25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 教学课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习求根公式及判别式导入，引导学生观察求根公式特点，推导得出两根之和与积的关系，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于采用求根公式推导与因式分解验证两种方法，培养学生推理能力，结合常见代数式变形及分层练习，强化模型意识。课堂小结步骤化梳理前提与关系，助力学生形成结构化思维，既提升学生运算与应用能力，也为教师提供系统教学资源。

25.2 降次——解一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 第二十五章 一元二次方程 R·九年级数学上册 学习目标 1.探索一元二次方程的根与系数的关系. 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题． 复习回顾 1.一元二次方程的求根公式是什么？ x = （b2–4ac≥0） 2.如何用判别式b2–4ac来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0) 当b2– 4ac>0时，方程有两个不等的实数根； 当b2– 4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2– 4ac<0时，方程无实数根. 方程的两根x1和x2与系数a，b，c还有其他关系吗？ 探索新知 思考：观察求根公式 x = ，它有什么特点？由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ x1 = x2 = m+n m–n 发现：相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号. 因为 x1 = ，x2 = ， 所以 x1+x2 = + = = – ， x1x2 = · = = ， 你还有其他方法得出上述关系吗？ 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 的左边可以分解因式为 a(x–x1)(x–x2)，那么方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1和 x2. 反过来，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1和 x2，那么 ax2+bx+c = a(x–x1)(x–x2)， 即 ax2+bx+c = ax2–a(x1+x2)x+ax1x2 . 由此可得 –a(x1+x2)=b，ax1x2=c . 因此 x1+x2= – ，x1x2= . 知识要点 一元二次方程的根与系数的关系 若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的两个根， 则 x1+x2= – ，x1x2= . 注意事项 （使用前提） 方程先化为一般式，确定 a，b，c . a ≠ 0 b2–4ac ≥ 0 例5 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： （1）x2–6x–15 = 0； （2）3x2+7x–9 = 0； （3）5x–1 = 4x2. 解：（1）x1+x2 = – (–6) = 6，x1x2 = – 15. （2）x1+x2 = –，x1x2 = = – 3. （3）方程化为4x2–5x+1=0，所以x1+x2 = – = ，x1x2 = . 牛刀小试 一元二次方程 a b c x1+x2 x1x2 x2+7x+6=0 1 7 6 – 7 6 3x2+2=1–5x 3 5 1 – x(x–1)=3x+7 1 – 4 – 7 4 – 7 7x2–5=x+8 7 – 1 – 13 – 与一元二次方程有关的代数式的常见变形： x12 + x22 (x1 – x2)2 + + ｜x1–x2｜ x1x22 + x12x2 = (x1+x2)2 – 2x1x2 = (x1+x2)2 – 4x1x2 = = = = = x1x2(x1+x2) 牛刀小试 1.设 x1，x2 是一元二次方程 x2–7x–5=0 的两个实数根，则 + 的值为________. – 2.设 x1，x2 是方程 2x2+4x–3=0 的两个根，则： （1）x1x22 + x12x2 =_______； （2）(x1 – x2)2 =_______. 3 10 随堂练习 1.关于 x 的方程 x2+px+q=0 的根为 x1=1+，x2=1–，则 p=_____，q=_____. 2.已知方程 5x2+kx–6=0 的一根是2，则另一根是_____， k=_____. – 2 – 1 – – 7 【选自教材第16页 练习】 （1）x2–3x=15； （2）3x2+2=1–4x； 3.不解方程，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： 解：（1）方程化为 x2–3x–15=0，所以 x1+x2 = – (–3) = 3，x1x2 = – 15. （2）方程化为 3x2+4x+1=0，所以 x1+x2 = – ，x1x2 = . （3）5x2–1=4x2–x； （4）2x2–x+2=3x+1. 解：（3）方程化为 x2+x–1=0，所以 x1+x2 = –1，x1x2 = – 1. （4）方程化为 2x2–4x+1=0，所以 x1+x2 = – = 2，x1x2 = . 4.若 x1，x2 是方程 x2+2x–100=0 的两个根，求下列式子的值： （1）x12+x22；（2） + ；（3）(x1–3)(x2–3)； （4）｜x1–x2｜. 解：依题意有x1+x2= – 2， x1x2= – 100. （1） x12+x22=(x1+x2)2–2x1x2=(–2)2 – 2×(–100)=204. （2） + = = = . 4.若 x1，x2 是方程 x2+2x–100=0 的两个根，求下列式子的值： （1）x12+x22；（2） + ；（3）(x1–3)(x2–3)； （4）｜x1–x2｜. 解：依题意有x1+x2= – 2， x1x2= – 100. （3）(x1–3)(x2–3)=x1x2–3(x1+x2)+9= –100–3×(–2)+9= –85. （4）｜x1–x2｜===2 . 5.已知关于 x 的方程 x2– (2m+3)x+m2=0 的两根之和等 于两根之积，求 m 的值. 解：设方程 x2– (2m+3)x+m2=0 的两根为 x1，x2 . 所以 x1+x2=2m+3，x1x2=m2. 根据题意得 m2=2m+3，解得 m1=3，m2= – 1. 当 m=3 时，原方程为 x2–9x+9=0，b2–4ac=45>0.方程有实数根.当 m= – 1时，原方程为 x2–x+1=0，b2–4ac= – 3<0.方程无实数根，此 m 值舍去. 所以 m 的值为3. 课堂小结 一元二次方程的根与系数的关系 先整理成一般式 二次项系数不为0 确定a，b，c的值 Δ=b2–4ac ≥ 0 两根之和等于一次项系数b除以二次项系数a的相反数. x1+x2= – 两根之积等于常数项c除以二次项系数a. x1x2= ax2+bx+c=0 （a≠0） $