25.2.2 公式法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“公式法解一元二次方程”，通过回顾配方法步骤及实例，引导学生从具体方程过渡到一般形式ax²+bx+c=0的配方推导，搭建从具体到抽象的学习支架，引出根的判别式与求根公式。 其亮点在于以“探索新知”引导学生经历求根公式推导过程，培养数学抽象与推理意识，通过“牛刀小试”表格、多样化例题及规范解题步骤（化、求、判、代）强化数学语言表达。含视频辅助理解，助力学生掌握逻辑推理与规范解题，教师可依托系统流程提升教学效率。

25.2 降次——解一元二次方程 25.2.2 公式法 第二十五章 一元二次方程 R·九年级数学上册 学习目标 1.知道一元二次方程根的判别式和求根公式的推导过程. 2.能运用根的判别式判断方程根的情况，能熟练地运用公式法解一元二次方程． 复习回顾 说一说用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 一移：将常数项移到方程的右边； 二化：二次项系数化为1； 三配：方程左、右两边同时加上一次项系数一半的 平方； 四开：利用平方根的意义直接开平方； 五解：解两个一元一次方程. 用配方法解方程：3x2+8x–3=0. 解：移项，得 3x2+8x=3. 二次项系数化为1，得x2+x=1. 配方，得 x2+x+()2=1+()2，(x+)2=. 由此可得 x+=±，即x1= – 3，x2= . 你能试着用配方法求一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解吗？ 探索新知 用配方法解一般形式一元二次方程：ax2+bx+c=0 (a≠0). 解：移项，得 ax2+bx = –c. 二次项系数化为1，得 x2+ x = – . 配方，得 x2+ x + ()2 = – + ()2 ， 即 (x + )2 = . ① 思考：对于方程①，接下来能直接开平方解吗？ (x + )2 = . ① 因为a≠0，所以4a2>0.式子 b2– 4ac 的值有以下三种情况： （1）当 b2–4ac>0 时，>0，由①得 x + =± . 方程有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = . (x + )2 = . ① 因为a≠0，所以4a2>0.式子 b2– 4ac 的值有以下三种情况： （2）当 b2–4ac=0 时，=0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – . （3）当 b2–4ac<0 时，<0，由①可知(x + )2 <0，而 x取任何实数都不能使 (x + )2 <0 成立，因此方程无实数根. 归纳小结 由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根由方程的系数 a，b，c 确定. ax2+bx+c=0 (a≠0) b2–4ac>0 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 无实数根 b2–4ac=0 b2–4ac<0 b2–4ac 叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ=b2– 4ac. Δ>0 Δ=0 Δ<0 牛刀小试 一元二次方程 Δ=b2– 4ac 根的情况 x2–x–1=0 5 有两个不相等的实数根 2x2+3x+2=0 – 7 无实数根 4x2=12x–9 0 有两个相等的实数根 3x2+2=2x 0 有两个相等的实数根 当 Δ ≥ 0 时，方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的实数根可写为 x = 的形式，这个式子叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法. 注意：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，然后当Δ=b2– 4ac 时，才可以用求根公式. 点击图片播放视频 例3 用公式法解下列方程： （1）x2– 4x – 7=0； 解：因为 a=1，b= – 4，c= – 7， 所以 Δ=b2 – 4ac=(–4)2– 4×1×(–7)=44>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = 2±， 即 x1=2+，x2= 2 – . x = 确定 a，b，c 的值时，要注意它们的符号. （2）2x2 –2x+1=0； 解：因为 a=2，b= – 2，c= 1， 所以 Δ=b2 – 4ac=(–2)2– 4×2×1=0. 方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – = – = . x = （3）5x2 –3x=x+1； 解：方程化为 5x2 – 4x –1=0，此时a=5，b= – 4，c= – 1， 所以 Δ=b2 – 4ac=(–4)2– 4×5×(–1)=36>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， x = 即 x1=1，x2= – . （4）x2 +17=8x. x = 解：方程化为 x2 – 8x+17=0，此时a=1，b= – 8，c=17， 所以 Δ=b2 – 4ac=(–8)2– 4×1×17= – 4 <0. 方程无实数根. 知识要点 用公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）化：将一元二次方程化为一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）并确定 a，b，c 的值； （2）求：求出 b2–4ac 的值； （3）判：若 b2–4ac≥0 则利用求根公式求解；若 b2–4ac<0，则方程无实数根. （4）代：将a，b，c的值代入求根公式，写出方程的根. 随堂练习 1.一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则 b2–4ac 满足的条件是（ ） A. b2–4ac=0 B. b2–4ac>0 C. b2–4ac<0 D. b2–4ac≥0 B 2.利用求根公式求 5x2+=6x 的根时，a，b，c 的值分别是（ ） A. 5, , 6 B. 5, 6, C. 5, –6, D. 5, –6, – C 3.已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2–2x–3=0.下列说法正确的是（ ） A.①②都有实数解 B.①无实数解，②有实数解 C.①有实数解，②无实数解 D.①②都无实数解 B 4.用公式法解下列方程： 【选自教材第12页 练习】 （1）x2+x – 6=0； 解：因为 a=1，b=1，c= –6， 所以 Δ=b2 – 4ac=12– 4×1×(–6)=25>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， 即 x1=2，x2= – 3. （2）x2 – x – =0； 解：因为 a=1，b= –，c= – ， 所以 Δ=b2 – 4ac=(–)2– 4×1×(– )=4>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， 即 x1= +1，x2= – 1. （3）3x2 – 6x +4=0； 解：因为 a=3，b= – 6，c= 4， 所以 Δ=b2 – 4ac=(–6)2– 4×3×4= – 12<0. 方程无实数根. （4）2x2 – 3x=0； 解：因为 a=2，b= – 3，c= 0， 所以 Δ=b2 – 4ac=(–3)2– 4×2×0=9>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ，即 x1=0，x2= . （5）x2+4x+8=4x+11； 解：方程化为 x2– 3=0，此时a=1，b=0，c= –3， 所以 Δ=b2 – 4ac=02– 4×1×(–3)=12>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， 即 x1= ，x2= – . （6）x(2x– 4)=5 – 8x. 解：方程化为 2x2+4x–5=0，此时a=2，b=4，c= –5， 所以 Δ=b2 – 4ac=42– 4×2×(–5)=56>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， 即 x1= –1+ ，x2= –1 – . 5.已知关于 x 的一元二次方程 mx2–(3m+2)x+2m+=0 (m≠0)， 求证：方程有两个不相等的实数根. 证明： Δ=b2 – 4ac = [–(3m+2)]2– 4m(2m+)=9m2+12m+4 –8m2–10m =m2+2m+4=(m+1)2+3. 因为 (m+1)2≥0，所以(m+1)2+3>0，即 Δ>0. 所以方程有两个不相等的实数根. 拓展提高 已知 a，b，c为 △ABC 的三边长，且关于 x 的方程 (x–a)(x–b)+(x–b)(x–c)+(x–c)(x–a)=0 有两个相等的实数根，试判断 △ABC 的形状. 解：将原方程整理，得 3x2–2(a+b+c)x+ab+bc+ac=0. 因为Δ=b2–4ac=[2(a+b+c)]2–4×3(ab+bc+ac)=4(a2+b2+c2+2ab+ 2ac+2bc)–12(ab+bc+ac)=4(a2+b2+c2–ab–ac–bc) =2[(a2–2ab+b2)+(b2–2bc+c2)+(a2–2ac+c2)]=2[(a–b)2+(b–c)2+(a–c)2] 因为方程有两个相等的实数根，所以 Δ=0， 即2[(a–b)2+(b–c)2+(a–c)2]=0. 所以a–b=0， b–c=0， a–c=0. 所以a=b=c. 故△ABC为等边三角形. 课堂小结 公式法 用求根公式解一元二次方程的方法 求根公式 x = 一元二次方程根的判别式 Δ= b2–4ac 当Δ>0时，方程有两个不等的实数根； 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ<0时，方程无实数根. $