25.2.3因式分解法（培优教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“因式分解法解一元二次方程”，课堂导入先回顾公式法及根的判别式，通过解方程10x-5x²=0的繁琐过程引出简便方法，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以物体上抛落地问题引入，培养数学眼光，通过归纳“移项-分解-降次-求解”步骤及三种解法对比表，发展推理意识与运算能力。例题涵盖提公因式、平方差等方法，变式题分层训练，助学生形成模型意识，教师可借结构清晰的内容提升教学效率。

第二十五章 一元二次方程 25.2 降次——解一元二次方程 25.2.3 因式分解法 学 习 目 标 1 2 3 掌握因式分解法解一元二次方程的理论依据和基本步骤；能用提公因式法、平方差公式法解一元二次方程. 理解 “降次” 思想的本质；避免解方程过程中出现丢根、漏解的错误；根据方程特征灵活选择解法. 通过自主探究、合作交流，培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力. 新课引入 思考 在上一节课中，我们学习了用公式法解方程，你还记得这个过程中比较关键的求根公式和根的判别式吗？ 请尝试用配方法或公式法分别解方程 有没有发现这两种方法的步骤都比较繁琐？ 那么有没有简便的方法呢？今天我们学习第三种解一元二次方程的方法 —— 因式分解法. 根的判别式： 求根公式： 3 落回地面时高度为 0,即列方程 新知探究 探究一：因式分解法的定义 探究 把一个物体从地面以 10m/s 的速度竖直上抛，物体经过 后的离地高度 约为 m,求物体经过多少秒落回地面. 想一想 这个多项式有什么特点？能否进行因式分解？ 因式分解得： 两个因式的乘积等于 0，这意味着什么？ 4 新知探究 若 ，则 或 . 如果两个数的乘积为 0，那么这两个数中至少有一个为 0； 反之，如果两个数中任何一个为 0，它们的积也为 0。 应用结论解方程：令 或 解得 ， 讨论 这两个根分别表示什么实际意义？ 是物体被抛出的时刻， 是物体落回地面的时刻，符合实际情况。 5 因式分解法 配方法和公式法 新知探究 思考 配方法和公式法是通过什么方式降次的？因式分解法又是通过什么方式降次的？ 两个一次式的乘积 降次 开平方 分解因式 令每个一次式为 0 降次 6 知识小结 因式分解法 先将方程的一边化为两个一次因式的乘积，另一边为 0，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 注：因式分解法的核心思想仍然是 “降次”，这是解一元二次方程的通用思路 7 新知巩固 因式分解法解方程 一元二次方程的根是________________． 【分析】将原方程移项整理为一般形式，再用因式分解法求解一元二次方程，即可得到方程的根． 【详解】解： 移项，得， 提取公因式，得， ∴ 或 ， 解得，． ， 8 新知探究 探究二：因式分解法的解题步骤 思考 结合方程 的解题过程，你能归纳因式分解法解一元二次方程的基本步骤吗？ ②分解：将方程左边的多项式分解为两个一次因式的乘积； ③降次：令每个因式分别等于 0，得到两个一元一次方程； ④求解：解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根。 ①移项：将方程的所有项移到左边，使右边为 0； 解题步骤的关键是“右边必须为 0”，这是应用“若 ，则 或 ”的前提. 9 公式法解一元二次方程 教材例题 【分析】(1) 用提取公因式法分解因式求解； (2) 先移项合并同类项，再用直接开平方法求解. 解下列方程： (1) ； (2) . 解：（1）左边分解因式，得 于是 , 或 即 10 公式法解一元二次方程 教材例题 【分析】(1) 用提取公因式法分解因式求解； (2) 先移项合并同类项，再用直接开平方法求解. 解下列方程： (1) ； (2) . 左边分解因式，得 于是 , 或 即 （2）移项、合并同类项，得 11 新知巩固 因式分解法的解题步骤 【分析】按照移项分解 按照因式分解法解方程的步骤解下列方程方程： 解： ∴或 解得，； 移项 分解因式 降次 求解 12 新知探究 新知探究 探究三：三种解法的对比与选择 讨论 配方法、公式法、因式分解法各有什么特点？分别适用于什么类型的方程？ 解法 特点 适用范围 配方法 先配方，再开方，步骤繁琐 所有一元二次方程 公式法 直接代入求根公式，通用 所有一元二次方程 因式分解法 步骤简便，计算量小 左边易分解、右边为 0 的方程 13 新知巩固 选用合适的方法解一元二次方程 已知一元二次方程的两个实数根为，则________． 【分析】解法一：根据因式分解法求出方程的解； 解法二：利用根与系数的关系求解． 【详解】解法一：， 解法二：在方程中， 由根与系数的关系可得 ． 解得 14 巩固训练1 非标准形式方程，先整理再因式分解 一元二次方程的解为_________________________． 【分析】通过因式分解法求解一元二次方程，先将方程右边进行因式分解，然后移项并提取公因式，最后转化为两个一次方程求解． 解：方程可变形为， ， ， ， 所以或， 解得，． ， 15 巩固训练1 非标准形式方程，先整理再因式分解 变式题 解方程：． 解：整理，得， ， 则或， 解得． 提示 这类方程的分解要用到十字相乘法. 16 巩固训练2 因式分解法解含括号的方程 一元二次方程的解是_______________． 【分析】将方程移项后，利用平方差公式分解因式，转化为两个一元一次方程，进而求解方程的根. 【详解】解：， ， ， 或 ； 解得 ，. ，. 17 巩固训练2 因式分解法解含括号的方程 变式题 解下列方程: 【详解】 解：， 两边同时开平方 得， ∴或， ∴，． 18 巩固训练3 十字相乘法解简单一元二次方程 若一元二次方程的两根分别是，，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 【分析】由两根写出方程的因式分解形式，再展开得到一般式，与选项对比即可． ∴ 方程可写为 ， 展开得：， ∴ 这个方程可以是 ， 故答案选： B． 【详解】解：∵ 方程的两根分别为 ，， 19 巩固训练3 十字相乘法解简单一元二次方程 变式题 已知关于的一元二次方程的两根分别是直角三角形的两直角边，则这个直角三角形的面积为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 解：∵， ∴， ∴两根分别为和， 即两直角边长为2和3， ∴面积， 故选：D 20 课堂总结 本节课你学到了什么？ 21 感谢聆听! 22 $