数为正整数得到最小值． 【小问1详解】 解 ：设A型门禁每套采购单价为元，B型门禁每套采购单价为元 根据题意列方程组得  解得  答：A型门禁每套采购单价为1500元，B型门禁每套采购单价为2500元； 【小问2详解】 解：设采购A型门禁套，则采购B型门禁套 根据题意得   解得  答：至少可采购A型门禁8套． 21. 如图，四边形是⊙的内接四边形，是⊙的直径，连接，将线段绕点顺时针方向旋转一定角度得到线段．过点作，交的延长线于点，连接，． （1）若平分，求证：四边形是菱形； （2）若，求证：直线是⊙的切线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据平行线的性质可证，根据角平分线的性质可证，根据等角对等边可证，等量代换可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证结论成立； （2）连接，根据两个角对应相等的两个三角形相似可证，根据相似三角形的性质可证，由旋转可证，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，根据相似三角形的对应角相等和平行线的性质可证，根据圆内接四边形的性质和三角形外角的性质可证，根据直径所对的圆周角是直角，可证，从而可证结论成立． 【小问1详解】 证明：， ， 平分， ， ， ， 由旋转可知， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； 【小问2详解】 证明：如下图所示，连接， ，， ， ， 由旋转可知， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是⊙的内接四边形， ， 又， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 点在上， 是的切线． 22. 我国古代数学家刘徽在《海岛算经》中记载了利用“重差术”测量物体高度的方法．某高铁路段隧道施工中，工程人员利用该原理测量接触网支架高度，其纵截面的示意图如下：四边形为接触网支架的主体，四边形为接触网支架的底座．连接，已知，测得，，，，底座高．（参考数据：，，，，） （1）求的长（结果精确到）； （2）求点到地面的距离（结果精确到）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数解直角三角形，能够构造合适的直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，构造，，利用锐角三角函数求解即可； （2）过点作交于点，交于点，交于点，则四边形是矩形，根据（1）可知，利用锐角三角函数即可求得，结合题意即可求解． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点，则，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，则， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作交于点，交于点，交于点，则， 由（1）可知， ，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 23. 如图1，抛物线：与轴交于，两点．抛物线平移后得到抛物线与轴交于点，且过抛物线的顶点和点． （1）求点的坐标； （2）如图1，点和是抛物线上的两点，若，求的值； （3）如图2，抛物线：（，，是常数，且）也经过点，，点是线段上异于，的动点，过点作直线轴交抛物线，分别于点，，问：随着点的运动，的值是否会改变？若不改变，求出的值；若改变，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）的值不改变，是 【解析】 【分析】（1）将一般式配方成顶点式即可求解顶点坐标； （2）先求出抛物线，则，，然后分别求出直线和直线的一次项系数，再由一次函数平行得到一次项系数求解即可； （3）先求出抛物线：，再求直线，设，其中，则，，再求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴顶点； 【小问2详解】 解：设， 代入，， 得， 解得， ∴抛物线； ∵点和是抛物线上的两点， ∴，， ∴，， 对于抛物线，当时，， ∴； 设直线， 则， 解得， ∴直线， 设直线， 则， 解得， ∵， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：的值不改变，理由如下： ∵抛物线：经过点，， ∴， 解得， ∴抛物线：， 设直线， 则， 解得， ∴直线， 设，其中， ∵过点作直线轴交抛物线，分别于点，， ∴，， ∴． 24. 如图1，在正方形中，将边绕点顺时针旋转得到，连接．射线交边于点，交的延长线于点． （1）填空：________度，并说明理由； （2）如图2，点在射线上，连接．若，求证：； （3）如图3，若边绕点顺时针旋转得到，使得时，求的值． 【答案】（1）45，理由见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，进而可得，再证明，进而可得，然后由求解即可； （2）过点作，交于点，连接，证明为等腰直角三角形，易得，再证明，由全等三角形的性质可得，，进一步证明，在中，利用勾股定理即可证明结论； （3）过点作于点，连接，结合，可设，则，利用三角函数解得，的长度，进而可知，；设，则，利用勾股定理可得，证明，结合相似三角形的性质解得的值，即可确定，的长度，然后计算的值即可． 【小问1详解】 解：45，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵将边绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如下图，过点作，交于点，连接， 则， ∴，即， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴在中，可得； 【小问3详解】 解：如下图，过点作于点，连接， ∵， ∴可设，则， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵为正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，， ∵， ∴， ∴，即， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年5月初中学业水平模拟检测数学 （本试卷共6页，24题，考试用时120分钟，全卷满分120分） 注意事项： 1．答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，将答题卡上交． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 厨房纸巾是家庭清洁的常用物品．如图放置的厨房纸巾卷，箭头方向为其主视方向，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年，我国在单原子催化领域取得飞跃性突破．催化剂中单个活性金属原子的直径约米，将数据用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某市编程赛成绩按如下权重计算：代码质量占，功能实现占，文档编写占．小明在大赛中，代码质量、功能实现、文档编写三项成绩分别为：80分、70分、90分，则小明的编程赛成绩为（ ） A. 70分 B. 78分 C. 83分 D. 85分 6. 将关于x的分式方程去分母可得（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一质量均匀的小球静止悬挂在光滑的竖直墙面上，O为小球的球心，小球受到重力G、拉力F和支持力N的作用．若拉力F与重力G的夹角，则拉力F与墙面的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形网格上，点A，B，C，D，E均在格点上，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，我们约定：不重合的两点与为一对负换点；若函数图象上至少存在一对负换点，则称该函数为负换函数．下列函数中，是负换函数且仅有一对负换点的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 单项式x2y的次数是__________． 12. 某化学实验室有4瓶外观完全相同的溶液，标签分别为：盐酸、硫酸、氢氧化钠、蒸馏水．实验员随机从中抽取1瓶进行检测，抽到酸溶液的概率为_____． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的取值是_____． 14. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为____． 15. 如图，，，，，五点在上，连接，，，．若，，则的度数是______． 16. 如图，在中，是的角平分线，过点作，交于点，点在线段上，且，连接，． （1）若，，则______； （2）下列结论正确的是_______．（写出所有正确答案的序号） ①若，则； ②若，则； ③若，，则． 三、解答题：本题共8小题，第17题6分，第17题8分，第题，每小题9分，第题，每小题11分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组：，并求所有整数解的和． 19. 某学校在八、九年级学生中各随机抽取10名学生，对这些学生4月份课外阅读打卡次数（用表示）进行整理、描述和分析，共分成四组：A：；B：；C：；D：．以下是部分信息： 八年级10名学生4月课外阅读打卡次数分别为：5，7，10，12，20，24，25，28，28，31． 九年级10名学生4月课外阅读打卡次数在C组中的数据是：21，22，24，28． 八、九年级抽取的学生4月打卡次数统计表 年级 八年级 九年级 平均数 19 19 中位数 众数 33 九年级10名学生4月份打卡次数扇形统计图 请根据题中信息，解答下列问题： （1）________，________，________，________； （2）你认为该校八、九年级中，哪个年级学生4月份课外阅读情况更好？请说明理由； （3）若该校八、九年级学生共有2000名，请你根据样本数据，估计该校八、九年级学生4月份课外阅读打卡不少于20次的学生人数． 20. 为推进智慧校园建设，某科技公司为学校提供两种型号的门禁读卡器：A型刷卡门禁和B型人脸识别门禁．已知2套A型门禁和3套B型门禁的采购总价为10500元；4套A型门禁和5套B型门禁的采购总价为18500元． （1）求A，B两种型号门禁每套的采购单价； （2）学校预采购A型、B型两种门禁共12套，若采购两种门禁的费用不高于22000元，至少可采购A型门禁多少套？ 21. 如图，四边形是⊙的内接四边形，是⊙的直径，连接，将线段绕点顺时针方向旋转一定角度得到线段．过点作，交的延长线于点，连接，． （1）若平分，求证：四边形是菱形； （2）若，求证：直线是⊙的切线． 22. 我国古代数学家刘徽在《海岛算经》中记载了利用“重差术”测量物体高度的方法．某高铁路段隧道施工中，工程人员利用该原理测量接触网支架高度，其纵截面的示意图如下：四边形为接触网支架的主体，四边形为接触网支架的底座．连接，已知，测得，，，，底座高．（参考数据：，，，，） （1）求的长（结果精确到）； （2）求点到地面的距离（结果精确到）． 23. 如图1，抛物线：与轴交于，两点．抛物线平移后得到抛物线与轴交于点，且过抛物线的顶点和点． （1）求点的坐标； （2）如图1，点和是抛物线上的两点，若，求的值； （3）如图2，抛物线：（，，是常数，且）也经过点，，点是线段上异于，的动点，过点作直线轴交抛物线，分别于点，，问：随着点的运动，的值是否会改变？若不改变，求出的值；若改变，请说明理由． 24. 如图1，在正方形中，将边绕点顺时针旋转得到，连接．射线交边于点，交的延长线于点． （1）填空：________度，并说明理由； （2）如图2，点在射线上，连接．若，求证：； （3）如图3，若边绕点顺时针旋转得到，使得时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $