25.2.3 因式分解法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“因式分解法解一元二次方程”，通过回顾直接开平方法、配方法、公式法及因式分解方法，以物理上抛问题引入方程，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以实际问题培养数学眼光，对比不同解法发展数学思维，用“一移二分三化四解”步骤和方法对比表强化数学语言表达。物理问题激发探究兴趣，步骤总结助学生掌握降次思想，教师可借此提升教学效率，学生能学会选择合适解法。

25.2 降次——解一元二次方程 25.2.3 因式分解法 第二十五章 一元二次方程 R·九年级数学上册 学习目标 1.知道因式分解法，会用因式分解法解一元二次方程. 2.能根据具体一元二次方程的特征，选择合适的解法，体会解决问题的多样性． 复习回顾 思考1：我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？ 1.直接开平方法： x2=a(a≥0)或(mx+n)2=a(a≥0) 2.配方法： (x+n)2=p(p≥0) 3.公式法： x = （b2–4ac≥0） 思考2：因式分解的方法有哪些？ 1.提取公因式法： am+bm+cm=m(a+b+c) 2.公式法： a2–b2=(a+b)(a–b) a2±2ab+b2=(a±b)2 3.十字相乘法： x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 探索新知 问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 后的离地高度（单位：m）约为 10x–5x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ 分析：设物体经过 x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m. 即 10x–5x2=0. 你能试着用学过的方法解这个方程吗？ 配方法解方程 10x–5x2=0. 公式法解方程 10x–5x2=0. 解：移项，二次项系数化为1，得 x2–2x=0. 配方，得 x2–2x+12=12， (x–1)2=1. 由此可得 x–1=±1， x1= 0，x2= 2. 解：因为a= – 5，b=10，c=0， Δ=b2–4ac=102–4×(–5)×0=100>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = ， 即x1= 0，x2= 2. 除了配方法和公式法，你还能找到更简便的方法解这个方程吗？ 10x–5x2=0. 因式分解 5x(2–x)=0. 降次，化为两个一次方程 x=0或2–x=0. 解方程 x1=0，x2=2. 如果 ab=0. 那么a=0，或b=0. 知识要点 通过因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式.再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 因式分解法的基本步骤 一移 方程的右边=0 方程的左边因式分解 二分 三化 方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 直接说出下列方程的根： 牛刀小试 （1）(3x+6)(2x–4) = 0； （2）(x+2)(x–3) = 0； （3）(x+5)(x–1) = 0； （4）x(x–2)= 0； （5）x2 = x. x1= –2，x2= 2. x1= –2，x2= 3. x1= –5，x2= 1. x1= 0，x2= 2. x1= 0，x2= 1. 例4 解下列方程： （1）x(x–2)+x–2 = 0； （2）5x2 –2x – = x2 –2x + . 解：左边分解因式，得 (x–2)(x+1)=0. 于是 x – 2=0，或 x+1=0， 即 x1=2，x2= – 1. 解：移项、合并同类项，得 4x2–1=0. 左边分解因式，得 (2x+1)(2x–1)=0. 于是 2x+1=0，或2x–1=0， 即 x1= – ，x2= . 思考：学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？ 方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点 配方法 配方 所有的一元二次方程 配方 当二次项系数为1，一次项系数为偶数时，可以优先用此法 公式法 求根公式 所有的一元二次方程 确定a，b，c的值，代入求根公式 计算量大，易出现符号错误 因式分解法 若 ab=0. 则 a=0，或 b=0. 能化为一边为0，另一边为两个一次式的乘积的方程 因式分解 适用范围较小，对缺少一次项ax2+c=0或缺少常数项ax2+bx=0的一元二次方程求解 选择适当的方法解下列方程： 牛刀小试 （1）4(x–1)2–9=0； （2）x2 +6x = 1； 解：方程变形，得(x–1)2=. 直接开平方，得x–1=±， 所以 x1= ，x2= – . 解：配方，得x2+6x+32=1+32， (x+3)2=10. 由此可得x+3=±， 即x1= –3–，x2= – 3+. （3）3x2– 4x = 5； （4）(2x+1)2 – 4x – 2 = 0. 解：方程化为 3x2– 4x –5 = 0， 此时a=3，b= – 4，c= – 5. 所以 Δ=b2–4ac=(–4)2– 4×3× (–5)=76>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， 即 x1= ，x2=. 解：方程变形，得 (2x+1)2–2(2x+1)=0. 左边分解因式，得 (2x+1)(2x+1–2)=0， 即(2x+1)(2x–1)=0. 于是 2x+1=0，或 2x–1=0， 即 x1= – ，x2= . 一元二次方程的解法及适用类型： 解法 适用的方程类型 直接开平方法 x2=p或 (mx+n)2=p (m≠0，p≥0) 配方法 二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程 公式法 所有的一元二次方程 因式分解法 一边化为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程 解一元二次方程的基本思路：先将二次方程化为两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程. 随堂练习 1.解下列方程： 【选自教材第14页 练习 第1题】 （1）x2+x=0； （2）x2 –2x = 0； 解：左边分解因式，得 x(x+1)=0. 于是 x=0，或 x+1=0， 即 x1=0，x2= – 1. 解：左边分解因式，得 x(x–2)=0. 于是 x=0，或 x–2=0， 即 x1=0，x2= 2. （3）3x2 – 6x = –3； （4）4x2 – 81 = 0； 解：方程变形，得 3(x2–2x+1)=0. 左边分解因式，得 3(x–1)2=0. 于是 x–1=0，即 x1=x2=1. 解：左边分解因式，得 (2x+9)(2x–9)=0. 于是 2x+9=0，或 2x–9=0， 即 x1= – ，x2= . （5）3x(2x+1) = 4x+2； （6）(x–4)2 = (5–2x)2 . 解：方程变形，得 6x2–x–2=0. 左边分解因式，得 (2x+1)(3x–2)=0. 于是2x+1=0，或 3x–2=0， 即 x1= – ，x2= . 解：左边分解因式，得 [(x–4)+(5–2x)][(x–4)–(5–2x)]=0， (1–x)(3x–9)=0. 于是1–x=0，或 3x–9=0， 即 x1=1，x2=3. 2.如图，把圆形场地的半径增加 5 m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为 9∶4 .求小圆形场地的半径. 解：设小圆形场地的半径为 x m，则大圆形场地的半径为 (x+5) m. 由题意，得π(x+5)2=πx2. 可化为(x+5)2=x2，(x+5)2 – (x)2=0， [(x+5)+x][(x+5) – x]=0，即(x+5)(5 – x)=0. 所以 x1= –2（不合题意，舍去），x2=10. 答：小圆形场地的半径为10 m. 课堂小结 因式分解法 解一元二次方程 概念 将方程左边因式分解，右边=0. 依据 如果ab=0，那么a=0，或b=0. 步骤 一移，二分，三化，四解. $