25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的根与系数关系（韦达定理），通过复习求根公式和判别式导入，引导学生观察求根公式特点推导两根之和与积的关系，搭建从已学知识到新知的学习支架。 其亮点在于提炼“秒杀结论”“易错点警示”和解题口诀，结合推理意识与运算能力，通过例题变式和分层练习巩固代数式变形等核心应用。课堂小结步骤明确，助力学生提升知识迁移能力，为教师提供系统高效的培优教学资源。

新人教版9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月30日 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 第25章　一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 知识点总结（九年级） 整体知识框架：本节内容又称韦达定理，是一元二次方程章节的拔高核心考点。不需要解方程，可直接通过系数判断两根之和、两根之积，广泛用于代数式求值、参数求解、根的符号判断，是期中、期末、中考高频必考题型。 一、韦达定理核心公式（必背） 对于一元二次方程 $$ax^2+bx+c=0\ (a eq0)$$，当 $$\Delta\ge0$$ 时，设方程的两根为 $$x_1、x_2$$，则： $$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$$ $$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$$ 关键前提：① $$a eq0$$（必须是一元二次方程）；② $$\Delta\ge0$$（方程必须有实数根）。 二、两种特殊方程的韦达结论（秒杀结论） 1. 方程 $$x^2+px+q=0$$ $$x_1+x_2=-p,\ \ x_1x_2=q$$ 2. 缺常数项方程 $$ax^2+bx=0$$ 两根之积 $$x_1x_2=0$$，必有一根为 0。 三、高频代数式变形公式（考试直接用） 已知 $$x_1、x_2$$ 为方程两根，常用变形： 1. $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$ 2. $$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$ 3. $$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$$ 4. $$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$$ 四、利用韦达定理判断根的符号（重难点） 在 $$\Delta\ge0$$ 的前提下： 1. 两根同正：$$x_1+x_2>0,\ x_1x_2>0$$ 2. 两根同负：$$x_1+x_2<0,\ x_1x_2>0$$ 3. 两根一正一负：$$x_1x_2<0$$（无需看和） 五、三大必考题型模板 题型1：整体代换求值 不解方程，求出两根和、两根积，代入变形公式求代数式的值。 题型2：已知一根，求另一根与参数 将已知根代入方程求参数，再用韦达定理求另一根；或直接用两根关系快速求解。 题型3：已知两根构造方程 以 $$x_1、x_2$$ 为根的一元二次方程：$$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$$ 六、本节致命易错点（高频扣分） 1. 两根之和有负号：$$-\dfrac{b}{a}$$，最容易漏写负号！ 2. 使用韦达定理前，必须保证 \(\Delta\ge0\)，无实根不能用； 3. 题目指明“一元二次方程”，千万不能漏 $$a eq0$$； 4. 代数式变形不能记混，平方和、差的平方公式区分清楚。 七、韦达定理解题口诀 和为负b积为c，前提判别不能虚； 平方和差会变形，符号判断要清晰； 不解方程求数值，韦达秒杀最省心。 探索一元二次方程的根与系数的关系. 不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题． 复习回顾 1.一元二次方程的求根公式是什么？ x = （b2–4ac≥0） 2.如何用判别式b2–4ac来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0) 当b2– 4ac>0时，方程有两个不等的实数根； 当b2– 4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2– 4ac<0时，方程无实数根. 方程的两根x1和x2与系数a，b，c还有其他关系吗？ 探索新知 思考：观察求根公式 x = ，它有什么特点？由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ x1 = x2 = m+n m–n 发现：相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号. 因为 x1 = ，x2 = ， 所以 x1+x2 = + = = – ， x1x2 = · = = ， 你还有其他方法得出上述关系吗？ 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 的左边可以分解因式为 a(x–x1)(x–x2)，那么方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1和 x2. 反过来，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1和 x2，那么 ax2+bx+c = a(x–x1)(x–x2)， 即 ax2+bx+c = ax2–a(x1+x2)x+ax1x2 . 由此可得 –a(x1+x2)=b，ax1x2=c . 因此 x1+x2= – ，x1x2= . 知识要点 一元二次方程的根与系数的关系 若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的两个根， 则 x1+x2= – ，x1x2= . 注意事项 （使用前提） 方程先化为一般式，确定 a，b，c . a ≠ 0 b2–4ac ≥ 0 例5 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： （1）x2–6x–15 = 0； （2）3x2+7x–9 = 0； （3）5x–1 = 4x2. 解：（1）x1+x2 = – (–6) = 6，x1x2 = – 15. （2）x1+x2 = –，x1x2 = = – 3. （3）方程化为4x2–5x+1=0，所以x1+x2 = – = ，x1x2 = . 牛刀小试 一元二次方程 a b c x1+x2 x1x2 x2+7x+6=0 1 7 6 – 7 6 3x2+2=1–5x 3 5 1 – x(x–1)=3x+7 1 – 4 – 7 4 – 7 7x2–5=x+8 7 – 1 – 13 – 与一元二次方程有关的代数式的常见变形： x12 + x22 (x1 – x2)2 + + ｜x1–x2｜ x1x22 + x12x2 = (x1+x2)2 – 2x1x2 = (x1+x2)2 – 4x1x2 = = = = = x1x2(x1+x2) 牛刀小试 1.设 x1，x2 是一元二次方程 x2–7x–5=0 的两个实数根，则 + 的值为________. – 2.设 x1，x2 是方程 2x2+4x–3=0 的两个根，则： （1）x1x22 + x12x2 =_______； （2）(x1 – x2)2 =_______. 3 10 知识点1 一元二次方程根与系数的关系 1.已知一元二次方程的两根分别为，，则 的值 是( ) B A.5 B. C.2 D. 返回 中考考法 12 2.[2025湖北中考] 一元二次方程的两个实数根为， ，下 列结论正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 13 3.设方程的两实数根为，，则 的值 为( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 14 4.以2和 为根的一元二次方程可以是( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 15 5.［教材例5变式］不解方程，求下列方程两个根， 的和与积： （1） ； 解：， . （2） ； 解：， . （3） ； 解：方程转化为 ， ， . 中考考法 16 （4） . 解：方程转化为 ， ， . 返回 中考考法 17 知识点2 根与系数的关系的应用 6.已知，是关于的方程的两个根，且 ， 则 的值为( ) C A. B.1 C. D.4 返回 中考考法 18 7.若，是方程的两个根，则 的值是 ( ) A A. B.0 C.1 D.2 返回 中考考法 19 8.已知 ， 分别是方程的两个根，则代数式 的值为( ) B A.16 B.18 C.20 D.22 返回 中考考法 20 9. 一元二次方程的两个根分别是, ,其中 , ，写出一个满足此条件的方程： ________________________________. （答案不唯一） 返回 中考考法 21 课堂小结 一元二次方程的根与系数的关系 先整理成一般式 二次项系数不为0 确定a，b，c的值 Δ=b2–4ac ≥ 0 两根之和等于一次项系数b除以二次项系数a的相反数. x1+x2= – 两根之积等于常数项c除以二次项系数a. x1x2= ax2+bx+c=0 （a≠0） $